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北师大数学八年级下册教学设计
课题 提公因式法 单元 第四章第2节 学科 数学 年级 八年级下
学习目标 1、使学生经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式各项的公因式；2、通过观察、类比等手段，学会用提取公因式法进行因式分解。
重点 掌握用提公因式法把多项式分解因式。
难点 正确地确定多项式的最大公因式。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、什么是因式分解？2、因式分解与整式乘法有什么关系 让学生回忆上节课所学习的内容。 复习了旧知识，引入新知识。
讲授新课 问题：多项式ab+bc中，各项有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式③ mb2+nb-b呢？定义：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。确定下列各多项式中的公因式？1)2πR2＋2π 2)2x2 +6x33) a2b–2ab2 + ab 4) 4mn2-6mn+8m3n 活动探究一：公因式有什么特点？正确找出多项式各项公因式的关键是什么呢？找2x2+ 6x3的公因式。正确找出多项式各项公因式的关键是：1、定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2、定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。3、定指数： 相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。活动探究二：你能尝试将多项式2x 2+ 6x3因式分解吗？ = ab(8a2b–12b2c) 例2．因式分解：－24x3＋12x2－28x 例3．把下列各式因式分解 （1）a（x-3）+2b（x-3） （2）y（x+1）+y2（x+1）2 例4．把下列各式因式分解 （1）a（x-y）+b（y-x） （2）6（m-n）3-12（n-m）2 用提公因式法分解因式口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守。提负要变号，变形看奇偶。举一反三：【变式1】分解因式 (1) 3x2y(x－y)2－6xy2(y－x)2， (2)3x(x－y)＋2y(y－x) 【变式2】分解因式 15a(a－b) 2n＋1－10ab(b－a)2n(n为正整数)。【变式3】计算：2005 -2005x2004（1）3b2+12b （2）-4m2n-16mn+8m2 引导学生学会观察，在多项式中寻找相同的因式。小组讨论，时间3min，总结出正确找出多项式各项公因式的关键。小组讨论，时间3min，总结出提公因式法的定义。独立完成，提问学生回答，总结出提公因式法的要点和易错点。自己总结口诀独立完成，提问学生回答，注意因式分解的变形。独立完成，提问学生回答 引入公因式的概念。理解清楚公因式的概念是教学继续进行的关键。由于上一环节提供的几个多项式比较简单，而通过本环节中寻找多项式12x3z+18 x2y中各项的公因式，引导他们归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力。通过三道典型和变式例题，使学生更清楚以下事实：（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；（2）分解因式的结果要以积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止。拓展学生的思维，加强学生应对难题的能力。
课堂小结 1、公因式的特点 2、提公因式法分解因式的步骤 a. 确定公因式 。 b. “提”公因式（公因式提取要彻底，首项为负先提负，提取公因式莫漏1）。 c. 检验分解因式的结果是否正确。 提问学生自己总结。 总结归纳本节课的内容，帮助学生整理思路，消化知识，构造严谨的知识体系。
板书 4.2 提公因式法 一、公因式的确定 1)定系数 2)定字母 3)定指数 二、提公因式的步骤 a. 确定公因式 b. “提”公因式 c. 检验例题
公因式的构成
系数—各项系数的最大公约数
字母—各项都含有的相同字母
指数—相同字母的最低次幂
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4.2 提公因式法
北师大版 八年级下
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新知导入
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法有什么关系
整式乘法
一个多项式
因式分解
几个因式的乘积
1、什么是因式分解？
实质：就是把加减形式化成乘积形式。
过程：因式分解与整式乘法互为逆运算。
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新知讲解
观察下列各式的结构有什么共同特点
① ab+bc
② 3x2+x
③ mb2 + nb-b
共同特征：各式中的每一项都含有一个相同的因数或因式
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
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新知讲解
2πR2＋2π 2)2x2 +6x3
3) a2 b – 2ab2 + ab 4) 4mn2-6mn+8m3n
（1）确定下列各多项式中的公因式？
（2）多项式中的公因式是如何确定的？
2π
2x2
ab
2mn
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新知讲解
找 2 x 2 + 6 x3的公因式。
定系数
定字母
定指数
公因式是2x
活动探究一：公因式有什么特点？正确找出多项式各项公因式的关键是什么呢？（小组讨论，3min）
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定系数 公因式的系数是各项整数系数的最大公约数。
定字母 取各项的都含有的相同的字母。
定指数 相同字母最低次幂。
正确找出多项式各项公因式的关键：
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新知讲解
活动探究二：你能尝试将多项式找 2x 2 + 6x3因式分解吗？（小组讨论，3min）
2 x 2+ 6 x3
解：
2 x 2+ 6 x3
=
2x2· 1+ 2x2·3x
=
2x2 (1 +3x)
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
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新知讲解
例1．因式分解：（1）3x＋x3 （2） 7x3-21x2
解： （1） 3x＋x3
＝x · 3+ x· x2
＝ x(3＋x2)
（2） 7x3-21x2
＝ 7x2 · x- 7x2 ·3
＝ 7x2（x-3）
总结：公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同的字母，各字母的指数取次数最低的。
观察：小付因式分解的有误吗？试说明理由，并给出正解。
解：原式 =ab ·8a2b – ab ·12b2c+ ab
= ab(8a2b – 12b2c)
分解因式：8a3b2 – 12ab3c+ab
正确解：原式 =ab ·8a2b – ab ·12b2c+ ab ·1
= ab(8a2b – 12b2c +1)
总结：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。
←不能漏掉
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例2．因式分解：－24x3＋12x2－28x
解：－24x3＋12x2－28x
＝ －（ 24x3-12x2＋28x ）
＝ －（ 4x ·6x2 -4x · 3x＋4x ·7 ）
＝ － 4x (6x2 －3x＋7)
总结：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数成为正数，在提出“-”时，多项式的各项都要变号。
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例3．把下列各式因式分解
（1）a（x-3）+2b（x-3） （2）y（x+1）+y2（x+1）2
总结：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式。
解：（1）a（x-3）+2b（x-3）
= （x-3）（a+2b）
（2）y（x+1）+y2（x+1）2
= y（x+1）[1+y（x+1）]
= y（x+1） （xy+y+1）
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例4．把下列各式因式分解
（1）a（x-y）+b（y-x） （2）6（m-n）3-12（n-m）2
总结：注意观察多项式的形式，通过变形提取负号找到公因式，提负号括号里每一项都要变号。
解：（1） a（x-y）+b（y-x）
= a（x-y）-b（x-y）
= （x-y）（a-b）
（2） 6（m-n）3-12（n-m）2
= 6（m-n）3-12[-（m-n）] 2
= 6（m-n）3-12（m-n）2
= 6（m-n）2 （m-n-2）
找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守。提负要变号，变形看奇偶。
用提公因式法分解因式口诀
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【变式 1】分解因式 (1) 3x2y(x－y)2－6xy2(y－x)2，
(2)3x(x－y)＋2y(y－x)
解析：(1) 原式＝3x2y(x－y)2－6xy2(x－y)2
＝3xy(x－y)2 (x－2y) (2) 原式＝3x(x－y)－2y(x－y)
＝(x－y)(3x－2y)
课堂练习
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课堂练习
解析：原式＝15a(a－b)2n＋1－10ab(a－b)2n ＝5a(a－b)2n [3(a－b)－2b] ＝ 5a(a－b)2n (3a－5b)。
【变式2】分解因式 15a(a－b) 2n＋1－10ab(b－a)2n(n为正整数)。
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课堂练习
【变式3】计算：2005 -2005X2004
解析：原式＝2005x2005-2005X2004
＝ 2005x（2005-2004）
＝ 2005
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拓展提高
先分解因式,再求解：已知m+n=8,mn=6,求m2n+mn2的值.
解： m2n+mn2
=mn（m+n）
=6×8
=48
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课堂总结
1、公因式的特点
2、提公因式法分解因式的步骤
a. 确定公因式 。
b. “提”公因式（公因式提取要彻底，首项为负先提负，提取公因式莫漏1）。
c. 检验分解因式的结果是否正确。
公因式的构成
系数—各项系数的最大公约数
字母—各项都含有的相同字母
指数—相同字母的最低次幂
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板书设计
4.2 提公因式法
一、公因式的确定
1)定系数 2)定字母 3)定指数
二、提公因式的步骤
a. 确定公因式
b. “提”公因式
c. 检验
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作业布置
____________。
把下列各式进行因式分解：
（1）3b2+12b （2）-4m2n-16mn+8m2
（3）18b(a-b) -12(b-a)
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谢谢
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