课件37张PPT。第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征第一章 §1.1 空间几何体的结构学习目标
1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算．问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念思考 构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成哪几类？答案 构成空间几何体的基本元素是：点、线、面.常见几何体可以分为多面体和旋转体.梳理 定直线平面多边形公共边多边形知识点二 棱柱的结构特征四边平行形平行平行公共边公共顶点知识点三 棱锥的结构特征形多边三角形多边形三角形面公共边公共顶点知识点四 棱台的结构特征及棱柱、棱锥、棱台之间的关系于棱锥底面平行截面底面1.棱台的结构特征2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系1.棱柱的底面互相平行.( )
2.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.( )
3.若一个平行六面体的两个对角面都是矩形，则这个平行六面体一定是直平行六面体.( )
4.棱柱的各个侧面都是平行四边形.( )
5.棱柱的两个底面是全等的多边形.( )[思考辨析 判断正误]√×√√√题型探究命题角度1 棱柱的结构特征
例1 下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行.
其中正确说法的序号是_____.类型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征答案解析 (1)错，底面可以不是平行四边形；
(2)错，底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义可知.(3)解析反思与感悟 棱柱结构特征的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；
②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.跟踪训练1 下列说法正确的是
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.棱柱的侧棱总与底面垂直
D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形解析答案√解析 选项A，B都不正确，反例如图所示，
C错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不垂直.
根据棱柱的定义知D正确.命题角度2 棱锥、棱台的结构特征
例2 (1)下列三种叙述，正确的有
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析答案√解析 ①中的平面不一定平行于底面，故①错；
②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错.故选A.(2)下列说法中，正确的是
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；
③棱锥的侧棱平行.
A.① B.①② C.② D.③解析答案√解析 由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；
四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；
棱锥的侧棱交于一点不平行，故③错.反思与感悟 判断棱锥、棱台的方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法跟踪训练2 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是______.解析答案解析 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.①②例3 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.类型二 多面体的识别和判断解答(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？解 是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.解答解 截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.引申探究
把本例3的几何体换成如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.解 截面以上的几何体是三棱柱AEF－A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC－B1HGC1.解答反思与感悟 解答识别和判断多面体的题目的关键是正确掌握棱柱的几何特征，在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置.跟踪训练3 如图所示，关于该几何体的正确说法有__________.(填序号)
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.解析答案①③④⑤解析 ①正确，因为有六个面，属于六面体的范畴；
②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；
③正确，若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；
④⑤都正确，如图所示.例4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线.类型三 多面体的平面展开图解答解 沿长方体的一条棱剪开，使A和C1在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
(1)若将C1D1剪开，使点A，B，C1，D1在一个平面内，(2)若将AD剪开，使点A，D，C1，B1在一个平面内，(3)若将CC1剪开，使点A，A1，C，C1在一个平面内，反思与感悟 (1)多面体侧面上两点间的最短距离问题常常要归纳为求平面上两点间的最短距离问题，常见的解法是先把多面体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解.
(2)解答展开与折叠问题，要结合多面体的定义和结构特征，发挥空间想象能力，必要时可制作平面展开图进行实践.跟踪训练4 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解答解 ①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台.达标检测12341.下面多面体中，是棱柱的有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个 答案√5解析 根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.解析A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台2.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是 解析 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误.解析答案√123453.下列说法中正确的是
A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形解析 棱柱的两底面互相平行，故A正确；
棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；
立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；
由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形.但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.解析答案√123454.某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案) 解析 两个相同的图案一定不能相邻，故B，C，D错误，只有A正确.解析12345答案√5.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为____ cm.12345解析答案12解析 因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，1.棱柱、棱锥定义的关注点
(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有两个平面(底面)互相平行；
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.
(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有一个面(底面)是多边形；
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.
2.根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.课件31张PPT。第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征第一章 §1.1 空间几何体的结构学习目标
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.
3.了解简单组合体的概念及结构特征.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 圆 柱思考 圆柱是比较常见的一类旋转体，那么，它是怎样形成的？答案 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体.梳理 旋转轴矩形的一边垂直于轴平行于轴不垂直于轴知识点二 圆 锥一条直角边知识点三 圆 台垂直于底边的腰平行于圆锥底面底面和截面知识点四 球半圆面半圆的直径圆心半径直径(1)概念：由 组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的.
(2)基本形式：一种是由简单几何体 而成，另一种是由简单几何体 或 一部分而成.知识点五 简单组合体截去简单几何体拼接挖去1.直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.( )
2.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.( )
3.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.( )
4.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.( )[思考辨析 判断正误]×√××题型探究解析 ①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；
②它们的底面为圆面；
③④⑤正确.例1 下列说法正确的是________.
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；
④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；
⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.类型一 旋转体的结构特征答案③④⑤解析反思与感悟 (1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.跟踪训练1 下列说法，正确的是
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.
A.①② B.②③ C.①③ D.②④解析答案√解析 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误.解 以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥，以AD为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示.例2 直角梯形ABCD如图所示，分别以CD，DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状.类型二 简单组合体解答引申探究
本例中直角梯形分别以AB，BC所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状.解 以AB为轴旋转可得到一个圆台，以BC为轴旋转可得一个圆柱和圆锥的组合体，如图所示.解答反思与感悟 (1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状.跟踪训练2 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括
A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥解析答案√解析 图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，
以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥.例3 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；类型三 旋转体的有关计算解答解 圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知腰长为12 cm， (2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.解答解 如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，解得l＝20(cm).
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思与感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.跟踪训练3 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度.解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，
由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，
故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.解答故铁丝的最短长度为5π cm.达标检测12341.下列几何体是台体的是 答案√5解析 台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，
B的错误在于截面与圆锥底面不平行.
C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.解析图12.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图1中的几何体的是 解析 由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，故B正确.解析答案√123453.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是
A.圆柱 B.圆台
C.球体 D.棱台解析 圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.解析答案√12345解析 如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，解析12345答案2∴AB＝2.故圆锥的母线长为2.5.一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？解 (1)，(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；
图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；
图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内.12345解答1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.球面、球体的区别和联系3.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.
4.处理组合体问题常采用分割思想.
5.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.课件34张PPT。1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图第一章 §1.2 空间几何体的三视图和直观图学习目标
1.了解中心投影和平行投影.
2.能画出简单空间图形的三视图.
3.能识别三视图所表示的立体模型.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 投影的概念(1)定义：由于光的照射，在 物体后面的屏幕上可以留下这个物体的 ，这种现象叫做投影.
(2)投影线： .
(3)投影面： .影子不透明光线留下物体影子的屏幕知识点二 投影的分类一点交于一点交于一点平行正投影斜投影(1)定义知识点三 三视图(2)三视图的画法规则
① 视图都反映物体的长度——“长对正”；
② 视图都反映物体的高度——“高平齐”；
③ 视图都反映物体的宽度——“宽相等”.
(3)三视图的排列顺序：先画正视图，侧视图在正视图的 ，俯视图在正视图的 . 俯、侧正、俯正、侧右边下边1.直线的平行投影是直线.( )
2.圆柱的正视图与侧视图一定相同.( )
3.球的正视图、侧视图、俯视图都相同.( )[思考辨析 判断正误]××√题型探究例1 下列说法正确的是
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.平行投影与中心投影的投影线均互相平行
C.两条相交直线的投影可能平行
D.如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必
是这条线段投影的中点类型一 中心投影与平行投影解析答案√解析 平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A不正确.
平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B不正确.
无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C不正确.
两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确.反思与感悟 (1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.
(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影.跟踪训练1 如图1所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图2中的________.(填序号)解析答案①②③解析 要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A，G，F，E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的.
在平面ABCD和平面A1B1C1D1上的投影是图①；
在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的投影是图②；
在平面ABB1A1和平面DCC1D1上的投影是图③.解析 显然从左边看到的是一个正方形，因为割线AD1可见，所以用实线表示；而割线B1C不可见，所以用虚线表示.故选B.命题角度1 三视图的判断
例2 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为 类型二 三视图的识别与画法解析答案√反思与感悟 根据空间几何体的直观图找三视图可以直接进行，找正视图就从正面看过去，找侧视图就从左边向右边看去，找俯视图就从上面向下面看去.注意能看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示.跟踪训练2 一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是____.(填序号)解析答案解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此填②.②命题角度2 画几何体的三视图
例3 画出如图所示的几何体的三视图.解答解 正四棱锥的三视图如图所示，解答解 反思与感悟 画三视图的注意事项：
(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐.
(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方.
(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.跟踪训练3 如图是同一个圆柱的不同放置，阴影面为正面，分别画出它们的三视图.解 三视图如图所示.
(1) 解答(2) 解 几何体为三棱台，结构特征如下图：例4 (1)说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.类型三 由三视图还原几何体解答(2)根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图.解答解 此几何体上面为圆台，下面为圆柱，所以实物草图如图所示.反思与感悟 (1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体.若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体.
(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体，若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体.跟踪训练4 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是什么？它的高与底面面积分别是多少？解 由三视图可知，该几何体为三棱锥(如图)，AC＝4，BD＝3，高为2.解答达标检测12341.一条直线在平面上的平行投影是
A.直线 B.点
C.点或直线 D.线段答案√5解析 当投影线与该直线平行时直线的平行投影为一个点；当投影线与该直线不平行时，直线的平行投影为一条直线.解析2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 解析 从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的.解析答案√123453.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是
A.球 B.三棱锥
C.圆柱 D.正方体解析 球的正视图、侧视图和俯视图均为圆，且形状相同，大小相等；
三棱锥的正视图、侧视图和俯视图可以为全等的三角形；
正方体的正视图、侧视图和俯视图均为正方形，且形状相同，大小相等；
圆柱的正视图、侧视图和俯视图不可能形状相同，故选C.解析答案√123454.某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是 解析 由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.解析12345答案√5.有一个正三棱柱(俯视图为正三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为____.2,412345解析答案1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.2.画组合体的三视图的步骤特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示.课件39张PPT。1.2.3 空间几何体的直观图第一章 §1.2 空间几何体的三视图和直观图学习目标
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 斜二测画法思考 边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？答案 A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝ AD.梳理 水平放置的平面图形的斜二测画法
(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则水平面45°135°x′轴或y′轴的线段保持原长度不变一半(2)立体图形直观图的画法规则
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度 ，其他同平面图形的画法.不变1.用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( )
2.用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变.( )
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.( )[思考辨析 判断正误]×××题型探究例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图.类型一 平面图形的直观图解答(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝ OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)所示.
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)所示. 解 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示.引申探究
例1中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图.解答(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝ OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. 反思与感悟 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.跟踪训练1 已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图.解答解 画法：
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.解 (3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝ OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝ GA，H′D′＝ HD.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3)).例2 如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝ C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.类型二 直观图的还原与计算解答解 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2， 反思与感悟 (1)由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.跟踪训练2 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是 解析答案√(2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是______.(填四边形的形状)解析答案菱形∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形.例3 如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.类型三 空间几何体的直观图解答解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图1所示.
(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′轴、y′轴，z′轴，使∠x′O′y′＝45°如图2所示，在z′上取点V′，使得V′O的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图2.
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3. 反思与感悟 空间几何体的直观图的画法：
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向.
(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.跟踪训练3 用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)解答 解 画法：
(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，
画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝ MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且等于EF；
③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.
(3)成图.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3).达标检测12341.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点答案√5解析 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.解析2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的 解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.解析答案√123453.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的 解析 在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的 ，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为C.解析答案√123454.有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为_____cm2.12345答案解析5.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.12345解答12345解 (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图(1)所示，
画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示.12345(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图.1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.
2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住“一斜”、“二测”两点：
(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox，Oy轴，在直观图中画成O′x′，O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.
(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.课件39张PPT。1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积第一章 §1.3 空间几何体的表面积与体积学习目标
1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积特别提醒 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
①将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.展开图知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积2πr22πrl2πr(r＋l)πr2πrlπr(r＋l)π(r′l＋rl)πr′2πr2π(r′2＋r2＋r′l＋rl)知识点三 柱体、锥体与台体的体积公式底面积高底面积高上、下底面面积高1.锥体的体积等于底面面积与高之积.( )
2.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )
3.斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长.( )[思考辨析 判断正误]×√×题型探究例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积.类型一 柱体、锥体、台体的侧面积解答解 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.反思与感悟 空间几何体的表面积的求法技巧：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练1 (1)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A.20π B.24π
C.28π D.32π 解析答案√解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，
所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.(2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积.解答解 如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，
由于扇环的圆心角是180°，
则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20 cm.
同理可得SB＝40 cm.
所以AB＝SB－SA＝20 cm.
所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2). 例2 (1)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 类型二 柱体、锥体、台体的体积解析答案√解析 该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，(2)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.9 B.10 C.11 D. 解析解析 由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，答案√所以V＝4×3－1＝11.反思与感悟 (1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解.
(2)求以三视图为背景的几何体的体积.应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.跟踪训练2 已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________.解析答案解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，
则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π.
∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π.命题角度1 等体积变换法
例3 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.类型三 几何体体积的求法解答解 由 ，又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，引申探究
例3中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1－EBFD1的体积解答所以四边形EBFD1是菱形.
连接EF，则△EFB≌△FED1.
因为三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－FED1的高相等，
所以 .反思与感悟 四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.跟踪训练3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.解答 解 在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，∵ ，命题角度2 割补法求体积
例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.解答 ∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.反思与感悟 割补法是求不规则几何体体积的常用求法，解此类题时，分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体，且体积易求.跟踪训练4 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为
A.5π B.6π
C.20π D.10π 答案√解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，
则圆柱的体积为π×22×5＝20π，
故所求几何体的体积为10π.解析达标检测12341.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是 答案√5解析 设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，
由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.
S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，解析答案√12345解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，解析3.已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为 底面三角形的高为3，设底面正三角形的边长为a，解析答案√123454.若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为______.解析12345答案216π∵r∶R＝3∶8，
∴r＝3，R＝8.
S侧＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π，
则表面积为143π＋π×32＋π×82＝216π.解析 设圆台上底与下底的半径分别为r，R，5.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为_____.12345解析答案解析 1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.
2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.
3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).
4.对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同.
(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积. 课件32张PPT。1.3.2 球的体积和表面积第一章 §1.3 空间几何体的表面积与体积学习目标
1.掌握球的表面积和体积公式.
2.能解决与球有关的组合体的计算问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 球的表面积和体积公式1.球的表面积公式 (R为球的半径)；
2.球的体积公式V＝ πR3.S＝4πR21.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.( )
2.两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( )
3.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.( )[思考辨析 判断正误]××√题型探究例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；类型一 球的体积和表面积解答解 设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.反思与感悟 (1)公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.
(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.跟踪训练1 (1)两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为 解析答案√(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为_____.解析 由两球的体积之比为8∶27，
可得半径之比为2∶3，
故表面积之比是4∶9.解析 设大球的半径为R，由题意得例2 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为____.类型二 与球有关的三视图问题解析答案4π解析 由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和，因为R＝1，反思与感悟 (1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积与体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆.
(2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠和交叉等.跟踪训练2 已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为 解析答案解析 由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得√命题角度1 球的截面问题
例3 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器的厚度，则球的体积为 类型三 球的截面及切接问题解析答案√解析 如图，作出球的一个截面，设球的半径为R cm，
则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，
∴R＝5.反思与感悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题.
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.跟踪训练3 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的表面积为______. 解析答案12π解析 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，命题角度2 与球有关的切、接问题
例4 (1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为 解析答案√解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1， 解析答案解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，9π反思与感悟 (1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.
(2)球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的
中点，过球心作正方体的对角面有
r2＝ a，如图②.(3)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝
，如图③.
(4)正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝ a.
(5)正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝ a. 跟踪训练4 (1)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 答案√解析 答案√解析解析 如图所示，将正四面体补形成一个正方体.
设正四面体的棱长为a.又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R，达标检测12341.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于
A.3 B.2
C.1 D.答案√5解析2.一个球的表面积是16π，则它的体积是 答案√12345解析 设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.解析3.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 解析 由题意可得，设球的半径为r，
依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，解析答案√12345解得r＝3，故选B.4.两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为
A.1 B.2
C.3 D.4解析12345所以R1－R2＝2.解析 设两球半径分别为R1，R2，且R1>R2，答案√5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_____.12345解析答案3π3.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.课件32张PPT。章末复习第一章 空间几何体学习目标
1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.
2.能熟练画出几何体的直观图或三视图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面图化空间为平面的方法.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.几何体的概念、侧面积与体积互相平行四边形互相平行多边形有一个公共顶点平行于棱锥底面矩形的一边一条直角边平行于圆锥底面底面和截面半圆的直径半圆面2.空间几何体的三视图与直观图
(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
它包括正视图、侧视图、俯视图三种.画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出.熟记常见几何体的三视图.画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验.(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：
①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段：平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.
三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化.
(3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面
①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段.
②等积变换，如三棱锥转移顶点等.
③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等.1.菱形的直观图仍是菱形.( )
2.正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.( )
3.多面体的表面积等于各个面的面积之和.( )
4.简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( )[思考辨析 判断正误]××√√题型探究例1 下列说法正确的是_____.(填序号)
①棱柱的侧棱长都相等；
②棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面；
③夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；
④棱台的侧面是等腰梯形.类型一 几何体的结构特征解析答案解析 ②不正确，例如六棱柱的相对侧面；
③不正确，如图；
④不正确，侧棱长可能不相等. ①反思与感悟 与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，要说明一个说法是错误的，只要举出一个反例即可.跟踪训练1 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.
(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的是__________；
(2)等腰梯形沿着过两底边中点的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形是_____；
(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是___________________________.答案正六棱柱圆台一个圆锥和一个圆柱的组合体例2 (1)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为 类型二 直观图与三视图解析解析 由正视图和俯视图可得该几何体如图所示，故选B.答案√(2)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 解析解析 该四棱锥的直观图是如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，
且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1，
所以四棱锥中最长棱为VD，连接BD，答案√反思与感悟 (1)空间几何体的三视图遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线用虚线表示.
(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段，平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.跟踪训练2 (1)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为 解析答案解析 由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上半部分的圆锥比下半部分的圆锥高，所以正视图应为B.√(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 解析答案解析 A的正视图如图(1)；
B的正视图如图(2)，故均不符合题意；
C的俯视图如图(3)，也不符合题意，故选D.√例3 如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.类型三 空间几何体的表面积和体积解答解 所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的，
∵S锥表＝πR2＋πRl1＝4π＋8π＝12π，反思与感悟 1.空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.跟踪训练3 如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为 解析答案√达标检测12341.关于几何体的结构特征，下列说法不正确的是
A.棱锥的侧棱长都相等
B.三棱台的上、下底面是相似三角形
C.有的棱台的侧棱长都相等
D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线答案√5解析解析 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是
A.圆柱 B.圆锥
C.四面体 D.三棱锥答案√123453.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 解析答案√12345解析 由三视图可知该几何体是个四棱柱.
棱柱的底面为等腰梯形，高为10.
等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5.
所以梯形的面积为 ×4＝20，梯形的周长为2＋8＋2×5＝20.
所以四棱柱的表面积为20×2＋20×10＝240.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A.180 B.200
C.220 D.240 解析12345答案√5.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，
则V1∶V2的值为_____.解析 设三棱柱的高为h，∵F是AA1的中点，∵D，E分别是AB，AC的中点，12345解析答案1.研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决.
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常是通过截面把空间问题转化为平面问题解决.
