22.1 第1课时 相似多边形
一、选择题
1．［2016·安庆市外国语学校月考］下列图形不是相似图形的是( )
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
B．用放大镜将一个图案放大过程中的原有图案和放大图案
C．某人的侧身照片和正面照片
D．一棵树与它倒映在水中的像
2．［2018·安徽省第二次联考］手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形(含30°)、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( )
图16－K－1
3．［2017·马鞍山市期末］如图16－K－2，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下的矩形面积是( )
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
图16－K－2
二、填空题
4．如图16－K－3，△ABC与△DEF相似，且AC，BC的对应边分别是DF，EF，则△ABC与△DEF的相似比是________．
图16－K－3
5．［2018·合肥市肥东县月考］A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．如图16－K－4将一张A4纸沿着长边中点对折后，得到的矩形与原矩形相似，则A4纸长与宽的比是________．
图16－K－4
三、解答题
6．在如图16－K－5所示的两个相似的五边形中，试求未知的边x，y，z的长度及角α，β的度数．
图16－K－5
7．2017·安庆市期末如图16－K－6，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．
图16－K－6
8探究题如图16－K－7是一张矩形纸片ABCD，E，F分别是BC，AD上的点(但不与顶点重合)，如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分．
(1)得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．
(2)这样的直线可以作几条？
图16－K－7
1．C
2．[解析] D 矩形图案的内外边缘都是矩形，但是对应边不一定成比例．故选D.
3．[解析] C 设留下矩形的宽为x cm，由留下的矩形与原矩形相似，可知＝，解得x＝2，则留下的矩形面积为2×4＝8(cm2)．
4．[答案]
[解析] AB与DE是对应边，则△ABC与△DEF的相似比是 .
5．[答案] ∶1
[解析] 设矩形的长为a，宽为b，则AB＝CD＝b，AD＝BC＝a，BF＝AE＝.∵矩形ABCD∽矩形BFEA，∴＝，即＝，∴a∶b＝∶1.
6．解：由于两个五边形相似，它们的对应边长度的比相等，对应角相等，观察两个图形的形状及边的长度，有＝＝＝，
解得x＝0.625，y＝0.6，z＝1.
β＝58°，α＝540°－(72°＋58°＋165°＋100°)＝145°.
7．解：相似．理由如下：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，
∴A′B′∥AB，A′B′＝AB，
∴∠OA′B′＝∠OAB，＝.
同理，∠OA′D′＝∠OAD，＝，
∴∠B′A′D′＝∠BAD，＝.
同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA，
＝＝，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.
8解：(1)设AF＝a，DF＝b，BE＝m，EC＝n，
AB＝CD＝h(a，b，m，n，h均大于零)．
由题意知S梯形ABEF＝S梯形CDFE，
即(a＋m)·h＝(b＋n)·h，∴a＋m＝b＋n.①
又AD＝BC，∴a＋b＝m＋n，
即a＝m＋n－b.②
把②代入①，得m＋n－b＋m＝b＋n，
∴m＝b，即DF＝BE，
∴AF＝EC.故有＝＝＝＝1.
在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∠BEF＝∠DFE.
∴四边形ABEF∽四边形CDFE.
∴得到的两个四边形相似，且相似比为1.
(2)这样的直线可以作无数条．
22.1 第2课时 比例线段
一、选择题
1．［2017·亳州市期末］下列各组中的四条线段成比例的是 ( )
A．1 cm，2 cm，20 cm，30 cm
B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C．5 cm，10 cm，10 cm，20 cm
D．4 cm，2 cm，1 cm，3 cm
2．若a＝10 cm，b＝0.2 m，c＝30 mm，d＝6 cm，则下列比例式成立的是( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
3．下面四组线段中，不是成比例线段的是( )
A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4
B．a＝1，b＝，c＝，d＝
C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
D．a＝2，b＝，c＝，d＝2
4．如果a＝3，b＝2，且b是a和c的比例中项，那么c的值为( )
A．± B. C. D．±
5．［2017·马鞍山市期末］如图17－K－1，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC＝OA，以A为圆心，AC为半径画弧交AB于点P，则线段AP与AB的比是( )
A. ∶2 B．1∶ C.∶ D．1∶
图17－K－1
二、填空题
6．［2018·宣城市期末］2和8的比例中项是________.
7．等腰直角三角形的斜边与直角边的长度之比为________，斜边上的中线与直角边的长度之比为________．
8．［2016·枞阳县白云中学期中］如图17－K－2，直线y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B.过点B作直线BP与x轴正半轴交于点P，取线段OA，OB，OP，当其中一条线段的长是其他两条线段长度的比例中项时，点P的坐标为________．
图17－K－2
三、解答题
9．已知线段AB＝0.5 m，BC＝25 cm，A′B′＝20 cm，B′C′＝10 cm，则AB，BC，A′B′，B′C′是不是成比例线段？
10．［2016·安庆市16中月考］如图17－K－3，在△ABC中，若AB＝24，AE＝6，EC＝10，＝.
(1)求AD的长；
(2)试说明＝.
图17－K－3
9分类讨论思想已知三条线段的长分别为1 cm，2 cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长．
1．C
2．[解析] D 线段的比应是在同一长度单位的条件下其长度之比，这里a，b，c，d四条线段可以统一成以厘米为单位，即a＝10 cm，b＝20 cm，c＝3 cm，d＝6 cm，所以存在＝.
3．[解析] C 由于题目没有给出长度单位，我们视为同一长度单位，解题的关键是从小到大排列四条线段，通过计算作答．选项A中，c＝2, a＝3, d＝4，b＝6, c∶a＝d∶b＝2∶3，故选项A中的四条线段成比例；选项B中，a＝1，b＝， d＝，c＝，a∶b＝d∶c＝1∶，故选项B中的四条线段成比例；选项C中，a＝4，c＝5，b＝6，d＝10，a∶c＝4∶5≠b∶d＝3∶5，故选项C中的四条线段不成比例；选项D中，a＝2，b＝，d＝2 ，c＝，a∶b＝d∶c＝2∶，故选项D中的四条线段成比例．综上所述，应选C.
4．解析] C ∵b是a和c的比例中项，∴a∶b＝b∶c.又∵a＝3，b＝2，∴3∶2＝2∶c，解得c＝.
5．[解析] D 如图，连接AC，BC.根据题意可知△ABC是等腰直角三角形，且AP＝AC.设AC＝BC＝AP＝x，根据勾股定理，得AB2＝2AC2＝2x2，则AB＝x，∴AP∶AB＝x∶x＝1∶.
6．[答案] ±4
[解析] 设其比例中项是x，则x2＝2×8，解得x＝±4.故2和8的比例中项是±4.
7．[答案] ∶1 1∶
[解析] 设直角边长为k，则斜边长为k，斜边上的中线等于斜边的一半，为k.
8或(，0)或(9，0)
9．[解析] 由于四条线段的长度单位不一致，应先把AB＝0.5 m化为AB＝50 cm，再计算与，如果两个比值相等，那么这四条线段就是成比例线段，反之就不是成比例线段．
解：∵AB＝0.5 m＝50 cm，＝＝2，
＝＝2，∴＝，
即AB，BC，A′B′，B′C′是成比例线段．
10．解：(1)设AD＝x，则BD＝24－x.
由＝，得＝，解得x＝9.
经检验，x＝9是原方程的解，且符合题意，
∴AD＝9.
(2)由AB＝24，AD＝9，得BD＝15.
∵＝＝，＝＝，
∴＝.
9解：设另外一条线段的长为x cm.
有下列三种情况：
(1)1∶2＝∶x，解得x＝2 ；
(2)x∶1＝2∶，解得x＝；
(3)2∶1＝∶x，解得x＝.
所以另外一条线段的长是2 cm或 cm或 cm.
22.1第3课时 比例的性质
一、选择题
1．［2017·繁昌县模拟］已知5x＝6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
2．［2017·合肥市50中期末］若＝，则的值是( )
A. B. C. D.
3．［2017·合肥市瑶海区期末］已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，则下列结论正确的是( )
A．AB2＝AC·BC B．BC2＝AC·BC
C．AC＝BC D．BC＝AB
4．［2018·合肥市50中期中］已知a，b，c均为正数，且＝＝＝k，则下列4个点中，在反比例函数y＝图象上的点的坐标为( )
A．(1，) B．(1，2)
C．(1，－) D．(1，－1)
二、填空题
5．［2018·合肥市50中期中］若＝＝(x，y，z均不为0)，且＝1，则m的值为________.
三、解答题
6．［2017·安庆市20校联考］已知线段a，b，c满足＝＝，且a＋2b＋c＝26.
(1)求a，b，c的值；
(2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x.
7．已知：如图18－K－1.
(1)如果＝，那么＝吗？为什么？
(2)如果＝，那么＝吗？为什么？
图18－K－1
8［2016·芜湖市29中期末］如图18－K－2，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
(1)求AM，DM的长；
(2)求证：AM2＝AD·DM；
(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？
图18－K－2
1．[解析] B 根据比例的基本性质，由5x＝6y(y≠0)，得＝或＝.
2．[解析] A 根据比例的合比性质，由＝，得＝.
3．[解析] D 根据黄金分割点的定义可知AC2＝BC·AB.若设AB＝1，则AC＝，则BC＝1－AC＝1－＝，故BC＝AB.
4．[解析] A 因为a，b，c均为正数，根据等比的性质，可知k＝＝，因而反比例函数的表达式为y＝，故(1，)是该反比例函数图象上的点．
5．[答案] 4
[解析] 设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝mk，则＝＝＝1，解得m＝4.
6．[解析] (1)设比值为k，然后用k表示出a，b，c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；
(2)根据比例中项的定义列式求解即可．
解：(1)设＝＝＝k，则a＝3k，b＝2k，c＝6k.又∵a＋2b＋c＝26，
∴3k＋2×2k＋6k＝26，解得k＝2.
∴a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12.
(2)∵线段x是线段a，b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，故线段x＝2 .
7．解：(1)＝.理由：∵＝，
∴＝，∴＝，
即＝，∴＝.
(2)＝.理由：∵＝，∴＝，
∴＝，
即＝，∴＝.
8解：(1)∵P为边AB的中点，
∴AP＝AB＝1，
∴PD＝＝＝，
∴PF＝PD＝，从而AF＝PF－AP＝－1.∴AM＝AF＝－1，
DM＝AD－AM＝3－.
(2)证明：∵AM2＝(－1)2＝6－2 ，
AD·DM＝2(3－)＝6－2 ，
∴AM2＝AD·DM.
(3)图中的点M为线段AD的黄金分割点．
22.1 第4课时 平行线分线段成比例
一、选择题
1．如图19－K－1，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则的值为( )
B. C. D．1
图19－K－1
2．［2017·合肥市53中模拟］如图19－K－2，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图19－K－2
3．［2018·合肥市50中期中］如图19－K－3，l1∥l2∥l3，直线AC与DF交于点O，且与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F，则下列比例式不正确的是( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
图19－K－3
4．［2016·安庆市16中期中］如图19－K－4，在?ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则EF∶AE等于( )
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
图19－K－4
5．［2017·哈尔滨］如图19－K－5，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是 ( )
＝ B. ＝
＝ D. ＝
图19－K－5
6．［2017·恩施州］如图19－K－6，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为 ( )
A．6 B．8 C．10 D．12
图19－K－6
7．［2017·芜湖市29中模拟］如图19－K－7，?ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，EF交AC于点G，那么AG∶GC的值为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3
图19－K－7
二、填空题
8．［2017·长春］如图19－K－8，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则DF的长为________.
图19－K－8
9．如图19－K－9，BD∥AC，AB与CD相交于点O, ＝，如果OB＝4，那么AB＝________．
图19－K－9
10. 如图19－K－10，AB∥CD，BO∶CO＝1∶4，E，F分别是OC，OD的中点，则OF∶OA＝________．
图19－K－10
11．如图19－K－11所示，AD是△ABC的中线，若AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则＝________．
图19－K－11
三、解答题
12．如图19－K－12，直线l1∥l2∥l3，若＝，且BC＝4，求AB的长．
图19－K－12
13．［2018·肥东县模拟］如图19－K－13，在△ABC中，DG∥EC，EG∥BC.求证：AE2＝AB·AD.
图19－K－13
14．［2018·合肥市瑶海区期中］如图19－K－14，D是△ABC的边BC的中点，且＝.已知AG∥DE，分别求出和的值．
图19－K－14
15阅读理解题请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
图19－K－15
已知：如图19－K－15，△ABC中，AD是角平分线．
求证：＝.
证明：如图19－K－16，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E.
∵CE∥DA，
图19－K－16
∴∠2＝∠3，∠1＝∠E.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠E，
∴AC＝AE.
∵CE∥DA，∴＝.
又∵AC＝AE，∴＝.
(1)上述证明过程中，用到了哪些定理？(写出两个定理即可)
(2)在上述证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？
①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想．
(3)用三角形内角平分线的性质定理解答下面的问题：
如图19－K－17，在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm.求BD的长．
图19－K－17
1．[解析] B ∵a∥b∥c，＝＝.
2．[解析] B ∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得EC＝2.
3．D
4． B
5．[解析] C ∵DE∥BC，∴＝，＝，＝，＝，故选项A，B，D错误．故选C.
6．[解析] C ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝∠EFC，∴EF∥AB，∴＝＝，∴＝＝，∴BF＝CF＝×6＝10.易知四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF＝10.
7．[解析] B 如图，连接BD，与AC相交于O.∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD，∴＝.又∵OA＝OC，∴＝.
8．[答案] 9
[解析] ∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得EF＝6.∴DF＝DE＋EF＝9.
9．[答案] 10
[解析] ∵BD∥AC，
∴＝，即＝，∴OA＝6，∴AB＝10.
10．[答案] 2∶1
[解析] 由已知可得EF∥CD.
又AB∥CD，∴AB∥EF.
∵BO∶CO＝1∶4，OE＝EC，
∴OE∶BO＝2∶1，∴OF∶OA＝2∶1.
11． [答案]
[解析] ∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
∵AE＝EF＝FC，∴F是CE的中点，
∴DF∥GE，∴＝＝.
12．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，
即＝.
又∵＝，BC＝4，∴＝，
解得AB＝3.
13．[解析] 根据平行线分线段成比例的性质，由DG∥EC，可推出AD∶AE＝AG∶AC，由EG∥BC，可推出AG∶AC＝AE∶AB，再通过等量代换可得AD∶AE＝AE∶AB，即可证得结果．
证明：∵DG∥EC，∴AD∶AE＝AG∶AC.
∵EG∥BC，∴AG∶AC＝AE∶AB，
∴AD∶AE＝AE∶AB，即AE2＝AB·AD.
14．解：∵AG∥DE，∴＝＝.
又∵BD＝CD，∴＝，∴＝＝.
15解：(1)证明过程中用到的定理有：
①平行线的性质定理；
②等腰三角形的判定定理．(答案不唯一)
(2)②转化思想．
(3)∵AD是角平分线，∴＝.
又∵AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，
∴＝，∴BD＝(cm)．
第22章 相似形
22．1 第1课时 相似多边形
知识点 1 图形的相似
1．仔细观察下面的图形，请找出图中相似的图形．
图22－1－1
知识点 2 相似多边形及相似比
2．下列各组图形中，一定相似的是( )
图22－1－2
3．如果两个相似菱形的边长分别为5 cm，7 cm，那么这两个菱形的相似比为________．
4．［教材练习第1，2题变式］当长b＝________时，图22－1－3①中的两个矩形相似；当钝角α＝________°时，图②中两个菱形相似．
图22－1－3
5．两个相似多边形的最大边长分别是10 cm和20 cm，如果其中一个多边形的最短边长为6 cm，那么另一个多边形的最短边长为________cm.
6．如图22－1－4，已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求B′C′，C′D′的长和∠D的度数．
图22－1－4
7．如图22－1－5，有一块矩形草地，其外围有等宽的小路，其中草地长100 m，宽60 m，小路宽2 m，则里外两个矩形相似吗？
图22－1－5
8．如图22－1－6，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，且AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
图22－1－6
1．解：其中(1)和(3)，(2)和(5)，(8)和(9)是相似的图形．
2．C
3. 5∶7
4. 135 5． 3或12
6．解：由四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，
得∠A＝∠A′＝150°，
∴∠D＝360°－(150°＋60°＋75°)＝75°，
＝＝，即＝＝，
∴B′C′＝，C′D′＝.
7．解：∵AB＝CD＝A′B′＋2×2＝64(m)，
BC＝AD＝B′C′＋2×2＝104(m)，
∴＝＝，＝＝.
∵≠，∴里外两个矩形不相似．
8．解：(1)∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴＝.
∵MN＝AB，DM＝AD，BC＝AD，
∴AD2＝AB2.
由AB＝4，得AD＝4 .
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为
＝＝＝
22.1 第2课时 比例线段
知识点 1 两条线段的比
1．已知线段a＝3厘米，线段b＝13毫米，则a∶b的值是( )
A. B. C. D.
2．［教材练习第2题变式］延长线段AB到点C，使BC＝AB，则下列线段的比错误的是( )
A．AB∶AC＝1∶2 B．AB∶BC＝1∶1
C．BC∶AC＝1∶2 D．AC∶AB＝1∶2
知识点 2 成比例线段
3．下列长度的各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )
A．1，2，3，4 B．1，2，2，4
C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
4．若a，b，c，d是成比例线段，其中a＝5 cm，b＝3 cm，c＝2 cm，则线段d＝________cm.
5．已知线段a＝3 cm，b＝12 cm，c＝5 cm，d＝20 cm，请写出一个正确的比例式：________________．
知识点 3 比例中项
6．如果线段a＝8 cm，b＝2 cm，那么a和b的比例中项是( )
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
7．若b是a，c的比例中项，且a∶b＝7∶3，则b∶c等于( )
A．9∶7 B．7∶3 C．3∶7 D．7∶9
8．三条线段a，b，c中，b是a，c的比例中项，则a，b，c( )
A．一定能构成三角形
B．一定不能构成三角形
C．不一定能构成三角形
D．不能构成直角三角形
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，则＝________，＝________．
10．如图22－1－7所示，有矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm.
(1)线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？
(2)矩形ABCD和矩形A′B′C′D′相似吗？
图22－1－7
11．如图22－1－8，已知C是线段AB上的点，D是AB延长线上的点，且AD∶BD＝3∶2，AB∶AC＝5∶3，AC＝3.6，求AD的长．
图22－1－8
12．如图22－1－9所示，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AC＝3，BC＝4.
(1)线段AD，CD，CD，BD是不是成比例线段？写出你的理由；
(2)在这个图形中，是否还有其他成比例的四条线段？如果有，请至少写出两组．
图22－1－9
1．C 2. D 3. B
4.
5. 答案不唯一，如＝或＝
6. C
7．B 8．C
9． 2
10．解：(1)∵AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．
(2)∵矩形的每个角都是90°，
∴矩形ABCD和矩形A′B′C′D′的对应角相等．
又∵＝，
∴矩形ABCD和矩形A′B′C′D′的对应边的比相等，
∴矩形ABCD和矩形A′B′C′D′相似．
11．解：∵AB∶AC＝5∶3，AC＝3.6，
∴AB＝×3.6＝6.
又∵AD∶BD＝3∶2，
设AD＝3x，BD＝2x，
则AB＝AD－BD＝x＝6，∴AD＝18.
12．解：(1)是成比例线段．理由如下：
∵AC＝3，BC＝4，
∴由勾股定理，得AB＝5.
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
即×3×4＝×5×CD，
∴CD＝2.4.
由勾股定理，得AD＝1.8.∴BD＝3.2，
∴＝＝，＝＝，∴＝，
∴线段AD，CD，CD，BD是成比例线段．
(2)有＝，＝(答案不唯一)．
22.1 第3课时 比例的性质、黄金分割
知识点 1 比例的基本性质
1．已知＝，则下列式子成立的是( )
A．3x＝5y B．xy＝15
C. ＝ D. ＝
2．若2a－3b＝0(a≠0)，则＝________．
知识点 2 比例的合比性质与等比性质
3．若＝，则的值为( )
A．1 B. C. D.
4．［教材练习第3题变式］已知5x－4y＝0，下列各式正确的是( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
5．如果＝，那么的值是( )
A. B．2 C. D．5
6．［教材练习第6题变式］已知＝＝＝，若b＋d＋f＝60，则a＋c＋e＝________．
7．已知＝，则＝________．
8．在四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，＝＝＝＝，且四边形A′B′C′D′的周长为60 cm，求四边形ABCD的周长．
9．如图22－1－10，在△ABC中，＝.求证：(1)＝；
(2)＝.
图22－1－10
知识点 3 比例尺
10．鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105千米，在一张比例尺为1∶2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于( )
A．一根火柴的长度 B．一张课桌的高度
C．一支铅笔的长度 D．一张纸的厚度
11．图22－1－11是地图的一部分(比例尺为1∶4000000)．杭州到嘉兴的图上距离约为2 cm，则杭州到嘉兴的实际距离约为________km.
图22－1－11
知识点 4 黄金分割
12．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则( )
A．AP2＝AB·PB B．AB2＝AP·PB
C．PB2＝AP·AB D．AP2＋BP2＝AB2
13．如图22－1－12是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC
图22－1－12
14．如图22－1－13，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是PB的矩形的面积，则S1________S2.(填“＞”“＝”或“＜”)．
图22－1－13
15．已知＝＝，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c＝________．
16．已知x∶y∶z＝3∶4∶5，求，和的值．
17．如图22－1－14，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝－1，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D.试说明点D是线段AC的黄金分割点．
图22－1－14
18．已知＝＝＝k，判断一次函数y＝kx－k的图象不经过哪个象限？
19．如图22－1－15，已知某商标图案是一个长为2 cm的黄金矩形(矩形的短边与长边的比为的矩形叫黄金矩形)，且点E，F分别是长与宽的黄金分割点(CE＞BE，CF＞DF)，请判断△AEF的形状．
图22－1－15
1．D ．
2.
3．D
4．C
5．A
6．36
8．解：∵＝＝＝＝，
∴由等比性质可得＝，
而A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′＝60 cm，
∴AB＋BC＋CD＋DA＝×60＝45(cm)．
9．证明：(1)∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝.
(2)∵＝，
∴＝，
∴＝.
10．A 11．80 12．C
13．1.5 14．＝
15．14
16．解：由x∶y∶z＝3∶4∶5，
可设x＝3k，y＝4k，z＝5k，
故＝＝＝；
＝＝＝；
＝＝.
17．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝36°，
∴∠ABD＝∠A.
易推知∠BDC＝∠C，
∴AD＝BD＝BC＝－1，
∴CD＝3－.
∵AD2＝(－1)2＝6－2 ，
AC·CD＝2(3－)＝6－2 ，
∴AD2＝AC·CD，
∴点D是线段AC的黄金分割点．
18．解：由＝＝＝k，得
∴(a＋b＋c)k＝2(a＋b＋c)．
当a＋b＋c＝0时，即a＋b＝－c，则k＝－1，此时，一次函数y＝－x＋1的图象不经过第三象限；
当a＋b＋c≠0时，则k＝2，此时，一次函数y＝2x－2的图象不经过第二象限．
19．解：∵四边形ABCD是长为2 cm的黄金矩形，
∴AB＝×2＝－1.
∵点E是BC的黄金分割点，
∴CE＝×2＝－1，BE＝2－(－1)＝3－.
∵点F是CD的黄金分割点，
∴CF＝×(－1)＝3－.
在△ABE和△ECF中，∵
∴△ABE≌△ECF，
∴AE＝EF，∠AEB＝∠EFC.
又∠FEC＋∠EFC＝90°，
∴∠FEC＋∠AEB＝90°，从而∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
22.1 第4课时 平行线分线段成比例
知识点 1 平行线分线段成比例
1．如图22－1－16，已知a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若＝，则的值为( )
A. B. C. D．1
图22－1－16
2. 如图22－1－17，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若＝，DE＝4，则EF的长是( )
A. B. C．6 D．10
图22－1－17
3．如图22－1－18，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F.如果DE∶EF＝3∶5，AC＝24，那么BC＝________．
图22－1－18
4．［2016·济宁］如图22－1－19，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G.若AG＝2，GD＝1，DF＝5，则的值等于________．
图22－1－19
5．［教材练习第3题变式］如图22－1－20，l1∥l2∥l3，＝.若DF＝10，求DE，EF的长．
图22－1－20
知识点 2 平行于三角形一边的直线的性质
6．［2016·兰州］如图22－1－21，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则的值为( )
A. B. C. D.
图22－1－21
7．如图22－1－22所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为( )
A．9 B．6 C．3 D．4
图22－1－22
8．如图22－1－23，在△ABC中，DE∥BC，则下列各式中不一定正确的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
图22－1－23
9．如图22－1－24，AD为△ABC的中线，AE＝AD，BE的延长线交AC，于点F，DH∥BF，则＝________.
图22－1－24
10．［教材习题22.1第4题变式］如图22－1－25，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9.求：
(1)DE和BD的长度．
(2)四边形BDEF的周长．
图22－1－25
11．如图22－1－26，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝________ cm.
图22－1－26
12．如图22－1－27，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，若DE＝2AD，AE＝2，则EC＝________．
图22－1－27
13．如图22－1－28，在△ABC中，AB>AC，AD是BC边上的高，F是BC的中点，EF⊥BC交AB于点E.若BD∶DC＝3∶2，则BE∶AB＝________．
图22－1－28
14．如图22－1－29，已知AB∥FG，AC∥EH，BG＝HC.求证：＝.
图22－1－29
15．［2017·肥东县月考］如图22－1－30，在△ABC中，DG∥EC，EG∥BC.求证：AE2＝AB·AD.
图22－1－30
16．在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上任意一点，BE交AD于点O，某学生在研究此三角形时，发现了如下的事实：
当＝＝时，有＝＝(如图22－1－31(a))；
当＝＝时，有＝＝(如图22－1－31(b))；
当＝＝时，有＝＝(如图22－1－31(c))．
在图22－1－31(d)中，当＝时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明．(n是正整数)
图22－1－31
1．B 2．C 3．15
∴ [解析] ∵AG＝2，GD＝1，
∴AD＝3.
∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝，
故答案为.
5．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝.
由＝，得＝，
∴＝，即＝，
解得EF＝4，
∴DE＝DF－EF＝10－4＝6.
6．C
7．B 8．D
9. 10．解：(1)∵AE＝2CE，∴＝.
∵EF∥AB，
∴＝＝.
∵BC＝9，
∴BF＝6.
易证四边形BDEF是平行四边形，
∴DE＝BF＝6.
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∵AB＝6，
∴BD＝2.
(2)∵BD＝EF＝2，DE＝BF＝6，
∴四边形BDEF的周长为2×(2＋6)＝16.
11． 12
12．4
13． 5∶6
14．证明：∵AB∥FG，
∴＝.
∵AC∥EH，
∴＝.
∵BG＝HC，
∴＝.
15．证明：∵DG∥EC，
∴AD∶AE＝AG∶AC.
∵EG∥BC，
∴AG∶AC＝AE∶AB，
∴AD∶AE＝AE∶AB，
即AE2＝AB·AD.
16．解：猜想：当＝时，有＝成立(n是正整数)．
证明：过点D作DF∥BE，交AC于点F.
∵D是BC的中点，
∴F是EC的中点．
由＝可知＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝＝.
22.2～22.3
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．若△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝100°，∠B＝31°，则∠C1的度数为( )
A．31° B．49° C．59° D．100°
2．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比是( )
A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
3．如图4－G－1，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是( )
A. ＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝ 图4－G－1
4．如图4－G－2，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，那么下列结论一定正确的是( )
A．AB2＝BC·BD
B．AB2＝AC·BD
C．AB·AD＝BD·BC
D．AB·AD＝AD·CD
图4－G－2
5．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
图4－G－3
6．如图4－G－4，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )
图4－G－4
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
7．如图4－G－5，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A. B. C. D.
图4－G－5
8．如图4－G－6，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为( )
A．3 B．3或 C．3或 D.
图4－G－6
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．如图4－G－7，O是AC的中点，将周长为4 cm的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形OB′C′D′，则四边形OECF的周长是________ cm.
图4－G－7
10．如图4－G－8所示是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm.
图4－G－8
11．一块三角尺ABC按如图4－G－9放置，顶点A的坐标为(0，1)，顶点C的坐标为(－3，0)，∠B＝30°，则点B的坐标为________________．
图4－G－9
12．如图4－G－10，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·BC，能满足△APC和△ACB相似的条件是________．
图4－G－10
三、解答题(共48分)
13．(12分)如图4－G－11，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C.
求证：(1)∠AED＝∠ADC；
(2)AB2＝AE·AC.
图4－G－11
14．(10分)如图4－G－12，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离为多少千米．
图4－G－12
15．(12分)如图4－G－13，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在边CD，AD上滑动，当DM为多长时，△ABE与以点D，M，N为顶点的三角形相似？请加以说明．
图4－G－13
16．(14分)如图4－G－14所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，E是BC边上一点，且EC＝2BE.将正方形折叠，使点A与点E重合，折痕为MN，若四边形BCMN的面积和四边形ADMN的面积分别为S1，S2，求S1∶S2.
图4－G－14
教师详解详析
1．B [解析] ∠C1＝∠C＝180°－100°－31°＝49°.
2．A [解析] 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得S△ABC∶S△DEF＝1∶4.故选A.
3．C
4．A
5．D [解析] 剪下的三角形与原三角形有一个公共角，则利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”进行判定，只有D项符合题意．
6．C [解析] 由勾股定理先求出所有三角形的三边长，并求出三边之比，再根据“三边成比例的两个三角形相似”可知选择C项．
7．C [解析] ∵AB，CD，EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝1.
∵AB＝1，CD＝3，∴＋＝1，
∴EF＝.故选C.
8．B [解析] 由于以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形有一个公共角∠A，AQ的对应边是AB或AC，所以过点P的直线PQ应有两种作法：(1)如图①，过点P作PQ∥BC，这时△AQP∽△ABC，则＝，可求得AQ＝3；(2)如图②，过点P作∠APQ＝∠B，交AB于点Q，这时△APQ∽△ABC，于是有＝，可求得AQ＝.故选B.
9．2 [解析] 由题意知△COF∽△CAD，所以＝＝.又因为AD＝1 cm，所以OF＝ cm.同理OE＝EC＝CF＝ cm，所以四边形OECF的周长是4×＝2(cm)．
10．16 [解析] 由三角形相似的性质：相似比等于对应高的比，所以＝，所以CD＝16(cm)．
11．(－3－，3 ) [解析] 过B点作BE⊥x轴于点E，由∠BEC＝∠COA，∠EBC＝∠OCA，可证△EBC∽△OCA，∴＝＝.在Rt△ACO中，AC＝＝.在Rt△ABC中，∠CBA＝30°，∴AB＝2 ，∴BC＝，∴＝＝，解得BE＝3 ，EC＝，∴EO＝EC＋CO＝＋3.故答案为(－3－，3 )．
12．①②③ [解析] 当∠ACP＝∠B，∠A为公共角，所以△APC∽△ACB；
当∠APC＝∠ACB，∠A为公共角，所以△APC∽△ACB；
当AC2＝AP·AB，即AC∶AB＝AP∶AC，∠A为公共角，所以△APC∽△ACB；
当AB·CP＝AP·BC，即＝，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．
13．证明：(1)在△ADE和△ACD中，
∵∠ADE＝∠C，
∠AED＝180°－∠DAE－∠ADE，
∠ADC＝180°－∠DAE－∠C，
∴∠AED＝∠ADC.
(2)∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴＝，
即AD2＝AE·AC.
又∵AD＝AB，
∴AB2＝AE·AC.
14．解：1千米＝1000米，1.8千米＝1800米．连接MN.
∵＝＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠BAC＝∠NAM，
∴△BAC∽△NAM，
∴＝，
即＝，∴MN＝1500(米)＝1.5(千米)．
答：M，N两点之间的直线距离为1.5千米．
15．解：DM＝或.说明如下：
情况①：若△ABE∽△NDM，
则BE∶DM＝AE∶MN，此时DM＝；
情况②：若△ABE∽△MDN，
则AB∶DM＝AE∶MN，此时DM＝.
∴DM＝或.
16．解：设MN与AE相交于点F.
∵BC＝3，EC＝2BE，
∴EC＝2，BE＝1，∴AE＝.
由题意知，MN垂直平分AE，
∴△AFN∽△ABE，∴＝，
即＝，
∴AN＝AE2＝，∴BN＝.
过点M作MH⊥AB于点H，
易推知△MNH≌△AEB，
∴NH＝BE＝1，DM＝AH＝AN－NH＝－1＝，∴MC＝，
∴S1∶S2＝(＋)∶(＋)＝11∶7.
22.2 第1课时 相似三角形的概念与相似三角形判定的预备定理
知识点 1 相似三角形的有关概念
1．如图22－2－1，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是( )
A. ＝＝ B. ＝＝
C. ＝＝ D. ＝＝
2．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝35°，则与△ABC相似的三角形的三个角的度数分别为( )
A．35°，45°，45° B．45°，105°，35°
C．45°，35°，110° D．45°，35°，100°
图22－2－1
3．如图22－2－2，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2.若BC＝1，则EF的长是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图22－2－2
知识点 2 由平行线截得相似三角形
4．［教材练习变式］如图22－2－3，已知在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形的对数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图22－2－3
5．［2016·盐城］如图22－2－4，点F在?ABCD的边AB上，CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
图22－2－4
6.如图22－2－5，若AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图22－2－5
7．［2017·庐阳区二模］如图22－2－6，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝3，则BC的长是( )
A．6 B．9 C．10 D．12
图22－2－6
8．如图22－2－7，在?ABCD中，F是BC上一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：______________________．
图22－2－7
9．如图22－2－8所示，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，GF，DE相交于点M，则图中与△ABC相似的三角形有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
图22－2－8
10．如图22－2－9所示，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，求DF∶FC.
图22－2－9
11．如图22－2－10，在?ABCD中，F是BC延长线上一点，AF交BD于点O，与DC交于点E，则图中相似三角形共有(全等除外)( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
图22－2－10
1．D
2．D [．
3．B
4．C
5．C
6．C ．
7．B
8．答案不唯一，如△ABP∽△AED
9．]C
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴△DFE∽△BAE，
∴＝.
∵O为?ABCD的对角线的交点，
∴OD＝OB.
又∵E为OD的中点，
∴DE＝DB，
则DE∶EB＝1∶3，
∴DF∶AB＝1∶3.
又∵DC＝AB，
∴DF∶DC＝1∶3，
∴DF∶FC＝1∶2.
11． C
22.2 相似三角形的判定
一、选择题
1．如图20－K－1，若DE∥FG，且AD＝DF，则△ADE与△AFG的相似比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．2∶5
图20－K－1
2．［2017·合肥市庐阳区二模］如图20－K－2，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝3则BC的长是( )
A．6 B．8 C．9 D．12
图20－K－2
3．若△ABC∽△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，AB＝5，AC＝3，A′B′＝10，则B′C′的长为( )
A．8 B．10
C．6 D．无法确定
4．［2017·合肥市琥珀中学模拟］如图20－K－3，F是?ABCD对角线BD上的点，BF∶FD＝1∶3，则BE∶EC等于( )
A. B. C. D.
图20－K－3
二、填空题
5．如图20－K－4，已知AB∥EF∥DC，则△AOB∽________∽△COD.
图20－K－4
6．如图20－K－5，直线l1，l2，…，l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E和点C，F.若BC＝2，则EF的长是________．
图20－K－5
7．［2017·蚌埠市期末］如图20－K－6，△ABC的两条中线AD，BE相交于点G，如果AD＝6，那么DG＝________.
图20－K－6
三、解答题
8．如图20－K－7，AC∥BD，AD，BC相交于点E，EF∥BD，求证：＋＝.
图20－K－7
9规律探索如图20－K－8，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F.某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论：
(1)当＝时，＝；
(2)当＝时，＝；
(3)当＝时，＝；
……
猜想：当＝时，求的值，并说明理由．
图20－K－8
1．A
2．[解析] C ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴BC＝3DE＝3×3＝9.
3．[解析] A ∵△ABC∽△A′B′C′，
∴＝.
∵BC＝＝＝4，
∴＝，解得B′C′＝8.故选A.
4．[解析] A ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，BE∥AD，∴△BEF∽△DAF，
∴BE∶AD＝BF∶FD＝1∶3，∴BE∶BC＝1∶3，∴BE∶EC＝1∶2.
5．[答案] △FOE
[解析] ∵AB∥EF，∴△AOB∽△FOE.
∵EF∥DC，∴△FOE∽△COD.
6．[答案] 5
[解析] ∵l3∥l6，∴BC∥EF，
∴△ABC∽△AEF，∴＝＝.
∵BC＝2，∴EF＝5.
7．[答案] 2
[解析] 如图，连接DE，则DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，且DE＝AB，
∴△DEG∽△ABG，∴＝＝，
∴DG＝AG＝AD＝2.
8．证明：∵AC∥BD∥EF，
∴△BEF∽△BCA，△AEF∽△ADB，
∴＝，＝.
∴＋＝＋＝＝1，
∴＋＝.
9解：猜想：当＝时，＝.理由如下：如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G，则＝＝，
∴＝，即EG＝nAE.∵AD是△ABC的中线，DG∥BE，∴EG＝CG，AC＝(2n＋1)AE，∴＝.
22.2 第2课时 相似三角形判定定理1
一、选择题
1．［2016·安庆市怀宁县期中］已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是60°，80°，则这两个三角形( )
A．一定不相似 B．不一定相似
C．一定相似 D．全等
2．如图21－K－1，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
图21－K－1
3．［2017·合肥市50中期中］如图21－K－2，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则DE的长等于( )
A. B. C. D.
图21－K－2
4．［2017·全椒县一模］如图21－K－3，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有 ( )
A．△ADE∽△ECF B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF
图21－K－3
5．［2017·合肥市瑶海区一模］如图21－K－4，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b(a＞b)．在△ABC内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE.则EF等于( )
B. C. D.
图21－K－4
二、填空题
6．如图21－K－5，D是AB延长线上的一点，连接CD，请添加一个条件__________，使△ABC∽△ACD.(填一个即可)
图21－K－5
7.如图21－K－6，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ABC相似的三角形为________(填一个即可).
图21－K－6
三、解答题
8．如图21－K－7，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.求证：＝.
图21－K－7
9分类讨论思想如图21－K－8，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，△ADP与△QCP相似时，求BQ的长．
图21－K－8
1．[解析] C 第一个三角形的第三个内角为180°－40°－60°＝80°，所以这两个三角形有两对角对应相等，故这两个三角形相似．故选C.
2．[解析] C 根据“一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似”可以判定△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的对应边成比例，可知等式＝正确．
3．[解析] D ∵BD∶DC＝5∶3，BC＝8，∴BD＝5，DC＝3.∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，
∴△ADC∽△BDE，∴＝，即＝，解得DE＝.
4．[解析] A 根据题意可知，∠DAE＋∠AED＝∠AED＋∠CEF＝90°，∴∠DAE＝∠CEF.
又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ECF.
5．[解析] C ∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵∠CBD＝∠A，∴△ABC∽△BCD，
∴＝，则CD＝＝.同理，△BCD∽△CDE，DE＝＝＝()2·＝.同理，△DEF∽△CDE，EF＝＝()2·＝.
6．答案不唯一，如∠ADC＝∠ACB或∠ACD＝∠ABC
7．答案不唯一，如△ACD或△CBD
8．证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，∴＝.
9解：由题意，得∠D＝∠C＝90°.
①当△ADP∽△PCQ时，＝，
即＝，解得CQ＝.故BQ＝1－＝.
②当△ADP∽△QCP时，＝，
即＝，解得CQ＝1，故BQ＝0.所以当△ADP与△QCP相似时，BQ的长为0或.
22.2 第2课时 相似三角形的判定定理1
知识点 1 利用两角分别相等判定两个三角形相似
1．如图22－2－11所示的三个三角形，相似的是( )
图22－2－11
A．(1)和(2) B．(2)和(3)
C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)
2．［教材练习第1题变式］在△ABC中，AB＝AC.在△A′B′C′中，A′B′＝A′C′.添加下列条件，不能证明两个三角形相似的是( )
A．∠B＝∠C′ B．∠A＝∠A′
C．∠A＝∠C′ D．∠C＝∠B′
3．如图22－2－12，已知∠B＝∠C，则△ABF∽________，△BDE∽________．
图22－2－12
4．如图22－2－13，D是AC边上一点，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求证：△ABC∽△DAE.
图22－2－13
知识点 2 通过判定三角形相似推证线段成比例
5．如图22－2－14，在△ABC中，D是AB边上一点，且∠ADC＝∠ACB.
求证：AC2＝AD·AB.
图22－2－14
知识点 3 通过判定三角形相似求线段或角
6．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝40°，∠B＝80°，则∠F的度数为( )
A．40° B．60° C．80° D．100°
7．［2016·安徽］如图22－2－15，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为( )
A．4 B．4 C．6 D．4
图22－2－15
8．如图22－2－16，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于( )
A. B. C. D.
图22－2－16
9．如图22－2－17，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为________．
图22－2－17
10．如图22－2－18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
(1)求证：△BDE∽△BAC；
(2)已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长．
图22－2－18
1．A
2．C
3．△ACE △CDF
4．证明：∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠CAB.
又∵∠B＝∠DAE，
∴△ABC∽△DAE.
5．证明：在△ADC与△ACB中，
∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC∶AB＝AD∶AC，
∴AC2＝AD·AB.
6．B
7．B
8． A
9． 7
10．解：(1)证明：∵∠C＝90°，△ACD沿AD折叠得到△AED，
∴∠C＝∠AED＝90°，
∴∠DEB＝∠C＝90°.
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC.
(2)由勾股定理，得AB＝10.
由折叠的性质知，AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°，
∴BE＝AB－AE＝10－6＝4.
∵△BDE∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴DE＝3，∴CD＝DE＝3.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2＋CD2＝AD2，即62＋32＝AD2，解得AD＝3 .
22.2 第3课时 相似三角形判定定理2
一、选择题
1．如图22－K－1，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )
图22－K－1
2．［2017·合肥市54中一模］如图22－K－2，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A. ＝ B. ＝
C．AC2＝AD·AB D．CD2＝AD·BD
图22－K－2
3．［2017·合肥市模拟］如图22－K－3，D，E分别是AB，AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是( )
A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB
C．BE＝CD，AB＝AC D．AD∶AC＝AE∶AB
图22－K－3
4．如图22－K－4，已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q.若以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为 ( )
A．3 B．3或 C．3或 D.
图22－K－4
二、填空题
5．［2017·亳州市期末］如图22－K－5所示，在△ABC与△ADE中，AD·AC＝AB·AE，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是__________________．(只加一个即可)
图22－K－5
6．在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，且AD 2＝BD·DC，则∠C的度数为__________．
三、解答题
7．如图22－K－6，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值.
图22－K－6
8数形结合思想如图22－K－7，在平面直角坐标系中，A点的坐标为(8，0)，B点的坐标为(0，6)，C是线段AB的中点．在x轴上是否存在一点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图22－K－7
1．[解析] C 求出B，C选项中的等腰三角形的顶角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断．
2．[解析] C 在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，得添加的条件是＝，∴AC2＝AD·AB.
3．[解析] C 根据相似三角形判定定理1可知条件“∠B＝∠C”和“∠ADC＝∠AEB”符合题意；根据相似三角形判定定理2可知条件“AD∶AC＝AE∶AB”符合题意．而条件“BE＝CD，AB＝AC”无法推出△ABE和△ACD相似．
4．[解析] B 已知∠A是公共角，则当＝或＝时，可满足题目要求，解得AQ＝3或.
5．答案不唯一，如∠DAE＝∠BAC
6．[答案] 65°或115°
[解析] (1)如图①，当∠C为锐角时，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝∠BDA＝90°.
∵AD2＝BD·DC，
∴＝，∴△ADC∽△BDA，
∴∠CAD＝∠B＝25°，∴∠C＝65°；
(2)如图②，当∠ACB为钝角时，同理可得△ADC∽△BDA，
∴∠CAD＝∠B＝25°，
∴∠BCA＝25°＋90°＝115°.
7．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∴∠ADF＝∠C.∵＝，
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG，∴＝.
又∵＝，∴＝，∴＝1.
8解：存在这样的点P.
由题意可知，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝6，
∴AB＝10.
∵C是线段AB的中点，∴AC＝5.
如果点P与点B对应，那么△PAC∽△BAO，
∴PA∶BA＝AC∶AO，∴PA＝，
∴OP＝OA－PA＝，∴P.
如果点P与点O对应，那么△PAC∽△OAB，
∴PA∶OA＝AC∶AB，∴PA＝4，
∴OP＝OA－AP＝4，
∴P(4，0)．
综上，P点的坐标为或(4，0)．
22.2 第3课时 相似三角形的判定定理2
知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1．已知△ABC如图22－2－19①所示，则图②中与△ABC相似的是( )
图22－2－19
2．下列条件中可以判定△ABC∽△A′B′C′的是( )
A. ＝ B. ＝，∠B＝∠B′
C. ＝，∠A＝∠A′ D. ＝
3．［教材练习第2题变式］在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.在Rt△A′B′C′中，∠C′＝90°，添加下列条件后不能判定两个直角三角形相似的是( )
A．A′C′＝12，B′C′＝9
B．A′C′＝12，A′B′＝15
C．A′C′＝9，A′B′＝12
D．B′C′＝9，A′B′＝15
4．如图22－2－20，在△ABC中，已知AB＝AC，D，E，B，C在同一条直线上，且AB2＝BD·CE，求证：△ABD∽△ECA.
图22－2－20
5．如图22－2－21，3个相同的正方形拼成1个矩形，则∠EAD＋∠EBD的度数为________．
图22－2－21
6．［2016·杭州］如图22－2－22，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
图22－2－22
7．如图22－2－23，已知△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，D是边AC上一点，且满足BC2＝CD·AC，DE与AB相交于点F，则图中的相似三角形共有( )
A．6对 B．7对 C．8对 D．9对
图22－2－23
1．C
2．C
3．C [解析] A项中直接利用两条直角边对应成比例，夹角都是直角，进行判定；B，D选项先用勾股定理求出另一个直角边，再用相似的判定定理进行判定．只有C项给出的对应边不成比例．
4．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵AB2＝BD·CE，
∴＝，即＝，
∴△ABD∽△ECA.
5． 45°
6．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴∠ADF＝∠C.
又∵＝，
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG，
∴＝.
又∵＝，∴＝，
∴＝1.
7．D [解析] ∵△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，∴ABC∽△EBD.
∵BC2＝CD·AC，∴△BCD∽△ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝36°，
∴△BCD∽△EBD.同理，△BDF∽△BCD∽△ABC∽EBD，△ADF∽△EBF∽△ABD.
22.2 第4课时 相似三角形判定定理3
一、选择题
1．［2017·河北］若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( )
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了(1＋10%) D．没有改变
2．［2017·当涂县期末］已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′中的第三条边长应该是 ( )
A．2 B. C．4 D．2
3．如图23－K－1，在4×4的正方形网格图②③④中的三角形与图①中的三角形相似的是( )
图23－K－1
A．② B．③
C．④和③ D．②和④
二、填空题
4．要判定△ABC∽△A′B′C′，已知条件＝，还要添加条件__________(填角的关系)或____________(填边的关系，填一组即可)．
5．若△ABC的各边长分别为AB＝25 cm，BC＝20 cm，AC＝15 cm，△DEF的两边长分别为DE＝5 cm，EF＝4 cm，则当DF＝________ cm时，△ABC与△DEF相似．
6．［2016·潜山县期末］如图23－K－2，D是△ABC内的一点，连接BD并延长到点E，连接AD，AE.若＝＝，且∠CAE＝29°，则∠BAD＝________°.
图23－K－2
三、解答题
7．［2018·肥东县月考］如图23－K－3，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？请说明理由.
图23－K－3
8．［2017·池州市期末］如图23－K－4，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且＝＝.
求证：(1)∠BAE＝∠CAD；
(2)△ABE∽△ACD.
图23－K－4
9分类讨论思想已知△ABC的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现要利用长度分别为30 cm和60 cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边，求这个三角形木架的三边长．
1．D 2.A
3．[解析] B 题图①中三角形的三条边长分别是，2，.
题图②中三角形的三条边长分别是，，3.
题图③中三角形的三条边长分别是2，2 ，2 .
题图④中三角形的三条边长分别是3，，4.
只有题图③中的三角形的三条边与题图①中的三条边对应成比例：＝＝＝.
故选B.
4．∠B＝∠B′ ＝(或＝)
5．3
6． [答案] 29
[解析] ∵＝＝，
∴△ADE∽△ABC，∴∠DAE＝∠BAC，
即∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE＝29°.
7．解：相似．理由如下：
设正方形的边长为1，则AC＝，CD＝1，AD＝，EC＝2，CA＝，EA＝.
∵＝＝＝，∴△ACD∽△ECA.
8．证明：(1)在△ABC与△AED中，
∵＝＝，∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC－∠EAF＝∠EAD－∠EAF，即∠BAE＝∠CAD.
(2)∵＝，∴＝.在△ABE与△ACD中，∵∠BAE＝∠CAD，＝，∴△ABE∽△ACD.
9解：显然，只能将30 cm长的木条作为三角形木架的一边，设木架的另两边长分别为x cm和y cm.
若＝＝，
解得x＝12，y＝36，x＋y<60，符合题意；
若＝＝，解得x＝75，y＝90.
∵75>60，90>60，∴不符合题意；
若＝＝，
解得x＝10，y＝25，x＋y<60，符合题意．
∴这个三角形木架的三边长分别为30 cm，10 cm，25 cm或30 cm，12 cm，36 cm.
22.2 第4课时 相似三角形的判定定理3
知识点 三边成比例的两个三角形相似
1．已知△ABC与△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是( )
A．AB＝a，BC＝b，AC＝c，DE＝，EF＝，DF＝
B．AB＝1，BC＝1.5，AC＝2，DE＝8，EF＝12，DF＝16
C．AB＝，BC＝，AC＝，DE＝，EF＝3，DF＝3
D．AB＝3，BC＝4，AC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝10
2．在小正方形的网格中，下列四个选项中的三角形，与如图22－2－24所示的△ABC相似的是( )
图22－2－24
3．在△ABC中，AB＝1.5，AC＝2，BC＝3.在△A′B′C′中，A′B′＝3，B′C′＝4.5，A′C′＝________时，△ABC与△A′B′C′相似．
4．如图22－2－25，已知＝＝，∠BAD＝20°，求∠CAE的度数．
图22－2－25
5．［教材习题22.2第7题变式］已知△ABC的三边长分别是，2，.△A′B′C′有一边长是1，另外两边分别是下列哪组数值时，这两个三角形相似( )
A. ， B. ，2
C. ，2 D. ，2
6． 如图22－2－26，∠AOB＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由．
图22－2－26
7．如图22－2－27，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取三个格点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)
图22－2－27
1．B [解析] 选项A，C，D中三边不成比例，只有选项B中＝＝＝.故选B.
2．A [解析] 设小正方形网格的长度为单位1，利用勾股定理计算出三角形各边的长，由小到大求出三边的比即可判断；另外后三个选项都是直角三角形，与△ABC的形状不符合．
3．2.25 [解析] 1.5∶2∶3＝3∶4∶6，而3∶4.5＝2∶3＝4∶6.
4．解：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，∴∠CAE＝20°.
5．A
6．解：△ABC∽△DBA.
理由如下：设OA＝OB＝BC＝CD＝x.
根据勾股定理，得AB＝＝x，
AC＝＝x，
AD＝＝x.
∵＝＝，＝＝，
＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△DBA.
7．解：(1)△ABC和△DEF相似．
理由：根据勾股定理，得AB＝2 ，AC＝，
BC＝5.同理，DE＝4 ，DF＝2 ，EF＝2 .
∵＝＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可：
△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1.
在图中连接相应线段略．
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定方法
知识点 1 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似
1．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8, 则当A′B′＝________时，△ABC∽△A′B′C′.
2．如图22－2－28，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.如果△ABC∽△CAD，那么CD的长为( )
A. B.
C. D.
图22－2－28
3．如图22－2－29，已知CD为△ABC的高，AC·CD＝BC·AD.求证：∠ACB＝90°.
图22－2－29
知识点 2 判定直角三角形相似的方法综合
4．如图22－2－30，已知△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC与△DAE相似的是( )
A．∠B＝∠D
B. ＝
C． AD∥BC
D. ＝
图22－2－30
5．现有下列说法：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④有两边成比例的两个直角三角形相似．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图22－2－31，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，C是线段BD的中点，且ED＝1，AC＝2 ，BD＝4.求证：△ABC∽△CDE.
图22－2－31
知识点 3 相似直角三角形在测量中的应用
7．如图22－2－32，为估算某河的宽度，在河的对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( )
A．60 m B．40 m
C．30 m D．20 m
图22－2－32
8．为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图22－2－33所示的测量方案．把镜子放在离树(AB)8.7 m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观测者目高CD＝1.6 m，则树高AB约是________m(精确到0.1 m)．
图22－2－33
9．如图22－2－34是一个常见铁夹的侧面示意图，铁夹的侧面是轴对称图形，OA，OB表示铁夹的两个边，点C在轴线上，CD⊥OA于点D，已知AD＝15 mm，OD＝24 mm，CD＝10 mm，请求出A，B两点间的距离．
图22－2－34
10．如图22－2－35，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找到一点N(不与点A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似？若能，找到点N的位置；若不能，请说明理由．
图22－2－35
11．在△ABC与△DEF中，∠C＝∠E＝90°，AC＝5，AB＝13，DF＝26，要使△ABC与△DEF相似，DE的长可以是多少？
12．如图22－2－36①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
解决问题：
(1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的“相似点”，并说明理由；
(2)如图②，在矩形ABCD中，已知AB＝2 ，BC＝3，M是AD边上的一点，将矩形ABCD沿CM折叠，点D恰好落在AB边上的点E处．求证：点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”．
图22－2－36
1．10 [解析] 由＝，解得A′B′＝10.
2．A [解析] 假设△ABC∽△CAD，则＝，即＝，解得CD＝.∴如果△ABC∽△CAD，那么CD＝.故选A.
3．证明：∵AC·CD＝BC·AD，
∴＝.
∵CD为△ABC的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴∠ACD＝∠B.
又∵∠DCB＋∠B＝90°，
∴∠DCB＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
4．D [解析] D项中，一个是直角三角形的两条直角边，一个是直角三角形的斜边和直角边．它们不符合直角三角形相似的判定定理．
5．B
6．[解析] 要证明△ABC与△CDE相似，通过已知并结合图形，观察可知这两个三角形已经具备一对对应角相等，即∠B＝∠D＝90°，那么再由已知条件求出两条直角边对应成比例即可．
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°.
又∵C是线段BD的中点，BD＝4，
∴BC＝CD＝2.
∵AC＝2 ，BC＝2，
∴AB＝＝4，
∴AB∶CD＝BC∶DE＝2∶1，
∴△ABC∽△CDE.
7．B
8．5.2 [解析] 由CD⊥BD，AB⊥BE，得∠CDE＝∠ABE＝90°.由光的反射原理可知∠CED＝∠AEB，所以△CED∽△AEB，再利用对应边成比例就可以求出树高AB.
9．解：如图，连接AB，同时连接OC并延长交AB于点E.
∵铁夹的侧面是轴对称图形，
∴直线OE是其对称轴，
∴OE⊥AB，AE＝BE.
∵∠COD＝∠AOE，∠CDO＝∠AEO＝90°，
∴Rt△OCD∽Rt△OAE，
∴＝.
又∵OC＝＝＝26，
∴＝，解得AE＝15(mm)，
∴AB＝2AE＝30 mm.
答：A，B两点间的距离为30 mm.
10．解：能找到．分两种情况讨论：
①若△CDM∽△MAN，则＝.
∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，
∴CD＝a，DM＝AM＝，
∴AN＝a.
②若△CDM∽△NAM，则＝.
∵CD＝a，DM＝AM＝，
∴AN＝a，即点N与点B重合，不合题意，舍去．
综上可得，能在边AB上找到一点N(不与点A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似．当AN＝a时，点N的位置满足条件．
11．解：若△ABC∽△DFE，则＝，
即＝，解得DE＝10；
若△BAC∽△DFE，则＝，
即＝，解得DE＝24.
综上可得，DE的长可以是10或24.
12．解： (1)点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．理由如下：
∵∠DEC＝45°，
∴∠AED＋∠BEC＝135°.
∵∠A＝45°，
∴∠ADE＋∠AED＝135°，
∴∠ADE＝∠BEC，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．
(2)证明：由题意可知DM＝EM，EC＝CD＝AB＝2 ，∠A＝∠B＝∠MEC＝90°.
由勾股定理，得
BE＝＝＝.
则AE＝.
∵∠A＝∠B＝∠MEC＝90°，
∴∠AEM＋∠AME＝90°，
∠AEM＋∠BEC＝90°，
∴∠AME＝∠BEC.
又∵∠A＝∠B，∴△AEM∽△BCE，
∴＝，即＝，
解得AM＝1.
由勾股定理，得EM＝2.
∵＝，＝，∴＝，
即＝.
又∵∠A＝∠CEM，
∴△AEM∽△ECM.
又∵△AEM∽△BCE，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”．
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定方法
一、选择题
1．在Rt△ABC和Rt△DEF中，若∠A＝30°，∠D＝60°，则( )
A．Rt△ABC和Rt△DEF不相似
B．Rt△ABC∽Rt△DEF
C．Rt△ABC∽Rt△DFE
D．Rt△ABC和Rt△DEF相似
2．［2016·淮北市期末］如图24－K－1，已知∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝2，当△ACB∽△ADC时，AB的长为( )
A．4 B．2 C．3 D．6
图24－K－1
3．如图24－K－2所示，四边形ABCD为正方形，E为AD的中点，F在边AB上，如果∠CEF是直角，那么下列结论错误的是( )
A．△AEF∽△DCE B．△AEF∽△ECF
C．△DCE∽△ECF D．△BCF∽△ECF
图24－K－2
二、填空题
4．在图24－K－3中，Rt△ABC与Rt△DEF________(填“相似”或“不相似”)．
图24－K－3
5．如图24－K－4，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝________．
图24－K－4
［2017·含山县期末］如图24－K－5，点C在线段BD上，AB⊥BD，PD⊥BD，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝6，CD＝2，则当DE＝________时，△ABC与△CDE相似.
图24－K－5
三、解答题
7．如图24－K－6，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.
求证：△ABD∽△CBE.
图24－K－6
8．［2016·安庆市太湖期末］如图24－K－7，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM于点H，且与AC的延长线交于点E，与BC交于点F.
求证：(1)△AED∽△CBM；
(2)AE·CM＝AC·CD.
图24－K－7
9分类讨论思想如图24－K－8，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
图24－K－8
1．D
2．[解析] A 当△ACB∽△ADC时，＝，故AB＝＝＝4.
3．[解析] D 根据题意可知∠A＝∠D，∠AEF＝∠DCE，所以△AEF∽△DCE，由此得到FE∶EC＝AE∶DC＝DE∶DC，又因为∠CEF＝∠D＝90°，所以△DCE∽△ECF，再根据相似三角形的传递性得到△AEF∽△ECF，因此只有D选项错误．
4．相似 5.
6．[答案] 1或4
[解析] 分两种情况考虑：①△ABC∽△CDE，则＝，即＝，解得DE＝4；②△ABC∽△EDC，则＝，即＝，解得DE＝1.综上所述，DE的长为1或4.
7．[解析] 观察题图，已知∠B是公共角，判定两个三角形相似，再找到一组角相等即可．根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB＝∠CEB＝90°，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明．
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
8．证明：(1)∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCM＋∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCM.同理可得∠MDH＝∠MBD.
∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD，
∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH，
∴∠ADE＝∠CMB.又∠A＝∠BCM，
∴△AED∽△CBM.
(2)由(1)可知△AED∽△CBM，
∴＝，即AE·CM＝AD·CB.
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，即AC·CD＝AD·BC，
∴AE·CM＝AC·CD.
9 [解析] 本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况求解，可根据各自得出的对应边成比例求出t的值．
解：①当△OPQ∽△OAB时，＝，
即＝，
整理得12－2t＝t，解得t＝4.
②当△OPQ∽△OBA时，＝，即＝，整理得6－t＝2t，解得t＝2.
∵0≤t≤6，∴t＝4和t＝2均符合题意，
∴当t＝4秒或t＝2秒时，△POQ与△AOB相似．
22.3 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质
一、选择题
1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A. B. C. D.
2．［2017·重庆］已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
3．［2017·张家界］如图25－K－1，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是( )
A．6 B．12 C．18 D．24
图25－K－1
4．［2017·合肥市蜀山区一模］如图25－K－2，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC.若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△COA的值为 ( )
B. C. D.
图25－K－2
二、填空题
5．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比等于________．
6．［2016·合肥市肥西县期中］如图25－K－3，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，x，4的三个正方形，则x的值为________.
图25－K－3
三、解答题
7．已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20 cm.求：
(1)A′B′边上的中线C′D′的长；
(2)△A′B′C′的周长．
8．如图25－K－4，?ABCD中，AE∶EB＝3∶4，DE交AC于点F.
(1)求△AEF与△CDF的周长之比；
(2)如果△CDF的面积为14 cm2，求△AEF的面积．
图25－K－4
9方案设计题如图25－K－5，有一批呈直角三角形，大小相同的不锈钢片，已知∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，要用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，请你设计一种方案，并求出这种正方形不锈钢片的边长．
图25－K－5
1．A 2.A
3．[解析] B 由题意可知DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE与△ABC的相似之比为1∶2，故△ABC的周长是6×2＝12.
4．[解析] D ∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，∴BE∶CE＝1∶3.∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，且△BDE∽△BAC，∴＝＝＝，∴＝＝＝.
5．[答案]
[解析] 由D，E分别是边AB，AC的中点，得出DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质知DE∥BC，进而得到△ADE与△ABC相似，根据相似三角形的性质，得到△ADE与△ABC的周长之比为1∶2.
6． [答案] 7
[解析] 如图，易得△DEF∽△IGH，所以＝，即＝，所以x＝7(x＝0已舍去)，故答案为7.
7．解：(1)∵△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4 cm，
∴＝＝，∴C′D′＝4×2＝8 (cm)．
(2)∵△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC的周长为20 cm，
∴＝＝，
∴△A′B′C′的周长＝20×2＝40 (cm)．
8．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，
∴＝＝＝.
(2)＝＝＝，即＝，解得S△AEF＝ cm2.
9解：如图①，设正方形EFGH的边长为x cm，
过点C作CD⊥AB于点D，交EH于点M.
因为∠ACB＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，
所以AB＝＝＝13(cm)．
又因为AB·CD＝AC·BC，
所以CD＝＝＝(cm)．
因为EH∥AB，所以△CEH∽△CAB，
所以＝，即＝，解得x＝.
如图②，设正方形CEGH的边长为y cm.
因为GH∥AC，所以＝，即＝，
解得y＝.因为＜，
所以应按图②裁剪，这时正方形不锈钢片的面积最大，它的边长为 cm.
22.3 第2课时 相似三角形的应用
一、选择题
1．如图26－K－1是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，DP＝12米，那么该古城墙的高度是 ( )
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
图26－K－1
2．［2018·蚌埠市重点中学联考］如图26－K－2，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝30 m，EC＝15 m，CD＝30 m，则河的宽度AB为 ( )
A．90 m B．60 m C．45 m D．30 m
图26－K－2
二、填空题
3．［2017·合肥20中模拟］如图26－K－3，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是2.7 m，则AB离地面的距离为________m.
图26－K－3
4.［2017·眉山］“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图26－K－4获得，则井深为________尺．
图26－K－4
三、解答题
5．［2017·六安市月考］一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件如图26－K－5，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
(1)求证：△AEF∽△ABC；
(2)求这个正方形零件的边长．
图26－K－5
6方程建模思想如图26－K－6，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处(HA＝20步)有一树木，由南门14步到C处(KC＝14步)，再向西行1775步到B处(CB＝1775步)，正好看到A处的树木(点D在直线AB上)，那么城邑的边长为多少步？
图26－K－6
1．[解析] B 根据光学原理可知，∠APB＝∠CPD，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴＝，∴CD＝＝8(米)．
2．[解析] B ∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝，即＝，解得AB＝60 m.
3．[答案] 1.8
[解析] ∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD.∵AB＝2 m，CD＝6 m，
∴＝.
又∵点P到CD的距离是2.7 m，
设AB离地面的距离为x m，
∴＝，
解得x＝1.8.故AB离地面的距离为1.8 m.
4．[答案] 57.5
[解析] 根据题意可知△ABF∽△ADE，∴＝，即＝，解得AD＝62.5尺，∴BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5(尺)．
5．[解析] (1)根据四边形EFHG是正方形，可得EF∥BC，则△AEF∽△ABC.
(2)设AD交EF于点K，这个正方形零件的边长是x mm，根据＝，求出这个正方形零件的边长是多少即可．
解：(1)证明：∵四边形EFHG是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC.
(2)设AD交EF于点K，这个正方形零件的边长是x mm.
∵△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝48.
答：这个正方形零件的边长是48 mm.
6解：设城邑的边长为x步．
根据题意，得Rt△AHD∽Rt△ACB，
∴＝，即＝，
解得x1＝250，x2＝－284，
经检验，x1＝250是分式方程的解且符合题意；x2＝－284是分式方程的解，但不符合题意．
∴城邑的边长为250步．
22.3 相似三角形的性质
知识点 1 相似三角形对应高、中线、角平分线的比
1．［2016·兰州］已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A. B. C. D.
2．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△A′B′C′与△ABC的相似比为________．
3．如图22－3－1(示意图)，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，已知AB∥CD，AB＝2 m，CD＝5 m，若点P到CD的距离为3 m，则点P到AB的距离是________．
图22－3－1
知识点 2 相似三角形周长的比
4．已知△ABC∽△DEF，相似比是，则＝＝＝________，＝________．如果△ABC的周长是60 cm，那么△DEF的周长是________．
5．如图22－3－2，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，且AD＝AB，则△ADE与△ABC的周长的比为________．
图22－3－2
6．两个相似三角形的对应边之比是8∶3，它们的周长之间的差为45 cm，则这两个三角形的周长分别是________和________．
7．如图22－3－3，已知在?ABCD中，AE∶EB＝1∶2，求△AEF与△CDF的周长之比．
图22－3－3
知识点 3 相似三角形面积的比
8．如图22－3－4，已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是它们的高，若＝，则＝________，＝________．
图22－3－4
9．［2017·湘潭］如图22－3－5，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE∶S△ABC＝________．
图22－3－5
10．如图22－3－6，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分Ⅰ和Ⅱ的面积相等，则＝________．
图22－3－6
11．如图22－3－7，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ACD的面积为1，则△BCD的面积为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图22－3－7
在△ABC中，AB＝12 cm，BC＝18 cm，CA＝24 cm.如果另一个与它相似的△A′B′C′的周长为81 cm，那么△A′B′C′的三边长分别为________．
13．如图22－3－8，在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，D是AC边上一点，∠CBD＝∠A，E，F分别是AB，BD的中点．若AB＝5，AC＝4，则CF∶CE＝________.
图22－3－8
14．［2017·杭州］如图22－3－9，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
图22－3－9
15．如图22－3－10，在?ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求?ABCD的面积．
图22－3－10
16．如图22－3－11，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是多少？
图22－3－11
17．如图22－3－12，在?ABCD中，E是CD上的一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于( )
A．2∶5∶25 B．4∶9∶25
C．2∶3∶5 D．4∶10∶25
图22－3－12
18．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m，面积为1.5 m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲，乙两名同学设计加工方案．甲的设计方案如图22－3－13①所示，乙的设计方案如图②所示．你认为哪名同学设计的方案较好？试说明理由．(加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数)
图22－3－13
1．A
2.
3. m
4. 40 cm
5. .
6．72 cm 27 cm
7．解：∵AE∶EB＝1∶2，
∴AE∶AB＝1∶3.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AE∶CD＝AE∶AB＝1∶3.
又∵在?ABCD中，AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝1∶3.
8.
9.
10.
11．C
12． 18 cm，27 cm，36 cm
13．3∶4
14．解：(1)∵AF⊥DE于点F，AG⊥BC于点G，∴∠AFE＝90°，∠AGC＝90°，
∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC.
又∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AEF＝∠C.
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴＝.
∵AD＝3，AB＝5，∴＝.
15解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CEB，
∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，ABCD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE＝CD，
∴＝()2＝，＝()2＝.
∵S△DEF＝2，
∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，
∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16，
∴S?ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.
16．解：∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等．
∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA.
∵EF＝9，AB＝12，
∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，
∴△CEF和△CBA的面积比＝9∶16.
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k.
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF＝7k.
∵△CDF与△CEF可看作同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF∶EF＝7k∶9k＝7∶9.
∵EF＝9，∴DF＝7.
17． D
18．解：甲同学设计的方案较好．
理由：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，可得BC＝2 m.
由题图①，若设甲设计的正方形桌面的边长为x m，由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
∴＝，即＝，
解得x＝.
由题图②，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高BH，BH交DE于点P，交AC于点H.
由AB＝1.5 m，BC＝2 m，
得AC＝＝＝2.5(m)．
由AC·BH＝AB·BC可得，
BH＝＝＝1.2(m)．
设乙设计的桌面边长为y m.
∵DE∥AC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴＝，
即＝，解得y＝.
∵＝>，
∴x2>y2，
∴甲同学设计的方案较好．
22.4 图形的位似变换
第1课时 位似
一、选择题
1．在下列图形中，不是位似图形的是( )
图27－K－1
2．图27－K－2中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )
A．点P B．点O C．点M D．点N
图27－K－2
3.［2017·合肥市巢湖期末］如图27－K－3，位似中心为O，将△ABC经过位似变换后得到位似图形△A′B′C′.当AB＝2A′B′时，△A′B′C′与△ABC的相似比k的值为( )
A．1 B. C．2 D．不确定
图27－K－3
4．［2017·濉溪县一模］如图27－K－4，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶6
图27－K－4
二、填空题
5．［2017·兰州］如图27－K－5，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，＝，则的值为________．
图27－K－5
6.如图27－K－6，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，＝，则△DEF与△ABC的面积比是________.
图27－K－6
三、解答题
7．如图25－K－7，O为△ABC内一点．
(1)以O为位似中心，作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2∶1；
(2)以O为位似中心，作△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的相似比为1∶2；
(3)若△ABC的周长为12 cm，面积为6 cm2，请分别求出△A1B1C1，△A2B2C2的周长和面积．
图25－K－7
8实践操作在数学活动中，林老师按如下的步骤进行操作：如图27－K－8(a)，①在△A OB内画任意等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作C′E′∥CE，交OA于点C′，作D′E′∥DE，交OB于点D′，连接C′D′.林老师告诉同学们△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
(1)请证明林老师的结论；
(2)仿照林老师的操作步骤，请在图(b)中作出内接正方形CDEF，要求DE在OB上，点C，F分别在OA，AB边上．(不需要写作图过程，画出图形即可)
图27－K－8
1．D
2．[解析] A 根据位似变换的定义可知对应点的连线交于一点，交点就是位似中心，即位似中心一定在对应点的连线上．
3．B
4．[解析] B ∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD＝OA，∴OA∶OD＝1∶2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1∶4.
故选B.
5.
6．[答案] 4∶25
[解析] ∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，∴△DEF∽△ABC.又∵＝，∴＝，即△DEF与△ABC的相似比为2∶5，∴△DEF与△ABC的面积比是4∶25.
7．解：(1)如图，△A1B1C1就是所要求作的三角形．
(2)如图，△A2B2C2就是所要求作的三角形．
(3)设△A1B1C1的周长为x1 cm，面积为y1 cm2，则＝，＝.
解得x1＝24，y1＝24.
即△A1B1C1的周长为24 cm，面积为24 cm2.
设△A2B2C2的周长为x2 cm，面积为y2 cm2，
则＝，＝.解得x2＝6，y2＝.
即△A2B2C2的周长为6 cm，面积为 cm2.
8解：(1)证明：∵C′E′∥CE，D′E′∥DE，
∴＝，＝，∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O，
∴＝，∠CED＝∠C′E′D′，
∴△CDE∽△C′D′E′.
又∵△CDE是等边三角形，
∴△C′D′E′是等边三角形，
∴△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
(2)如图：
22.4 第2课时 平面直角坐标系中的位似
一、选择题
1．如图28－K－1，线段AB的两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为( )
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
图28－K－1
2．［2017·合肥19中模拟］在如图28－K－2所示的平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则( )
A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似
C．将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似
D．将各点的横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似
图28－K－2
二、填空题
3．［2017·阿坝州］如图28－K－3，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.5，则DE的长为________．
图28－K－3
4．［2017·马鞍山期末］如图28－K－4，已知△ABO的顶点A(－3，6)，以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的，则与点A对应的点A′的坐标是________.
图28－K－4
三、解答题
5．［2017·芜湖模拟］如图28－K－5所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点分别在格点上．
(1)以原点O为位似中心，相似比为2，将图形放大，画出符合要求的位似四边形；
(2)在(1)的前提下，写出点A的对应点的坐标，并说明点A的坐标与对应点坐标的关系．
图28－K－5
6［数形结合思想］［2016·眉山］已知：如图28－K－6，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位．
(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2，并直接写出点A2的坐标．
图28－K－6
1．[解析] A 由题意知原点O为位似中心，且在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，所以端点C的横、纵坐标都变为点A的横、纵坐标的一半，即点C的坐标为(3，3)．故选A.
2．[解析] C 平面直角坐标系中图形的各个顶点，若横、纵坐标同时乘以同一个非0的实数k，则得到的图形与原图形关于原点位似，位似比是|k|.若乘的不是同一个数，则得到的图形一定不会与原图形位似．
3．4.5
4．(－1，2)或(1，－2)
5．解：(1)符合要求的位似四边形有两个，如图所示．
(2)点A的对应点有两个，分别是(－6，4)，(6，－4)．点A的对应点的横、纵坐标分别是点A的横、纵坐标乘以2或－2.
[素养提升]
解：(1)如图．
(2)画出△A2B2C2如图，点A2的坐标为(－2，－2)．
22.4 第1课时 位似图形的概念与性质
知识点 1 位似图形的概念
1．图22－4－1中的两个相似三角形不是位似图形的是( )
图22－4－1
2．如图22－4－2，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是( )
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．点B与点D，点C与点E分别是对应点
D．AE∶AD是相似比
图22－4－2
3．如图22－4－3，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OA＝AD，则△ABC与△DEF的相似比是( )
A. B. C．2 D．3
图22－4－3
4．关于位似图形的表述，下列命题正确的是( )
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
知识点 2 位似图形的性质
5．［2017·成都］如图22－4－4，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形．若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD和A′B′C′D′的面积比为( )
A．4∶9 B．2∶5
C．2∶3 D. ∶
图22－4－4
6．如图22－4－5，以点O为位似中心，△ABC与△DEF是位似图形．若AD＝OA，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为( )
A．1 B．2 C．8 D．16
图22－4－5
7．如图22－4－6，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB∶DE＝________．
图22－4－6
知识点 3 位似图形的画法
8．如图22－4－7，在正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O为位似中心将其放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1(不要求写作法)．
图22－4－7
9．已知一个五边形ABCDE.在其内部找一点，作为位似中心，作一个五边形使它和原五边形位似，且相似比为1∶2.
图22－4－8
10．如图22－4－9是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是( )
A. cm B . cm C. cm D．1 cm
图22－4－9
11．如图22－4－10，若＝＝＝，则下列说法中正确的有( )
①△ABC与△DEF是相似图形；
②△ABC与△DEF的周长之比是；
③△ABC与△DEF是位似图形；
④△DEF与△ABC的面积之比是4∶1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
图22－4－10
12．如图22－4－11，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．
(1)以点O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且△A′B′C′和△ABC的相似比为1∶2；
(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．
图22－4－11
13．如图22－4－12，点F在BD上，BC，AD相交于点E，且AB∥CD∥EF.
(1)图中有哪几对位似三角形？
(2)选其中一对加以证明．
图22－4－12
14．如图22－4－13，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在边OA上，点D在边OB上；
②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；
③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
图22－4－13
1．D 2．D 3．A 4．C 5．A 6．C
7．2∶3 .
8．解：连接OA，OB，OC，OD并延长到点A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′的长度分别是OA，OB，OC，OD长度的2倍，再顺次连接各点．图略．
9．解：在五边形ABCDE内部任找一点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，然后在OA上取OA′＝OA，在OB上取OB′＝OB，在OC上取OC′＝OC，在OD上取OD′＝OD，在OE上取OE′＝OE，顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，得到的五边形即为所求．
10． D
11． D
12．解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求．
(2)如图所示，连接AA′，由图知AA′＝CC′＝2.
在Rt△OA′C′中，OA′＝OC′＝2，得A′C′＝2 .同理可得AC＝4 .
∴四边形AA′C′C的周长为4＋6 .
13．解：(1)∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，一共有3对．
(2)(答案不唯一)证明：∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应点的连线都交于一点，
∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形．
14．证明：∵EC∥E′C′，∴△OCE∽△OC′E′，
∴＝，∠CEO＝∠C′E′O.
∵ED∥E′D′，∴△ODE∽△OD′E′，
∴＝，∠DEO＝∠D′E′O，
∴＝，∠CED＝∠C′E′D′，
∴△CDE∽△C′D′E′.
∵△CDE是等边三角形，
∴△C′D′E′是等边三角形．
22.4 第2课时 平面直角坐标系中图形的位似变换
知识点 1 位似变换与坐标的变化
1．如图22－4－14，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为( )
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
图22－4－14
2．［△ABC的顶点坐标为A(0，2)，B(－3，5)，C(－6，3)．按如下方式对△ABC进行变换，不是位似变换的是( )
A．(x，y)→(x，y)
B．(x，y)→(－2x，－2y)
C．(x，y)→(y，x)
D．(x，y)→(2x，2y)
3．如图22－4－15，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为( )
A．(0，0) B．(0，1)
C．(－3，2) D．(3，－2)
图22－4－15
4.如图22－4－16，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．(－3，6) B．(－9，18)
C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)
图22－4－16
5．在平面直角坐标系中有四个点A(0，－2)，B(3，2)，C(1，－1)，D(－2，3)．如果将各点的横、纵坐标都乘3，得到点A′，B′，C′，D′，那么四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为________．
6．如图22－4－17，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶.若点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________．
图22－4－17
7．在平面直角坐标系中，已知A(8，4)，B(8，0)两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小后得到线段A′B′，则线段A′B′的长度等于________．
知识点 2 在平面直角坐标系中画位似图形
8．已知，如图22－4－18，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位．
(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2∶1，并直接写出点A2的坐标．
图22－4－18
9．如图22－4－19，已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．
(1)以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍(即新图形与原图形的相似比为2∶1)，得到△OB′C′，画出图形；
(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出点M的对应点M′的坐标．
图22－4－19
10．若△ABC的顶点坐标分别为(3，2)，(4，3)，(6，5)，△DEF的顶点坐标分别为(，1)，(2，)，(3，)，则△DEF与△ABC的对应边的比为( )
A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
11．如图22－4－20，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为( )
A．(3，2) B．(3，1) C．(2，2) D．(4，2)
图22－4－20
12．如图22－4－21，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )
A．－a B．－(a＋1)
C．－(a－1) D．－(a＋3)
图22－4－21
13．如图22－4－22，正方形ABCD和正方形OEFG中， 点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是________．
图22－4－22
14．如图22－4－23，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4)．已知△A1B1C1的两个顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)．若△ABC和△A1B1C1是位似图形，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为________．
图22－4－23
15．如图22－4－24，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为________．
图22－4－24
16．如图22－4－25，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)，B(4，2)，C(2，1)．
(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使＝.
图22－4－25
1．A
2．C
3．C ．
4． D
5．3∶1
6．(，)
7．1
8．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．点A2的坐标为(－2，－2)．
9．解：(1)延长BO，CO到点B′，C′，使OB′，OC′的长度是OB，OC长度的2倍，顺次连接三点即可．如图．
(2)B′(－6，2)，C′(－4，－2)．
(3)点M的对应点M′的坐标为(－2x，－2y)．
10．B
11． A
12． D
13．( 1，0) 或(－5，－2)
14． (3，4)或(0，4)
15． (，－4)
16．解：(1)△A1B1C1如图所示，A1(1，－3)，B1(4，－2)，C1(2，－1)．
(2)△A2B2C2如图所示．
22.5 综合与实践 测量与误差
解答题
1．如图29－K－1，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行并使直角边DE与旗杆顶点A在同一直线上．已知DE＝0.5米，FE＝0.25米，且测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝25米，求旗杆AB的高度．
图29－K－1
2．小林同学为了测量河对岸树AB的高度．他在河岸边放一面平面镜P(平面镜的大小忽略不计)，他站在C处通过平面镜恰好看到树的顶端A.如图29－K－2，然后他量得B，P间的距离是56米，C，P间的距离是12米，他的身高是1.74米．
(1)他这种测量的方法应用了物理学科的什么知识？请简要说明；
(2)请你帮他计算出树AB的高度．
图29－K－2
3．［2017·曲江区模拟］如图29－K－3，在斜坡顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的．在阳光的照射下，塔影DE留在斜坡面上．在同一时刻，小明站在点E处，其影子EF在直线DE上，小华站在点G处，影子GH在直线CD上，他们的影子长分别为2 m和1 m．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华身高均为1.6 m，那么塔高AB为多少？
图29－K－3
转化思想如图29－K－4，一条东西走向的笔直公路，点A，B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置．小王沿公路南侧所在直线PQ行走，当他到达点P的位置时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P，A，C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔．假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离．
图29－K－4
1．[解析] 根据△ACD和△FED相似列比例式求出AC，再根据AB＝AC＋BC求出旗杆的高度．
解：∵∠ADC＝∠FDE，∠ACD＝∠FED＝90°，
∴△ACD∽△FED，
∴＝，即＝，
解得AC＝12.5.
由题意可知四边形BGDC是矩形，
∴BC＝DG＝1.5，
∴AB＝AC＋BC＝12.5＋1.5＝14(米)．
答：旗杆AB的高度是14米．
2．[解析] 根据的是平面镜反射原理，反射角等于入射角，可得△DCP∽△ABP，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
解：(1)应用了平面镜反射原理，反射角等于入射角．
(2)∵∠DCP＝∠ABP＝90°，∠DPC＝∠APB，
∴△DCP∽△ABP，
∴＝，即＝，
解得AB＝8.12.
故树AB的高度为8.12米．
3.
解：如图，过点D作DM⊥CD，交AE于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
则四边形BDMN为矩形，∴MN＝BD，BN＝DM.
由题意，得＝.
∴DM＝DE×1.6÷2＝14.4(m)．
∵MN＝BD＝CD＝6 m，＝，
∴AN＝1.6×6＝9.6(m)，
∴AB＝AN＋BN＝9.6＋14.4＝24(m)．
答：铁塔AB的高度为24 m.
[素养提升]
[解析] 过点C作CE⊥PQ交AB于D点，利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比，即可求得电视塔到公路南侧所在直线的距离．
解：如图所示，过点C作CE⊥PQ于点E，交AB于点D，则CD⊥AB.
设CD为x米，则CE＝(60＋x)米．
∵AB∥PQ，
∴△ABC∽△PQC，
∴＝，即＝，
解得x＝300，则x＋60＝360.
答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米．
