(共22张PPT)
4.1 因式分解
北师大版 八年级下
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新知导入
1.整式乘法有几种形式
2.乘法公式有哪些
(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an
(3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2
(2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2
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新知导入
数学中的游戏
游戏规则：
1.大家说出一个大于1的正整数.
2.写出它的立方减它本身的式子.
如：
3.不通过计算，说出这个式子能被哪些正整数整除.
挑战自我
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新知讲解
活动探究一：993-99能被100整除吗 你是怎样想的？ 993-99还能被哪些正整数整除？（小组讨论，2min）
聪明的小明是这样做的:
993-99=99×992-99×1
=99×(992-1)
=99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98
所以, 993-99能被100整除.
解决问题的关键什么？
将数式993-99化成了99、100、98三个数的积的形式！
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新知讲解
1、你能尝试把a3-a的化成几个整式的乘积的形式吗？
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.
议一议
2、由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同
解：a3-a=a×a2-a×1
=a(a2-1)
=a(a+1)(a-1)
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新知讲解
活动探究二：阅读课本P92，观察做一做中的拼图，写出相应的式子。（小组讨论，2min）
观察下面拼图过程，写出相应的关系式
__________=_________
_________=___________
ma+mb+mc
(x+1)(x+1)
x2+2x+1
m(a+b+c)
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新知讲解
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。
要求：１.是一种恒等变形；
2.变形对象：是 ;
3.变形过程：由 变成 的形式；
4.变形的结果：是几个 的积；
5.分解结果中的每个因式不能再分。
多项式
和
积
整式
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新知讲解
下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解 为什么？
(1).a(x+y)=ax+ay
(2).10x2-5x=5x(2x-1)
(3).x2+4x+4=(x+2)2
(4).t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t
因式分解
整式乘法
因式分解
恒等变形
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新知讲解
结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。
通过刚才的学习你能说出因式分解与整式乘法它们之间有什么关系吗
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新知讲解
a2-b2
=(a+b)2
=m(a+b+c)
(a+b)(a-b)
(a+b)2
m(a+b+c)
=a2-b2
=a2+2ab+b2
=am+bm+cm
整式乘法
因式分解
整式的积
多项式
多项式
整式的积
a2+2ab+b2
am+bm+cm
=(a+b)(a-b)
互逆变形
新旧相联：整式乘法与因式分解
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新知讲解
观察与思考
(1). 1-x2
(2). 4x2-8x
(3). 1-4x2
(4). x2-14x+49
=(1+x)(1-x)
=4x(x-2)
=(1-2x)(1+2x)
=(x-7)2
分解下列因式，观察分解前多项式的次数与分解后每个因式的次数你有什么发现？
分解后，每个因式的次数都低于原来的多项式
因式分解的作用：
降次 即：将高次转化为低次
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新知讲解
3x(x-1)=_________
(m+4)(m-4)=__________
(y-3)2 = __________
m2 - 16
y2-6y+9
3x2-3x
m2-16= ( ) ( )
y2-6y+9= ( ) 2
3x2-3x = ( ) ( ) ma+mb-m = ( ) ( )
3x
X-1
m+4
m- 4
y - 3
你能发现这两组等式之间的联系和区别吗 它们的左右两边有何特点？
特点: 把单项式和的形式转化为几个整式的积的形式.
整式乘法特点：由整式积的形式转化成单项式和的形式.
右边这些式子称为什么运算呢？
m
a+b-1
m（a+b-1）=_________
ma+mb-m
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课堂练习
下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
(1) 2m(m－n)=2m2－2mn
(2) 5x2y －10xy2=5xy(x -2y)
(3) 4x2－4x+1=(2x－1 )2
(4) x2+x+1=x(x+1)+1
(6) x2+1=(x-1)(x+1)
不是整式
两边不相等
因式分解
因式分解
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课堂练习
否
是
否
否
是
否
下列式子从左到右的变形是否为因式分解？为什么
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课堂练习
(1)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。
(2)若a=89,b=-11, 求a2-2ab+b2值
(3)已知a-b=2，ab=7，求a2b-ab2的值。
解： a2-2ab+b2=(a-b) 2=(89+11)2 =10000；
解： a2b-ab2=ab(a-b)=14
解：a2-b2=(a+b)(a-b)= (101+99)(101-99)=400
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拓展提高
手工课上，老师给某同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这个同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？
a
a
b
b
a2-b2=(a+b)(a-b)
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课堂总结
二、因式分解要注意以下几点:
3.要分解到不能分解为止.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
1.分解的对象必须是多项式.
一、因式分解与整式乘法是互逆过程。
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板书设计
4.1 因式分解
一、分解因式的概念
二、分解因式与整式乘法是互逆过程
三、分解因式要注意的问题
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作业布置
1、下列由左边到右边的变形，哪些 是分解因式？哪些不是？说明理由。
(1) x2+3x+4=(x+2)(x+1)+2
(2) 6x2y3=3xy·2xy2
(3) (3x-2)(2x+1)=6x2-x-2
(4) 4ab+2ac=2a(2b+c)
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作业布置
2、若a=101,b=99,求a2-b2的值.
3、若x=-3,求20x2-60x的值.
4、1993-199能被200整除吗 还能被哪些整数整除
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谢谢
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北师大版数学八年级下册4.1因式分解教学设计
课题 4.1因式分解 单元 第四章第1节 学科 数学 年级 八年级下
教材分析 因式分解是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第四章第一节内容，本章主要是研究代数式的因式分解的方法和应用；本节要求使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系。所以本节的重点是理解因式分解的意义.识别分解因式与整式乘法的关系。
学情分析 学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因数分解的引入，学生不会感到陌生，它为学习分解因式打下了良好基础．由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，为深入学习提供了必要的基础。
学习目标 1、使学生了解因式分解的意义。2、通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系。
重点 1、理解因式分解的意义；2、识别分解因式与整式乘法的关系。
难点 通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.整式乘法有几种形式 2.乘法公式有哪些 让学生回忆上节课所学习的内容。 复习了旧知识，引入新知识。
讲授新课 活动探究一：993-99能被100整除吗 你是怎样想的？ 993-99还能被哪些正整数整除？聪明的小明是这样做的: 993-99=99×992-99×1 =99×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.993－99还能被哪些正整数整除？从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式.议一议定义：一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。要求：１.是一种恒等变形；2.变形对象：是 ; 3.变形过程：由 变成 的形式；4.变形的结果：是几个 的积；5.分解结果中的每个因式不能再分。下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解 为什么？ (1).a(x+y)=ax+ay (2).10x2-5x=5x(2x-1) (3).x2+4x+4=(x+2)2 (4).t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t通过刚才的学习你能说出因式分解与整式乘法它们之间有什么关系吗 结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的恒等变形，它们是互逆过程。 做一做（1）计算下列各式：①3x2－3x=（ ）（ ）;②ma+mb-m=（ ）（ ）;③m2－16=（ ）（ ）;④y2－6y+9=（ ）2.【课堂练习】1.下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？(1) 2m(m－n)=2m2－2mn(2) 5x2y －10xy2=5xy(x -2y)(3) 4x2－4x+1=(2x－1 )2(4) x2+x+1=x(x+1)+1 (6) x2+1=(x-1)(x+1)2. 下列式子从左到右的变形是否为因式分解？为什么 3. (1)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。(2)若a=89,b=-11, 求a2-2ab+b2值 (3)已知a-b=2，ab=7，求a2b-ab2的值。【拓展提升】 手工课上，老师给某同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这个同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？ 布置作业： 1、下列由左边到右边的变形，哪些 是分解因式？哪些不是？说明理由。2、若a=101,b=99,求a2-b2的值.3、若x=-3,求20x2-60x的值.4、1993-199能被200整除吗 还能被哪些整数整除 引导学生学会观察993-99能被100整除，找出解决问题的关键。小组讨论，时间3min。小组讨论，时间3min，总结两组等式之间的联系和区别。独立完成，提问学生回答。 理解清楚推导过程，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式，是教学继续进行的关键。让学生明白：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆程。让学生发现这两组等式之间的联系和区别；左右两边的特点 。引出因式分解的定义。检验学生是否理解因式分解的定义。拓展学生的思维，加强学生应对难题的能力。
课堂小结 一、因式分解与整式乘法是互逆过程 二、因式分解要注意以下几点：1.分解的对象必须是多项式 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式3.要分解到不能分解为止 提问学生自己总结。 总结归纳本节课的内容，帮助学生整理思路，消化知识，构造严谨的知识体系。
板书 4.1 因式分解 一、分解因式的概念二、分解因式与整式乘法是互逆过程 三、分解因式要注意的问题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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