课件38张PPT。1.1.1 任意角第一章 §1.1 任意角和弧度制学习目标
1.了解角的概念.
2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.
3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 角的相关概念思考1 用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？
答案 角的构成要素有始边、顶点、终边.
思考2 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？
答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.梳理 (1)角的概念：角可以看成平面内 绕着 O从一个位置OA 到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的 和 .一条射线端点旋转始边终边(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：逆时针顺时针零角知识点二 象限角思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？
答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.梳理 在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
象限角：终边在第几象限就是 ；
轴线角：终边落在 的角.第几象限角坐标轴上知识点三 终边相同的角思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
答案 它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋
360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角.
思考2 如何表示与60°终边相同的角？
答案 60°＋k·360°(k∈Z).梳理 终边相同角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个 的和.周角[思考辨析 判断正误]
1.经过1小时，时针转过30°.( )
提示 因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°.
2.终边与始边重合的角是零角.( )
提示 终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
3.小于90°的角是锐角.( )
提示 锐角是指大于0°且小于90°的角.
4.钝角是第二象限角.( )
5.第二象限角是钝角.( )
提示 第二象限角不一定是钝角.答案提示×××√×题型探究类型一 任意角概念的理解例1 (2018·牌头中学月考)下列命题正确的是
A.第一象限角是锐角
B.钝角是第二象限角
C.终边相同的角一定相等
D.不相等的角，它们终边必不相同答案√反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.跟踪训练1 写出下列说法所表示的角.
(1)顺时针拧螺丝2圈；解答解 顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.解 拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.类型二 象限角的判定例2 (1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是
A.①② B.①③ C.②③ D.②④√答案解析解析 －120°为第三象限角，①错；
－240°＝－360°＋120°，∵120°为第二象限角，∴－240°也为第二象限角，故②对；
180°为轴线角；495°＝360°＋135°，∵135°为第二象限角，∴495°为第二象限角，故④对.故选D.(2)已知α为第三象限角，则 是第几象限角？解答解 因为α为第三象限角，
所以k·360°＋180°<α
①当0°≤α<360°时，直接写出结果；
②当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.跟踪训练2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
(1)－150°；解答解 因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与
－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)650°；解 因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)－950°15′.解答解 因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角
例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.解答(2)最小的正角；解 由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜
－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.解答(3)[360°，720°)的角.解 由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜
－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}.
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，解答当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合解答即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.解答即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.达标检测答案1.下列说法正确的是
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第四象限角一定是负角
D.小于90°的角都是锐角√12345答案解析123452.与－457°角终边相同的角的集合是
A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析 －457°＝－2×360°＋263°，故选C.√答案解析123453.2 018°是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角解析 2 018°＝5×360°＋218°，故2 018°是第三象限角.√答案解析123454.已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______.解析 3×360°＋30°＝1 110°.1 110°123455.如图所示.
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；解 终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.解答(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤
k·360°＋300°，k∈Z}.1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.注意：(1)α为任意角；
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；
(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；
(4)k∈Z这一条件不能少.课件34张PPT。1.1.2 弧度制第一章 §1.1 任意角和弧度制学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 角度制与弧度制思考1 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？
答案 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示.
思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
答案 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.梳理 (1)角度制和弧度制度半径长圆心角弧度弧度(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对
值是|α|＝知识点二 角度制与弧度制的换算思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？梳理 (1)角度与弧度的互化2ππ0.017 45360°180°57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系045°90°135°270°知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？答案 设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则：[思考辨析 判断正误]
1.1 rad的角和1°的角大小相等.( )答案提示×2.用弧度来表示的角都是正角.( )
提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数.
3.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.( )
提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关.×√题型探究类型一 角度与弧度的互化例1 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°；解答(2)－15°；解答反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以跟踪训练1 (1)把下列角度化成弧度：
①－150°＝________；②2 100°＝________；
③11°15′＝________；④112°30′＝________.
(2)把下列弧度化成角度：答案30°－300°81°－75°类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角.
(1)－1 500°；解答解 ∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.解答(3)－4.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；解答(2)在[0°，720°]内找出与 角终边相同的角.解答当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用答案解析√答案解析√跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，解答即扇形的圆心角为2 rad.达标检测答案解析1.下列说法正确的是
A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小√12345解析 由弧度的定义可知D正确.答案解析123452.把 化为角度是
A.270° B.280° C.288° D.318°√答案解析123453.若θ＝－5，则角θ的终边在
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限解析 2π－5与－5的终边相同，√∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.答案解析123454.(2017·浙江省91联盟联考)如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，边AB的长为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD
的弧度数大小为________.解析 设正方形的边长为a，∠EAD＝α，12345解答(1)弧AB的长；所以弧AB的长为4π.解答(2)扇形所含弓形的面积.所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，123451.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.
易知：度数×
3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.课件40张PPT。1. 2.1 任意角的三角函数(一)第一章 §1.2 任意角的三角函数学习目标
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案 不会. 因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？梳理 (1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以 为半径的圆为单位圆.
(2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与 交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的 ，记作 ，
即sin α＝y；
②x叫做α的 ，记作 ，即cos α＝x；单位长度单位圆正弦sin α余弦cos α正切tan α对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的. 故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为 . 三角函数知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ (x≠0). 当α为第一象限角时，y>0, x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示. 梳理 记忆口诀：“一 ，二 ，三 ，四 ”.全正正弦正切余弦知识点三 诱导公式一思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案 它们的终边重合. 由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等. 梳理 诱导公式一sin(α＋k·2π)＝sin α，
cos(α＋k·2π)＝cos α，
tan(α＋k·2π)＝tan α，
其中k∈Z.[思考辨析 判断正误]
1. sin α，cos α，tan α的大小与点P(x，y)在角α的终边上的位置有关.
( )
提示 三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的位置无关.
2. 终边相同的角的同名三角函数值相等. ( )
提示 由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等.答案提示×√题型探究类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值解答∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝ ，cos α＝ .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值. 解答①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值解答解 由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝跟踪训练2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值. 解答所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，类型二 三角函数值符号的判断例3 判断下列各式的符号：
(1)sin 145°cos(－210°)；解 ∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.(2)sin 3·cos 4·tan 5.∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.解答反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 跟踪训练3 已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第______象限角. 答案解析二解析 由题意知tan α<0，cos α<0，
∴α是第二象限角. 类型三 诱导公式一的应用解答例4 求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；解 原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°解答反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”. 跟踪训练4 求下列各式的值：解答(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.解 原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝
sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.达标检测答案1.(2018·牌头中学月考)已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为12345√答案解析12345√答案解析123453.(2017·宁波期末)若角α的终边经过点P(－1，－1)，则
A.tan α＝1 B.sin α＝－1√4. 若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限答案解析12345√解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D.12345解答5. 已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 解 ①当k>0时，令x＝24k，y＝7k，②当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.
2.角α的三角函数值的符号只与角α的终边所在象限有关，由角α的终边所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.课件37张PPT。1.2.1 任意角的三角函数(二)第一章 §1.2 任意角的三角函数学习目标
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 三角函数的定义域梳理 正弦函数y＝sin x的定义域是 ；余弦函数y＝cos x的定义域是 ；
正切函数y＝tan x的定义域是___________________________.RR知识点二 三角函数线思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？答案 sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.思考2 三角函数线的方向是如何规定的？
答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.
思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？
答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.梳理 MPOMAT[思考辨析 判断正误]
1.正弦线MP也可写成PM.( )
提示 三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒.
2.三角函数线都只能取非负值.( )
提示 三角函数线表示的值也可取负值.
3.当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.( )
4.当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.( )答案提示××√√题型探究类型一 三角函数线解答解 如图所示，反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝ 的角α的终边，并求角α的取值集合.解答交单位圆于P1，P2两点，
则OP1，OP2是角α的终边，类型二 利用三角函数线比较大小解答反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负.跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小.解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.
如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°
的正弦线M1P1，M2P2.∵|M1P1|>|M2P2|，且符号皆正，
∴sin 1 155°>sin(－1 654°).解答类型三 利用三角函数线解不等式(组)解答命题角度1 利用三角函数线解不等式(组)
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.故满足要求的角α的集合为解答故满足条件的角α的集合为反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：
(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；
(2)注意区间是开区间还是闭区间.解答解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，解答命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制.
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.解答解 要使函数f(x)有意义，必须使2sin x－1≥0，交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2，
分别过点P1，P2作x轴的垂线，
画出如图所示的两条正弦线，所以函数f(x)的定义域为所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，达标检测答案1.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是
A.正弦线为PM，正切线为A′T′
B.正弦线为MP，正切线为A′T′
C.正弦线为MP，正切线为AT
D.正弦线为PM，正切线为AT12345√A.cos αB.tan αC.sin αD.cos α方法二 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，12345即cos αA.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y＝x上
D.在直线y＝x或y＝－x上答案解析12345√解析 由题意|sin α|＝1，∴sin α＝±1，则角α的终边在y轴上，故选B.4.已知角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则角α的终边在
A.第一象限的角平分线上
B.第四象限的角平分线上
C.第二、四象限的角平分线上
D.第一、三象限的角平分线上答案解析12345√解析 由角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，则α的终边在第二、四象限的角平分线上.12345解答所以不等式的解集为1.三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.2.三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒.
3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、诱导公式一的理解更容易了.课件37张PPT。1.2.2 同角三角函数的基本关系第一章 §1.2 任意角的三角函数学习目标
1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.
2.理解同角三角函数的基本关系式.
3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 同角三角函数的基本关系式思考1 计算下列式子的值：
(1)sin230°＋cos230°；
(2)sin245°＋cos245°；
(3)sin290°＋cos290°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它.答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝x.
∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1.思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？梳理 (1)同角三角函数的基本关系式
①平方关系： .
②商数关系：____________________________.
(2)同角三角函数基本关系式的变形
①sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝ ；cos2α＝ .
②tan α＝ 的变形公式
sin α＝ ；cos α＝______.sin2α＋cos2α＝11－cos2α1－sin2αcos αtan α[思考辨析 判断正误]
1.sin2α＋cos2β＝1.( )
提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.答案提示×√×题型探究类型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值答案解析√答案解析√反思与感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.
(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口.跟踪训练1 已知tan α＝ ，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.解答又sin2α＋cos2α＝1， ②又α是第三象限角，命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值解答∴α是第二或第三象限角.
(1)当α是第二象限角时，则(2)当α是第三象限角时，则反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.∴α是第一或第四象限角.
(1)当α是第一象限角时，则解答类型二 齐次式求值问题解答例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值.反思与感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值.
(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式.解答所以tan α＝3.解答(2)sin2α－2sin αcos α＋1.类型三 三角函数式的化简与证明解答证明∴原等式成立.反思与感悟 (1)三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简.
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).
③比较法：即证左边－右边＝0或 ＝1(右边≠0).
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.解答解 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.达标检测答案12345√解析答案解析12345√答案解析12345√答案12345√12345证明12345证明 方法一 (比较法——作差)12345方法二 (比较法——作商)1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.
2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：
(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.
3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.
5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.课件35张PPT。§1.3 三角函数的诱导公式(一)第一章 三角函数学习目标
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.
2.理解诱导公式的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α).知识点一 诱导公式二思考 角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？答案 角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式二sin(π＋α)＝－sin α，
cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α.知识点二 诱导公式三思考 角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案 角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式三sin(－α)＝－sin α，
cos(－α)＝cos α，
tan(－α)＝－tan α.知识点三 诱导公式四思考 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案 角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式四sin(π－α)＝sin α，
cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝－tan α.梳理 公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.[思考辨析 判断正误]
1.诱导公式中角α是任意角.( )
提示 正弦、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义.
2.sin(α－π)＝sin α.( )
提示 sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.答案提示√4.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.( )
提示 在角度制和弧度制下，公式都成立.×××题型探究类型一 利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值：
(1)cos 210°；解答解 cos 210°＝cos(180°＋30°)解答解答(4)cos(－1 920°).解 cos(－1 920°)＝cos 1 920°
＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化.
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1 求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；解答解 方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)解答解答(3)tan(－945°).解 tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.命题角度2 给值求值或给值求角问题答案√解析解答反思与感悟 (1)解决条件求值问题的策略
①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.答案√解析解析 由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，
则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，
sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(π＋β)类型二 利用诱导公式化简解答例3 化简下列各式：解答解答解 当n＝2k时，当n＝2k＋1时，反思与感悟 三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝解答解答达标检测1.已知tan α＝4，则tan(π－α)等于
A.π－4 B.4
C.－4 D.4－π答案12345√解析解析 tan(π－α)＝－tan α＝－4.答案解析12345√解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)3.(2018·牌头中学月考)利用诱导公式化简：
sin(π－x)＝________，sin(π＋x)＝________.答案12345sin x －sin x 答案解析123454.已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为______.解析 tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)12345解答1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”.课件35张PPT。§1.3 三角函数的诱导公式(二)第一章 三角函数学习目标
1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.
2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.
3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 诱导公式五＝＝＝由此可得
诱导公式五cos?αsin?α知识点二 诱导公式六思考 能否利用已有公式得出 ＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案 以－α代替公式五中的α得到由此可得
诱导公式六知识点三 诱导公式的推广与规律－cos α－sin α－cos αsin α2.诱导公式记忆规律：
公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.公式五～六归纳： ±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.
六组诱导公式可以统一概括为“k· ±α(k∈Z)”的诱导公式.
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k· ±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.[思考辨析 判断正误]
1.诱导公式五、六中的角α只能是锐角.( )
提示 诱导公式五、六中的角α是任意角.
2.诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变.
( )
提示 由诱导公式一～六可知其正确.答案提示××√4.口诀“符号看象限”指的是把角α看成锐角时变换后的三角函数值的符号.( )
提示 应看原三角函数值的符号.答案提示×题型探究类型一 利用诱导公式求值解答解答类型二 利用诱导公式证明三角恒等式证明＝－tan α＝右边.
∴原等式成立.反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.证明所以原等式成立.类型三 诱导公式的综合应用解答解答又A为△ABC的内角，反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.解答达标检测答案12345√解析答案解析12345√答案解析12345√答案解析12345√12345解答1234512345＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ1.诱导公式的分类及其记忆方式
(1)诱导公式分为两大类：
①α＋k·2π，－α，α＋(2k＋1)π(k∈Z)的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.课件41张PPT。1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象第一章 §1.4 三角函数的图象与性质学习目标
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 正弦函数、余弦函数的概念思考 从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？答案 实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值.这样，任意给定一个实数x，有唯一确定的值sin x(或cos x)与之对应.由这个对应法则所确定的函数y＝sin x(或y＝cos x)叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R.知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象思考1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：
①作出单位圆：作平面直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；③找横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份；
④找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图.因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致.于是只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，如图.思考2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？答案 把y＝sin x，x∈R的图象向左平移 个单位长度，即可得到y＝cos x，x∈R的图象.梳理 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做 和_____
.正弦曲线余弦曲线知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象思考1 描点法作函数图象有哪几个步骤？答案 列表、描点、连线.思考2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在x∈[0,2π]上的图象时是哪五个点？答案 梳理 “五点法”作正弦函数y＝sin x(x∈[0,2π])、余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的步骤
(1)列表(2)描点
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
______________________________________；
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
_______________________________________.
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数y＝sin x(x∈[0,2π])、余弦函数y＝cos x(x∈[0,2π])的简图.[思考辨析 判断正误]
1.正弦函数y＝sin x的图象向左、右和上、下无限伸展.( )
提示 正弦函数y＝sin x的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线y＝1和y＝－1之间.
2.函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同.( )
提示 二者图象不同，而是关于x轴对称.
3.余弦函数y＝cos x的图象与x轴有无数个交点.( )
4.余弦函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状和位置都不一样.
( )
提示 函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同.答案提示××√×题型探究类型一 “五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.解答解 取值列表：描点连线，如图所示.反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.解答跟踪训练1 (1)用“五点法”作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图.解 列表如下：描点并用光滑的曲线连接起来，如图.解答类型二 利用正、余弦函数图象解不等式解答命题角度1 利用正、余弦函数图象解不等式反思与感悟 用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出不等式的解集.答案√解析由图知，不等式的解集为方法二 如图所示，不等式的解集为解答命题角度2 利用正、余弦函数图象求定义域结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π).反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.解答由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为达标检测1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 答案12345√解析答案解析12345解析 由y＝sin x在[0,2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项.2.下列图象中，y＝－sin x在[0,2π]上的图象是 √答案解析123453.不等式cos x<0，x∈[0,2π]的解集为________.解答123451234512345描点画图：12345解答5.若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.解 由题意可知，sin x－2m－1＝0在[0,2π]上有2个根，即sin x＝2m＋1有两个根，
可转化为y＝sin x与y＝2m＋1两函数的图象在[0,2π]上有2个交点.
由y＝sin x图象可知，
－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，1.对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.
2.作函数y＝asin x＋b的图象的步骤3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.课件35张PPT。1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)第一章 §1.4 三角函数的图象与性质学习目标
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.
3.掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 函数的周期性思考1 如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？答案 不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋3)＝f(x)，才可以说3是f(x)的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.梳理 函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得当x取定义域内的____
值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，_________
叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数叫做f(x)的 .非零常数T每一个f(x＋T)＝f(x)非零常数T最小的正数最小正周期知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y＝sin x和y＝cos x都是周期函数.答案 ∵sin(x＋2π)＝sin x，cos(x＋2π)＝cos x，
∴y＝sin x和y＝cos x都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)是周期函数.答案 由诱导公式一知，对任意x∈R，
都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，同理，函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)也是周期函数.梳理 由sin(x＋2kπ)＝ ，cos(x＋2kπ)＝ (k∈Z)知，y＝sin x与y＝cos x都是 函数， 都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 .sin xcos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2π知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于x∈R，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性.梳理 (1)对于y＝sin x，x∈R，恒有sin(－x)＝－sin x，所以正弦函数y＝sin x是 函数，正弦曲线关于 对称.
(2)对于y＝cos x，x∈R，恒有cos(－x)＝cos x，所以余弦函数y＝cos x是
函数，余弦曲线关于 对称.奇原点偶y轴[思考辨析 判断正误]
1.函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，所以f(x)＝x2是以6为周期的周期函数.( )
提示 周期函数需满足对定义域内每一个值x，都有f(x＋T)＝f(x)，对于f(x)＝x2，f(0)＝0，f(0＋6)＝f(6)＝36，f(0)≠f(0＋6)，∴f(x)＝x2不是以6为周期的周期函数.
2.周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R).( )
提示 周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.
3.任何周期函数都有最小正周期.( )
提示 常函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.答案提示×××题型探究类型一 三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.解答函数f(x)＝sin z的最小正周期是2π，
即变量z只要且至少要增加到z＋2π，
函数f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得.(2)y＝|sin x|(x∈R).解答解 因为y＝|sin x|其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟 对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的
求法常直接利用T＝ 来求解，对于y＝|Asin ωx|的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1 (2017·大同检测)下列函数是以π为周期的函数是
A.y＝sin x B.y＝sin x＋2
C.y＝cos 2x＋2 D.y＝cos 3x－1答案解析√类型二 三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.解答解 f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.∴f(x)既是奇函数又是偶函数.解答反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(x)与f(－x)的关系.
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 若函数y＝cos(ωx＋φ)是奇函数，则
A.ω＝0 B.φ＝kπ(k∈Z)
C.ω＝kπ(k∈Z) D.φ＝kπ＋答案解析解析 由函数y＝cos(ωx＋φ)是奇函数，
可知y＝cos(ωx＋φ)＝sin ωx或y＝cos(ωx＋φ)＝－sin ωx，
由诱导公式，得φ＝kπ＋ (k∈Z).√类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用解 ∵f(x)的最小正周期是π，又∵f(x)是R上的偶函数，解答解答∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理，可得每连续六项的和均为0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＝f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.答案解析∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)
＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)
＝336×0＋f(1)＋f(2)达标检测答案解析1.(2017·金华十校期末)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)，则f(x)的奇偶性
A.与ω有关，且与φ有关 B.与ω有关，但与φ无关
C.与ω无关，且与φ无关 D.与ω无关，但与φ有关12345解析 因为当φ＝kπ，k∈Z时，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)＝±cos ωx，为偶函数；√＝±sin ωx，为奇函数.
所以f(x)的奇偶性与ω无关，但与φ有关.A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数答案解析12345√∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.答案解析12345±π答案解析12345123455.(2017·广州六中期末)已知函数f(x)＝ax＋bsin x＋1，若f(2 018)＝7，则f(－2 018)＝________.解析 由f(2 018)＝2 018a＋bsin 2 018＋1＝7，
得2 018a＋bsin 2 018＝6，
∴f(－2 018)＝－2 018a－bsin 2 018＋1
＝－(2 018a＋bsin 2 018)＋1＝－6＋1＝－5.－5答案解析1.求函数的最小正周期的常用方法
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝
2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.课件41张PPT。1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)第一章 §1.4 三角函数的图象与性质学习目标
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线.
正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是 .
对于正弦函数y＝sin x，x∈R，有：
当且仅当x＝_____________时，取得最大值1；
当且仅当x＝________________时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cos x，x∈R，有：
当且仅当x＝ 时，取得最大值1；
当且仅当x＝ 时，取得最小值－1.[－1,1]2kπ，k∈Z(2k＋1)π，k∈Z知识点二 正弦、余弦函数的单调性答案 观察图象可知：推广到整个定义域可得思考2 观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象.余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？y＝cos x的增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z.梳理 [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z2kπ，k∈Zπ＋2kπ，k∈Z[思考辨析 判断正误]
1.正弦函数在定义域上是单调函数.( )
提示 正弦函数不是定义域上的单调函数.
2.正弦函数在第一象限是增函数.( )答案提示××3.存在实数x，使得cos x＝ .( )
提示 余弦函数最大值为1.
4.余弦函数y＝cos x在[0，π]上是减函数.( )
提示 由余弦函数的单调性可知正确.答案提示×√题型探究类型一 求正弦、余弦函数的单调区间解答因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区间，反思与感悟 用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.解答所以函数f(x)的单调递增区间是类型二 正弦、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小
例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
(1)sin 196°与cos 156°；解答解 sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，
∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.解答反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.跟踪训练2 cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________________.(用“>”连接)答案解析解析 由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2
>cos 3.cos 1>cos 2>cos 3解答命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围反思与感悟 此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围.答案解析√类型三 正弦、余弦函数的值域或最值解答反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质.
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域).
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).
(3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论.解答若a＝0，不满足题意.达标检测答案解析1.函数y＝cos x－1的最小值是
A.0 B.1 C.－2 D.－112345解析 cos x∈[－1,1]，所以y＝cos x－1的最小值为－2.√2.函数y＝sin 2x的单调递减区间是 答案解析12345√答案解析123453.下列不等式中成立的是 √即sin 2>cos 1.故选D.答案解析123454.函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________.(－π，0]解析 因为y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}.解答2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
3.求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.课件43张PPT。1.4.3 正切函数的性质与图象第一章 §1.4 三角函数的图象与性质学习目标
1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.
2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.
3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 正切函数的性质思考1 正切函数的定义域是什么？答案 周期性.答案 奇偶性.答案 是.Rπ奇知识点二 正切函数的图象思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？(1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆.
(2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线.
(3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度).
(4)连线，得到如图①所示的图象.梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征
正切曲线是被相互平行的直线x＝ ＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.[思考辨析 判断正误]
1.函数y＝tan x在其定义域上是增函数.( )答案提示2.函数y＝tan x的图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z).( )××3.正切函数y＝tan x无单调递减区间.( )答案提示×√题型探究类型一 正切函数的定义域、值域问题答案解析解答反思与感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解.解答又y＝tan x的周期为π，类型二 正切函数的单调性问题命题角度1 求正切函数的单调区间解答解答命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小
例3 比较大小：
(1)tan 32°____tan 215°；解析 tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，
∵y＝tan x在(0°，90°)上单调递增，32°<35°，
∴tan 32°(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；
(2)运用单调性比较大小关系.答案解析>类型三 正切函数综合问题解答(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；解答(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.解答跟踪训练4 画出f(x)＝tan |x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性.解 f(x)＝tan |x|化为根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan |x|的图象，如图所示，达标检测答案12345√A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数答案解析12345√答案12345√答案123454.将tan 1，tan 2，tan 3按大小顺序排列为______________.(用“<”连接)tan 21.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响.
2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响思考1 如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？答案 向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度.梳理 如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向 (当φ>0时)或向 (当φ<0时)平行移动___
个单位长度而得到的.左右|φ|知识点二 ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响答案 2π，π，4π.思考2 当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？思考3 函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？答案 可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图象即可.梳理 如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标 (当ω>1时)或 (当0<ω<1时)到
原来的____倍(纵坐标 )而得到.缩短伸长不变知识点三 A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响梳理 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标 (当A>1时)或 (当0若将本例中“横坐标伸长为原来的5倍”改为“纵坐标伸长为原来的5
倍”，其它条件不变，则可得到函数解析式为____________.答案反思与感悟 对于函数y＝sin x，若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍，则
得到函数y＝ .若纵坐标伸长为原来的A(A>1)倍，则得到函数y＝Asin x，
两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换.答案y＝sin 2x类型三 图象变换的综合应用解答所以f(x)＝3cos x.反思与感悟 (1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法.
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可.答案√解析达标检测答案12345√解析答案12345√答案解析12345√12345答案解析12345y＝－cos 2x12345答案解析1.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条y＝Asin(ωx＋φ).注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位长度.(2)是先周期变换后相位变换，
平移 个单位长度，这是很易出错的地方，应特别注意.
2.类似地，y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到.课件44张PPT。§1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)第一章 三角函数学习目标
1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.
3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象思考1 用“五点法”作y＝sin x，x∈[0,2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？思考2 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？梳理 用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤
第一步：列表：第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质R[－A，A]奇偶知识点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义Aωx＋φφ[思考辨析 判断正误]×提示 振幅是2.×√答案提示题型探究类型一 用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象解答解 (1)列表：(2)描点画图：(2)作给定区间上y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象.解答列表如下：(2)描点，连线，如图所示.类型二 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式解答解 方法一 (逐一定参法)
由图象知振幅A＝3，方法二 (待定系数法)方法三 (图象变换法)反思与感悟 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第五点”为ωx＋φ＝2π.答案√(1)求φ的值；解答(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值.解答故函数的单调递增区间是反思与感悟 有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.(1)求函数的解析式；解答(2)求函数在x∈[－6,0]上的值域.解答达标检测答案12345√解析答案12345√2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是解析12345答案解析12345√12345答案解析12345√1234512345答案解析其中正确说法的序号是________.①②③123452.由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值.
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.课件31张PPT。§1.6 三角函数模型的简单应用第一章 三角函数学习目标
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.
思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？答案 三角函数模型.梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步：阅读理解，审清题意.
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.
第二步：收集、整理数据，建立数学模型.
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.
(2)三角函数模型的建立程序
如图所示：题型探究类型一 三角函数模型在物理中的应用解答例1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝(1)画出它的图象；列表：描点画图：解答(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？解 小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？解 小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.③小球来回摆动一次需要多少时间？解 小球来回摆动一次需要1 s(即周期).反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪训练1 如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为－5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零答案√解析解析 由图象及简谐运动的有关知识知T＝0.8 s，A＝5 cm，当t＝0.1 s及t＝0.5 s时，v＝0，故排除选项A，B，C.类型二 三角函数模型在生活中的应用例2 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；解答解 由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，
由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解答解 设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米.解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，
故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).反思与感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.解答(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解答则25≤t≤125.
故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m.达标检测1.弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的
A.频率为1.5 Hz B.周期为1.5 s
C.周期为6 s D.频率为6 Hz答案12345√解析解析 振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T＝1.5 s.答案12345A.5 A B.2.5 A C.2 A D.－5 A解析√答案解析12345答案解析123454.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的
变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为______________________.12345解析 根据题图设h＝Asin(ωt＋φ)，点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，12345解答(1)求实验室这一天的最大温差；12345又0≤t<24，于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.12345解答(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 依题意，当f(t)>11时实验室需要降温.即10故在10时至18时实验室需要降温.解三角函数应用问题的基本步骤课件52张PPT。章末复习第一章 三角函数学习目标
1.理解任意角的三角函数的概念.
2.掌握同角三角函数基本关系及诱导公式.
3.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象.
4.理解三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的性质.
5.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的 ，记作 ，即 ；
(2)x叫做α的 ，记作 ，即 ；正弦sin αsin α＝y余弦cos αcos α＝x正切tan α2.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系： .sin2α＋cos2α＝13.诱导公式
六组诱导公式可以统一概括为“k· ±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质[－1,1][－1,1]R{x|x∈R且x≠奇函数偶函数奇函数2π2ππ题型探究类型一 三角函数的化简与求值(1)化简f(α)；解答解答又∵α是第三象限角，解答反思与感悟 解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α，注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.解答(1)求tan α的值；因为α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0，解答类型二 三角函数的图象与性质(1)求函数f(x)的解析式；解答∴T＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ).解答函数y＝|f(x)|取得最大值1；函数y＝|f(x)|取得最小值0.反思与感悟 研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.答案解析√类型三 三角函数的最值或值域命题角度1 可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型解答反思与感悟 利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.答案解析√命题角度2 可化为sin x或cos x的二次函数型解答解 y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.答案解析1类型四 数形结合思想在三角函数中的应用解答解 sin2x－(2＋a)sin x＋2a＝0，
即(sin x－2)(sin x－a)＝0.
∵sin x－2≠0，∴sin x＝a，反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.答案解析π解析 记f(x)的最小正周期为T.可作出示意图如图所示(一种情况)，达标检测答案12345解析√答案12345√解析12345√答案解析12345四个选项中只有A符合，故选A.答案解析123452123451234512345(1)求函数f(x)的最小正周期；解答12345(2)求函数f(x)的单调递增区间；解答12345解答所以当x＝0时，f(x)取得最小值，三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.