21.2.1 二次函数y＝ax2的图象和性质
知识点 1 二次函数y＝ax2的图象画法
1．请你帮小明完成用描点法画函数y＝4x2图象的有关步骤：
列表：
x
…
－
－1
0
…
y
…
…
描点并连线：
图21－2－1
知识点 2 二次函数y＝ax2的图象特征与有关概念
2．关于二次函数y＝－x2的描述错误的是( )
A．它的图象关于y轴对称
B．该抛物线开口向下
C．原点是该抛物线上的最高点
D．当x为任意实数时，函数值y总是负数
3．若抛物线y＝(6－a)x2的开口向上，则a的取值范围是( )
A．a>6 B．a<6
C．a>0 D．a<0
4．已知二次函数y＝x2与y＝－x2，下列说法错误的是( )
A．它们的图象都关于y轴对称
B．它们的图象的顶点相同
C．二次函数y＝x2的图象都在二次函数y＝－x2的图象上方
D．二次函数y＝x2与y＝－x2的图象关于x轴对称
5．若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点( )
A．(2，4) B．(－2，－4)
C．(－4，2) D．(4，－2)
6．(1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2与y＝－x2的图象．
(2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题：
①由图象可知抛物线y＝2x2与抛物线________的形状相同，且关于________轴对称；同样，抛物线y＝x2与抛物线________的形状相同，也关于________轴对称；
②当|a|相同时，抛物线开口大小________；当|a|变大时，抛物线的开口变________(填“大”或“小”)；当|a|变小时，抛物线的开口变________(填“大”或“小”)．
知识点 3 二次函数y＝ax2的性质
7．二次函数y＝x2不具有的性质是( )
A．函数图象的开口向上
B．图象关于y轴对称
C．y随x的增大而增大
D．函数的最小值是0
8．抛物线y＝－3x2的顶点坐标是________，该抛物线上有A(2，y1)，B(，y2)两点，则y1________y2(填“>”“<”或“＝”)．
9．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(－1，－)，则这个二次函数的表达式为________，当x________时，函数y随x的增大而增大．
10．如图21－2－2，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x2和函数y＝－x2的图象，已知坐标原点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形的边分别与x轴、y轴平行，如果点D的坐标为(2，2)，那么阴影部分的面积为( )
A．4 B．8 C．12 D．16
图21－2－2
11．若A(－，y1)，B(－1，y2)，C(，y3)为二次函数y＝－x2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
12．当ab＞0时，二次函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是( )
图21－2－3
13．若对任意实数x，二次函数y＝(a＋1)x2的值总是非负数，则a的取值范围是________．
14．已知二次函数y＝ax2的图象经过点(2，－8)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)说出函数在x取什么值时，有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少；
(3)当x为何值时，函数y随x的增大而减小？
15．如图21－2－4所示，直线l经过点A(4，0)，B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内相交于点P，且△AOP的面积为4.
(1)求直线AB的函数表达式和点P的坐标；
(2)求a的值．
图21－2－4
16．如图21－2－5①，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝x2的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n(m<0，n>0)．
(1)当m＝－1，n＝4时，k＝______，b＝______；
当m＝－2，n＝3时，k＝______，b＝______；
(2)根据(1)中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；
(3)利用(2)中的结论，解答下列问题：
如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED.
①当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为____________；
②当四边形AOED为正方形时，m＝________，n＝____________．
图21－2－5
1．解：列表：
x
…
－
－1
－
0
1
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
描点并连线如图：
2．D
3．B [解析] 因为抛物线的开口向上，所以6－a>0，解得a<6.故选B.
4．C [解析] 函数y＝x2与y＝－x2都是关于y轴对称的抛物线，顶点都是原点，故A，B选项正确．由于它们的图象大小和形状都相同，开口方向相反，所以它们的图象关于x轴对称，故D选项正确．
5．A [解析] 二次函数y＝ax2的图象是轴对称图形，且对称轴是y轴，观察各选项可知，点(2，4)和点(－2，4)关于y轴对称，故点(2，4)也在该函数的图象上．故选A.
6．解：(1)略．
(2)①y＝－2x2 x y＝－x2 x
②相同 小 大
7．C [解析] 二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小．
8．(0，0) ＜ [解析] 抛物线y＝ax2的顶点坐标是(0，0)，比较函数值可以代入计算，也可以利用函数的性质：抛物线开口向下，在对称轴的右边，y随x的增大而减小，所以y1＜y2.
9．y＝－x2 ＜0
10． B
[解析] 由二次函数图象的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，即×4×4＝8.
11． C
[解析] 由二次项系数的正负性就可以知道抛物线的增减性，如果所给的点没有在对称轴的同一侧，那么可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再进行判断．因为－1＜0，所以当x＜0时，y随x的增大而增大，又由抛物线的对称性知，y3的值等于x＝－时的函数值．因为0>－>－>－1，所以y2＜y3＜y1.故选C.
12．D [解析] ∵ab＞0，∴a，b同号．当a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，直线过第一、二、三象限，没有符合题意的选项；当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，直线过第二、三、四象限．故D选项符合题意．
13． a>－1
14．解：(1)把x＝2，y＝－8代入y＝ax2，
得－8＝22·a，解得a＝－2，
∴二次函数的表达式为y＝－2x2.
(2)由于a＝－2，故抛物线的顶点为最高点，
∴当x＝0时，函数有最大值，最大值为0.
(3)由于抛物线开口向下，在对称轴的右边，即x＞0时，函数y随x的增大而减小．
15．解：(1)设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)．根据题意，得
解得
∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋4.
过点P作PC⊥OA于点C.
由题意，得×4·PC＝4，
∴PC＝2.
把y＝2代入y＝－x＋4，得2＝－x＋4，
∴x＝2，
∴点P的坐标为(2，2)．
(2)将点P(2，2)代入y＝ax2，得4a＝2，
∴a＝.
16．解：(1)当m＝－1时，可求得纵坐标y＝1；当n＝4时，可求得纵坐标y＝16，即点A的坐标为(－1，1)，点B的坐标为(4，16)．
把点A、点B的坐标代入y＝kx＋b中，得解得
当m＝－2时，可求得纵坐标y＝4；当n＝3时，可得纵坐标y＝9，即点A的坐标为(－2，4)，点B的坐标为(3，9)．
把点A、点B的坐标代入y＝kx＋b中，得
解得
故答案为3，4，1，6.
(2)k＝m＋n，b＝－mn.证明如下：
设点A的坐标为(m，m2)，点B的坐标为(n，n2)．
把点A、点B的坐标代入y＝kx＋b中，得
解得
(3)由题意，得点D(0，－mn)，点A(m，m2)．
①当四边形AOED为菱形时，有－mn＝2m2，则n＝－2m.故答案为n＝－2m.
②当四边形AOED为正方形时，有
解得故答案为－1，2.
21.2.2 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
知识点 1 抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的关系
1．在同一平面直角坐标系中用描点法作出二次函数y1＝2x2－3和y2＝2x2的图象，当自变量取同一个数值时，对应的函数值y1总比y2小3，因此将抛物线y＝2x2上每一个点向下平移________个单位就可得到____________的图象，所以抛物线y＝2x2－3与y＝2x2的形状、开口大小和________相同，只是____________不同，可以通过互相平移得到．
2． 如果二次函数y＝ax2＋1的图象是由抛物线y＝－2x2平移得到的，那么a的值为( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
3．［教材练习第3题变式］将抛物线y＝3x2向上平移k个单位，得到的抛物线为y＝3x2＋2，则k＝________．
4．不画图象，回答下列问题：
(1)函数y＝x2－5的图象可以看成是由函数y＝x2的图象经过怎样的平移得到的？
(2)如果函数y＝x2－5的图象经过适当的平移得到函数y＝x2＋3的图象，那么应经过怎样的平移？
5．如果把抛物线y＝mx2向下平移3个单位后得到抛物线y＝－2018x2＋n，求m，n的值．
知识点 2 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
6．因为抛物线y＝－x2－2可由抛物线y＝－x2向下平移2个单位得到，所以抛物线y＝－x2－2的开口方向________，顶点坐标是________．
7．二次函数y＝－x2＋1的图象大致是( )
图21－2－6
8．抛物线y＝5x2＋3的对称轴是( )
A．直线x＝ B．直线x＝－
C．y轴 D．直线x＝3
9．下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是( )
A．y＝x2 B．y＝－3x2－3
C．y＝x D．y＝x＋5
10．已知二次函数y＝2018x2－1，当x＝________时，y有最小值，为________．
11．请写出一个开口向下，顶点坐标为(0，2)的抛物线的函数表达式：________________．
12．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝ax2＋1(a＜0)的图象上，若x1＞x2＞0，则y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
13．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x2，y＝x2＋1与y＝x2－1的图象，并比较它们之间的异同．
14．抛物线y＝ax2＋c的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与y＝－x2相同．
(1)求a，c的值；
(2)画出这个函数的图象．
15．若正比例函数y＝mx，y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2＋m的图象大致是( )
图21－2－7
16．与二次函数y＝－x2＋2的图象关于x轴对称的抛物线的表达式为( )
A．y＝－x2－2 B．y＝x2＋2
C．y＝x2－2 D．y＝－x2＋2
17．任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线y＝x2＋k.当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点．其中判断正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．把抛物线y＝－3x2－1平移，抛物线上一点(1，－4)平移到(1，2)，则平移后抛物线的顶点坐标是________．
19．若二次函数y＝(k＋1)x2＋k2－8有最大值1，则k＝________．
20．能否适当地上下平移抛物线 y＝x2，使得到的新的图象经过点(3，－5)？若能，请你求出平移的方向和距离；若不能，请你说明理由．
21．如图21－2－8所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，求ac的值．
图21－2－8
22．如图21－2－9所示，抛物线y＝－x2＋9的顶点为C，与x轴交于A，B两点，则△ABC的面积为________．
图21－2－9
23．如图21－2－10，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋4与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B，C，求BC的长．
图21－2－10
教师详解详析
1．3 y＝2x2－3 开口方向 位置
2．B [解析] 因为平移不改变抛物线的开口大小与方向，所以a的值为－2.
3．2
4．解：(1)向下平移5个单位．
(2)向上平移8个单位．
5．解：根据平移规律，得m＝－2018，n＝－3.
6．向下 (0，－2)
7．B
8．C
9．B
10．0 －1
11．答案不唯一，如y＝－3x2＋2 [解析] 只要满足y＝ax2＋2(a＜0)均可．
12．＜ [解析] ∵a＜0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小．又∵x1＞x2＞0，∴y1＜y2.
13．解：列表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y＝x2
9
4
1
0
1
4
9
y＝x2＋1
10
5
2
1
2
5
10
y＝x2－1
8
3
0
－1
0
3
8
在同一平面直角坐标系中画出图象如下．
相同点：开口方向都向上，开口大小都相同；当x>0时，图象都是上升的，当x<0时，图象都是下降的；最小值都是在x＝0时取得；对称轴都是y轴(或直线x＝0)．
不同点：最小值不同，函数y＝x2，y＝x2＋1与y＝x2－1的最小值分别是0，1，－1；顶点坐标不同，分别是(0，0)，(0，1)，(0，－1)．
(相同点和不同点答案不唯一，合理即可)
14．解：(1)由抛物线y＝ax2＋c的形状及开口方向与y＝－x2相同，得a＝－.
由抛物线y＝ax2＋c的顶点坐标是(0，2)，得c＝2.
(2)函数y＝－x2＋2的图象如图所示．
15．A [解析] ∵正比例函数y＝mx中，y随x的增大而减小，∴m＜0，则正比例函数经过第二、四象限．抛物线开口向下，顶点在x轴下方，且与y轴的交点的纵坐标小于0，故选A.
16． C
17． D
18． 0，5)
19．－3
20．解：能．设平移后的抛物线的表达式为y＝x2＋b.由新的图象经过点(3，－5)，得×32＋b＝－5.
解得b＝－8.
即向下平移8个单位．
21．解：设正方形的对角线OA的长为2m(m>0)，则B(－m，m)，C(m，m)，A(0，2m)．
把点C，A的坐标分别代入二次函数的表达式，得a＝－，c＝2m.故ac＝－2.
22 27
23．解：∵抛物线y＝ax2＋4与y轴交于点A，
∴点A的坐标为(0，4)，∴B，C的纵坐标都为4.
当y＝4时，x2＝4，解得x＝±4，
∴点B的坐标为(－4，4)，点C的坐标为(4，4)，
∴BC＝4－(－4)＝8.
21.2.2 第2课时 二次函数y＝a(x＋h)2的图象和性质
知识点 1 抛物线y＝a(x＋h)2与y＝ax2的关系
1．抛物线y＝(x＋5)2与抛物线y＝x2的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同．抛物线y＝(x＋5)2可由抛物线y＝x2向________平移________个单位得到．
2．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得抛物线的表达式是( )
A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2
3．［教材练习第4题变式］将抛物线y＝4(x－1)2平移得到抛物线y＝4x2，下列平移方法正确的是( )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
4．已知抛物线y＝a(x－h)2向右平移3个单位后得到的抛物线是y＝2(x＋1)2，则a＝________，h＝________．
5．(1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝x2与函数y＝(x＋3)2，y＝(x－3)2的图象；
(2)比较(1)中的三个图象之间的位置关系．
知识点 2 二次函数y＝a(x＋h)2的图象与性质
6．抛物线y＝(x＋2)2的顶点坐标是( )
A．(2，1) B．(2，－1)
C．(－2，0) D．(－2，－1)
7．对称轴是直线x＝3的抛物线是( )
A．y＝－3x2－3 B．y＝3x2－3
C．y＝－(x＋3)2 D．y＝3(x－3)2
8．关于二次函数y＝2(x＋1)2的说法正确的是( )
A．抛物线y＝2(x＋1)2的开口向下
B．当x＝－1时，函数有最大值
C．当x>1时，函数值y随x的增大而减小
D．当x<－1时，函数值y随x的增大而减小
9．已知抛物线y＝a(x＋h)2与抛物线y＝2x2的开口方向相反，形状相同，且抛物线y＝a(x＋h)2的顶点坐标为(3，0)．
(1)求抛物线y＝a(x＋h)2的函数表达式；
(2)求抛物线y＝a(x＋h)2与y轴的交点坐标．
10．已知抛物线y＝a(x＋b)2的对称轴为直线x＝－2，形状与y＝5x2相同，但开口方向相反．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标、函数的最大值或最小值；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
11．如图21－2－11是二次函数y＝a(x－h)2的图象，则直线y＝ax＋h不经过的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
图21－2－11
12．若A(－，y1)，B(－，y2)，C(，y3)为二次函数y＝(x－2)2的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为____________．
13．如图21－2－12，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在抛物线y＝ax2上，C，D在x轴上，AB的中点E在y轴上，AB＝4AD.已知矩形ABCD的周长为10，若将抛物线的顶点平移到点C，则点E________(填“在”或“不在”)抛物线上．
图21－2－12
14．已知二次函数y＝3(x－)2(m为常数)，当x>2时，y随x的增大而增大，求m的取值范围．
15．在平面直角坐标系中画出函数y＝(x－2)2的图象，观察图象回答下列问题：
(1)当3＜x≤5时，写出y的取值范围；
(2)当y＜4时，写出x的取值范围．
16．将抛物线y＝－2(x＋3)2分别按下列方式进行变换，直接写出变换后抛物线的函数表达式．
(1)将抛物线y＝－2(x＋3)2沿x轴翻折；
(2)将抛物线y＝－2(x＋3)2沿y轴翻折.
17．如图21－2－13，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，直线y＝x＋m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为(3，4)，点B在y轴上．
(1)求m的值及此二次函数的表达式；
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与点A，B不重合)，过点P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)．
图21－2－13
教师详答
1．左 5
2．C [解析] 将抛物线y＝x2向右平移1个单位所得抛物线的表达式是y＝(x－1)2.故选C.
3．C
4． 2 －4 [解析] 平移不改变抛物线的开口大小与方向，所以a＝2.抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标是(h，0)，向右平移3个单位后，顶点坐标是(h＋3，0)，而抛物线y＝2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)，所以h＋3＝－1，即h＝－4.
5．解：(1)略．
(2)三条抛物线的形状、开口方向和开口大小都相同．抛物线y＝(x＋3)2是由抛物线y＝x2向左平移3个单位得到的；抛物线y＝(x－3)2是由抛物线y＝x2向右平移3个单位得到的．
6．C 7. D 8. D
9．[解析] 两条抛物线的形状相同，则对应函数表达式的二次项系数的绝对值相等．
解：(1)根据题意，可知抛物线y＝a(x＋h)2中
a＝－2，h＝－3，
∴抛物线的函数表达式为y＝－2(x－3)2.
(2)由x＝0，得y＝－18，
∴抛物线y＝－2(x－3)2与y轴的交点坐标为(0，－18)．
10．解：(1)∵抛物线y＝a(x＋b)2的对称轴为直线x＝－2，∴b＝2.∵抛物线y＝a(x＋b)2与抛物线y＝5x2的形状相同，开口方向相反，∴a＝－5，∴抛物线对应的函数表达式为y＝－5(x＋2)2.
(2)抛物线y＝－5(x＋2)2的顶点坐标为(－2，0)，顶点为抛物线的最高点，故函数有最大值0.
(3)当x＜－2时，y随x的增大而增大．
11． B
[解析] 由题图可知a>0，h<0，所以直线y＝ax＋h不经过第二象限．
12．y1＞y2＞y3
[解析] ∵二次函数y＝(x－2)2的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∴当x＜2时，y随x的增大而减小．又∵－＜－＜＜2，∴y1＞y2＞y3.
13．在 [解析] 根据矩形ABCD的周长为10，得AB＋AD＝5.又∵AB＝4AD，∴AB＝4，AD＝1.故点A(2，－1)，点C(－2，0)，点E(0，－1)．把点A的坐标(2，－1)代入y＝ax2，得－1＝22·a，解得a＝－，则平移后的抛物线的表达式为y＝－(x＋2)2.当x＝0时，y＝－1，∴点E在抛物线上．
14．
解：∵二次函数y＝3(x－)2的图象的对称轴为直线x＝，且开口向上，
∴当x>时，y随x的增大而增大，
∴≤2，即m≤4.
15．解：画函数图象略，观察图象可得：
(1)1＜y≤9.
(2)0＜x＜4.
16．[解析] 确定关于对称轴对称的抛物线的函数表达式时，可以分两步走：
(1)确定抛物线的开口方向及开口大小：沿x轴翻折，抛物线开口相反；沿y轴翻折，抛物线开口方向不变．抛物线的开口大小没有发生改变．
(2)确定抛物线的顶点坐标：根据原抛物线的顶点坐标，写出其关于x轴或y轴对称的坐标．
解：(1)两条抛物线关于x轴对称，开口方向相反，顶点坐标的对称点的坐标：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即y＝2(x＋3)2.
(2)两条抛物线关于y轴对称，开口方向相同，顶点坐标的对称点的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等，即y＝－2(x－3)2.
17．解：(1)∵点A(3，4)在直线y＝x＋m上，
∴4＝3＋m，∴m＝1.
设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2.
∵点A(3，4)在二次函数y＝a(x－1)2的图象上，∴4＝a×(3－1)2，∴a＝1，
∴所求二次函数的表达式为y＝(x－1)2，即y＝x2－2x＋1.
(2)设P，E两点的纵坐标分别为yP和yE.
则PE＝h＝yP－yE＝(x＋1)－(x2－2x＋1)＝－x2＋3x，即h＝－x2＋3x(0＜x＜3)．
21.2.2 第3课时 二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质
知识点 1 抛物线y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的关系
1．抛物线y＝(x－4)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是( )
A．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位
2．［2017·宿迁］将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是( )
A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x－2)2＋1 D．y＝(x－2)2－1
3．把抛物线y＝－3x2的顶点平移到点(－1，2)得到新抛物线，则新抛物线所对应的函数表达式为______________．
4．把抛物线y＝－(x－2)2＋3向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线所对应的函数表达式为______________．
知识点 2 二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象和性质
5．二次函数y＝－2(x－1)2＋3的图象的顶点坐标是( )
A．(1，3) B．(－1，3)
C．(1，－3) D．(－1，－3)
6．对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．如图21－2－14，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( )
A．h>0，k>0
B．h<0，k>0
C．h<0，k<0
D．h>0，k<0
图21－2－14
8．已知二次函数y＝a(x－b)2＋1，当x＞3时，y随x的增大而减小；当x＜3时，y随x的增大而增大，则b＝________，a________0.(填“＞”“＜”或“＝”)
9．已知抛物线y＝(x－1)2－3.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴；
(2)函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大(小)值．
10．若二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图21－2－15所示，则一次函数y＝mx＋n的图象不经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
图21－2－15
11．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新平面直角坐标系下抛物线的表达式是( )
A．y＝2(x－2)2＋2 B．y＝2(x＋2)2－2
C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x＋2)2＋2
12．若二次函数y＝(x－m)2－1在x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A．m＝1 B．m>1
C．m≥1 D．m≤1
13．如图21－2－16，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y＝a(x－m)2＋n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，点C的横坐标最小值为－3，则点D的横坐标最大值为( )
A．－3 B．1 C．5 D．8
图21－2－16
14．已知二次函数y＝a(x－1)2＋6－3a的图象如图21－2－17所示，则整数a的值为________．
图21－2－17
15．已知点A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________．
16．［教材习题21.2第10题变式］若抛物线y＝a(x－3)2－1经过点C(4，－3)．
(1)指出抛物线的对称轴、抛物线对应的函数有最大值还是最小值；
(2)指出抛物线y＝a(x－3)2－1如何由y＝ax2平移得到；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
17．如图21－2－18，已知二次函数y＝－(x－h)2＋的图象经过原点O(0，0)，A(2，0)．
(1)直接写出该二次函数图象的对称轴；
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，点A′是不是该二次函数图象的顶点？
图21－2－18
18．已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，则h的值是( )
A．－1 B．－1或5
C．5 D．－5
19．当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，求实数m的值．
教师详解详析
1．C [解析] 抛物线y＝x2先向右平移4个单位变为抛物线y＝(x－4)2，再向下平移3个单位变为抛物线y＝(x－4)2－3.
2．C
3．y＝－3(x＋1)2＋2
4．y＝－(x－4)2＋6 [解析] 新抛物线所对应的函数表达式为y＝－(x－2－2)2＋3＋3＝－(x－4)2＋6.
5．A [解析] 因为y＝－2(x－1)2＋3是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出图象的顶点坐标，所以二次函数图象的顶点坐标是(1，3)．故选A.
6．C
7．A [解析] 根据题意可得抛物线的顶点坐标为(h，k)，而由题图可知顶点在第一象限，根据第一象限内点的坐标特征，可得h>0，k>0.故选A.
8．3 ＜
9．解：(1)∵二次项系数＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1.
(2)∵二次项系数＞0，
∴函数y有最小值，最小值为－3.
10． A
[解析] 由二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象可知其顶点在第四象限，所以－m>0，n<0，即m<0，n<0.此时，由一次函数的性质可得y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限．
11． B
[解析] 本题是一道逆向思维题，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，可以理解为把抛物线先向下平移2个单位，再向左平移2个单位．由此比较容易确定平移后的抛物线的表达式．
12． C
[解析] 二次函数y＝(x－m)2－1的图象开口向上，其对称轴为直线x＝m，顶点坐标为(m，－1)．在对称轴的左侧，即当x13． D
[解析] 当点C的横坐标为－3时，抛物线的顶点为A(1，4)，对称轴为直线x＝1，此时点D的横坐标为5，则CD＝8；
当抛物线的顶点为B(4，4)时，抛物线的对称轴为直线x＝4，且CD＝8，故C(0，0)，D(8，0)，
此时点D的横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8.故选D.
14．1
[解析] 由抛物线的开口方向知a>0，由抛物线顶点的纵坐标知6－3a＞0，即a＜2，所以0＜a＜2，所以整数a的值为1.
15．y2＜y1＜y3
[解析] 方法一：把A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)分别代入y＝(x－2)2－1，得y1＝3，y2＝5－4 ，y3＝15.∵5－4 ＜3＜15，∴y2＜y1＜y3；方法二：设A，B，C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1，d2，d3.∵抛物线y＝(x－2)2－1的对称轴为直线x＝2，∴d1＝2，d2＝2－，d3＝4，根据抛物线开口向上，距对称轴越远函数值越大，得y2＜y1＜y3.
16．解：(1)抛物线的对称轴是直线x＝3.
把C(4，－3)代入函数表达式，得－3＝a×(4－3)2－1，解得a＝－2，∴抛物线开口向下，函数有最大值．
(2)抛物线y＝a(x－3)2－1由y＝ax2先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到．
(3)当x＜3时，y随x的增大而增大．
17．解：(1)该二次函数图象的对称轴为直线x＝1.
(2)由图形的旋转性质，得OA′＝OA＝2，∠A′OA＝60°.
连接AA′，可知△OAA′为等边三角形．
过点A′作A′B⊥x轴于点B，
可求得OB＝1，A′B＝，
∴A′(1，)．
由图像的对称轴为直线x＝1，得二次函数的表达式为y＝－(x－1)2＋，
∴点A′(1，)是该二次函数图象的顶点．
18．B [解析] 当x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小．
①若取值范围在函数图象对称轴的右边，即h＜1≤x≤3，则当x＝1时，y取得最小值5，可得(1－h)2＋1＝5，解得h1＝－1，h2＝3(舍去)；
②若取值范围在对称轴的左边，即1≤x≤3＜h，则当x＝3时，y取得最小值5，可得(3－h)2＋1＝5，解得h1＝5，h2＝1(舍去)；
③若1≤h≤3，则函数y的最小值为1，不符合题意．
综上可得，h的值为－1或5.
19．解：二次函数的图象的对称轴为直线x＝m，分三种情况讨论：
①当m＜－2时，函数在x＝－2处有最大值，
此时－(－2－m)2＋m2＋1＝4，
解得m＝－.
与m＜－2矛盾，故此时m值不存在；
②当－2≤m≤1时，函数在x＝m处有最大值，
此时m2＋1＝4，
解得m1＝－，m2＝(舍去)；
③当m＞1时，函数在x＝1处有最大值，
此时－(1－m)2＋m2＋1＝4，
解得m＝2.
综上所述，m的值为2或－.
22.2.2 第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
知识点 1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．把二次函数y＝2x2－4x＋1化成y＝a(x＋h)2＋k的形式为____________________，所以其对应的抛物线的开口方向为______，对称轴是__________，顶点坐标为________．
2．［2016·南充］抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是( )
A．直线x＝1 B．直线x＝－1
C．直线x＝－2 D．直线x＝2
3．由二次函数y＝－x2＋2x可知( )
A．其图象的开口向上
B．其图象的对称轴为直线x＝1
C．其最大值为－1
D．其图象的顶点坐标为(－1，1)
4．二次函数的表达式为y＝x2－(12－k)x＋12，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，则k＝________．
5．［教材练习第5题变式］已知二次函数y＝x2－4x＋a的最小值为－9，且抛物线y＝x2－4x＋a的顶点在直线y＝kx－1上，则a＝________，k＝________．
6．已知函数y＝－x2－3x－.
(1)求出这个函数图象的顶点坐标、对称轴；
(2)求出函数的最大值或最小值；
(3)画出这个函数的图象，并结合图象说明x为何值时，y随x的增大而增大；x为何值时，y随x的增大而减小．
知识点 2 抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移
7． 将函数y＝x2＋x－2化成y＝a(x＋h)2的形式是________________，所以抛物线y＝x2＋x－2可由抛物线y＝x2向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到．
8．［2017·淄博］将二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位，得到的图象的函数表达式是( )
A．y＝(x＋3)2－2 B．y＝(x＋3)2＋2
C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2－2
9．把抛物线y＝x2－2x向下平移2个单位，再向右平移1个单位，则平移后的抛物线对应的函数表达式为____________．
10．将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y＝x2－2x＋1的图象，求a，b，c的值．
11．如果抛物线A：y＝x2－1通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B得到抛物线C：y＝x2－2x＋2，那么抛物线B的表达式为( )
A．y＝x2＋2 B．y＝x2－2x－1
C．y＝x2－2x D．y＝x2－2x＋1
12．［2016·兰州］点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y3>y2>y1 B．y3>y1＝y2
C．y1>y2>y3 D．y1＝y2>y3
13．已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一平面直角坐标系内的图象如图21－2－19所示，其中正确的是( )
图21－2－19
14．［2017·杭州］设直线x＝1是函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是实数，且a＜0)的图象的对称轴，则下列说法正确的是( )
A．若m＞1，则(m－1)a＋b＞0
B．若m＞1，则(m－1)a＋b＜0
C．若m＜1，则(m－1)a＋b＞0
D．若m＜1，则(m－1)a＋b＜0
15．已知抛物线y＝x2－(2m＋1)x＋2m不经过第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是________．
16．如图21－2－20，已知抛物线y＝ax2－5ax＋4a过点C(5，4)．
(1)求a的值和该抛物线的顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后的抛物线对应的函数表达式．
图21－2－20
17．如果二次函数的二次项系数为1，那么某二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．
(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
(2)探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；
②若一个函数的特征数为[2，3]，则此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?
教师详解详析
1．y＝2(x－1)2－1 向上 直线x＝1 (1，－1)
[解析] ∵y＝2x2－4x＋1＝2(x2－2x＋1)＋1－2＝2(x－1)2－1，∴其对应的抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1，－1)．
2．B [解析] ∵y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1.
3．B [解析] 因为二次函数的二次项系数－1<0，故函数图象开口向下；对称轴为直线x＝－＝1；当x＝1时，函数取得最大值1，其图象的顶点坐标为(1，1)．故选B.
4．10 [解析] ∵当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∴函数的对称轴为直线x＝1.根据对称轴公式，得x＝－＝＝1，解得k＝10.
5．－5 －4 [解析] ∵y＝x2－4x＋a＝(x－2)2＋a－4，∴a－4＝－9，解得a＝－5，∴抛物线的顶点为(2，－9)，代入得2k－1＝－9，解得k＝－4.
6．[解析] 通过配方法求出函数图象的顶点坐标和对称轴，再利用描点法作图，并根据图象回答函数的增减情况及最值．
解：y＝－x2－3x－＝－(x2＋6x＋5)
＝－(x2＋6x＋32－32＋5)
＝－[(x＋3)2－4]＝－(x＋3)2＋2.
(1)函数图象的顶点坐标是(－3，2)，对称轴是直线x＝－3.
(2)∵二次函数的二次项系数－＜0，∴函数y有最大值，
当x＝－3时，最大值为2.
(3)在x的取值范围内，根据二次函数的对称性，列出函数的对应值表：
x
…
－6
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
－2.5
0
1.5
2
1.5
0
－2.5
…
用描点法画出它的图象，如图所示．
通过观察图象可知，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小．
7．y＝(x＋1)2－ 左 1 下
8．D [解析] y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，图象沿x轴向右平移2个单位，则所得图象的函数表达式为y＝(x－2＋1)2－2＝(x－1)2－2.
9．y＝(x－2)2－3 [解析] 抛物线y＝x2－2x向下平移2个单位，得y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3.再向右平移1个单位，得y＝(x－1－1)2－3，即y＝(x－2)2－3.
10．解：平移后函数表达式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∵将抛物线y＝x2－2x＋1先向下平移3个单位，再向右平移4个单位可得原函数图象，∴平移前函数表达式为y＝(x－1－4)2－3＝(x－5)2－3＝x2－10x＋22.
故a＝1，b＝－10，c＝22.
11．C [解析] 抛物线A：y＝x2－1的顶点坐标是(0，－1)，抛物线C：y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的顶点坐标是(1，1)．
则将抛物线A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线C.
所以抛物线B是将抛物线A向右平移1个单位得到的，其表达式为y＝(x－1)2－1＝x2－2x.
12．D
[解析] 抛物线y＝－x2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1.由抛物线的对称性，可知x＝－1时的函数值与x＝3时的函数值相等．又因为该抛物线的开口向下，当x>1时，y随x的增大而减小，所以y2>y3.因此，y1＝y2>y3.
13． D
14．C [解析] ∵直线x＝1是函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是实数，且a＜0)的图象的对称轴，故x＝－＝1，即2a＋b＝0.∵a＜0，∴2a＜0.b＞0.当m＜1时，则(m－1)a>0，即(m－1)a＋b＞0.故选C.
15．0≤m≤1.5 [解析] ∵当x＞2时，抛物线y＝x2－(2m＋1)x＋2m满足y随x的增大而增大，∴抛物线的对称轴x＝≤2，解得m≤1.5.
∵抛物线开口向上，且不经过第三象限，
∴2m≥0，解得m≥0.∵当m≥0时，抛物线的对称轴x＝＞0，符合题意，
∴0≤m≤1.5.
16．
解：(1)把C(5，4)代入y＝ax2－5ax＋4a，得25a－25a＋4a＝4，解得a＝1.
∴该二次函数的表达式为y＝x2－5x＋4.
∵y＝x2－5x＋4＝(x－)2－，
∴顶点P的坐标为(，－)．
(2)(答案不唯一，合理即可)如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线对应的函数表达式为
y＝(x－＋3)2－＋4＝(x＋)2＋，
即y＝x2＋x＋2.
17．解：(1)由题意，得函数表达式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴特征数为[－2，1]的函数图象的顶点坐标为(1，0)．
(2)①特征数为[4，－1]的函数为y＝x2＋4x－1，即y＝(x＋2)2－5.
∵将函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，∴y＝(x＋2－1)2－5＋1，即y＝x2＋2x－3，∴平移后的函数图象的特征数为[2，－3]．
②特征数为[2，3]的函数为y＝x2＋2x＋3，即y＝(x＋1)2＋2，
特征数为[3，4]的函数为y＝x2＋3x＋4，即y＝(x＋)2＋，
∴所求平移为先将图象向左平移个单位，再向下平移个单位．(或先向下平移个单位，再向左平移个单位)
21.2.3 二次函数表达式的确定
知识点 1 已知三点求二次函数的表达式
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，y＝2；当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0.则这个二次函数的表达式为________．
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)三点，则这个二次函数的表达式是____________．
3．如图21－2－21所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点．
(1)观察图象，写出A，B，C三点的坐标，并求出 抛物线的函数表达式；
(2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴．
图21－2－21
知识点 2 已知抛物线的顶点和图象上另外一点求二次函数的表达式
4．已知某二次函数的图象如图21－2－22所示，则这个二次函数的表达式为( )
A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝(x－1)2＋8
D．y＝2(x－1)2－8
图21－2－22
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是( )
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
6．若一个二次函数的图象的顶点坐标为(3，－1)，与y轴的交点坐标为(0，－4)，则这个二次函数的表达式是( )
A．y＝x2－2x＋4 B．y＝－x2＋2x－4
C．y＝(x＋3)2－1 D．y＝－x2＋6x－12
7．已知二次函数的图象过坐标原点，且顶点坐标是(1，－2)，则这个二次函数的表达式为__________．
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x
…
－
－1
－
0
1
…
y
…
－
－2
－
－2
－
0
…
则该二次函数的表达式为____________．
9．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为米的喷水管喷水的最大高度为4米，此时喷水的水平距离为米，在如图21－2－23所示的平面直角坐标系中，求这支喷泉的函数表达式．
图21－2－23
10．若函数y＝ax2＋bx＋c的部分取值如下表所示，则由表格中的信息可知y与x之间的函数表达式是( )
x
－1
0
1
ax2
1
ax2＋bx＋c
8
3
A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4
C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8
11．如图21－2－24，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题：
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
图21－2－24
12．如图21－2－25，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C在x轴上．若抛物线y＝ax2＋bx＋c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线的表达式．
图21－2－25
13．［2016·娄底］如图21－2－26，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点A(－1，0)，B(5，－6)，C(6，0)．
(1)求抛物线的表达式．
(2)在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图21－2－26
14．已知抛物线l：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均不为0)的顶点为M，与y轴的交点为N.我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
(1)抛物线y＝x2－2x－3的衍生抛物线的表达式是____________，衍生直线的表达式是____________；
(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y＝－2x2＋1和y＝－2x＋1，求这条抛物线的表达式．
1．y＝3x2－x 2．y＝－x2＋2x＋2
3．解：(1)A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)，函数表达式为y＝x2－2x－3.
(2)抛物线顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1.
4．D [解析] 由题图知抛物线的顶点坐标是(1，－8)，所以设抛物线的表达式是y＝a(x－1)2－8.因为点(3，0)在这个二次函数的图象上，所以0＝a×(3－1)2－8，解得a＝2.所以这个二次函数的表达式为y＝2(x－1)2－8.
5．D
6．B [解析] 设抛物线的表达式为y＝a(x－3)2－1，把(0，－4)代入，得a×(－3)2－1＝－4，解得a＝－，所以抛物线的表达式为y＝－(x－3)2－1＝－x2＋2x－4.故选B.
7．y＝2x2－4x [解析] 设这个二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－2.
根据图象过原点，得0＝a×(0－1)2－2，
解得a＝2.故这个二次函数的表达式是y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x.
8．y＝x2＋x－2 [解析] 结合表格由二次函数的对称性可知此二次函数的图象的顶点坐标是(－，－)，所以可设该二次函数的表达式为y＝a(x＋)2－，
又由题表可知该二次函数的图象经过点(－1，－2)，
所以－2＝a×(－1＋)2－，解得a＝1.
所以该二次函数的表达式为y＝(x＋)2－＝x2＋x－2.
9．解：由题图可知，抛物线的顶点坐标为(，4)，且经过点(0，)．
设抛物线的表达式为y＝a(x－)2＋4.
把点(0，)代入，可求得a＝－10.
所以这支喷泉的函数表达式为
y＝－10(x－)2＋4.
10． A
[解析] ∵x＝1时，ax2＝1，∴a＝1.
将(－1，8)，(0，3)分别代入y＝x2＋bx＋c中，得
解得
∴y与x之间的函数表达式是y＝x2－4x＋3.故选A.
11．解：(1)因为抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，
所以
解得
所以抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)抛物线y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4的顶点坐标为(1，4)，
所以BD＝＝＝2 .
12．解：当x＝0时，y＝2，所以点B的坐标是(0，2)．
当y＝0时，x＝－2，所以点A的坐标是(－2，0)，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝45°.
∵∠ABC＝90°，
∴OC＝OB＝OA＝2，
∴点C的坐标是(2，0)．
设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2，∵抛物线过点B(0，2)，∴4a＝2，解得a＝.
因此抛物线的表达式为y＝(x－2)2＝x2－2x＋2.
13．解：(1)设y＝a(x＋1)(x－6)(a≠0)，
把B(5，－6)代入，得a×(5＋1)×(5－6)＝－6，
解得a＝1，
∴y＝(x＋1)(x－6)＝x2－5x－6.
∴抛物线的表达式为y＝x2－5x－6.
(2)存在．
分别过点P，B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M，N.
设P(m，m2－5m－6)，四边形PACB的面积为S，
则PM＝－m2＋5m＋6，AM＝m＋1，MN＝5－m，CN＝6－5＝1，BN＝6，
∴S＝S△AMP＋S梯形PMNB＋S△BNC
＝(－m2＋5m＋6)(m＋1)＋(6－m2＋5m＋6)(5－m)＋×1×6
＝－3m2＋12m＋36
＝－3(m－2)2＋48.
当m＝2时，S有最大值为48，这时m2－5m－6＝22－5×2－6＝－12，
∴P(2，－12)．
14．解：(1)y＝－x2－3 y＝－x－3
(2)由
解得
∴待求抛物线与y轴的交点为N(0，1)，抛物线的顶点为M(1，－1)．
∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－1，把N(0，1)代入，得1＝a×(0－1)2－1，解得a＝2.
∴这条抛物线的表达式为y＝2(x－1)2－1，即y＝2x2－4x＋1.
