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北师大版数学八年级下册6.4.1 多边形内角和与外角和(一)教学设计
课题 6.4.1 多边形内角和与外角和(一) 单元 第六章第4节第1课时 学科 数学 年级 八年级下
教材分析 《多边形内角和》选自北师大版义务教育教科书《数学》八年级下册第六章第四节《多边形及内角和与外角和》的第1课时。教学内容是多边形内角和定理的推导和应用。在教学中要运用转化思想，观察图形和运用代数方法计算的数形结合思想。
学情分析 学生已经学习了求三角形的内角和的方法，掌握了多边形有关概念，理解了多边形对角线。这为本节课的学习打下了一定的基础。在设计推导多边形内角和定理时首先采用作对角线将多边形化为若干个三角形的方法，然后再探索其他方法，这样比较符合学生的认知规律。
学习目标 （1）掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想（2）经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．
重点 探索多边形内角和公式。
难点 将多边形转化为三角形，并找出他们的关系，转化的数学思想方法的渗透。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：如图,对于一般的四边形它的内角和是否也等于360°？你是怎么得到的？（教师引导学生说出几种解题思路，并过度到本节课的知识点） 教学独立思考并回答问题； 培养学生的口头表达能力和语言组织能力。同时渗透类比思想。
讲授新课 活动探究一：小组活动，回答下列问题。（小组讨论，3min） 1.前面我们研究了平行四边形的性质和判定,上一节又研究了三角形的中位线定理,现在请同学们回忆一下,三角形的内角和是多少度 2.四边形的内角和呢 四边形的内角和是怎么得到的 3.下图中广场中心的边缘是一个五边形,你能设法求出它的五个内角的和吗 与同伴交流.【定义】在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形. 估计学生可能有以下几种方法：方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：5×180°-360°=540°。方法5：如图5，在AB上任取一点F，连结FD，则五边形的内角和为：2×360°-180°=540°。方法6：如图6，在五边开外任取一点O，连接OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：4×180°-180°=540°。归纳结论： 多边形的边数和三角形个数的关系？多边形内角和与三角形内角和的关系。结论：n边形内角和等于(n-2)×180°(n≥3的正整数) 例：如图6-24，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°， ∠B与∠D有怎样的关系？②正n 边形的内角是多少度？③剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 与同伴交流.？正n边形的内角是 (n-2)×180° /n 变式1：一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 变式2：若一个多边形增加一条边,那么它的内角和 ( ) A.增加180° B.增加360° C.减少360° D.不变 拓展提高：已知一个五边形的五个内角的度数的比是13∶11∶9∶7∶5,求这五个内角中的最大角和最小角. 作业布置：必做题：课本P154 随堂练习选做题：课本P155 习题6.7中1、2题 老师深入学生活动中指导倾听学生交流，在学生已学的知识基础和经验上引导学生添加辅助线转化为三角形。能否发现和概括边数和内角的关系；能否对关系进行质疑，感受数与形间的关系； 四边形为多边形中较简单的多边形，有利于探索它与三角形的关系，为多边形转化为三角形打基础；学生亲自操作，寻找数学结论有利于激发学习兴趣，体会解决问题方法的多样性，培养学生发散思维。探索过程中，发展学生分析问题、解决问题和推理问题能力。通过归纳，体会数与形间的相会联系，在交流合作中，感受合作的重要性。通过归纳，体会数与形间的相会联系，在交流合作中，感受合作的重要性。
课堂小结 1、多边形的内角和公式,即：n边形的内角和等于(n－2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.2、正n边形的内角是(n-2)×180°/n . 学生总结老师对学生的总结点评 总结对本节课的收获和体会，自主构建知识体系，锻炼学生的口头表达能力，培养学生的自信能心。
板书 6.4.1 多边形内角和与外角和 1、多边形的内角和公式(n－2)·180° 2、正n边形的内角是 (n-2)×180° /n
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6.4.1 多边形内角和与外角和(一)
北师大版 八年级下
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新知导入
如图,对于一般的四边形它的内角和是否也等于360°？你是怎么得到的？
思路2：把四个角剪下来，
可以拼成一个周角.
思路1：用量角器测量.
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新知导入
思路3：如图连接一条对角线，把四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和就是360°.
1.前面我们研究了平行四边形的性质和判定,上一节又研究了三角形的中位线定理,现在请同学们回忆一下,三角形的内角和是多少度
2.四边形的内角和呢 四边形的内角和是怎么得到的
3.下图中广场中心的边缘是一个五边形,你能设法求出它的五个内角的和吗 与同伴交流.
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新知讲解
活动探究一：小组活动，回答下列问题。（小组讨论，3min）
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新知讲解
【定义】在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.
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新知讲解
顶点
内角
边
对角线
(连接不相邻两个顶点的线段)
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新知讲解
A
B
C
D
E
我们知道，三角形的内角和是_____度,四边形的内角和是 度，那这个五边形的内角和呢？
你能动手做一做吗 你能想出几种不同的解法？
【想一想】
180
360
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新知讲解
A
B
C
D
E
180°×3 = 540°
五边形的内角和：
思路1
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新知讲解
E
A
B
C
D
O
180°× 5 – 360°= 540°
五边形的内角和：
思路2
还有其它的计算方法吗？
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新知讲解
五边形的内角和：
思路3：如图,在五边形的任意一边上取一点，则有180°×4=720°，再减去一个平角的度数，所以：720°-180°=540°.
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新知讲解
五边形的内角和：
思路4：如图4-4在五边形外取一点，则有180°×4=720°，再减去外部一个三角形内角和度数，所以720°-180°=540°.
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新知讲解
多边形 边数 分成三角形的个数 图形
内角和
计算规律
三角形
四边形
五边形
六边形
七边形
n边形
…
…
…
…
…
…
3
4
5
6
7
n
1
n-2
2
3
4
5
180°
360°
540°
720°
900°
(n－2)·180°
(n－2)·180°
(7－2)·180°
(6－2)·180°
(5－2)·180°
(4－2)·180°
(3－2)·180°
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新知讲解
定理：
从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形
从而得出：n 边形的内角和是(n-2) ·180° (n≥3的正整数)
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例：如图6-24，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°， ∠B与∠D有怎样的关系？
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D
=（4-2）×180°=360°
∴∠B+∠D
=360°-（∠A+∠B）
=360°-180°
=180°
新知讲解
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①正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
②正n 边形的内角是多少度？
活动探究二：小组活动，回答下列问题。（小组讨论，3min）
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如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形．如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等 ．
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①正三角形的内角为 =60°.
正四边形(正方形)的内角为 =90°.
正五边形的内角为 =108°.
新知讲解
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
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正六边形的内角为 =120°.
正八边形的内角为 =135°.
②正n边形的内角是 .
新知讲解
剪去一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？
这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流.
（1）如图所示，剪下一个角后，纸片剩下5个角，得到的五边形内角和为（5-2）×180°=180°.
议一议
新知讲解
（2）如图所示，剪下一个角后，纸片剩下4个角，
得到的四边形内角和为（4-2）×180°=360°.
新知讲解
（3）如图所示，剪下一个角后，纸片剩下3个角，得到的三角形内角和为180°.
新知讲解
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课堂练习
变式1：一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
C
变式2：若一个多边形增加一条边,那么它的内角和 ( )
A.增加180° B.增加360°
C.减少360° D.不变
A
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拓展提高
解:设这五个内角的度数分别为13x°,11x°,9x°,7x°,5x°.
∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴13x+11x+9x+7x+5x=540.
解得x=12.
∴最大角为13x°=156°,最小角为5x°=60°.
已知一个五边形的五个内角的度数的比是13∶11∶9∶7∶5,求这五个内角中的最大角和最小角.
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课堂总结
1、多边形的内角和公式,
即：n边形的内角和等于(n－2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.
2、正n边形的内角是 .
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板书设计
6.4.1 多边形内角和与外角和
1、多边形的内角和公式(n－2)·180°(n≥3的正整数)
2、正n边形的内角是
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作业布置
一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）.
A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能
D
作业布置
必做题：课本P154 随堂练习
选做题：课本P155 习题6.7中1、2题
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谢谢
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