《5.5 三角形内角和定理》
三角形的内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，并且是计算角的度数的方法之一。在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。其中辅助线的作法、把新知识转化为旧知识、用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础，三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。
【知识与能力目标】
掌握“三角形内角和定理”的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题.
【过程与方法目标】
通过学生猜想动手实验，互相交流，师生合作等活动探索三角形内角和为180度，发展学生的推理能力和语言表达能力。对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。逐渐由实验过渡到论证。通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展.
【情感态度价值观目标】
通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习数学的兴趣。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流.
【教学重点】
三角形内角和定理的证明思路及应用
【教学难点】
三角形内角和定理的证明方法
教学过程
1、提出问题
我们知道三角形的内角和等于180°，即三角形三个内角和等于平角，你能用剪纸拼图的方法验证这个结论吗？
教师引导学生用准备好的三角形硬纸片剪纸拼图，如图，把∠A剪下放在∠1位置上，∠B剪下放在∠2位置上，较直观得到三角形内角和是180°。
教师指出：这只是实验得出的命题，不能当做定理，只有经过严格的几何证明，证明命题的正确性，才能作为几何定理，今后，在几何里，常采用这种方法得到新知识。
那么如何证明此命题是真命题呢？能否用学过的旧知识来证明呢？
2、教师引导
要证三角形三个内角和是180°，观察图形，三个角间没什么关系，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？
学生思考与180°有关的角后回答，可拼成：①平角，②两平行线间的同旁内角。教师引导，要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？下面同学们利用准备好的3三角形纸片拼一拼，画一画。
3、学生通过自主探究，可以得出以下几种辅助线的作法（教师演示课件）
①如图，延长BC得到一平角∠BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画∠1=∠A。
②如图，延长BC，过C作CE∥AB
③如图，过A作DE∥AB
学生可能还有其它画法。
“抓住根本” 抓住“把三个角‘搬’到一起，让三个顶点重合、两条边形成一条直线，以便利用平角的定义”这一基本思想，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点；可以把三个角集中到三角形的某一边上；可以把三个角集中到三角形的内部的一点；可以把三个角集中到三角形的外部的一点。学数学要善于抓住不变的根本，又要灵活地在变化中认识、处理和解决问题。让学生学会“抓住根本”，而不在于有几种证明方法。培养学生的推理与证明能力。
［师］好，下面同学们来证明一下：三角形的内角和等于180°这个真命题。
这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？
［生］需要先画出图形，根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证。
［师］对，下面大家来证明，哪位同学能把证明过程叙述一下？（学生边叙述证明过程，边观看课件上的分析和证明过程）
［生甲］已知，如图11-4，△ABC,
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB。则
∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）
∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1平角=180°）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了射线CE、CD，使处于原三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了。为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理。
即：三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°
你能用其他添加辅助线的方法，证明三角形内角和定理吗？（找学生板演图11-5，11-6的证明过程。）
从图11-4及三角形内角和定理，你还发现了什么？
由∠ACE=∠A，∠ECD=∠B，可知∠ACD=∠A+∠B，
所以∠ACD﹥∠A , ∠ACD﹥∠B
挑战自我
例1.求出下列图中x的值:
例2 已知：AB与CD相交于点O，
求证：∠A+∠C=∠B+∠D
练习：
1、一个三角形最多有 个直角，最多有 个钝角。
2、在△ABC中，若∠A+∠B=2∠C，则∠C= .
3、若一个三角形的三个内角之比为2：3：4，则这三个内角的度数为
4、如图：∠α= 。
新知讲解
三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
推论1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
推理2 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
练一练:求下列各图中∠1的度数。
例2：如图，在△ABC中，已知∠ABC=38°，∠ACB=62°，AD平分∠BAC。求∠ADB的度数。
练习：
已知:如图所示.求证:(1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
课件17张PPT。CC你还记得这个结论的怎么得到的吗?量折拼三角形的内角和等于180° 如果不剪下角，你能通过作图的方法达到移动角的效果吗？来证明呢？拼 以小组为单位，讨论交流方法？议一议 在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?ABC这里的PQ成为辅助线，辅助线通常画出虚线方 法 一方 法 二友情提示:延长线段BC到D,过点C
作CE∥AB,你能证明吗？友情提示：过顶点A作BC的平行线AD方 法 三 1ABDC思路总结 为了证明三个角的和为180°, 把问题转化为一个平角,同旁内角互补,或者其它方法.这种转化思想是数学中的常用方法.通过证明
我们明白，“三角形的内角的和等于180°”是一个真命题，
并且，常被选作解决其他问题的依据，
所以，把它称之为_______。定理 求出下列图中x的值: x °x °x °x °x °2 x ° x °┐ x ° 150°┐ 例1 已知：AB与CD相交于点O，
求证：∠A+∠C=∠B+∠D 证明：
在△AOC中，
∠A+∠C+∠AOC=180°（三角形内角定理）
在△BOD中，
∠B+∠D+∠BOD=180°（三角形内角和定理）
∴ ∠ A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠BOD（等量代换）
∵ ∠AOC=∠BOD（对顶角相等）,
∴ ∠A+∠C=∠B+∠D1、一个三角形最多有 个直角，最多
有 个钝角。
2、在△ABC中，若∠A+∠B=2∠C，则∠C= .
3、若一个三角形的三个内角之比为2：3：4，则 这三个内角的度数为 。
4、如图：∠α= 。
480α44032011600280400800600D三角形的外角： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图：∠ACD就是三角形ABC的一个外角。
1 2 4 三角形的外角与三角形的内角之间有怎样的数量关系?外角A
3B CD相邻的内角：不相邻的两内角：每个外角与相邻的内角是邻补角．∠4与∠1，∠3有什么数量关系？
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形外角的性质：数学语言：
∵ ∠1是 △ABC的外角
∴∠1=∠2+∠3;数学语言：
∵ ∠1是 △ABC的外角
∴∠1>∠2,∠1>∠3.三角形的一个外角大于与
它不相邻的任何一个内角.定理：三角形三个内角的和等于180°三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.由基本事实或定理直接推出的
真命题叫做推论推论推论和定理一样都可以直接运用.练一练:求下列各图中∠1的度数。例2：如图，在△ABC中，已知∠ABC=38°，
∠ACB=62°，AD平分∠BAC。求∠ADB的度数。ABCD精讲点拨已知:如图所示.
求证:(1)∠BDC>∠A;
(2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.一试身手
