第23章 解直角三角形
23．1.1 第1课时 正切
知识点 1 正切
1．如图23－1－1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan C等于( )
A. B. C. D.
图23－1－1
2．如图23－1－2，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则tanC等于( )
A．2 B. C. D.
图23－1－2
3．在Rt△ABC中，若各边长都扩大为原来的4倍，则锐角A的正切值( )
A．扩大为原来的4倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．以上都不对
4．如图23－1－3，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是( )
A．2 B．8 C．2 D．4
图23－1－3
5．［2016·白银、张掖］如图23－1－4，点A(3，t)在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是________．
图23－1－4
6.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a＝12，b＝16，c＝20，则tanA＝________.
7.如图23－1－5，已知A，B，C三点均在格点上，则tan A的值为________．
图23－1－5
8．［教材练习第2题变式］如图23－1－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AB＝15，tan A＝，求AC，BC和tan B的值．
图23－1－6
知识点 2 坡角与坡度(坡比)
9．如图23－1－7，梯形护坡石坝的斜坡AB长8 m，坡高BC为4 m，水平距离AC＝4 m，则斜坡AB的坡度是( )
A．30° B．1∶ C．1∶2 D．1∶
图23－1－7
10.为测量如图23－1－8所示的上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据，则该坡道倾斜角α的正切值是( )
A. B. C. D.
图23－1－8
11．如图23－1－9，将两根木棒AB(长10 m)，CD(长6 m)分别斜靠在墙上，其中BE＝6 m，DE＝2 m，你能判断哪根木棒更陡吗？请说明理由．
图23－1－9
12．在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，CD＝2，BD＝8，则tanA的值是( )
A．2 B．4 C. D.
13．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则 tanC等于( )
A. B. C. D.
14．如图23－1－10所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为( )
A. B. C. D.
图23－1－10
15．［2016·芜湖二模］如图23－1－11，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于( )
A. B. C. D.
图23－1－11
16．如图23－1－12所示，在4×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为( )
A . B．1 C. D.
图23－1－12
17．如图23－1－13，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝________．
图23－1－13
18．在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则tan∠AOB＝________，tan∠ABO＝________．
19．如图23－1－14，在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE，DE＝CE，连接BE，则tan∠EBC＝________．
图23－1－14
20．如图23－1－15，l1，l2，l3，l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，四边形ABCD为正方形，则tanα＝________．
图23－1－15
21．如图23－1－16，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是________．
图23－1－16
22．如图23－1－17，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，BD平分∠ABC交AC于点D，则tan∠DBC＝________．
图23－1－17
1．D [解析] tanC＝＝.故选D.
2．B
3．B [解析] 设在原Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边分别为a，b，则各边长都扩大为原来的4倍后，∠A的对边与邻边分别为4a，4b，此时tanA＝＝.
4．A [解析] ∵tanA＝＝，AC＝4，
∴BC＝2.
5. [解析] 过点A作AB⊥x轴于点B.
∵点A(3，t)在第一象限，∴AB＝t，OB＝3.
又∵tanα＝＝＝，∴t＝.
6. [解析] 已知三角形的三边，根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是以∠C为直角的直角三角形，故tanA＝＝＝.
7. [解析] 如图，连接BC.设网格中各小正方形的长为1，则BC＝＝，AC＝＝2 ，AB＝＝5.
∵BC2＋AC2＝AB2，
∴∠BCA＝90°.
∴tanA＝＝＝.
故答案为.
8．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝＝.∴可设BC＝3k，则AC＝4k.由勾股定理，得(3k)2＋(4k)2＝152，解得k＝3(负值已舍去)．
∴AC＝12，BC＝9，tanB＝＝＝.
9．B [解析] 坡度又叫坡比，指铅直高度与水平距离的比，故斜坡AB的坡度为＝.
10．A
11．[解析] 描述木棒的陡缓，即木棒的倾斜程度，通常用正切比较，正切值越大，木棒越陡．本题先借助勾股定理求出AE，CE的长，从而求出tanB，tanD的值，然后比较．
解：木棒CD更陡．理由：由题可知AE＝＝8(m)，CE＝＝4 (m)，
∴tanB＝＝＝，tanD＝＝＝2 .
∵2 ＞，∴tanD＞tanB，即木棒CD更陡．
12． B
[解析] 依题意，得∠A＝∠BCD.因为tan∠BCD＝＝4，所以tanA＝4.故选B.
13． A
[解析] 作出BC边上的高AD，交BC于点D，则CD＝3，根据勾股定理，得AD＝4，∴tanC＝.
14．A
[解析] 由镜面反射，可知∠A＝∠B＝α，∠AEC＝∠BED，
∴△AEC∽△BED.
又∵AC＝3，BD＝6，CD＝12，
∴＝＝，
∴CE＝4，∴tanα＝.故选A.
15． B
[解析] 如图，连接BD.
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴BD＝2EF＝4.
∵BC＝5，CD＝3，∴△BCD是直角三角形，
∴tanC＝＝.故选B.
16． A
[解析] 找到∠BAC所在的直角三角形，进而求得∠BAC的对边与邻边之比即可．如图，连接BD，由勾股定理及逆定理可得△ABD为直角三角形，两条直角边长分别为，2 ，
∴tan∠BAC＝＝.故选A.
17．
18． 1
[解析] 如图，过点A作AC⊥x轴于点C，利用点A的坐标为(2，1)，点B的坐标为(3，0)，可得OC＝2，AC＝1，BC＝1，然后分别在两个直角三角形中求解．
19．
[解析] 如图，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F.设EF＝a，则可得CF＝a，DC＝2a，BF＝3a，
∴tan∠EBC＝＝＝.
20．
[解析] 如图，过点D作l1的垂线交l1于点E，交l4于点F.可证明△AED≌△DFC，∴AE＝DF，
∴tanα＝＝＝.
21．
[解析] 要求tan∠ABC的值，必须有直角三角形．如图，延长BC到下一格点D处，连接AD，△BDA是直角三角形．因为∠O＝60°，小网格是菱形，所以∠ADE＝30°，∠BDE＝60°.在Rt△ADC中，＝，所以tan∠ABC＝＝＝.
22. [解析] 如图，过点A作AE∥BD交CB的延长线于点E.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理，得AB＝13.
∵BD∥AE，
∴∠E＝∠CBD，∠EAB＝∠DBA，
∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠E＝∠EAB，∴BE＝AB.
∵BD∥AE，
∴＝，
∴＝，即＝，
解得CD＝.
在Rt△CBD中，tan∠DBC＝＝＝.
23.1 锐角的三角函数
[23.1 1. 第1课时 正切]
选择题
1．在正方形网格中，△ABC的位置如图30－K－1所示，则tanB的值为( )
A. B. C. D.
图30－K－1
2．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为( )
A．1∶2 B. ∶2
C．1∶ D. ∶1
3．如图30－K－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA＝，则AC的长是( )
A．3 B．4 C．6 D．8
图30－K－2
4．［2017·安庆期末］在Rt△ABC中，∠C＝90°.若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( )
A. B．3 C. D．2
5．［2016·枞阳期末］如图30－K－3，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是( )
A．1 B．1.5 C．2 D．3
图30－K－3
6．［2017·江淮十校联考二模］某人沿斜坡坡度i＝1∶2的斜坡向上前进了6米，则他上升的高度为 ( )
A．3米 B 米
C．2 米 D. 米
7．如图30－K－4，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是 ( )
A．2 B. C. D.
图30－K－4
8．［2016·合肥市168中四模］如图30－K－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连接FB，则tan∠CFB的值等于( )
B. C. D．5
图30－K－5
二、填空题
9．［2017·马鞍山期末］如图30－K－6，一个小球由地面沿着坡面向上前进了13 m，此时小球距离地面的高度为5 m，则坡面的坡度为________．
图30－K－6
10．［2017·合肥市巢湖期末］如图30－K－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的高，AD＝2，CD＝3，则tan∠ABC的值是________．
图30－K－7
11．［2017·黄山模拟］如图30－K－8，P(12，a)在反比例函数y＝的图象上，PH⊥x轴于点H，则tan∠OPH的值为________．
图30－K－8
12.已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为________．
13．如图30－K－9，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．如果AB∶AD＝2∶3，那么tan∠EFC的值是________．
图30－K－9
三、解答题
14．有一山坡的坡面长260 m，坡顶的高度为100 m，求山坡的坡度．
15．如图30－K－10，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝135°，求tanB.
图30－K－10
16．已知：如图30－K－11，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．
图30－K－11
17．如图30－K－12，两根木棍AB＝10 m，CD＝6 m，将它们分别斜立在墙AE上，它们到墙角的距离BE＝6 m，DE＝2 m，你能判断哪根木棍更陡吗？请说明理由．
图30－K－12
18．已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图30－K－13所示，AB＝6，BC＝8，求tanα的值.
图30－K－13
19新定义题如图30－K－14，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cotα，即cotα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
(1)cot30°＝________；
(2)如图30－K－14，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求cotA的值．
图30－K－14
1．[解析] B 设小正方形的边长为1，由图形可知在Rt△ACB中，BC＝4，AC＝3，tanB＝＝.
2．[解析] C 设斜坡的铅直高度h＝k.
∵坡角为30°，
∴斜坡的坡面长为2k，
∴斜坡的水平长度l＝＝k，
∴这个斜坡的坡度为＝＝1∶.故选C.
3．D 4.D
5．[解析] C 过点A作AB⊥x轴于点B.
∵点A(t，3)在第一象限，
∴AB＝3，OB＝t.
又∵tanα＝＝，∴t＝2.
6．[解析] B 根据题意画出示意图如图，由坡度的定义可知＝，
设BC＝x.
∴tanA＝＝，∴AC＝2x，∴x2＋(2x)2＝36，解得x＝(负值已舍去)．
7．[解析] D 如图，连接AC，
由勾股定理，得
AC＝，AB＝2，BC＝，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，
∴tanB＝＝.故选D.
8．[解析] C ∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴EF∥BC，∴＝.又∵＝4，∴＝5，∴＝.设AB＝2x，则BC＝x，AC＝x，∴在Rt△CFB中，CF＝x，BC＝x，则tan∠CFB＝＝.
9．5∶12
10．[答案]
[解析] 因为∠ACB＝90°，CD是AB上的高，所以∠ADC＝∠ACB.又因为∠A＝∠A，所以△ACD∽△ABC，所以∠ABC＝∠ACD，则tan∠ABC＝tan∠ACD＝＝.
11．[答案]
[解析] 根据题意，得a＝＝5，则OH＝12，PH＝5，所以tan∠OPH＝＝.
12.
13．[全品导学号：80402209][答案]
[解析] 设AB＝2k.∵AB∶AD＝2∶3，∴AD＝AF＝3k.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝＝＝k.∵∠D＝∠EFA＝90°，∠B＝∠C＝90°，∴∠EFC＋∠AFB＝∠BAF＋∠AFB＝90°，∴∠EFC＝∠BAF，∴tan∠EFC＝tan∠BAF＝BF∶AB＝∶2.
14．解：∵山坡的水平长度l＝＝240(m)，
∴山坡的坡度＝＝5∶12.
15．解：如图，过点C作CE⊥AB交BA的延长线于点E，设AB＝AC＝a.
∵∠BAC＝135°，∴∠CAE＝45°，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴CE＝AE，∴2AE2＝a2，
∴AE＝CE＝a，BE＝AB＋AE＝a＋a，
∴tanB＝＝＝－1.
16．解：根据题意可得，AC＝BC＝，CD＝CE＝，AD＝BE＝5，
∴△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，
∴tan∠ADC＝tan∠BEC＝.
17．[解析] 描述木棍的陡缓，即木棍的倾斜程度，通常用正切比较，正切值越大，木棍越陡．本题借助勾股定理求出AE，CE的长，从而求出tanB，tanD，然后比较．
解：木棍CD更陡．
理由：由题可知AE＝＝8(m)，CE＝＝4 (m)．
∴tanB＝＝＝，tanD＝＝＝2 .
∵2 ＞，∴tanD＞tanB，即木棍CD更陡．
18．[解析] 以角α为锐角构造直角三角形，再构造相似三角形，由相似比例关系推理出角α的对边与邻边之间的比例关系．
解：如图，过点C作CE⊥l4于点E，延长EC交l1于点F，则CF⊥l1.
∵∠α＋∠BCE＝90°，∠BCE＋∠DCF＝180°－90°＝90°，
∴∠DCF＝∠α.
又∵∠BEC＝∠CFD＝90°，
∴△BEC∽△CFD，
∴＝，即＝，
∴BE＝h.
在Rt△BCE中，∵∠BEC＝90°，
∴tanα＝＝＝.
19解：(1)设BC＝1, 若α＝30°，则AB＝2，
由勾股定理，得AC＝，
∴cot30°＝＝.故答案为.
(2)∵tanA＝＝，
∴可设BC＝3x，AC＝4x，
∴cotA＝＝.
23.1.1 第2课时 正弦与余弦
一、选择题
1．［2017·湖州］已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )
A. B. C. D.
2．［2017·日照］在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
3．把锐角三角形ABC三边的长度都缩小为原来的得到△A′B′C′，则下列关于∠A的对应角∠A′的说法正确的是( )
A．各个三角函数值不变
B．各三角函数值中仅有正切值不变
C．正弦值缩小为原来的
D．余弦值缩小5为原来的
4．［2017·天水］在正方形网格中△ABC的位置如图31－K－1所示，则cosB的值为( )
B. C. D.
图31－K－1
5．如图31－K－2，直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，则cos∠BAO的值是( )
B. C. D.
图31－K－2
6．［2016·乐山］如图31－K－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论中不正确的是( )
A．sinB＝ B．sinB＝
C．sinB＝ D．sinB＝
图31－K－3
7．［2017·合肥庐阳区四模］如图31－K－4，点A在反比例函数y＝－(x＜0)的图象上，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，且∠AOB＝90°.则cos∠OBA的值等于( )
A. B. C. D.
图31－K－4
二、填空题
8．如图31－K－5，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，则sinB＝________．
图31－K－5
9．如图31－K－6，已知CD是Rt△ABC斜边上的高，且AB＝10，BC＝8，则cos∠ACD＝________．
图31－K－6
10．［2017·马鞍山当涂县月考］如图31－K－7，网格中的每个小正方形的边长都是1，ABC每个顶点都在网格点上，则sinA＝________．
图31－K－7
三、解答题
11．如图31－K－8所示，∠ACB＝90°，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，BC＝6，求∠BDE的三个三角函数值．
图31－K－8
如图31－K－9，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cos∠ABC，sin∠BAC.
图31－K－9
13．如图31－K－10，在△ABC中，AD⊥BC于点D，如果AD＝9，CD＝3，E为AC的中点，求∠ADE和∠EDC的正弦值．
图31－K－10
14．［2017·池州月考］如图31－K－11，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24，点P，D分别在边AB，BC上，且AD2＝AP·AB，求∠ADP的正弦值．
图31－K－11
15．如图31－K－12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为E.已知AC＝15，cosA＝.
(1)求线段CD的长；
(2)求sin∠DBE的值．
图31－K－12
16规律探索阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°＝，cos30°＝，则sin230°＋cos230°＝__________；①
sin45°＝，cos45°＝，则sin245°＋cos245°＝________；②
sin60°＝，cos60°＝，则sin260°＋cos260°＝________；③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝________．④
(1)如图31－K－13，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
(2)已知：∠A为锐角(cosA>0)且sinA＝，求cosA.
图31－K－13
1．[解析] A 在Rt△ABC中，cosB＝＝.
2．[解析] B 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝12，∴sinA＝＝.
3．[解析] A 缩小后的三角形与△ABC相似，则∠A的度数不变，即∠A′＝∠A，故∠A′的各个三角函数值不变．
4．[解析] B 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，通过网格容易看出△ABD为等腰直角三角形，AD＝BD＝4，所以AB＝4 ，故cosB＝＝.
5．[解析] A 直线AB与坐标轴的交点坐标为A(－4，0)，B(0，3)，则OA＝4，OB＝3，所以AB＝5，所以cos∠BAO＝.
6．[解析] C 由题意可知∠B＝∠CAD，∴sinB＝＝＝.
7．[解析] D 如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，易证△OBD∽△AOC，∴＝.根据反比例函数的几何意义可得S△OBD＝，S△AOC＝3，∴＝＝＝6，∴＝(负值已舍去)．设BO＝x，则AO＝x，∴AB＝x，∴cos∠OBA＝＝＝.
8.
9．[答案]
[解析] ∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴cos∠ACD＝cosB＝＝＝，
故答案为.
10．[答案]
[解析] S△ABC＝4×4－×2×4－×2×2－×2×4＝6.
如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
根据勾股定理，得AB＝AC＝＝2 .∵S△ABC＝AB·CD＝6，∴CD＝＝.根据正弦的定义可得sinA＝＝＝.
11．解：∵∠B＝∠B，∠DEB＝∠C＝90°，
∴∠BDE＝∠A.
∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，
∴sin∠BDE＝sinA＝，cos∠BDE＝cosA＝，tan∠BDE＝tanA＝.
12．解：过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝BC＝3，∴cos∠ABC＝＝.
过点C作CE⊥AB于点E.
∵cos∠ABC＝＝，
∴BE＝BC＝，
∴AE＝AB－BE＝，
∴CE＝＝，
∴sin∠BAC＝＝.
13．解：在Rt△ACD中，AC＝＝＝3 .
∵DE是Rt△ACD斜边AC上的中线，
∴AE＝DE＝CE，
∴∠ADE＝∠CAD，∠EDC＝∠C.
根据三角函数的定义，得
sin∠ADE＝sin∠CAD＝＝＝，
sin∠EDC＝sinC＝＝＝.
14．解：∵AD2＝AP·AB，∴＝.
又∵∠DAP＝∠BAD，
∴△PAD∽△DAB，∴∠ADP＝∠B.
如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∵△ABC是等腰三角形，
∴BE＝CE＝12，
∴AE＝＝＝9，
∴sin∠ADP＝sinB＝＝＝.
15．解：(1)∵在Rt△ABC中，AC＝15，cosA＝＝＝，∴AB＝25.
∵D是边AB的中点，∴CD＝.
(2)在Rt△ABC中，BC＝＝＝20.
又∵AD＝BD＝CD＝，
设DE＝x，EB＝y，则
在Rt△BDE中，x2＋y2＝，①
在Rt△BCE中，＋y2＝202，②
联立①②，解得x＝.
∴sin∠DBE＝＝＝.
16解：①②③④都填1
(1)证明：如图所示，过点B作BH⊥AC于点H，BH2＋AH2＝AB2，
则sinA＝，cosA＝，
所以sin2A＋cos2A
＝＋
＝
＝1.
(2)∵sin2A＋cos2A＝1，sinA＝，
∴cos2A＝1－＝.
∵cosA>0，∴cosA＝.
23.1.1 第2课时 正弦与余弦
知识点 1 正弦
1．如图23－1－18所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinB的值是( )
A . B. C. D.
图23－1－18
2．如图23－1－19，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若将三角形的各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( )
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的4倍 D．不变
图23－1－19
3．［2017·日照］在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为( )
A. B. C. D.
4．如图23－1－20，P是锐角α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则sinα等于( )
A. B. C. D.
图23－1－20
5．［2016·兰州］在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB的长为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图23－1－21，已知在△ABC中，∠B＝90°，tanA＝，BC＝2.
图23－1－21
(1)求AB的长；
(2)求sinA.
知识点 2 余弦
7．［2017·湖州］如图23－1－22，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos B的值是( )
A. B. C. D.
图23－1－22
8．［2016·广东］如图23－1－23，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( )
A. B. C. D.
图23－1－23
9．在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则 cosA等于( )
A. B. C. D.
10．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足 BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cosB等于( )
A. B. C. D.
11．如图23－1－24，每个小正方形的边长为1，点A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的余弦值为( )
A. B. C. D.
图23－1－24
知识点 3 锐角三角函数的取值范围
12．若α是锐角，sinα＝3m－2，则m的取值范围是( )
A. ＜m＜1 B．2＜m＜3
C．0＜m＜1 D．m＞
13．如果0°＜∠A＜90°，并且cosA是方程(x＋)(x－0.35)＝0的一个根，那么cosA的值是________．
14．如图23－1－25，A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示 cosα的值，错误的是( )
A. B. C. D.
图23－1－25
15．［2016·芜湖南陵一模］如图23－1－26，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是( )
A. B. C. D.
图23－1－26
16．如图23－1－27所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是( )
A. B. C. D.
图23－1－27
17．如图23－1－28，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BE＝4，BC＝6，则sin∠DAC＝________．
图23－1－28
18．如图23－1－29，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E.若BC＝6，sinA＝，则DE＝________．
图23－1－29
19．［教材例3变式］如图23－1－30，正比例函数与反比例函数y＝的图象交于点P(3，m)，若OP与x轴正方向的夹角为α.求α的各个三角函数值．
图23－1－30
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，求cosA，sinB和tanA的值．
21．如图23－1－31，AD，CE分别是△ABC的边BC，AB上的高．
(1)证明：△BDE∽△BAC；
(2)若AC＝10，cosB＝，试求DE的长．
图23－1－31
22．已知矩形ABCD的面积为48，其对角线AC的长为10，求sin∠ACB.
教师详解详析
1．D 2.D
3. B [解析] 由勾股定理求出BC＝12，然后根据定义求出sinA＝.
4．B [解析] 要求sinα的大小，需知道直角三角形中锐角α所对的直角边和斜边的大小．由点的坐标的定义，得锐角α所对直角边的长是4，邻边长是3，再由勾股定理求出斜边长，即OP＝＝5，所以sinα＝.故选B.
5．D
6．解：(1)∵tanA＝＝，∴AB＝3BC＝6.
(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝2，∴AC＝＝2 ，
∴sinA＝＝＝.
7．A [解析] 在Rt△ABC中，cosB＝＝＝.
8．D
9．D [解析] 在△ABC中，∵∠B＝90°，BC＝2AB，∴AC＝＝＝AB，∴cosA＝＝＝.故选D.
10．C [解析] 根据△ABC的三边比为BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，可知△ABC是直角三角形，再由三角函数的概念，得cosB＝＝.故选C.
11．B [解析] 连接AC，根据勾股定理可得，AC＝AB＝，BC＝2 .
∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC的余弦值为.
12．A [解析] 由于锐角的正弦值在0～1之间(不包括0，1)，所以0＜3m－2＜1，解得＜m＜1 .
13．0.35 [解析] 方程的根是x＝－和x＝0.35.因为0＜cosA＜1，所以cosA＝0.35.
14． C
[解析] 因为AC⊥BC，CD⊥AB，所以∠B＋∠BAC＝∠ACD＋∠BAC＝90°，所以∠B＝∠ACD＝α.即cosα＝＝＝.故选C.
15． D
[解析] 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，则斜边AB＝2CD＝4.所以sinB＝＝.
16． D
17. [解析] 在直角三角形中，由勾股定理，得
CE＝＝2 .由题意知，∠DAC＝∠CBE，∴sin∠DAC＝sin∠CBE＝＝.
18．
19．解：过点P作x轴的垂线，垂足为A.
把x＝3代入反比例函数y＝的表达式中，
求出y＝4.∴OA＝3，PA＝4.
根据勾股定理，得OP＝5，
∴sinα＝，cosα＝，tanα＝.
20．解：设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
∵sinA＝＝，
∴设a＝12k，c＝13k，则b＝＝5k，
∴cosA＝＝＝，sinB＝＝，tanA＝＝＝.
21．解：(1)由cosB＝＝，得＝.
又∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC.
(2)由△BDE∽△BAC，得＝.
又∵AC＝10，cosB＝＝，
∴＝，即＝，∴DE＝6.
22．解：如图．
设AB＝a，BC＝b，由题意知
∴
解得或
当时，sin∠ACB＝；
当时，sin∠ACB＝.
综上可得，sin∠ACB的值为或.
23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
知识点 1 特殊角的三角函数值
1．如图23－1－32在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则sin30°＝________．若AB＝a，则BC＝________，AC＝________，∴cos30°＝________．
图23－1－32
2．［2017·天津］cos60°的值等于( )
A. B．1 C. D.
3．如图23－1－33，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则tan∠AOB的值等于________．
图23－1－33
知识点 2 含特殊角的三角函数的实数运算
4．计算tan45°的结果等于( )
A. B．1 C. D.
5．计算 cos245°＋ sin245°的结果等于( )
A. B．1 C. D.
6．化简等于( )
A．1－ B．－－1
－1 D. －1
7．下列结论中正确的是( )
A．sin30°＋sin40°＝sin70°
B．cos30°＋cos30°＝cos60°
C．2tan30°＝tan60°
D．tan30°·tan60°＝1
8．计算：(1)sin60°－cos45°＋；
(2)－；
(3)；
(4)2sin45°－|－|－(－2018)0＋()－1＋3tan30°.
知识点 3 已知三角函数值求特殊角
9．已知tanA＝1，则锐角A的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosB＝，那么∠A等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
11．在△ABC中，若＋(－tanB)2＝0，且∠A，∠B为锐角，则∠C的度数为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
12．若α为锐角，当无意义时，sin(α＋15°)＋cos(α－15°)的值为________．
13．若tanA的值是方程x2－(1＋)x＋＝0的一个根，求锐角A的度数．
14．点M(－sin60°，－cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(，) B．(－，－)
C．(－，) D．(－，－)
15．［2016·宿州二模］已知α，β均为锐角，且满足＋＝0，则α＋β＝________°.
16．［2016·临沂］一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
例如：sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝×＋×＝1.
类似地，可以求得sin15°的值是________．
17．等腰三角形的底边长为20 cm，面积为 cm2，求它的各内角的度数．
18．如图23－1－34，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，且AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，求的值．
图23－1－34
19．如图23－1－35，在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．若∠B＝60°，则＋的值为( )
A.
B.
C．1
图23－1－35
20．如图23－1－36，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AD为∠BAC的平分线，AD＝，求∠B的度数及边BC，AB的长．
图23－1－36
教师详解详析
a a 2. D
3. [解析] 连接AB.由题意知，△ABO是等边三角形，故∠AOB＝60°，∴tan∠AOB＝.
4．C [解析] 把tan45°＝1代入原式进行计算，即原式＝×1＝.故选C.
5．B [解析] cos45°＝sin45°＝，代入原式，得cos245°＋sin245°＝()2＋()2＝＋＝1.故选B.
6．A [解析] ∵tan30°＝<1, ∴tan30°－1＜0，∴＝1－tan30°＝1－.
7．D
8．解：(1)sin60°－cos45°＋
＝×－×＋2＝.
(2)原式＝－＝1－＋1＝2－.
(3)＝(＋)÷＝＋.
(4)原式＝2×－－1＋3＋3×＝－－1＋3＋＝2＋.
9．B [解析] ∵tanA＝1，∠A为锐角，tan45°＝1，
∴∠A＝45°.
10．B [解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，∴∠B＝60°，∴∠A＝180°－∠C－∠B＝30°.故选B.
11．D
12. [解析] 由已知得α＝45°，再代入计算．
13．解：解方程x2－(1＋)x＋＝0，
得x1＝1，x2＝.
由题意，知tanA＝1或tanA＝，
∴∠A＝45°或∠A＝60°.
14． C
[解析] 关于x轴对称的两点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
15． 75
[解析] ∵＋＝0，
∴sinα＝，tanβ＝1.∵α，β均为锐角，
∴＝30°，β＝45°.
∴α＋β＝30°＋45°＝75°.
故答案为75.
16．
17．解：如图．
在△ABC中，AB＝AC，BC＝20 cm.
设等腰三角形底边上的高AD为x cm，底角为α，
则有x·20＝，解得x＝.
∵tanα＝＝，
∴α＝30°，∴顶角为180°－2×30°＝120°.
∴该等腰三角形的三个内角的度数分别为30°，30°，120°.
18．解：在△CAD与△ABE中，
∵
∴△CAD≌△ABE，
∴∠ACD＝∠BAE.
∵∠BAE＋∠CAE＝60°，
∴∠ACD＋∠CAE＝60°，
∴∠AFG＝∠ACD＋∠CAE＝60°.
在Rt△AFG中，
∵sin∠AFG＝，
∴＝.
19．C [解析] 如图，过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△BDA中，∵∠B＝60°，
∴DB＝，AD＝.
在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2，
∴(a－)2＝b2－c2，即a2＋c2＝b2＋ac，
∴＋＝＝＝1.
20．解：在Rt△ACD中，
∵cos∠CAD＝＝＝，
且∠CAD为锐角，
∴∠CAD＝30°.
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
即∠CAB＝60°，
∴∠B＝90°－∠CAB＝30°.
∵sinB＝，
∴AB＝＝＝16.
又∵cosB＝，
∴BC＝AB·cosB＝16×＝8 .
23.1.3 一般锐角的三角函数值
知识点 1 互余两角的正弦、余弦的关系
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么cosB的值为( )
A. B. C. D．不能确定
2．如果α是锐角，且sinα＝0.8，那么cos(90°－α)等于( )
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.2
3．若α是锐角，sinα＝cos50°，则α等于( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．已知sin42°54′＝0.6807，如果cosα＝0.6807，那么α＝________.
5．化简下列各式：
(1)1－sin70°＋cos20°； (2).
知识点 2 用计算器求锐角的三角函数值
6．利用计算器计算sin30°时，依次按键，显示的结果是( )
A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1
7．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是( )
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
8．用计算器求下列三角函数值(精确到0.0001)：
(1)sin75.6°； (2)cos37.1°； (3)tan25°.
知识点 3 用计算器求锐角的度数
9．已知三角函数值，用计算器求锐角A.(角度精确到1″)
(1)sinA＝0.3035； (2)cosA＝0.1078；
(3)tanA＝7.5031.
知识点 4 锐角三角函数的增减情况
10．三角函数值sin30°，cos16°，cos43°之间的大小关系是( )
A．cos43°＞cos16°＞sin30°
B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞ sin30°
D．cos43°＞sin30°＞cos16°
11．若45°＜α＜90°，则sinα________cosα；若0°＜α＜45°，则sinα________cosα.(填“>”“<”或“＝”)
12．用不等号连接下面的式子：
(1)tan19°________tan21°；
(2)cos18°________sin18°.
13．若α为锐角，且cosα＜1，则α的取值范围是__________．
14．在△ABC中，∠C＝90°，设sinB＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是( )
A．0
C．015．若α＜60°，且sin(60°－α)＝0.75，则cos(30°＋α)＝________．
16．观察下列等式：
①sin30°＝，sin60°＝；
②sin45°＝，sin45°＝；
③sin60°＝，sin30°＝；
…
根据上述规律，计算：sin2α＋sin2(90°－α)＝________.(0°<α<90°)
17．如图23－1－37，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠1＝∠2，则sinβ＝________．
图23－1－37
18．如图23－1－38，在△ABC中，CD⊥AB于点D，如果sinA＝cosB＝，证明△ABC为直角三角形．
图23－1－38
19．设β为任意锐角，你能说明tanβ与sinβ之间的大小关系吗？若能，请比较大小；若不能，请说明理由．
20．如图23－1－39所示，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3.若∠B＋∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( )
图23－1－39
A．25∶9 B．5∶3
∶ D．5 ∶3
21．如图23－1－40所示，在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD＝，求tanA的值．
图23－1－40
1．A [解析] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＋∠B＝90°，则cosB＝sinA＝.故选A.
2．A [解析] 一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，即cos(90°－α)＝sinα＝0.8.
3．C [解析] 由sinα＝cos(90°－α)，可知α＝90°－50°＝40°.故选C.
4．47°6′
5．解：(1)原式＝1－sin70°＋sin70°＝1.
(2)原式＝＝.
[点评] 本题主要考查互余两角的三角函数的互化．
6．A
7．B [解析] 本题要求熟练应用计算器，对计算器显示的结果，根据近似数的概念用四舍五入法取近似数．
8．[解析] 以度为单位的锐角，按，，键后直接输入数字，再按得到锐角的正弦，余弦，正切值．
解：(1)按 显示0.968583161，即sin75.6°≈0.9686.
(2)按 显示0.797583928，即cos37.1°≈0.7976.
(3)按 显示0.466307658，即tan25°≈0.4663.
9．解：(1)∠A≈17°40′5″.
(2)∠A≈83°48′41″.
(3)∠A≈82°24′30″.
10．C [解析] 根据余角三角函数之间的关系，sin30°＝ cos60°，而cos16°＞cos43°＞cos60°，即cos16°＞cos43°＞ sin30°.
11．＞ ＜ [解析] (方法一)取特殊值法：当45°＜α＜90°时，取α＝60°，sin60°＝，cos60°＝，此时sin60°＞cos60°，因此应填“＞”；当0°＜α＜45°时，取α＝30°，sin30°＝，cos30°＝，由sin30°＜cos30°，此时sinα＜cosα，应填“＜”．
(方法二)统一转化为正弦，利用锐角的正弦值随着角度的增大而增大比较．
∵cosα＝sin(90°－α)(α为锐角)，
当45°＜α＜90°时，α＞90°－α，
∴sinα＞sin(90°－α)，
∴sinα＞cosα；
当0°＜α＜45°时，α＜90°－α，
∴sinα＜sin(90°－α)，∴sinα＜cosα.
12．(1)＜ (2)＞ [解析] (1)由于正切值随锐角的增大而增大，因为19°＜21°，所以tan19°＜tan21°，应填“＜”．(2)由cos18°＝sin(90°－18°)＝sin72°，因为72°＞18°，所以sin72°＞sin18°，即cos18°＞sin18°.
13．0°＜α＜90°
14． A
[解析] 根据题意，知0°＜∠B＜45°，再根据sin45°＝和一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行分析，有0＜n＜.故选A.
15．0.75 [解析] cos(30°＋α)＝cos[90°－(60°－α)]＝sin(60°－α)＝0.75.
16． 1
[解析] 根据①②③可得出规律，即sin2α＋sin2(90°－α)＝1(0°＜α＜90°)．
17. [解析] ∵∠1＝∠2，
∴sinβ＝cos∠1＝＝＝.
18．证明：在Rt△ACD中，sinA＝.
在Rt△BCD中，cosB＝，
∴＝，即＝，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，∴∠ACD＝∠B.
∵∠A＋∠ACD＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形．
19．解：能．如图，设β是Rt△ABC的一个锐角，令∠B＝β，则tanβ＝，sinβ＝.因为BC，所以tanβ＞sinβ.
20．A [解析] 如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′.
∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，
∴∠B＝∠C，∠B′＝∠C′，BC＝2BD，B′C′＝2B′D′，
∴AD＝AB·sinB，A′D′＝A′B′·sinB′，BC＝2BD＝2AB·cosB，B′C′＝2B′D′＝2A′B′·cosB′，
∵∠B＋∠B′＝90°，
∴sinB＝cosB′，sinB′＝cosB.
∵S△ABC＝AD·BC＝AB·sinB·2AB·cosB＝25sinB·cosB，
S△A′B′C′＝A′D′·B′C′＝A′B′·sinB′·2A′B′·cosB′＝9sinB′·cosB′，
∴S△ABC∶S△A′B′C′＝25∶9.
21．解：如图，过点D作CD的垂线交BC于点E.
∵tan∠BCD＝＝，
∴可设DE＝x，则CD＝3x.
∵CD⊥AC，CD⊥DE，∴DE∥AC.
又∵D为AB的中点，∴E为BC的中点，
∴DE＝AC，∴AC＝2DE＝2x.
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，
∴tanA＝＝＝.
23.2 第1课时 解直角三角形
知识点 1 已知一边一锐角解直角三角形
1．如图23－2－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A. B．4 C．8 D．4
图23－2－1
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC等于( )
A．3sin40° B．3sin50°
C．3tan40° D．3tan50°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边a＝4，cosB＝，则斜边c的长为________．
4．如图23－2－2，AD⊥CD，∠ABD＝60°，AB＝4 m，∠C＝45°，则AC＝________．
图23－2－2
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知∠B＝60°，c＝20，解这个直角三角形．
知识点 2 已知两边解直角三角形
6．如图23－2－3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，那么∠B的度数为( )
A．60° B．45° C．30° D．15°
图23－2－3
7．在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.若a＝，c＝，则下列解该直角三角形的结果中完全正确的一组是( )
A．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
B．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
C．∠A＝45°，∠B＝45°，b＝
D．∠A＝45°，∠B＝45°，b＝
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，b＝7，解这个直角三角形．(角度精确到1″)
知识点 3 将斜三角形转化为直角三角形
9．已知等腰三角形的腰长为2 ，底边长为6，则底角的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
10．［教材例2变式］如图23－2－4，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若∠A＝60°，b＝20 cm，c＝30 cm，求BC的长．
图23－2－4
11．如图23－2－5，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.若AC＝6 ，∠C＝45°，tanB＝3，则BD等于( )
A．2 B．3 C．3 D．2
图23－2－5
12．如图23－2－6，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2 ，则AB的长度为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
图23－2－6
［2017·义乌］以Rt△ABC(∠B＝90°)的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC分别交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D，若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为________．
14．［2017·临沂］如图23－2－7, 在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AB＝4，BD＝10，sin∠BDC＝，则?ABCD的面积是________．
图23－2－7
15．在△ABC中，AB＝8，∠B＝30°，AC＝5，则BC＝________．
16．如图23－2－8，已知 tanC＝，点P在边CA上，CP＝5，点M，N在边CB上，PM＝PN.若MN＝2，求PM的长．
图23－2－8
17．如图23－2－9，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，cosC＝，sinB＝，AD＝1.
(1)求BC的长；
(2)求tan∠DAE的值．
图23－2－9
18．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为__________．
19．一副三角尺按图23－2－10放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 ，求CD的长．
图23－2－10
教师详解详析
1．D [解析] ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴cosB＝，即cos30°＝，∴BC＝8×＝4 .故选D.
2．D
3．6 [解析] 由余弦定义，得cosB＝＝，解得c＝6.
4．2 m [解析] 在Rt△ABD中，∠D＝90°，∠ABD＝60°，AB＝4.∵sin∠ABD＝，
即sin60°＝，∴AD＝2 .
∵在Rt△ACD中，∠D＝90°，∠C＝45°，AD＝2 ，
∴sin∠ACD＝，即sin45°＝，∴AC＝2 m.
5．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝180°－∠C－∠B＝180°－90°－60°＝30°，∴a＝c＝×20＝10，
∴b＝＝＝10 .
6．C 7.C
8．[解析] 由勾股定理，可先求得c的值．然后选用tanA＝，利用计算器求得锐角A，最后根据两锐角互余，可得另一锐角B的度数．
解：∵a＝5，b＝7，
∴c＝＝＝.
∵tanA＝＝，
∴∠A≈35°32′16″，则∠B≈54°27′44″.
9．A [解析] 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2 ，BC＝6，过点A作AD⊥BC于点D，则BD＝3.在Rt△ABD中，cosB＝＝＝，∴∠B＝30°，即等腰三角形的底角为30°.
10．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ACD中，∵sinA＝，cosA＝，
∴CD＝bsin60°＝20×＝10 ，AD＝bcos60°＝20×＝10，BD＝30－10＝20，
∴BC＝＝10 (cm)．
11． A
[解析] ∵AC＝6 ，∠C＝45°，
∴AD＝AC·sin45°＝6 ×＝6.
∵tanB＝3，∴＝3，∴BD＝＝2.
故选A.
12． B
[解析] 过点C作CD⊥AB于点D.
∵sinA＝，
∴CD＝AC·sinA＝AC·sin30°＝2 ×＝.
∵cosA＝，
∴AD＝AC·cos30°＝2 ×＝3.
∵tanB＝＝，
∴BD＝2.
∴AB＝AD＋BD＝3＋2＝5.
故选B.
13．2 [解析] 如图，由题意可知AD平分∠BAC.作DE⊥AC，垂足为E，
则DE＝2，所以BD＝DE＝2.在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，所以AB＝2×＝2 .
14．24 [解析] 根据sin∠BDC＝可以求出△BCD中BD边上的高，从而求出?ABCD的面积．过点C作CE⊥BD于点E，在Rt△ECD中，
∵sin∠BDC＝＝＝，AB＝4，∴CE＝，S?ABCD＝2××BD×CE＝24.
15． 4 ±3
[解析] 由于∠C可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．如图，过点A作BC边的垂线，设垂足为D.首先在Rt△ABD中，求出AD的长，进而可在两个直角三角形中求出CD，BD的长．
16．解：如图，过点P作PD⊥MN于点D.
∵tanC＝＝，
∴设PD＝4x，则CD＝3x.
∵CP＝5，
∴由勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝52，
解得x＝1，∴PD＝4.
∵MN＝2，PM＝PN，PD⊥MN，∴MD＝1，
∴PM＝＝.
17．解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵cosC＝，∴∠C＝45°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝1，∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝＝，AD＝1，∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2 ，
∴BC＝BD＋CD＝2 ＋1.
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝＋，
∴DE＝CE－CD＝－，
∴tan∠DAE＝＝－.
18． 2 或4 或6
[解析] (1)如图①，∠ABP＝30°.
∵∠ABC＝60°，∴∠ACB＝30°.
∵BC＝6，∴AB＝3，
∴AC＝3 .
在Rt△BAP中，tan30°＝，
∴AP＝AB·tan30°＝3×＝，
∴CP＝3 －＝2 .
(2)如图②，由图①知AB＝3，AC＝3 .又∠ABP＝30°，
∴AP＝，∴CP＝3 ＋＝4 .
(3)如图③，∵∠ABC＝∠ABP＝30°，
∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠P，∴BC＝BP.
∵∠C＝60°，
∴△CBP是等边三角形，
∴CP＝BC＝6.
故答案为2 或4 或6.
19．解：如图，过点B作BM⊥FD于点M.
在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
AC＝12 ，∴BC＝AC＝12 .
∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝45°，
∴BM＝BC·sin45°＝12 ×＝12，
∴CM＝BM＝12.
在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，∴MD＝＝4 ，
∴CD＝CM－MD＝12－4 .
23.2 第2课时 仰角、俯角问题
知识点 1 仰角
1．如图23－2－11，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )
A. 米 B．30sinα米
C．30tanα米 D．30cosα米
图23－2－11
2．［2016·宁波］如图23－2－12，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1 m，则旗杆高BC为________m(结果保留根号)．
图23－2－12
3．如图23－2－13，线段AB，DC分别表示甲，乙两座建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间的距离BC＝30米，若甲建筑物的高AB＝28米，在点A测得点D的仰角α＝45°，则乙建筑物的高DC等于________米．
图23－2－13
4．［2017·吉林］如图23－2－14，一枚运载火箭从距雷达站C处5 km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1 km.参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)
图23－2－14
知识点 2 俯角
5．如图23－2－15，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机的飞行高度AC＝1200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为( )
A．1200 m B．1200 m
C．1200 m D．2400 m
图23－2－15
6．如图23－2－16，为了测量楼AC的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°.已知地面上的B点与楼的水平距离BC为30 m，那么楼的高度AC为________ m．(结果保留根号)
图23－2－16
7．［教材练习第1题变式］如图23－2－17，飞机飞行的高度是1000米，从飞机上测得正前方一座楼楼顶的俯角为18°，已知楼的高度为90米，求此时飞机与楼的水平距离BC的长(精确到1米)．
图23－2－17
8．［2016·长沙］如图23－2－18，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°.若热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )
A．160 m B．120 m
C．300 m D．160 m
图23－2－18
9．周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到公园，准备用她们所学的知识测算塔的高度．如图23－2－19，小芳站在A处测得塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处(A，B与塔的轴心共线)测得塔顶的仰角β为30°.她们又测出A，B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10厘米，则可计算出塔高约为(结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732)( )
A．36.21米 B．37.71米
C．40.98米 D．42.48米
图23－2－19
10．如图23－2－20，直升机在某大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO＝450米，且A，B，O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α＝30°，β＝45°，求大桥的长AB.(结果保留根号)
图23－2－20
11．［2017·安庆一模］如图23－2－21，在楼AB与楼CD之间有一旗杆EF，从AB顶部A点处经过旗杆顶部E点恰好看到楼CD的底部D点，且俯角为45°，从楼CD顶部C点处经过旗杆顶部E点恰好看到楼AB的G点，BG＝1米，且俯角为30°，已知楼AB高20米，求旗杆EF的高度．(≈1.732，结果精确到1米)
图23－2－21
12．为减少交通事故的发生，某市在很多危险路段设置了电子监控仪．如图23－2－22，在坡角为30°的公路BC上方的A处有一电子监控仪，一辆轿车行驶到C 处，在同一平面内，由A处测得C处的轿车的俯角为15°，AB垂直于水平面且AB＝10 m，轿车由C行驶到B处用了1 s．如果该路段限速，车速不允许超过40 km/h(约11.1 m/s)，请你求出该轿车的速度，并判断该司机是否超速行驶．(结果精确到0.1 m/s.参考数据：≈1.41，≈1.73)
图23－2－22
教师详解详析
1．C [解析] 在Rt△ABO中，tanα＝，∴AO＝BO·tanα＝30tanα米．故选C.
2．(10 ＋1) [解析] 如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则∠AEB＝90°，AE＝DC＝10 m，CE＝AD＝1 m.
∵在Rt△BAE中，∠BAE＝60°，
∴BE＝AE·tan60°＝10 m，
∴BC＝BE＋CE＝(10 ＋1)m，
∴旗杆高BC为(10 ＋1)m.
故答案为(10 ＋1)．
3．58 [解析] 过点A作AF⊥CD于点F.在Rt△ADF中，因为AF＝BC＝30，α＝45°，所以DF＝AF＝30，所以CD＝DF＋CF＝DF＋AB＝30＋28＝58(米)．
4．解：由题意，得∠AOC＝90°，OC＝5 km.
在Rt△AOC中，∵tan34°＝，
∴OA＝OC·tan34°≈5×0.67＝3.35(km)．
在Rt△BOC中，∵∠BCO＝45°，
∴OB＝OC＝5 km，
∴AB＝5－3.35＝1.65≈1.7(km)．
答：A，B两点间的距离约为1.7 km.
5．D [解析] ∵sinB＝＝，AC＝1200 m，∴AB＝2400 m．故选D.
6．10 [解析] ∵俯角为30°，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝BC·tan30°＝10 m.
7．解：如图，作DE⊥AB，垂足为E，则∠ADE＝18°，AE＝AB－BE＝AB－CD＝1000－90＝910(米)．
在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，
即tan18°＝，∴DE≈2801(米)．
∴BC＝DE≈2801米．
答：此时飞机与楼的水平距离BC的长约为2801米．
8．A [解析] 如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120 m.
在Rt△ABD中，BD＝AD·tan30°＝120×＝40 (m)，
在Rt△ACD中，CD＝AD·tan60°＝120×＝120 (m)，
∴BC＝BD＋CD＝160 m.
9． D
[解析] 已知小芳站在A处测得塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处(A，B与塔的轴心共线)测得塔顶的仰角β为30°，A，B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10厘米，所以设塔高为x米，则＝tan30°＝，解得x≈42.48.故选D.
10．解：∵大桥两端的俯角分别为α＝30°，β＝45°，
∴∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，
∴tan30°＝，tan45°＝，
∴OA＝＝450 ，OB＝＝450，
∴AB＝OA－OB＝450(－1)米．
答：大桥的长AB为450(－1)米．
11．解：如图，过点G作GP⊥CD于点P，与EF相交于点H.设EF的长为x米，
由题意可知，FH＝GB＝1米，EH＝EF－FH＝(x－1)米．
又∵∠BAD＝∠ADB＝45°，
∴FD＝EF＝x米，AB＝BD＝20米．
在Rt△GEH中，∠EGH＝30°，
∵tan∠EGH＝，即＝，
∴GH＝(x－1)米．
∵BD＝BF＋FD＝GH＋FD，
∴(x－1)＋x＝20，解得x≈8米．
答：旗杆EF的高度约为8米．
12．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵坡角为30°，且AB垂直于水平面，
∴∠ABC＝60°.
在Rt△ABD中，∵AB＝10 m，∠ABD＝60°，
∴BD＝AB·cos∠ABD＝5 m，
AD＝AB·sin∠ABD＝5 m.
又∵∠MAC＝15°，
∴∠CAD＝∠BAM－∠BAD－∠MAC＝45°，
∴CD＝AD＝5 m，∴BC＝(5＋5 )m.
∵轿车的行驶时间为1 s，
∴轿车的速度是(5＋5 )m/s≈13.7 m/s.
∵40 km/h≈11.1 m/s＜13.7 m/s，
∴该司机超速行驶．
答：该轿车的速度约为13.7 m/s，超速行驶．
23.2 第3课时 方向角问题
知识点 1 直角三角形的方向角问题
1．如图23－2－23，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向上，距离灯塔P为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么该海轮航行的距离AB的长是( )
A．2海里 B．2sin55°海里
C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
图23－2－23
2．如图23－2－24，在亚丁湾一海域执行护航任务的我国海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶到达C处时，发现灯塔A在军舰的北偏东60°的方向上，该军舰由B处到C处行驶的路程为________米(计算过程和结果均不取近似值)．
图23－2－24
3．［2017·大庆］如图23－2－25，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为________．
图23－2－25
4．小勇操控一辆遥控汽车从A处沿北偏西60°方向走10 m到B处，再从B处向正南方向走20 m到C处，此时遥控汽车离A处________m.
5．如图23－2－26，在一次夏令营活动中，小亮从位于点A的营地出发，沿北偏东60°方向走了5 km到达B地，然后沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向上，求A，C两地之间的距离．
图23－2－26
知识点 2 非直角三角形的方向角问题
6．［2017·南宁］如图23－2－27，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向上，距离灯塔60 n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为( )
A．60 n mile B．60 n mile
C．30 n mile D．30 n mile
图23－2－27
7．如图23－2－28，在某市轨道交通建设中，规划在A，B两地间修建一段地铁，点B在点A的正东方向，由于A，B之间建筑物较多，无法直接测量，现选参照物C，测得C在点A的东北方向上，在点B的北偏西60°方向上，B，C两点间的距离为800 m．请你求出这段地铁AB的长度．(结果精确到1 m．参考数据：≈1.414，≈1.732)
图23－2－28
8．［教材例5变式］如图23－2－29，一艘轮船以20 n mile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C位在北偏东60°方向上，继续航行1 h到达B处，再测灯塔C在北偏东30°的方向上．若不改变航向，还要航行多长时间距离灯塔C最近？
图23－2－29
9．如图23－2－30，在某公园内有一个游船码头O.已知游船A在码头O的北偏东30°方向上，游船B在游船A的正南方向，OA＝60米，OB＝20 米．
(1)请计算说明：游船B在游船码头O的什么方向；
(2)求A，B两游船之间的距离．
图23－2－30
10．如图23－2－31，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方．求拦截点D处到公路AB的距离．(结果不取近似值)
图23－2－31
11．［2017·锦州］超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为．如图23－2－32，在一条笔直的高速公路MN上，小型车限速为120千米/时，设置在公路旁的超速监测点C，现测得一辆小型车在监测点C的南偏西30°方向的A处，7秒后，测得其在监测点C的南偏东45°方向的B处，已知BC＝200米，B在A的北偏东75°方向，则这辆车超速了吗？通过计算说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73)
图23－2－32
1．C [解析] 如图，由题意可知∠NPA＝55°，AP＝2海里，∠ABP＝90°.
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝55°.
在Rt△ABP中，
∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，AP＝2海里，
∴AB＝AP·cosA＝2cos55°海里．故选C.
2．500 [解析] 在Rt△ABC中，AB＝500 米，∠ACB＝90°－60°＝30°.
∵tan∠ACB＝，
∴BC＝＝＝500 (米)．
∴该军舰由B处到C处行驶的路程为500 米．
3．20 m [解析] 如图，作AH⊥BC于点H.设BH的长为x m，则AH为x m，CH＝3x m．∴x＋3x＝80，∴x＝20.
∴AH＝x＝20 m.
4．10 [解析] 如图，根据题意，得∠B＝60°，AB＝10 m，BC＝20 m，
∴在Rt△ABD中，AD＝AB·sin60°＝5 (m)，BD＝AB·cos60°＝5(m)，∴CD＝BC－BD＝15(m)．
∴在Rt△CDA中，AC＝＝10 (m)．
5．解：如图所示．
由题意可知AB＝5 km，∠2＝30°，∠EAB＝60°，∠3＝30°.
∵EF∥PQ，
∴∠1＝∠EAB＝60°.
又∵∠2＝30°，
∴∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－30°＝90°，∴△ABC是直角三角形．
又∵MN∥PQ，
∴∠4＝∠2＝30°，
∴∠ACB＝∠4＋∠3＝30°＋30°＝60°，
∴AC＝＝＝(km)．
答：A，C两地之间的距离为km.
6．B [解析] 如图，作PE⊥AB于点E.
在Rt△PAE中，
∵∠PAE＝45°，PA＝60 n mile，
∴PE＝AE＝×60＝30 (n mile)．
在Rt△PBE中，∵∠B＝30°，
∴PB＝2PE＝60 (n mile)．
7．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
由题意，得∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，
∴BD＝BC·cos∠CBD＝800×＝400 ≈692.8(m)，
∴CD＝BC＝400(m)，
∴AD＝CD＝400 m，
∴AB＝AD＋BD≈400＋692.8≈1093(m)．
答：这段地铁AB的长度约为1093 m.
8．解：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.∵EA⊥AB，FB⊥AB，∴AE∥BF∥CD.
∵∠EAB＝90°，∠EAC＝60°，
∴∠CAB＝30°.
∵∠FBC＝30°，∴∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACB＝∠CAB＝30°，
∴BC＝AB＝20 n mile.
在△DBC中，cos∠DBC＝，
∴BD＝BC·cos∠DBC＝20×＝10(n mile)，
10÷20＝0.5(h)．
答：若不改变航向，还要航行0.5 h距离灯塔C最近．
9．解：(1)如图，过点O作OC⊥AB，交AB的延长线于点C.
在Rt△AOC中，
∵∠AOC＝90°－30°＝60°，
∴cos60°＝，
∴OC＝OA＝×60＝30(米)．
在Rt△OBC中，
∵cos∠BOC＝＝＝，
∴∠BOC＝30°，
∴游船B在游船码头O的北偏东60°方向．
(2)由(1)知∠AOB＝∠BAO＝30°，
∴AB＝OB＝20 米．
答：A，B两游船之间的距离为20 米．
10．解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F.
由题意知∠ABC＝30°，∠FCD＝45°，CD＝CB＝1000米．
在Rt△BCE中，CE＝BC·sin30°＝1000×＝500(米)．
在Rt△DCF中，DF＝CD·sin45°＝1000×＝500 (米)．
易证得四边形AFCE是矩形，
∴AF＝CE，
∴AD＝AF＋DF＝CE＋DF＝(500＋500 )米．
故拦截点D处到公路AB的距离为(500＋500 )米．
11．解：这辆车超速了．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意得∠ACB＝30°＋45°＝75°，∠BAC＝75°－30°＝45°，∴∠CBD＝60°.
在Rt△CDB中，
∵sin∠CBD＝，cos∠CBD＝，
∴CD＝BC·sin∠CBD＝100 (米)，BD＝BC·cos∠CBD＝100(米)．
在Rt△CDA中，tan∠CAD＝＝1，
∴AD＝CD＝100 ，
∴AB＝AD＋BD＝100 ＋100≈273(米)．
273÷7＝39(米/秒)，
120千米/时≈33.3米/秒．
∵39＞33.3，
∴这辆车超速了．
23.2 第4课时 坡角(坡度)问题
知识点 1 坡度(坡比)
1．［2016·巴中］一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图23－2－33所示，则下列关系或说法正确的是( )
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米
D．AB＝米
图23－2－33
2．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 米，则这个坡面的坡度为________．
知识点 2 坡角
3．如图23－2－34，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4 m，此时，他离地面的高度h为2 m，则这个土坡的坡角为________°.
图23－2－34
4．如图23－2－35所示，某水库迎水坡AB的坡度i＝1∶，则该坡的坡角α＝________°.
图23－2－35
5．已知一段坡面，其铅直高度为4 m，坡面长为8 m，则坡度i＝________，坡角α＝________°.
知识点 3 坡面距离、坡面的水平距离、铅直距离
6．如图23－2－36，某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5米，那么这两棵树在坡面上的距离AB为( )
A．5cosα米 B.米
C．5sinα米 D.米
图23－2－36
7．［2017·江淮十校四模］如图23－2－37是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( )
A．4 米 B．6 米 C．12 米 D．24米
图23－2－37
8．某人沿着坡度i＝1∶的山坡走了50米，则他离地面________米高．
9．如图23－2－38，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°.小明种的两棵树之间的坡面距离AB是6米．如果要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，那么小明种的这两棵树是否符合要求？
(参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)
图23－2－38
10．如图23－2－39，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3 米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB＝10米，则旗杆BC的高度为( )
A．5米 B．6米
C．8米 D．(3＋)米
图23－2－39
11．［2017·德阳］如图23－2－40所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6 米，背水坡CD的坡度i＝1∶(i为DF与FC的比)，则背水坡的坡长为________米．
图23－2－40
12．某校为加强社会主义核心价值观教育，在清明节期间，组织学生参观渡江战役纪念馆．渡江战役纪念馆实物如图23－2－41①所示．某数学兴趣小组同学突发奇想，我们能测量斜坡的长和馆顶的高度吗？他们画出渡江战役纪念馆示意图如图②，经查资料，获得以下信息：斜坡AB的坡度i＝1∶，BC＝50米，∠ACB＝135°，求AB的长及过点A作的高是多少．(结果精确到0.1米．参考数据：≈1.41，≈1.73)
图23－2－41
13．如图23－2－42，某水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中BC∥AD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732)
图23－2－42
14．如图23－2－43，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为5°.
参考数据
α＝5°
α＝12°
sinα
0.09
0.21
cosα
1.0
0.98
tanα
0.09
0.21
(1)求坡高CD；
(2)求斜坡的新起点A与原起点B的距离AB.
(精确到0.1米)
图23－2－43
15．［2016·宿州二模］如图23－2－44，某数学活动小组要测量楼AB的高度，楼AB在太阳光的照射下在水平面上的影长BC为6米，在斜坡CE上的影长CD为13米，此时身高1.5米的小红在水平面上的影长为1.35米，斜坡CE的坡度为1∶2.4，求楼AB的高度．
图23－2－44
教师详解详析
1．B
2．1∶2 [解析] 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 米，根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为4 米．所以这个坡面的坡度为2 ∶4 ＝1∶2.
3．30
4．30 [解析] 坡角的正切值即为坡度．
5．1∶1 45
6．B [解析] ∵BC＝5米，∠CBA＝α，∴AB＝＝米．故选B.
7．B
8．25 [解析] ∵坡度i＝1∶，
∴坡角＝30°.
∴他离地面的高度＝50×sin30°＝25(米)．
9．解：∵在Rt△ABC中，cos20°＝，
∴AC＝6×cos20°≈6×0.94＝5.64(米)．
∵5.64米在5.3～5.7米范围内，
∴小明种的这两棵树符合要求．
10． A
[解析] 在Rt△ADC中，∵CD∶AD＝1∶2，AC＝3 ，设CD＝a，则AD＝2a，由勾股定理，得a2＋(2a)2＝(3 )2，解得a＝3(负值已舍去)．在Rt△ABD中，设BC＝x，则BD＝3＋x，AD＝6，根据勾股定理，得62＋(3＋x)2＝102，解得x＝5(负值已舍去)．故选A.
11．12 [解析] 在等腰直角三角形ABE中，AB＝6 ，则AE＝BE＝6，则DF＝6.由坡度知∠DCF＝30°，则CD＝2DF＝12米．
12．解：如图，过点A作AD⊥BC交其延长线于点D.
∵∠ACB＝135°，
∴∠ACD＝45°，
∴△ADC为等腰直角三角形．
设AD＝x，则CD＝x.
在Rt△ADB中，BD＝50＋x.
∵斜坡AB的坡度i＝1∶，
∴x∶(50＋x)＝1∶，
解得x＝≈68.5，∴AD≈68.5.
在Rt△ABD中，易得∠B＝30°，∠D＝90°，
∴AB＝2AD≈137.0米．
答：AB的长约为137.0米，过点A作的高约是68.5米．
13．解：如图，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F.
由题意可知BE＝CF＝20，BC＝EF＝6，∠D＝30°.
在Rt△ABE中，i＝＝，即＝，
∴AE＝50.
在Rt△CDF中，tan30°＝，即＝，
∴DF＝20 ≈34.64，
∴AD＝AE＋EF＋DF≈50＋6＋34.64＝90.64≈90.6(米)．
答：坝底AD的长度约为90.6米．
14．解：(1)在Rt△BCD中，CD＝BC·sin12°≈10×0.21＝2.1(米)．
即坡高CD约为2.1米．
(2)在Rt△BCD中，BD＝BC·cos12°≈10×0.98＝9.8(米)．
在Rt△ACD中，AD＝≈≈23.33(米)，
所以AB＝AD－BD≈23.33－9.8＝13.53≈13.5(米)．
所以斜坡的新起点A与原起点B的距离AB约为13.5米．
15．解：如图，过点D作DN⊥AB，交AB的延长线于点N，过点C作CM⊥DN，垂足为M，
则CM∶MD＝1∶2.4＝5∶12.
设CM＝5x，则MD＝12x，
由勾股定理得CD＝＝13x＝13，
∴x＝1，
∴CM＝5，MD＝12.
易知四边形BCMN为矩形，
∴MN＝BC＝6，BN＝CM＝5.
∵太阳光线为平行光线，光线与水平面所成的角度相同，角度的正切值也相同，
∴AN∶DN＝1.5∶1.35＝10∶9，
∴9AN＝10DN＝10×(6＋12)＝180，
∴AN＝20，∴AB＝20－5＝15(米)．
答：楼AB的高度为15米．
