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新湘教版 数学 八年级上 2.1.1三角形的三边关系教学设计
课题 2.1.1三角形的三边关系 单元 第二单元 学科 数学 年级 八年级
学习目标 1、在具体的情境中认识三角形，知道三角形的边，角，表示方法及三角形的分类；2、探索出三角形的三边关系，解决一些生活中的实际问题；3、认识三角形的高、中线与角平分线.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线, 了解三角形的重心.
重点 三角形三边关系的探究和归纳
难点 三角形三边关系的应用
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 同学们，三角形对于我们来说并不陌生，请观察下面图片，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来. 你能说一说三角形的定义吗？答：由不在同一直线上的三条线段首尾相接所组成的图形叫做三角形. 学生欣赏图片，并找出三角形，在老师的引导下归纳三角形的概念. 通过欣赏图片，体会几何图形在生活中无处不存，通过归纳三角形的定义，为三角形的相关知识的进一步学习作好铺垫。
新知讲解 一、认识三角形的相关概念请同学们注意概念中的关键词：首尾相接师出示动画，并引导学生认识三角形的相关概念.1、三角形可用符号△来表示，即三角形ABC可记作△ABC其中，点A，B，C 叫作△ABC的顶点;∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角（简称△ABC的角）；线段AB，BC，CA叫作△ABC的边.2、∠A的对边是________，用小写字母______表示∠B的对边是________，用小写字母______表示∠C的对边是________，用小写字母______表示答案：BC，a，AC，b，AB， c3、BC边的对角是________，AC边的对角是________，AB边的对角是________.答案：∠A，∠B，∠C下面让我们一起完成练习1：（1）如图，图中有几个三角形？把它们分别表示出来.（2）如图，在△DBC 中，写出∠D 的对边，BD 边的对角.答：（1）五个三角形.分别是：△BOC.△ABC,△DBC,△ABO,△DOC,（2）∠D的对边是BC，（2）BD边的对角是∠BCD.（师引导学生认识等腰三角形各部分名称）（1）如图所示，若△ABC是等腰三角形，则___________.答案：AB =AC（2）如图，在△ABC中，若AB =AC，则△ABC是______三角形答案：等腰2、师出示三边都相等的三角形，提出三边都相等的三角形叫作等边(正)三角形.（1）如图△ABC中，若AB =AC=BC，则△ABC是____三角形答案：等边（2）如图所示，若△ABC是等边三角形，则_________.答案：AB =AC=BC3、想一想：等腰三角形与等边三角形有何关系？答案：等边三角形是特殊的等腰三角形即：等边三角形是腰和底边相等的等腰三角形.三、探究三角形三边间的关系思考：在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度之间有怎样的大小关系？为什么 答案：在△ABC中，BC是连接B，C两点的一条线段，由基本事实“两点之间线段最短”可得AB + AC > BC.同理可得AB + BC > AC，AC + BC > AB .所以，三角形的任意两边之和大于第三边通过不等式的性质，我们同样可以得出：三角形的任意两边之差小于第三边做一做：（1）有三根木棒，其长度分别为2 cm，3 cm，6 cm，它们能否首尾相接构成一个三角形？答：不能构成一个三角形.因为“三角形的任意两边之和大于第三边”而2+3＝5<6,所以不能构成一个三角形.（2）将上题中的3cm换成5cm呢？答：能构成一个三角形.例1：如图，D是△ABC的边AC上一点，AD=BD，试判断AC与BC的大小.解：在△BDC 中，有BD+DC >BC（三角形的任意两边之和大于第三边）.又AD = BD，则BD+DC = AD+DC = AC，所以AC >BC.四、与三角形有关的线段想一想：在三角形中，还有哪些重要的线段呢？1、师出示作图过程，引导学生认识三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线， 简称三角形的高.若AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是△ABC的BC边上的高.练习2：你能做出△ABC的BC边上的高吗？2、【动手画一画】你能画出锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形的高吗？师巡查，并总结规律3、师出示作图过程，引导学生认识三角形的角平分线在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线如图所示，在△ABC中，若∠BAD=∠CAD，则线段AD是△ABC的一条角平分线.4、师出示作图过程，引导学生认识三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.如图所示，在△ABC中，若BE=CE，则线段AE是△ABC的BC边上的中线.做一做：任意画一个三角形， 画出三边上的中线.你发现了什么？事实上， 三角形的三条中线相交于一点. 我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.若△ABC 的三条中线AD， BE， CF相交于点G，则点G 为△ABC 的重心.例2：如图，AD 是△ABC的中线， AE是△ABC 的高.（1） 图中共有几个三角形？ 请分别列举出来.（2） 其中哪些三角形的面积相等？解：（1） 图中有6个三角形， 它们分别是：△ABD， △ADE， △AEC，△ABE， △ADC， △ABC.（2） 因为AD是△ABC的中线，所以BD = DC.因为AE是△ABC的高，也是△ABD和 △ADC的高，又 所以追问：观察结论，你有什么发现呢？答案：三角形中线把三角形平分成面积相等的两部分. 观察三角形的形过程，并听老师介绍三角形的顶点、角、边和表示方法。学生观察图形，并回答老老师提出的问题在老师的引导下认识等腰三角形和等边三角形，并积极回答老师所提出的问题.在老师的引导下，并经过自已的分析，总结出三角形三边间的关系.学生积极思考，并小组讨论.老师在例题讲解的时候，学生要先思考，然后再听老师讲解。仔细观察老师的操作，并体会三角形的高线、角平分线和中线及三角形的重心.在师的引导下完成例题通过思考，完成问题，并回答理由. 对三角形的定义进一步进行辨析，并掌握三角形的边、角及表示方法.巩固三角形的相关概念认识三角形在边上的分类对三角形三边间的关系进行探究对三角形三边间的关系进行应用，体会数学知识在生活中的应用进一步强化三角形三边间的关系在具体问题中的应用，提高学生的应用能力.通过操作，体会与三角形有关的线段及由它们所派生出来的知识.体会三角形中线的应用.
课堂练习 下面请同学生独立完成课堂练习.1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD上一点．(1)以AC 为边的三角形有______个，是_____________；(2)∠BDE 是△_______和△______的内角；(3)在△BCE 中，∠BAE 的对边是_____．答案：（1）3，△ACE，△ACD，△ACB（2）BDE，BDA（3）BE2．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是( )A．4 B．5 C．6 D．9答案：C温馨提示：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.3．过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )答案：C4．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4 cm2，则S△BEF等于( )A．2 cm2 B．1 cm2 C．cm2 D．cm2答案：B 学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。 借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高 我们一起完成下面的问题：用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. 能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？解：因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以有两种情况.①如果4 cm长的边为底边，设腰长为xcm，则 4+2x=18.解得x = 7.②如果4 cm长的边为腰，设底边长为 x cm，则2×4+x=18.解得x=10.因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长 是4 cm的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形. 在师的引导下完成问题. 对所学知识进行整合提高.
课堂总结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？答案：三角形的三边关系，与三角形有关的线段.2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？答案：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.三角形中线平分三角形的面积. 跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。 帮助学生加强记忆知识。
作业布置 基础作业教材第49页习题2.1A组第2、3题能力作业教材第49页习题2.1B组第6题 学生课下独立完成. 检测课上学习效果.
板书设计 借助板书，让学生知道本节课的重点。
课题：2.1.1三角形的三边关系
教师板演区
学生展示区
1.三角形的定义；
2.三角形的顶点，边，内角及其表示法；
3.三角形的角的对边及边的对角
4.等腰三角形与等边三角形；
5.三角形的任意两边之和大于第三边。
6.三角形的高线、角平分线、中线
7.三角形的重心
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2.1.1三角形的三边关系
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．三角形是（ ）
A. 连接任意三角形组成的图形
B. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的的图形
C. 由三条线段组成的图形
D. 以上说法均不对
2．下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是( )
A. B. C. D.
3．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A. 5 B. 6 C. 11 D. 16
5．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A. AB=2BF B. ∠ACE=∠ACB C. AE=BE D. CD⊥BE
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．如图，∠C在三角形中所对的边是________________.
7．如果一个三角形的三条边长分别为5，7，x，则x的取值范围是______________.
8．如图,过A,B,C,D,E五个点中任意三点画三角形.
(1)其中以AB为一边可以画出____________个三角形;
(2)其中以C为顶点可以画出____________个三角形.
9．一个等腰三角形两边的长分别是15cm和7cm则它的周长是__________．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)
11．已知AD为△ABC的中线，AB=5 cm，且△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm，求AC的长度.
12．操作与探索：
在图①～③中，△ABC的面积为a.
(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的式子表示)；
(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的式子表示)，请说明理由；
(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________(用含a的式子表示)．
试题解析
1．B
【解析】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选B．
2．D
【解析】根据三角形高的定义：从顶点向对边作垂线，垂线段就是对应边上的高可判断.
解:A.线段AD与BC不垂直，所以不是△ABC的高；
B.线段AD与BC不垂直，所以不是△ABC的高；
C.线段AD与BC不垂直，所以不是△ABC的高；
D.线段AD与BC垂直，所以是△ABC的高.
故选：D.
3．A
【解析】∵AE是△ABC的中线，EC=4，
∴BE=EC=4，
∵DE=2，
∴BD=BE-DE=4-2=2．
故选A．
4．C
【解析】设第三边为x，由三角形三边的性质，66．AE，BD，AB
【解析】在△ABC中, ∠C的对边是AB; 在△ACE中, ∠C的对边是AE在△BCD中, ∠C的对边是BD;
故答案为: AE，BD，AB
7．2【解析】根据三角形的三边关系,再结合已知两条边的长度,就能求出第三边的范围.
解：根据构成三角形的三边关系,得
x＞7-5且x＜7+5
即2＜x＜12
则x的取值范围是2＜x＜12.故答案为：28．3，6
【解析】（1）以AB为一边可以画出3个三角形为：△ABE，△ABD，△ABC；
（2）以C为顶点可以画出6个三角形为：△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE．
故答案为：3；6．
9．37cm
【解析】要分情况讨论并利用三角形三边的关系进行判定能否组成三角形.
解：①7cm是腰长时，三角形的三边分别为7cm、7cm、15cm，
∵7+7=14<15，
∴不能组成三角形，
②7cm是底边时，三角形的三边分别为7cm、15cm、15cm，
能组成三角形，
周长=7+15+15=37cm，
综上所述，它的周长是37cm.
故答案为：37cm.
10．画图见解析.
【解析】按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图即可，需注意AB，BC边上的高在三角形的外部
解：如图．
11．3cm
【解析】由AD是△ABC的中线可得CD=BD，从而可得
C△ABD-C△ACD=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2，由AB=5，可解得AC=3（cm）.
解：∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm，
∴(AB+BD+AD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2 cm，
∴AC=AB-2=5-2=3(cm).
12．（1）a；（2）2a；（3）6a.
【解析】（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1，由于△ACD与△ABC底相等、高相同，因此它们的面积相等，问题得以解决；
（2）连接AD，如图2，同（1）可求出△EAD的面积，就可解决问题；
（3）如图3，同（2）可求出△EAF和△FBD的面积，问题得以解决.
解：（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1，
∵BC=CD，S△ABC=BC AH=a，S△ACD=CD AH，
∴S1=S△ACD=S△ABC=a．
故答案为a．
（2）连接AD，如图2，
同理可得S△EAD=S△ACD=S△ABC=a，
∴S2=S△ECD=a+a=2a．
故答案为2a．
（3）同（2）可得
S△FBD=S△EAF=S△ECD=2a，
∴S3=6a，
故答案为6a
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三角形的三边关系
数学湘教版 八年级上
新知导入
观察下图，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来.
三角形的定义：
由不在同一直线上的三条线段首尾相接所组成的图形叫做三角形.
新知讲解
首
首
首
尾
尾
尾
注意关键词：首尾相接
三角形的定义：
由不在同一直线上的三条线段首尾相接所组成的图形叫做三角形.
顶点
内角
边
A
B
C
三角形可用符号△来表示
三角形ABC可记作△ABC
顶点
顶点
其中，点A，B，C 叫作△ABC的顶点;
∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角（简称△ABC的角）；
线段AB，BC，CA叫作△ABC的边.
新知讲解
边
边
内角
内角
（1）∠A的对边是________，用小写字母______表示
∠B的对边是________，用小写字母______表示
∠C的对边是________，用小写字母______表示
A
B
C
a
（2）BC边的对角是________，
AC边的对角是________，
AB边的对角是________.
BC
a
AC
b
b
AB
c
c
∠A
∠B
∠C
新知讲解
新知讲解
练习1：
（1）如图，图中有几个三角形？把它们分别表示出来.
答：五个三角形.分别是：
△BOC.
△ABC,
△DBC,
△ABO,
△DOC,
新知讲解
练习1：
（2）如图，在△DBC 中，写出∠D 的对边，BD 边的对角.
答：∠D的对边是BC，
BD边的对角是∠BCD.
腰
腰
底边
顶
角
底角
底角
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
如图所示，
若△ABC是等腰三角形，
则___________.
AB =AC
新知讲解
如图，在△ABC中，
若AB =AC，
则△ABC是______三角形
等腰
三边都相等的三角形叫作等边(正)三角形.
如图△ABC中，
若AB =AC=BC，
则△ABC是________三角形
等边
新知讲解
如图所示，
若△ABC是等边三角形
则______________.
AB =AC=BC
想一想：等腰三角形与等边三角形有何关系？
等边三角形是特殊的等腰三角形
即：等边三角形是腰和底边相等的等腰三角形.
新知讲解
等腰三角形
等边三角形
新知讲解
三角形（按边分）
不等边三角形
等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
还记得三角形按角怎么 分类吗？
思考：在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度之间有怎样的大小关系？为什么
三角形的任意两边之和大于第三边
新知讲解
在△ABC中，BC是连接B，C两点的一条线段，由基本事实
“两点之间线段最短”可得
AB + AC > BC.
同理可得
AB + BC > AC，
AC + BC > AB .
三角形的任意两边之差小于第三边
新知讲解
做一做：有三根木棒，其长度分别为2 cm，3 cm，6 cm，它们能否首尾相接构成一个三角形？
答：不能构成一个三角形.
因为“三角形的任意两边之和大于第三边”
而2+3＝5<6,
所以不能构成一个三角形.
5
答：能构成一个三角形.
因为“三角形的任意两边之和大于第三边”
而2+5＝7>6,
所以能构成一个三角形.
例1：如图，D是△ABC的边AC上一点，AD=BD，试判断AC与BC的大小.
解：在△BDC 中，
有 BD+DC >BC（三角形的任意两边之和大于第三边）.
又 AD = BD，
则 BD+DC = AD+DC = AC，
所以 AC >BC.
新知讲解
新知讲解
想一想：在三角形中，还有哪些重要的线段呢？
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂
足之间的线段叫作三角形的高线， 简称三角形的高.
若AH⊥BC，垂足为点H，
则线段AH是△ABC的BC边上的高.
新知讲解
练习2：你能做出△ABC的BC边上的高吗？
新知讲解
[动手画一画】你能画出锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形的高吗？
C
B
A
C
B
A
C
B
A
新知讲解
高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高相交否 相交 相交 不相交
高所在直线相交否 相交 相交 相交
三条高所在直线的位置
垂足
交点
图形
A
B
C
D
E
F
P
Q
R
都在三角形内部
两条直角边上的高互相重合，还有一条高在三角形内部
两条高在三角形外部，另一条高在内部
在各顶点的对边上
①是直角的顶点
②在斜边上
①有两个在对边的延长线上②还有1个在钝角的对边上
在三角形内部
在直角顶点
在三角形外部
新知讲解
想一想：在三角形中，还有哪些重要的线段呢？
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角
的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线
如图所示，在△ABC中，
若∠BAD=∠CAD，
则线段AD是△ABC的一条角平分线.
新知讲解
想一想：在三角形中，还有哪些重要的线段呢？
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作
三角形的中线.
如图所示，在△ABC中，
若BE=CE，
则线段AE是△ABC的BC边上的中线.
新知讲解
做一做：任意画一个三角形， 画出三边上的中线.
你发现了什么？
事实上， 三角形的三条中线相交于
一点. 我们把这三条中线的交点叫作三角形
的重心.
若△ABC 的三条中线AD， BE， CF
相交于点G，
则点G 为△ABC 的重心.
新知讲解
例2：如图，AD 是△ABC的中线， AE是△ABC 的高.
（1） 图中共有几个三角形？ 请分别列举出来.
解：（1） 图中有6个三角形， 它们分别是：
△ABD， △ADE， △AEC，
△ABE， △ADC， △ABC.
新知讲解
例2：如图，AD 是△ABC的中线， AE是△ABC 的高.
（2） 其中哪些三角形的面积相等？
解：（2） 因为AD是△ABC的中线，
所以BD = DC.
因为AE是△ABC的高，也是△ABD和 △ADC的高，
又
所以
观察结论，你有什么发现呢？
三角形中线把三角形平分成面积相等的两部分.
课堂练习
(1)以AC 为边的三角形有______个，是________________________；
1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD上一点．
3
△ACE，△ACD，△ACB
(2)∠BDE 是△_______和△______的内角；
(3)在△BCE 中，∠BAE 的对边是_____．
BDE
BDA
BE
课堂练习
2．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是( )
A．4 B．5 C．6 D．9
C
温馨提示：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
课堂练习
3．过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是( )
C
课堂练习
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC＝4 cm2，则S△BEF等于( )
A．2 cm2
B．1 cm2
C． cm2
D． cm2
B
拓展提高
用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形. 能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？
解：因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以有两种情况.
①如果4 cm长的边为底边，设腰长为xcm，则 4+2x=18.
解得x = 7.
②如果4 cm长的边为腰，设底边长为 x cm，则2×4+x=18.
解得x=10.
因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边，
所以不能围成腰长 是4 cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.
课堂小结
课堂总结
1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？
2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？
三角形的三边关系，与三角形有关的线段.
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
三角形中线平分三角形的面积.
板书设计
课题：2.1.1三角形的三边关系
教师板演区
学生展示区
1.三角形的定义；
2.三角形的顶点，边，内角及其表示法；
3.三角形的角的对边及边的对角
4.等腰三角形与等边三角形；
5.三角形的任意两边之和大于第三边。
6.三角形的高线、角平分线、中线
7.三角形的重心
基础作业
教材第49页习题2.1A组第2、3题
能力作业
教材第49页习题2.1B组第6题
作业布置
谢谢
