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沪科版七上1.6.1有理数的乘方教学设计
课题 1.6.1有理数的乘方 单元 第一章 学科 数学 年级 七
教材分析 《有理数的乘方》这节课选自沪科版七年级上册第一章第六节的内容，乘方是有理数的一种基本运算，是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算的基础上来学习的，它既是有理数乘法的推广和延续，又是后续学习有理数的混合运算、科学记数法和开方运算的基础，起到承前启后、铺路架桥的作用。对于与乘方运算相关概念的理解，它有利于拓宽学生的思路、锻炼学生观察、探索、总结的数学思想。
学情分析 学习本节内容之前，学生已经学习了正负数、有理数的分类、相反数、有理数的乘除等知识为有理数的乘方的学习奠定了基础，同时，学生们在小学时也已经接触过自然数的平方和立方的基本运算。引入负数后，数域的扩充将更新学生的旧有观念，使学生对乘方运算形成一个完整的认识。
学习目标 知识与技能：通过现实背景理解有理数乘方的意义。能进行有理数的乘方运算。过程与方法：已知一个数，会求出它的正整数指数幂，渗透转化思想通过对乘方意义的探究过程，向学生渗透比较、归纳、猜想，建立数学模型的数学思想。情感态度和价值观：激发主动探究意识，使学生乐于探索生活中的数学知识。培养严谨的求学态度和合作意识。
重点 理解乘方的意义，会进行有理数的乘方运算
难点 负数的乘方运算
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师：这节课开始之前先给大家讲个故事【故事】古希腊数学家阿基米德与国王下棋，国王输了，问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一颗麦子，在第二个格子中放进前一个格子的两倍，每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍，一直将棋盘每一个格子摆满．”国王觉得很容易就可以满足他的要求，于是就同意了．但很快国王就发现，即使将国库所有的粮食都给他也不够．你们知道这是为什么吗？ 学生读故事 从故事情景出发，让学生带着疑问学习本节课的知识。
讲授新课 【探究】如图，一正方形的边长为5cm，则它的面积为________平方厘米；一正方体的棱长为2cm, 则它的体积为___________立方厘米.请比较表示正方形面积的式子:5×5和表示正方体体积的式子:2×2×2问题 这两个式子有什么相同点 它们都是乘法;并且它们各自的因数都相同.思考 同学们想一想：这样的运算能简写吗？5×5可记作52，2×2×2可记作23【归纳总结】 【归纳总结】在乘方运算an中，a叫做底数 n叫做a的幂的指数，简称指数an既表示n个a相乘，又表示n个a相乘的结果。因此an可读作a的n次方或a的n次幂。例如，在幂52中，底数是5，指数是2，52读作5的2次方（或5的平方）或5的2次幂。【填一填】(1)(－5)2的底数是___-5__，指数是_2____，(－5)2表示2个___-5__相乘，读作__-5___的2次方，也读作－5的__平方___.(2)表示__6___个相乘，读作的___6_次方，也读作的___6_次幂，其中叫做____底数__，6叫做__指数___ .【归纳总结】乘方书写规则(1)一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写；(2)书写负数或分数的乘方时底数要加括号，如(－2)2。要点精析(1)(－a)n与－an的区别：一个底数为－a，一个底数为a；(2)乘方是一种运算，运算过程根据其意义转化为乘法来计算，而幂是乘方运算的结果。【计算】(1) (-4)3 (2) (-2)4 解：(1) (-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64；(2) (-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16；思考：你能发现负数的幂的正负有什么规律？【总结归纳】根据有理数的乘法法则，可得乘方运算法则：非0有理数的乘方，将其绝对值乘方，而结果的符号是：正数的任何次乘方都取正号；负数的奇次乘方取负号，负数的偶次乘方取正号；0的正数次乘方都是0.【探究】在2÷4+32×（－6）这个式子中，存在着几种运算？思考：在进行有理数的加、减、乘、除以及乘方混合运算时，应按怎样的顺序进行运算呢？先乘方，再乘除；如果有括号，先进行括号里的运算.【例】 计算-10+8÷（-2）2-（-4）×（-3）解：（1）-10+8÷(-2)2-（-4）×（-3） = -10+8÷4-4×3 =-10+2-12 =-20.【总结归纳】做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活使用运算律，从而简化计算．【小组交流】拉面师傅制作拉面时，按对折、拉伸的步骤，重复多次。（1）先用乘法计算拉面12次得到的面条数，再改用计算器计算，这两种方法哪种算得快？（2）如果拉面师傅每次拉伸面条的长度为0．8m，那么他拉12次后，得到的面条的总长度是多少米？【小组交流】解：（1）∵1次对折是2根，2次对折是22根，3次是23根，… ∴拉面12次共拉出212根2×2×2×2×2x2×2×2×2×2×2×2＝4096（根）用计算器计算212－4096（根） ∴利用计算器算得快（2）面条的总长度为4096×0.8＝3276.8（m） 所以得到的面条的总长度是3276.8m 通过对所学知识的理解，得出答案。由上面得出的答案，根据教师的引导，归纳出乘方的概念。学生自学、观察、交流后,归纳出与乘方有关的知识。在学习了新知识的基础上做例题。在教师的引导下归纳总结。通过计算，发现规律。观察算式，得出答案。根据所学知识进行计算。在教师的引导下总结归纳。根据所学知识，小组交流，通过交流解决课本上的问题。 这个环节主要是让学生通过自学教材内容，将乘方的表达式、意义、概念和基本构造能有一个初步的认知和理解。从特殊到一般的认知过程，从数字的归纳过渡到字母的总结。教师引导学生根据探究内容，对新知识进行思考，并总结归纳。通过课堂例题练习，进一步理解并掌握新知，训练学生举一反三的能力。教师引导学生根据探究内容，对新知识进行思考，并总结归纳。教师引导学生根据探究内容，对新知识进行思考。并总结出答案。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知，训练学生举一反三的能力。培养学生总结归纳的能力。通过小组交流，技能复习巩固新知识，又能培养学生团结协作的能力。
课堂练习 1.下列对于－34的叙述正确的是( C ) A．读作－3的4次幂 B．底数是－3，指数是4 C．表示4个3相乘的积的相反数 D．表示4个－3的积2.下列等式成立的是（ B）A.（－3）2＝－32 B.－23＝（－2）3C. 23＝（－2）3 D.32＝－323.当0＜x＜1时，x， ，x2的大小顺序是（ C ）A. ＜x＜x2 B. x＜x2＜C. x2＜x＜ D. ＜x2＜x4.填空： (1)在74中，底数是___7___,指数是___4___; (2)在中，底数是______,指数是___5__. (3)在-（-3）2中，底数是__-3____,指数是___2___.5.对于计算－24＋18×（－3）÷（－2），下列运算步骤错误的是（ C ）A.－16＋[18÷（－2）]×（－3）B.－16＋（18÷2）×3C.－16－54÷2D.－16＋（－54）÷（－2）6.观察下列等式：1×5＋4＝32，2×6＋4＝42，3×7＋4＝52，4×8＋4＝62.请你观察后用你得出的规律填空： × ＋ ＝502.【分析】观察上面等式的规律，若第1个数为n，则第二个数为n+4，第三个数为4，第四个数为（n+2）2，由此规律代入即可．【解答】解：第n个式子为n（n+4）+4=（n+2）2，由题意得n+2=50，则n=48，代入得，48×52+4=502，故答案为48，52，4． 认真审题，快速得出答案。 通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知，训练学生举一反三的能力。
课堂小结 1.引导学生作知识小结:理解有理数乘方的意义,运用有理数乘方运算法则进行有理数乘方的运算,熟知底数、指数和幂三个基本概念.2.教师扩展:有理数的乘方就是几个相同因数积的运算,可以运用有理数乘方法则进行符号的确定和幂的求值.乘方的含义:(1)表示一种运算;(2)表示运算的结果.乘方的读法:(1)当an表示运算时,读作a的n次方;(2)当an表示运算结果时,读作a的n次幂.乘方的符号法则:(1)正数的任何次幂都是正数;(2)零的任何正整数次幂都是零;(3)负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数.注意(-a)n与-an及()n与的区别和联系. 学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
板书 1．有理数乘方的意义2．有理数乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.3．与乘方有关的探求规律问题
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1.6.1 有理数的乘方
沪科版 七年级上
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新知导入
古希腊数学家阿基米德与国王下棋，国王输了，问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一颗麦子，在第二个格子中放进前一个格子的两倍，每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍，一直将棋盘每一个格子摆满．”国王觉得很容易就可以满足他的要求，于是就同意了．但很快国王就发现，即使将国库所有的粮食都给他也不够．
你们知道这是为什么吗？
【故事】
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新知讲解
如图，一正方形的边长为5cm，则它的面积
为________平方厘米；
一正方体的棱长为2cm, 则它的体积为___________立方厘米.
2×2×2
5×5
【探究】
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新知讲解
问题 这两个式子有什么相同点
它们都是乘法;并且它们各自的因数都相同.
思考 同学们想一想：这样的运算能简写吗？
请比较表示正方形面积的式子:5×5和表示正方体体积的式子:2×2×2
5×5可记作52，2×2×2可记作23
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新知讲解
例如：2×2×2×2记作24，2×2×2×2×2×2记作26.
一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，即
a·a·a·....·a = an
n个
这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
【归纳总结】
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新知讲解
幂
指数
因数的个数
底数
因数
【归纳总结】
在乘方运算an中，a叫做底数
n叫做a的幂的指数，简称指数
an既表示n个a相乘，又表示n个a相乘的结果。因此an可读作a的n次方或a的n次幂。
例如，在幂52中，底数是5，指数是2，52读作5的2次方（或5的平方）或5的2次幂。
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新知讲解
(1)(－5)2的底数是_____，指数是_____，(－5)2表示2个_____相乘，读作_____的2次方，也读作－5的_____.
(2) 表示_____个 相乘，读作 的____次方，也读作 的____ 次幂，其中 叫做 ，6叫做 .
-5
底数
指数
【填一填】
2
-5
-5
平方
6
6
6
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新知讲解
乘方书写规则
(1)一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写；
(2)书写负数或分数的乘方时底数要加括号，如(－2)2。
要点精析
(1)(－a)n与－an的区别：一个底数为－a，一个底数为a；
(2)乘方是一种运算，运算过程根据其意义转化为乘法来计算，而幂是乘方运算的结果。
【归纳总结】
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新知讲解
【计算】
(1) (-4)3 (2) (-2)4
解：(1) (-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64；
(2) (-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16；
思考：你能发现负数的幂的正负有什么规律？
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新知讲解
根据有理数的乘法法则，可得乘方运算法则：
非0有理数的乘方，将其绝对值乘方，而结果的符号是：
正数的任何次乘方都取正号；
负数的奇次乘方取负号，负数的偶次乘方取正号；
0的正数次乘方都是0.
【总结归纳】
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新知讲解
在2÷4+32×（－6）这个式子中，存在着几种运算？
思考：在进行有理数的加、减、乘、除以及乘方混合运算时，
应按怎样的顺序进行运算呢？
先乘方，再乘除；如果有括号，先进行括号里的运算.
【探究】
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新知讲解
解：
（1）-10+8÷(-2)2-（-4）×（-3）
= -10+8÷4-4×3
=-10+2-12
=-20.
【例】 计算
（1）-10+8÷（-2）2-（-4）×（-3）
（2）
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新知讲解
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
【总结归纳】
有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活使用运算律，
从而简化计算．
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新知讲解
拉面师傅制作拉面时，按对折、拉伸的步骤，重复多次。
（1）先用乘法计算拉面12次得到的面条数，再改用计算器计算，这两种方法哪种算得快？
（2）如果拉面师傅每次拉伸面条的长度为0．8m，那么他拉12次后，得到的面条的总长度是多少米？
【小组交流】
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新知讲解
解：（1）∵1次对折是2根，2次对折是22根，3次是23根，…
∴拉面12次共拉出212根
2×2×2×2×2x2×2×2×2×2×2×2＝4096（根）
用计算器计算212－4096（根）
∴利用计算器算得快
（2）面条的总长度为4096×0.8＝3276.8（m）
所以得到的面条的总长度是3276.8m
【小组交流】
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课堂练习
1.下列对于－34的叙述正确的是( )
A．读作－3的4次幂
B．底数是－3，指数是4
C．表示4个3相乘的积的相反数
D．表示4个－3的积
C
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课堂练习
2.下列等式成立的是（ ）
A.（－3）2＝－32 B.－23＝（－2）3
C. 23＝（－2）3 D.32＝－32
3.当0＜x＜1时，x， ，x2的大小顺序是（ ）
A. ＜x＜x2 B. x＜x2＜
C. x2＜x＜ D. ＜x2＜x
B
C
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课堂练习
4.填空：
(1)在74中，底数是______,指数是______;
(2)在 中，底数是______,指数是______.
(3)在-（-3）2中，底数是______,指数是______.
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4
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课堂练习
5.对于计算－24＋18×（－3）÷（－2），下列运算步骤错误的是（ ）
A.－16＋[18÷（－2）]×（－3）
B.－16＋（18÷2）×3
C.－16－54÷2
D.－16＋（－54）÷（－2）
C
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拓展提高
6.观察下列等式：
1×5＋4＝32，2×6＋4＝42，
3×7＋4＝52，4×8＋4＝62.
请你观察后用你得出的规律填空：
× ＋ ＝502.
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拓展提高
【分析】观察上面等式的规律，若第1个数为n，则第二个数为n+4，第三个数为4，第四个数为（n+2）2，由此规律代入即可．
【解答】解：第n个式子为n（n+4）+4=（n+2）2，由题意得n+2=50，则n=48，代入得，48×52+4=502，
故答案为48，52，4．
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课堂总结
1.求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.
幂
指数
底数
2.乘方的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是正数
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
（3）零的正数次幂都是零
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课堂总结
3.做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
4.有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活使用运算律，
从而简化计算．
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作业布置
课本 P41 练习题
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谢谢
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