(共23张PPT)
1.2.2 反比例函数的图象和性质
数学湘教版 九年级上
函数 正比例函数 反比例函数
表达式
图象形状
k>0 图象
增减性
k<0 图象
增减性 y=kx(k是常数，k≠0）
直线（经过原点）
第一、三象限
y随x的增大而增大
第二、四象限
y随x的增大而减小
=(k≠0 ，x ≠0）
回顾知识
函数
双曲线（与坐标轴无交点）
第一、三象限
y随x的增大而减小
？
问题探究
在同一个直角坐标系中画出反比例函y=- 图象与y= 的图象.根据题意回答问题.
①列表：
x
y=
y=-
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
…
…
6
3
2
1.5
1.2
1
-6
-3
-1.5
-2
-1.2
-1
…
…
-6
6
3
-3
2
-2
1.5
-1.5
1.2
-1.2
1
-1
…
…
列
表
描
点
连
线
函数图象画法
问题探究
②描点：
在同一个直角坐标系中画出反比例函y=-图象与y=的图象.根据题意回答问题.
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y
y =
一、三象限
y=
二、四象限
③连线：
1.你认为作反比例函数图象的时候需要注意什么？
问题探究
（1）列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可简化计算，又便于对称性描点；
（2）列表描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又较准确地表达函数的交化趋势；
（3）连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性.
问题探究
2.反比例函数y=的图象与y=的图象有什么关系？
（1）在直角坐标系内描出点 A(3，-2)，B(3，2)，点A与点B有什么关系？
x
y=
y
A(3，-2)
B(3，2)
当x=3时，y=-的函数值为－2，而y=的函数值为2.
结论：由于x轴是线段AB的垂直平分线，
因此点A与点B关于x轴对称.
问题探究
（2）y=-图象与y=的图象有什么关系？除了列表描点法之外还可以怎么画y=-的图象？
x
y =
x
6
y
y =
x
6
A
B
根据（1）的经验，x取任一非零实数a时，都有点P(a， )与点Q(a，)关于x轴对称，因此y=的图象与y=的图象关于x轴对称.
于是只要把y=的图象沿着x轴翻折并将图象“复印”下来，就得到y=-的图象.
问题探究
3.观察y=-的图象，根据y=性质试说出y=-的性质.
图象：y=-的图象由两支曲线（即双曲线）组成，
它们与x轴、y轴都不相交.
图象增减性：
当x＜0时，函数值随自变量取值的增大而增大；
当x＞0时，函数值随自变量取值的增大而增大.
当k＜0时，反比例函数y=具有与y=-一样的性质.
讲授新课
反比例函数y=（k<0）的图象有以下特征：
一般地，当k<0时，反比例函数y=的图象由分别在第二、四象限的双曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，双曲线关于原点成中心对称.
在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
0
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
x
y
y=(k<0)
讲授新课
反比例函数y=（k≠0）的图象性质：
1.当k>0时，在图像所在的每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，在图像所在的每一个象限内，y随x的增大而增大；
2.双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交；
3.图象的两个分支关于原点成中心对称.
反比例函数的性质
反比例函数 图 象 图象位置 图象对称性 函数增减性
y= （k > 0）
y= （k < 0）
x
y
0
y
x
0
一、三象限
二、四象限
在每个象限y随x的增大而减小；
在每个象限y随x的增大而增大．
两分支关于原点中心对称
两分支关于原点中心对称
讲授新课
2.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点.
3.连线：用光滑的曲线顺次连接各点，就可得到图象.
【例题】画反比例函数y=-的图象.
1.列表：
例题讲解
【总结】反比例函数= （k为常数，k≠0）的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为双曲线
例题讲解
1.反比例函数y=-的图象大致是（ ）
D
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课堂练习
2.若双曲线y = 的两个分支分别在第二、四象限，则 k 的取值范围是( )
A. k＞0.5 B. k＜0.5
C. k=0.5 D.不存在
解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k-1＜0，解得k＜0.5.故选B.
B
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课堂练习
3.点(2，y1)和(3，y2)在函数y =-上，则y1 y2．（填“>”、“<”或“=”）
解析：由题意知该反比例函数位于第二、四象限，且y随着自变量x的增大而增大，故y14.下列关于反比例函数y =-的三个结论：
(1)它的图象经过点（-1，12）和点（10，-1.4）；
(2)它的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小；
(3)它的图象在二、四象限内.
其中正确的是 （填序号）．
（1）（3）
<
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课堂练习
如图，函数和y=－kx+1(k>0)在同一坐标系内的图象大致是（ ）
B.
A.
C.
D.
D
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拓展提高
K>0:
反比例函数图象在第一、三象限.一次函数：递减函数.D正确.
K<0:
反比例函数：图象在第二、四象限.一次函数：递增函数.
反比例函数y=与一次函数y=kx+k，其中k≠0，则他们的图象可能是（ ）
B
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做 一 做
A B C D
当k＞0时，一次函数y=kx+k的图象过第一、二、三象限，反比例函数y=的图象在第一、三象限，
当k＜0时，一次函数y=kx+k的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=的图象在第二、四象限，∴选B．
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课堂总结
反比例函数的图象与性质
反比例函数 图 象 图象位置 图象对称性 函数增减性
y= （k > 0）
y= （k < 0）
x
y
0
y
x
0
一、三象限
二、四象限
在每个象限y随x的增大而减小；
在每个象限y随x的增大而增大．
两分支关于原点中心对称
两分支关于原点中心对称
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板书设计
反比例函数的图象与性质
反比例函数 图 象 图象位置 图象对称性 函数增减性
y= （k > 0）
y= （k < 0）
x
y
0
y
x
0
一、三象限
二、四象限
在每个象限y随x的增大而减小；
在每个象限y随x的增大而增大．
两分支关于原点中心对称
两分支关于原点中心对称
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作业布置
教材第9页练习.
教材第12页练习1.2第3题.
教材第13页练习1.2第7题.
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谢谢
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表描
点连
线 函数图象画法 ②描点：123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy ③连线： 1.你认为作反比例函数图象的时候需要注意什么？ （1）列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可简化计算，又便于对称性描点；
（2）列表描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又较准确地表达函数的交化趋势；
（3）连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性.?B(3，2)结论：由于x轴是线段AB的垂直平分线，
因此点A与点B关于x轴对称.AB图象增减性：
当x＜0时，函数值随自变量取值的增大而增大；
当x＞0时，函数值随自变量取值的增大而增大.? 1.当k>0时，在图像所在的每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，在图像所在的每一个象限内，y随x的增大而增大；
2.双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交；
3.图象的两个分支关于原点成中心对称.反比例函数的性质一、三象限二、四象限在每个象限y随x的增大而减小；在每个象限y随x的增大而增大．两分支关于原点中心对称两分支关于原点中心对称2.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点.3.连线：用光滑的曲线顺次连接各点，就可得到图象.?1.列表：?D ?B?（1）（3）0:
反比例函数图象在第一、三象限.一次函数：递减函数.D正确.
K<0:
反比例函数：图象在第二、四象限.一次函数：递增函数.?B A B C D?反比例函数的图象与性质一、三象限二、四象限在每个象限y随x的增大而减小；在每个象限y随x的增大而增大．两分支关于原点中心对称两分支关于原点中心对称反比例函数的图象与性质一、三象限二、四象限在每个象限y随x的增大而减小；在每个象限y随x的增大而增大．两分支关于原点中心对称两分支关于原点中心对称教材第9页练习.
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1.2.2 反比例函数y=k÷x（k＜0）的图形与性质
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．对于反比例函数y=﹣图象对称性的叙述错误的是（ ）
A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称
C．关于直线y=﹣x对称 D．关于x轴对称
2．如图，图象对应的函数表达式为（ ）
A．y=5x B． C． D．
3.若函数图象在第二、四象限，则函数y=kx-3的图象经过( )
A.第二、三、四象限 B.第一、二、三象限
C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限
4．在反比例函数y=图象的每一分支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＞0 C．k≥1 D．k＜1
5．一次函数y=kx﹣k2﹣1与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致位置是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共4小题，每题10分）
6．反比例函数y=﹣的图象的对称中心的坐标是 ．
7．已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是 ．
8．已知反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为 ．
9．一次函数y=﹣x+1与反比例函数，x与y的对应值如下表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3
y=﹣x+1 4 3 2 0 ﹣1 ﹣2
1 2 ﹣2 ﹣1 ﹣
不等式﹣x+1＞﹣的解为 ．
三．解答题（共1小题，共20分）
10．画出反比例函数y=﹣的图象．
试题解析
一．选择题
1．D
【分析】根据反比例函数的对称性进行解答即可．
【解答】解：∵双曲线y=﹣的两个分支分别在二、四象限，
∴两个分支关于原点对称，关于直线y=x对称，故A、B选项正确；
此双曲线的每一个分支关于直线y=﹣x对称，故C选项正确；
故只有选项D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的对称性，要求同学们要熟练掌握．
2．D
【分析】根据函数的图象的形状及位置确定函数的表达式即可．
【解答】解：∵函数的图象为双曲线，
∴为反比例函数，
∵反比例函数的图象位于二、四象限，
∴k＜0，
只有D符合，
故选：D．
【点评】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是能够根据函数的图象的形状确定函数模型，难度不大．
3．A
【分析】考查了反比例函数的图象的知识与一次函数图象性质的知识.
【解答】∵反比例函数的图象经过第二、四象限
∴k<0
∴y=kx-3的图象为减函数的图象
又∵b=-3<0
∴图象经过第二、三、四象限.选A:Z+X+
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的增减性，要求同学们要熟练掌握．
4．D
【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求出k的范围．
【解答】解：由题意可知：k﹣1＜0，
∴k＜1
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．
5．C
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k2﹣1＜0，∴一次函数y=kx﹣k2﹣1的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k2﹣1＜0，∴一次函数y=kx﹣k2﹣1的图象经过二、三、四象限，故本选项错误；
C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k2﹣1＜0，∴一次函数y=kx﹣k2﹣1的图象经过二、三、四象限，故本选项正确；
D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k2﹣1＜0，∴一次函数y=kx﹣k2﹣1的图象经过一、三、四象限，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
二．填空题
6．（0，0）
【分析】反比例函数的图象是双曲线，其对称中心是原点．
【解答】解：反比例函数y=﹣的图象的对称中心是原点，其坐标为（0，0）．
故答案是：（0，0）．
【点评】考查了反比例函数的图象．反比例函数图象是双曲线，它既是轴对称图形，也是中心对称图形．
7．k＜1
【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
8．a＞3
【分析】根据反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，可以得到3﹣a＜0，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，
∴3﹣a＜0，
解得，a＞3，
故答案为：a＞3．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
9．【分析】先判断出交点坐标，进而判断在交点的哪侧相同横坐标时一次函数的值都大于反比例函数的值即可．
【解答】解：易得两个交点为（﹣1，2），（2，﹣1），经过观察可得在交点（﹣1，2）的左边或在交点（2，﹣1）的左边，y轴的右侧，相同横坐标时一次函数的值都大于反比例函数的值，所以 不等式﹣x+1＞﹣的解为x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】给出相应的函数值，求自变量的取值范围应该从交点入手思考．
三．解答题
10．【分析】从正数，负数中各选几个值作为x的值，进而得到y的值，描点，连线即可．
【解答】解：列表得：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3
y 1 2 ﹣2 ﹣1 ﹣
描点，连线得：
【点评】考查列反比例函数图象；注意自变量的取值为不为0的任意实数，反比例函数的图象为双曲线．
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新湘教版 数学 九年级上 1.2.2 反比例函数的图象和性质（2）教学设计
课题 1.2.2 反比例函数的图象和性质（2） 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 知识与技能：①理解反比例函数的性质； ②能准确的判断画出反比例函数的图象； ③能够准确的描述出反比例函数的性质； 过程与方法：经历求解反比例函数性质的过程，培养学生数学交流和归纳猜想的能力。 情感态度与价值观：体会到数学推理的奥妙，能用数学知识解决实际问题。
重点 理解反比例函数的性质； 能准确的画出反比例函数的图象； 能准确的说出反比例函数的性质。
难点 画出和总结出反比例函数的图象和性质。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾知识 + 导入新课 同学们，在上节课中我们已将学习了有关反比例函数的概念和k>0时候的性质，今天我们将进一步走进反比例函数的性质。接下来，我们一起回顾下前面学习知识： 当k<0时候，反比例函数的图象是什么样子呢？具有怎样的性质？下面，我们进行一些探究： 在同一个直角坐标系中画出反比例函y=-图象与y=的图象.根据题意回答问题. ①列表： ②描点： ③连线： 2.如何画反比例函数y=-的图象？与y=的图象有什么关系？ （1）在直角坐标系内描出点 A(3，-2)，B(3，2)，点A与点B有什么关系？ 当x=3时，y=-的函数值为－2，而y=的函数值为2. 结论：由于x轴是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B关于x轴对称. （2） y=-图象与y=的图象有什么关系？如何画y=-的图象？ 根据（1）的经验，x取任一非零实数a时，都有点P(a， )与点Q(a，)关于x轴对称，因此y=的图象与y=的图象关于x轴对称. 于是只要把y=的图象沿着x轴翻折并将图象“复印”下来，就得到y=-的图象. 3.观察y=-的图象，根据y=性质试说出y=-的性质. 图象：y=-的图象由两支曲线（即双曲线）组成，它们与x轴、y轴都不相交. 图象增减性： 当x＜0时，函数值随自变量取值的增大而增大； 当x＞0时，函数值随自变量取值的增大而增大. 当k＜0时，反比例函数y=具有与y=-一样的性质. 学生跟着教师回忆知识，并思考本节课的知识。 学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。 回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。 导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课 + 例题讲解 通过刚刚的问题，我们可以得到当k<0时候，反比例函数的性质： 反比例函数y= （k<0）的图象有以下特征： 一般地，当k<0时，反比例函y=k/x的图象由分别在第二、四象限的双曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，双曲线关于原点成中心对称. 在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小. 我们一起总结下，关于反比例函数的性质： 1.当k>0时，在图像所在的每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在图像所在的每一个象限内，y随x的增大而增大； 2.双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交； 3.图象的两个分支关于原点成中心对称. 【例题】画反比例函数y=的图象. 1.列表： 2.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点. 3.连线：用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到图象. 结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握成反比例函数的图象和性质。 老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。 讲授知识，让学生知道本节课的学习内容和重点。 用例题讲解的方式将知识运用起来，便于学生的理解和记忆。
课堂练习+扩展提高 课堂练习+扩展提高 1.反比例函数y=-的图象大致是（ D ） 2.若双曲线y = 的两个分支分别在第二、四象限，则 k 的取值范围是( B ) A. k＞0.5 B. k＜0.5 C. k=0.5 D.不存在 解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k-1＜0，解得k＜0.5.故选B. 3.点(2，y1)和(3，y2)在函数y =-上，则y1 < y2．（填“>”、“<”或“=”） 解析：由题意知该反比例函数位于第二、四象限，且y随着自变量x的增大而增大，故y10)在同一坐标系内的图象大致是（ D ） K>0:反比例函数图象在第一、三象限.一次函数：递减函数.D正确. K<0:反比例函数：图象在第二、四象限.一次函数：递增函数. 【做一做】反比例函数y=与一次函数y=kx+k，其中k≠0，则他们的图象可能是（B） 学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。 学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。 借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。 借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：反比例函数的图象与性质 跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。 帮助学生加强记忆知识。
板书 反比例函数的图形和性质 借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业 教材第9页练习. 教材第12页练习1.2第3题. 教材第13页练习1.2第7题.
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