人教A版高中数学必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率（教师版+学生版）教师版
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率（教师版+学生版）教师版 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 96.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-08-18 10:37:03 | ||
图片预览
文档简介
解析几何初步
直线与直线方程
【学习目标】
学习重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念。
学习难点：过两点的直线斜率的计算公式的应用。
考点1 直线的确定及直线的倾斜角
阅读教材，完成下列问题：
直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的 和这条直线的 。
【答案：一个点，方向】
2. 直线的倾斜角：①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把 按 方向绕着交点旋转到和直线l 所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示。②范围： 。
【答案：x轴(正方向)，逆时针，重合，0°≤α<180°】
随堂练1：
如下图中标注的α表示直线l的倾斜角的是( )
A.① B.①② C.①③ D.②④
【答案A】
考点2 直线的斜率
阅读教材，完成下列问题：
1.直线的斜率与斜率的计算公式：
①直线的斜率：
直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k＝
②经过两点的直线斜率的计算公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝
【答案：tanα，不存在， 】
2. 斜率与倾斜角的关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝
90°＜α＜180°
斜率(范围)
不存在
【答案：k＝0，k＞0，90°，k＜0】
随堂练2:
一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A.α B.180°－α C.180°－α或90°－α D.90°＋α或90°－α
【答案D】
解析：如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
随堂练3:
(1)已知点A ( 4，－5)，B ( 2，－3)，则直线AB的斜率kAB＝________；
(2)已知过A ( 3,1)，B ( m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________.
【答案 -1，0】
解析：(1)kAB＝＝＝－1.
(2)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在.
当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0.
【方法总结】
1、求直线倾斜角的方法及两点注意：
(1)方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解.
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
2、求直线的斜率有两种思路：
当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在。求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围。
利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线?kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在。的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题。
课 时 作 业
1、设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，有下列四个选项：①α＋45°；②α＋135°；③α－45°；④135°－α，则直线l1的倾斜角可能的取值是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【答案B】
解析：当α≥45°时，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1的倾斜角为α－45°；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α，故选B。
2、已知直线l经过两点P1(2，1)和P2(m，2)(m∈R)。
(1)求直线l的斜率；
(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值。
【答案及解析】
(1)当m＝2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在.
当m≠2时，直线l的斜率k＝＝.
(2)∵α＝45°，∴k＝tan α＝1，
∴＝1，即m－2＝1，∴m＝3.
3、若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值。
【答案k＝6】
解析 ∵A，B，C在同一条直线上，∴kAB ＝ kBC ，
∴＝，解得k＝6。
4、已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)。
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围。
答案解析：(1)由斜率公式得：
kAB＝＝0，kBC＝＝，
kAC＝＝.
∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°；
tan 60°＝，∴BC的倾斜角为60°；
tan 30°＝，∴AC的倾斜角为30°。
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，
即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围是.
5、已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(3,1)且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围。
答案解析：如图所示，设直线l，PA，PB的倾斜角分别是α，α1，α2.
当l与线段AB相交时，有0＜α2≤α≤α1＜，则tan α2≤tan α≤tan α1，
∴kPB≤k≤kPA。又kPA＝＝4，kPB＝＝，∴≤k≤4，即直线l的斜率的取值范围是 。
6、如图，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率 。
答案解析：如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为D和E，则有OE＝ED＝DA＝1，CE＝BD＝1，所以C(1,1)，B(2,1)，A(3,0)，所以kOC＝＝1，kOA＝kBC＝0，所以OA，BC，CO三边所在直线的倾斜角分别为0°，0°，45°.又OC与AB倾斜角互补，则直线AB的倾斜角为180°－45°＝135°.
直线与直线方程
【学习目标】
学习重点：理解直线的倾斜角和斜率的概念。
学习难点：过两点的直线斜率的计算公式的应用。
考点1 直线的确定及直线的倾斜角
阅读教材，完成下列问题：
直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的 和这条直线的 。
【答案：一个点，方向】
2. 直线的倾斜角：①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把 按 方向绕着交点旋转到和直线l 所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示。②范围： 。
【答案：x轴(正方向)，逆时针，重合，0°≤α<180°】
随堂练1：
如下图中标注的α表示直线l的倾斜角的是( )
A.① B.①② C.①③ D.②④
【答案A】
考点2 直线的斜率
阅读教材，完成下列问题：
1.直线的斜率与斜率的计算公式：
①直线的斜率：
直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k＝
②经过两点的直线斜率的计算公式：
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝
【答案：tanα，不存在， 】
2. 斜率与倾斜角的关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝
90°＜α＜180°
斜率(范围)
不存在
【答案：k＝0，k＞0，90°，k＜0】
随堂练2:
一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向的夹角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A.α B.180°－α C.180°－α或90°－α D.90°＋α或90°－α
【答案D】
解析：如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
随堂练3:
(1)已知点A ( 4，－5)，B ( 2，－3)，则直线AB的斜率kAB＝________；
(2)已知过A ( 3,1)，B ( m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________.
【答案 -1，0】
解析：(1)kAB＝＝＝－1.
(2)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在.
当m≠3时，k＝＝－＝1，解得m＝0.
【方法总结】
1、求直线倾斜角的方法及两点注意：
(1)方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解.
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
2、求直线的斜率有两种思路：
当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在。求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围。
利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线?kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在。的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题。
课 时 作 业
1、设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，有下列四个选项：①α＋45°；②α＋135°；③α－45°；④135°－α，则直线l1的倾斜角可能的取值是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【答案B】
解析：当α≥45°时，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1的倾斜角为α－45°；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α，故选B。
2、已知直线l经过两点P1(2，1)和P2(m，2)(m∈R)。
(1)求直线l的斜率；
(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值。
【答案及解析】
(1)当m＝2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在.
当m≠2时，直线l的斜率k＝＝.
(2)∵α＝45°，∴k＝tan α＝1，
∴＝1，即m－2＝1，∴m＝3.
3、若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值。
【答案k＝6】
解析 ∵A，B，C在同一条直线上，∴kAB ＝ kBC ，
∴＝，解得k＝6。
4、已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)。
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围。
答案解析：(1)由斜率公式得：
kAB＝＝0，kBC＝＝，
kAC＝＝.
∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°；
tan 60°＝，∴BC的倾斜角为60°；
tan 30°＝，∴AC的倾斜角为30°。
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，
即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围是.
5、已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(3,1)且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围。
答案解析：如图所示，设直线l，PA，PB的倾斜角分别是α，α1，α2.
当l与线段AB相交时，有0＜α2≤α≤α1＜，则tan α2≤tan α≤tan α1，
∴kPB≤k≤kPA。又kPA＝＝4，kPB＝＝，∴≤k≤4，即直线l的斜率的取值范围是 。
6、如图，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率 。
答案解析：如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为D和E，则有OE＝ED＝DA＝1，CE＝BD＝1，所以C(1,1)，B(2,1)，A(3,0)，所以kOC＝＝1，kOA＝kBC＝0，所以OA，BC，CO三边所在直线的倾斜角分别为0°，0°，45°.又OC与AB倾斜角互补，则直线AB的倾斜角为180°－45°＝135°.