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北师大版数学九年级上4.2 平行线分线段成比例教学设计
课题 4.2 平行线分线段成比例 单元 第四章 学科 数学 年级 九年级上
学习目标 知识与技能：了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容，能应用定理证明线段成比例问题，并会进行有关的计算。过程与方法：通过平行线分线段成比例定理的正确性的说明，锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，达到锻炼识图能力和推理论证能力。情感、态度与价值观：通过本节的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美，在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的的合作交流与数学表达能力。
重点 平行线分线段成比例定理
难点 平行线分线段成比例定理
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 【温故知新】【比例的基性质】（1）如果 ，那么 （2）如果 （a、b、c、d都不等于0），那么 【合比性质、等比性质】如果 ，那么 和 ；如果 那么 【思考】一组等距离的平行线截直线AC所得到的线段相等，那么在直线A’C’上所截得的线段有什么关系呢？运用格纸和刻度尺做实验并探究以下问题：（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1,则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等？ 直线a//b//c,AB=BC，求证：A’B’与B’C’相等。证明：分别过A’、B’作A’M//e交b于M，B’N//e交c于N，易证：四边形AA’MB和四边形BB’NC是平行四边形由AB=BC得A’M=B’N△A’B’M≌△B’C’N∴A’B’=B’C’平行线等分线段 回顾上节课所学：比例的基本性质和合比性质及等比性质的应用。引导学生利用格纸和刻度尺做实验并探究。理由以前所学证明相等，并初步进入平行分线段成比例的学习。 学生回顾上节课所学，并通过课本探究性学习进入本节课的学习。引导学生思考探索引入平行线的特殊情况，并总结平行线等分线段。
讲授新课 如图，小方格的边长都是1，直线l1//l2//l3，分别交于m、n与A1、A2、A3、B1、B2、B3，计算 的值，你有什么发现？图1图2【探究-证明】（3）在平面上任意做三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？如图所示，如果 ,那么 相等吗？证明：如图，分别找出AB的二等分点和BC的三等分点，再过它们作AA’的平行线，由平行线等分线段可知：A’Q=QB’=B’N=NG=GC’AP=PB=BM=MH=HC 即 学生自主计算各线段长度。引导学生证明两者相等。 通过学生实际计算各线段长度并发现规律。新知导入中得出平行线等分线段的结论，将此结论应用到该证明当中，并总结出一般规律。
【探究-归纳】（3）如图所示，如果 ,那么 相等吗？证明：分别找出AB的n等分点和BC的m等分点，再过它们作AA’的平行线，由平行线等分线段可知：两条直线被三条平乡线所截，所得的对应线段成比例【平行线分线段成比例定理】两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例【注意】 如图3，直线a//b//c，分别交直线m、n于点A1、A2、A3、B1、B2、B3、，过点A1作直线n的平行线，分别交直线b、c于点C2、C3如图4，在图4中有哪些成比例线段？图3图4图3 中 图4中 【平行线分线段成比例定理 推论】平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的两边对应线段成比例证明：连接BF,EC, △BEF和△CEF是同底等高的三角形，所以两者面积相等；△AEF和△BEF是等高的三角形，所以面积之比为底之比，则S△AEF/S△BEF=AE/BE同理 △AEF和△CEF是等高的三角形，所以面积之比为底之比，则S△AEF/S△CEF=AF/CF因为S△BEF=S△CEF，所以S△AEF/S△BEF= S△AEF/S△CEF所以AE/BE= AF/CF【平行线分线段成比例定理 推论】平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的两边的延长线对应线段成比例例题：如图所示，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF//BC，（1）如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？（2）如果ABA=10，AE=6，AF=5,那么FC的长是多少？解：（1）∵EF//BC ∴ ∴ （2） ∵EF//BC ∴ ∴ ∴ 【课堂练习】1、如图，H为平行四边形ABCD中AD边上的一点，且2HK=BK，AC与BH交于K，则AK:KC等于（ A ）A 1:2 B1:1 C1:3 D 2:32、如图，BD:DC=5:3，E为AD的中点，求BE:EF的值解：过D作DG//CA交BF于G，则 ∵E为AD的中点，DG//AF ∴△DGE≌△AFE 则EG=EF ∴ ∴ 3、如图，AC//BD,AD、BC相交于E，EF//BD，求证： 证明：∵AC//EF//BD ∴ ∴ ∴ 4、如图，P是四边形OACB对角线的任意一点，且PM//CB，PN//CA，求证OA:AN=OB:MB。解：∵ PM//CB，PN//CA ∴在△OBC中，OB:MB=OC:PC 在△OAC中，OA:AN=OC:PC ∴ OA:AN=OB:MB 学生自主归纳总结。学生直观上容易找到“对应线段”并利用符号语言总结归纳，得出其他对应线段。多角度思考解决问题，分组讨论，进而得出结论，让学生归纳表述结论。对推论进一步证明，加深学生对推论的理解并掌握。通过及时联系，巩固学生的新知，增强学生对新知识的应用能力通过课堂练习，真正理解并掌握定理的应用。 教师引导学生归纳总结，得出本节课的重要结论：平行线分线段成比例定理。让学生在探究得到结论的基础上，对该定理有进一步的理解，并掌握定理的符号语言，进一步发展推理能力。进一步加深对定理及其推论的理解，发展学生应用能力，并能归纳总结出定理及其推论的本质特征。加深学生对推论的理解，并能将该推论运用到以后所学知识单当中。联系和讲解例题，帮助学生掌握新知通过练习巩固，了解学生掌握情况，并及时发现问题。
课堂小结 这节课我们学习了哪些知识？你有什么收获、发现及探索？（1）平行线分线段成比例定理及推论；（2）在相似图形中的应用。 学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固新知。
板书 【平行线分线段成比例定理】【推论】平行于三角形一边的直线与其他两边（或者两边的延长边）相交，截得的对应线段成比例
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4.2 平行线分线段成比例
数学 北师大版 九年级上
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【比例的基性质】
（1）如果 ，那么
（2）如果 （a、b、c、d都不等于0），那么
【合比性质、等比性质】
如果 ，那么 和 ；
如果 那么 ；
温故知新
【思考】
一组等距离的平行线截直线AC所得到的线段相等，那么在直线A’C’上所截得的线段有什么关系呢？
a
b
c
C
B
A
C’
B’
A’
相等？
新知导入
运用格纸和刻度尺做实验并探究以下问题：
（1）画一条与这组平行线垂直的直线l1,则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？
（2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等？
l1
a
b
c
C
B
A
C’
B’
A’
l2
相等
新知导入
新知导入
证明：分别过A’、B’作A’M//e交b于M，B’N//e交c于N，
易证：四边形AA’MB和四边形BB’NC是平行四边形
由AB=BC得A’M=B’N
△A’B’M≌△B’C’N
∴A’B’=B’C’
直线a//b//c,AB=BC，求证：A’B’与B’C’相等。
a
b
c
C
B
A
C’
B’
A’
M
N
f
e
平行线等分线段
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新知讲解
图1
图2
【探究】
如图，小方格的边长都是1，直线l1//l2//l3，分别交于m、n与A1、A2、A3、B1、B2、B3，
（1）计算 的值，你有什么发现？
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【探究】
（2）将l2向下平移到任意图2的位置，直线m、n与l2的交点分别为A2、B2，你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将L2平移到其他位置呢
（3）在平面上任意做三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
图1
图2
新知讲解
证明：如图，分别找出AB的二等分点和BC的三等分点，再过它们作AA’的平行线，由平行线等分线段可知：
A’Q=QB’=B’N=NG=GC’
AP=PB=BM=MH=HC
即
【探究-证明】
（3）在平面上任意做三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？如图所示，如果 ,那么 相等吗？
a
b
c
C
B
A
C’
B’
A’
H
G
N
M
Q
P
新知讲解
【探究-归纳】
（3）如图所示，如果 ,那么 相等吗？
a
b
c
C
B
A
C’
B’
A’
m个
n个
证明：如图，分别找出AB的n等分点和BC的m等分点，再过它们作AA’的平行线，由平行线等分线段可知：
两条直线被三条平乡线所截，所得的对应线段成比例
新知讲解
【平行线分线段成比例定理】
两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例
【注意】
（1）如何理解“对应线段”？
（2）平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？
（3）“对应线段”成比例还有哪些表达形式？
线段一一对应
新知讲解
平行线分线段成比例定理的符号语言：
若a//b//c，则
由此比例的性质还可以得到：
新知讲解
如图3，直线a//b//c，分别交直线m、n于点A1、A2、A3、B1、B2、B3、，过点A1作直线n的平行线，分别交直线b、c于点C2、C3如图4，在图4中有哪些成比例线段？
图3
图4
图3 中
图4中
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【平行线分线段成比例定理 推论】
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的两边对应线段成比例
成比例的线段有：
证明：连接BF,EC, △BEF和△CEF是同底等高的三角形，所以两者面积相等；
△AEF和△BEF是等高的三角形，所以面积之比为底之比，则 =
A
E
C
F
B
S△AEF
S△BEF
AE
BE
新知讲解
A
E
C
F
B
证明：接：
同理 △AEF和△CEF是等高的三角形，所以面积之比为底之比，则 =
因为S△BEF=S△CEF，
所以 =
所以 =
S△AEF
S△CEF
AF
CF
S△AEF
S△BEF
S△AEF
S△CEF
AE
BE
AF
CF
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新知讲解
【平行线分线段成比例定理 推论】
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的两边的延长线对应线段成比例
成比例的线段有：
A
E
C
D
B
新知讲解
解：（1）∵EF//BC
∴
∴
（2） ∵EF//BC
∴
∴
∴
例题：如图所示，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF//BC，
（1）如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？
（2）如果ABA=10，AE=6，AF=5,那么FC的长是多少？
A
E
C
F
B
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课堂练习
如图，H为平行四边形ABCD中AD边上的一点，且2HK=BK，AC与BH交于K，则AK:KC等于（ ）
A 1:2 B1:1 C1:3 D 2:3
A
K
H
D
C
B
答案：A
课堂练习
如图，BD:DC=5:3，E为AD的中点，求BE:EF的值
A
G
F
E
D
C
B
解：过D作DG//CA交BF于G，则
∵E为AD的中点，DG//AF
∴△DGE≌△AFE 则EG=EF
∴
∴
课堂练习
如图，AC//BD,AD、BC相交于E，EF//BD，求证：
F
E
D
C
B
A
证明：∵AC//EF//BD
∴
∴
∴
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拓展提高
如图，P是四边形OACB对角线的任意一点，且PM//CB，PN//CA，求证OA:AN=OB:MB。
P
M
B
C
A
N
O
解：∵ PM//CB，PN//CA
∴在△OBC中，OB:MB=OC:PC
在△OAC中，OA:AN=OC:PC
∴ OA:AN=OB:MB
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课堂总结
这节课我们学习了哪些知识？你有什么收获、发现及探索？
（1）平行线分线段成比例定理及推论；
（2）在相似图形中的应用。
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【平行线分线段成比例定理】
两条直线被一组平行线所截，所得到的对应线段成比例
平行线分线段成比例定理的符号语言：
若a//b//c，则
【推论】
平行于三角形一边的直线与其他两边（或者两边的延长边）相交，截得的对应线段成比例
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作业布置
（1）完成课后习题4.2
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谢谢
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