21.4 第1课时 利用二次函数的最值解决实际问题
知识点 1 利用最值求几何图形的面积
1．一个矩形的面积S与其中一边的长x之间存在的二次函数关系为S＝－(x－6)2＋36，当一边长x＝________时，矩形的面积有最大值，最大值是________．
2．将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段，并把每段铁丝围成圆，设所得两圆的半径分别为r1厘米和r2厘米．
(1)求r1与r2的关系式，并写出r1的取值范围；
(2)求两圆的面积和S关于r1的函数表达式，并求出S的最小值．
知识点 2 距离的最大(小)值
3．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－(x－4)2＋3，由此可知铅球能到达的最大高度是________ m，铅球落地时，测量小明推铅球的成绩是________ m.
4．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图21－4－1所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( )
A．第3秒 B．第4秒
C．第4.5秒 D．第5秒
图21－4－1
5．军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y＝－x2＋10x，则经过________s，炮弹到达它的最高点．
知识点 3 经济效益的最优方案
6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，价格只能在15≤x≤22范围内，那么一周可获得的最大利润是( )
A．20 B．1508 C．1550 D．1558
7．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该旅游景点关闭．经跟踪测算，该旅游景点一年中某月的利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W＝－x2＋16x－48，则该旅游景点一年中利润最大的月份是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
8．［2016·成都］某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．
(1)直接写出平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的表达式；
(2)果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？
9．如图21－4－2所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q两点分别从点A，B同时出发，那么经过________秒，四边形APQC的面积最小．
图21－4－2
10．［2017·包头］某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形的一边长为x米，面积为S米2.
(1)求S与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)设计费能达到24000元吗？为什么？
(3)当x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？
11．［教材习题21.4第3题变式］一种商品进价为每件8元，若商品售价为每件10元，一周可卖出50件．市场调查表明：如果这种商品每件涨价1元，每周要少卖5件；每件降价1元，每周要多卖5件．
(1)求该种商品一周的销售量y(件)与商品价格x(元)之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)根据物价部门规定，该商品最高售价不超过12元，则怎样定价，可使每周的利润最大？最大利润是多少？
12．某企业生产并销售某种产品．假设销售量与产量相等，如图21－4－3中折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
(3)当该产品的产量为多少时，所获得的利润最大？最大利润是多少？
图21－4－3
教师详解详析
1．6 36
2．解：(1)依题意，得2πr1＋2πr2＝16π， 化简得r1＋r2＝8，r1的取值范围为0＜r1＜8.
(2)两圆的面积和S＝πr12＋πr22＝π[r12＋(8－r1)2]＝2π[(r1－4)2＋16]．
当r1＝4时，S有最小值，为32π平方厘米．
3．3 10 [解析] 抛物线的顶点(4，3)是最高点，令y＝0时，得－(x－4)2＋3＝0，解得x1＝10，x2＝－2(舍去)．
4．B [解析] 求出抛物线的对称轴是直线t＝＝4，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，故第4秒时，小球最高．
5．25 [解析] 求出二次函数图象的顶点的横坐标即可．
6．D
7．C [解析] 由W＝－x2＋16x－48＝－(x－8)2＋16＝0，∴利润最大的是8月份．
8．解：(1)平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的关系式为y＝600－5x(0≤x＜120)．
(2)设果园多种x棵橙子树时，橙子的总产量为w个，
则w＝(100＋x)y＝(100＋x)(600－5x)
＝－5x2＋100x＋60000
＝－5(x－10)2＋60500，
则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．
9． 3
[解析] 利用等量关系“四边形APQC的面积＝三角形ABC的面积－三角形PBQ的面积”列出函数表达式求最小值．
10．解：(1)∵矩形的一边为x米，周长为16米，
∴另一边长为(8－x)米，
∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x(0＜x＜8)．
(2)能．理由如下：
当设计费为24000元时，面积为24000÷2000＝12(米2)，
即－x2＋8x＝12，
解得x1＝2，x2＝6.
∴设计费能达到24000元．
(3)∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，
∴当x＝4时，S最大值＝16，
即当x＝4米时，矩形的最大面积为16米2，此时设计费最多，最多是32000元．
11．解：(1)根据如果这种商品每件涨价1元，每周要少卖5件；每件降价1元，每周要多卖5件．可知销售量与售价之间是一次函数关系，设y＝kx＋b(k≠0)，代入(10，50)，(11，45)，得
解得
∴y＝－5x＋100(8≤x≤20)．
(2)设每周的利润为w(元)，则w＝(x－8)(－5x＋100)＝－5x2＋140x－800＝－5(x－14)2＋180.
由于8≤x≤12，当x＜14时，w随x的增大而增大，故当x＝12时，w有最大值，最大值为－5(12－14)2＋180＝160.
答：定价为12元时，可使每周的利润最大，最大利润为160元．
12．解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．
(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝k1x＋b1(k1≠0)．
∵函数y1＝k1x＋b1的图象经过点(0，60)与(90，42)，
∴
解得
∴y1与x之间的函数表达式为y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)．
(3)设y2与x之间的函数表达式为y2＝k2x＋b2(k2≠0)．
∵该直线经过点(0，120)与(130，42)，
∴
解得
∴y2与x之间的函数表达式为y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)．
设产量为x kg时，获得的利润为W元，
①当0≤x≤90时，W＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2250，
∴当x＝75时，W的值最大，最大值为2250；
②当90≤x≤130时，W＝x[(－0.6x＋120)－42]＝－0.6(x－65)2＋2535，
∴当x＝90时，W＝－0.6×(90－65)2＋2535＝2160.
由－0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，
∴当90≤x≤130时，W≤2160，
即当x＝90时，W有最大值2160.
∵2160＜2250，
∴当x＝75时，W的值最大，最大值为2250.
因此，当该产品的产量为75 kg时，获得的利润最大，最大利润为2250元．
21.4 第2课时 利用二次函数表达式解决抛物线形建筑问题
知识点 1 建立平面直角坐标系求有关抛物线形建筑物的表达式
1．如图21－4－4(1)是一座横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在直线l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，水面宽4 m．如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是( )
图21－4－4
A．y＝－2x2 B．y＝2x2 C．y＝－x2 D．y＝x2
2．如图21－4－5所示的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是________________．
图21－4－5
知识点 2 利用表达式由水平距离求垂直高度
3．某拱桥的截面是抛物线形，如图21－4－6所示．在图中建立的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为y＝－x2，当水面宽AB＝12 m时，水面到拱桥顶点O的距离为( )
A．－9 m B．6 m C．9 m D．36 m
图21－4－6
4．图21－4－7①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为10米(即HF＝FG＝GM＝MP＝10米)，拱桥顶点D到桥面的距离DG＝2米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为y＝ax2＋6.
(1)求a的值；
(2)求支柱EF的高．
图21－4－7
知识点 3 利用表达式由垂直高度求水平距离
5．某景区一个门洞为抛物线形，以门洞底部所在直线为x轴，门洞的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为y＝－2x2＋3，则2 m高处的门洞宽为( )
A. m B．1 m C. m D．2 m
6．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图21－4－8所示．若菜农身高为1.8 m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是________m.
图21－4－8
7. 一座拱桥呈抛物线形，它的截面如图21－4－9所示，现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，拱桥顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，拱桥宽ED是多少？是否超过1 m?
图21－4－9
8．［2016·青岛］如图21－4－10，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案．按照图中的平面直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx来表示．已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为 m，到墙边OA的距离分别为 m， m.
(1)求该拋物线的函数表达式，并求图案最高点到地面的距离；
(2)若该面墙的长度为10 m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案？
图21－4－10
9．如图21－4－11，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h＝－(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
图21－4－11
10．［2016·丽水］如图21－4－12①，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2－x＋3的绳子．
(1)求绳子最低点离地面的距离；
(2)因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子(如图②)，使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
(3)将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m米，抛物线F2的顶点离地面的距离为k米，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
图21－4－12
教师详解详析
1．C
2．y＝－(x＋6)2＋4
3．C
4．解：(1)根据题意可知A(－20，0)，将其代入y＝ax2＋6，
得400a＋6＝0，
解得a＝－.
(2)把x＝－10代入y＝－x2＋6，
得y＝－×(－10)2＋6＝，
∴EF＝6＋2－＝(米)．
5．C
6．3 [解析] 设抛物线的表达式为y＝ax2＋b.
由图可知，点(0，2.4)，(3，0)在抛物线上，
∴解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2.4.
∵菜农的身高为1.8 m，即y＝1.8，
则1.8＝－x2＋2.4，解得x＝1.5(负值已舍去)．
故他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是3 m.
7．解：由题意可知，点A(－0.8，－2.4)，O C＝2.4 m，OF＝0.9 m.
设抛物线的表达式为y＝ax2，将点A的坐标代入，得0.64a＝－2.4，
解得a＝－，
∴y＝－x2.
把y＝－0.9代入，得－x2＝－0.9，
解得x＝±，
∴DE＝ m.
∵＝<1，
∴离开水面1.5 m处，拱桥宽ED是 m，没有超过1 m.
8．解：(1)根据题意，得B(，)，C(，)．
把B，C两点的坐标分别代入y＝ax2＋bx，得
解得
∴拋物线的函数表达式为y＝－x2＋2x，
∴图案最高点到地面的距离为＝1(m)．
(2)令y＝0，即－x2＋2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
∵10÷2＝5，
∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线形图案．
9．解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋11，由题意得B(8，8)，则64a＋11＝8，解得a＝－，即y＝－x2＋11.
(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h最多为11－5＝6(米)，
那么6＝－(t－19)2＋8，解得t1＝35，t2＝3，
∴35－3＝32(时)．
答：需32小时禁止船只通行．
10．解：(1)∵a＝＞0，
∴抛物线的顶点为最低点．
∵y＝x2－x＋3＝(x－4)2＋，
∴绳子最低点离地面的距离为米．
(2)由(1)可知，BD＝8，
令x＝0，得y＝3，
∴A(0，3)，C(8，3)．
由题意可得抛物线F1的顶点坐标为(2，1.8)，
设F1的表达式为y＝a(x－2)2＋1.8.
将(0，3)代入，得4a＋1.8＝3，解得a＝0.3，
∴抛物线F1的表达式为y＝0.3(x－2)2＋1.8.
当x＝3时，y＝0.3×1＋1.8＝2.1，
∴MN的长度为2.1米．
(3)∵MN＝CD＝3米，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，
∴抛物线F2的顶点坐标为(m＋4，k)，
∴抛物线F2的表达式为y＝(x－m－4)2＋k.
把C(8，3)代入，得(8－m－4)2＋k＝3，
解得k＝3－(8－m－4)2，
即k＝－(m－8)2＋3，
从而k是关于m的二次函数．
又由已知条件得m＜8，
则二次函数k＝－(m－8)2＋3在对称轴的左侧，
k随m的增大而增大，
∴当k＝2时，－(m－8)2＋3＝2，
解得m1＝4，m2＝12(不符合题意，舍去)；
当k＝2.5时，－(m－8)2＋3＝2.5，
解得m1＝8－2 ，m2＝8＋2 (不符合题意，舍去)．
∴m的取值范围是4≤m≤8－2 .
21.4 第3课时 利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题
知识点 1 体育运动型
1．小李打羽毛球时，若羽毛球飞行的高度h(m)与发球的时间t(s)满足关系式h＝－2t2＋2t＋2，则小李发球后0.5 s时，羽毛球飞行的高度为( )
A．1.5 m B．2 m C．2.5 m D．3 m
2．小明在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s；h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( )
A．0.71 s B．0.70 s C．0.63 s D．0.36 s
图21－4－13
3．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图21－4－14)．若恰好命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是( )
A．3.5 m B．4 m C．4.5 m D．4.6 m
图21－4－14
知识点 2 水流抛物型
4．如图21－4－15，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线y＝－(x＋1)(x－7)的一部分．铅球落在A点处，则OA＝________米．
图21－4－15
5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图21－4－16，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
图21－4－16
5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图21－4－16，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
6．如图21－4－17(a)，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1 m处达到最大高度2.25 m，试在恰当的平面直角坐标系中求出该抛物线形水流对应的二次函数表达式．
图21－4－17
学生小龙在解答该问题时，具体解答如下：
①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图(b)所示的平面直角坐标系；
②设该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y＝ax2；
③根据题意可得点B与x轴的距离为1 m，故点B的坐标为(－1，1)；
④代入y＝ax2，得1＝a×(－1)2，所以a＝1；
⑤所以该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y＝x2.
数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的．”
(1)请指出小龙的解答从第________步开始出现错误，错误的原因是____________________；
(2)请写出正确的解答过程．
7．［教材习题21.4第4题变式］如图21－4－18，某学生的一次抛物线形传球，球出手(点A处)的高度是 m，出手后球沿抛物线运动到最高点时，运行高度y＝3 m，水平距离x＝4 m.
(1)试求篮球运行的高度y与水平距离x之间的函数表达式；
(2)若队友接球的最佳高度约为 m，则队友距这名学生多远处接球？
(3)此时防守队员断球的最大高度是2.25 m，则这名学生传球瞬间，防守队员距他多远才能抢断成功？
图21－4－18
8．公园水池中央有一个喷泉，从A喷出的水流呈抛物线形，如图21－4－19所示，已知水流的最高点M距离地面2.25米，距离y轴2米，水流落地点B距离点O5米，且恰好不流出池外．
(1)求水管OA的高度；
(2)现在公园欲将水管OA增加0.75米，喷出的水恰好不流出池外(水流的形状不变)，求水池的半径要增加多少米．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73)
图21－4－19
9．如图21－4－20，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距点O6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线对应的函数表达式；
(2)足球第一次落地点C距O处的守门员约多少米？(取4 ≈7)
(3)运动员乙要抢到足球的第二个落地点D，他应再向前跑约多少米？(取2 ≈5)
图21－4－20
教师详解详析
1．C
2．D [解析] h＝3.5t－4.9t2＝－4.9(t－)2＋.∵－4.9<0，∴当t＝≈0.36 s时，h最大．故选D.
3．B [解析] 把y＝3.05代入y＝－x2＋3.5，解得x1＝1.5，x2＝－1.5(舍去)，则所求距离为1.5＋2.5＝4(m)．
4．7 [解析] 铅球落地时，y＝0，则－(x＋1)·(x－7)＝0，解得x1＝7，x2＝－1(舍去)．
5．A [解析] ∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x的一部分，
∴水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝－x2＋4x的最大值．
∵y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴y的最大值为4，
∴水喷出的最大高度为4米．
故选A.
6．解：(1)③ 点B的坐标错误，应为(－1，－1)
(2)①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图(b)所示的平面直角坐标系；
②设该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y＝ax2；
③由题意可得点B与x轴的距离为1 m，故点B的坐标为(－1，－1)；
④从而－1＝a·1，所以a＝－1；
⑤所以该抛物线形水流对应的二次函数表达式为y＝－x2.
7．解：(1)根据抛物线的顶点为(4，3)，由已知可设抛物线的函数表达式是y＝a(x－4)2＋3(a＜0)．
∵抛物线经过点A(0，)，
∴＝a×(0－4)2＋3，解得a＝－.
故所求的函数表达式为y＝－(x－4)2＋3.
(2)令y＝，则－(x－4)2＋3＝，解得x1＝8，x2＝0(舍去)．
∴队友距这名学生8 m远处接球最佳．
(3)令y＝2.25，则－(x－4)2＋3＝2.25，
解得x1＝1，x2＝7(舍去)．
∴防守队员距他1 m内才能抢断成功．
8．解：(1)设这条抛物线的表达式为y＝a(x－k)2＋h.由题意知顶点M(2，2.25)，则表达式为y＝a(x－2)2＋2.25.
将B(5，0)代入，可求得a＝－0.25，
所以抛物线的表达式为y＝－0.25(x－2)2＋2.25，
即y＝－0.25x2＋x＋1.25.
令x＝0，得y＝1.25，
所以水管OA的高度为1.25米．
(2)因为水流的形状不变，所以抛物线的形状和对称轴均不变，设抛物线为y＝－0.25(x－2)2＋m.
将(0，2)代入，得m＝3，则抛物线的表达式为y＝－0.25(x－2)2＋3.
当y＝0时，－0.25(x－2)2＋3＝0，
解得x1＝－2 ＋2(舍去)，x2＝2 ＋2≈5.5，
5．5－5＝0.5(米)．
所以水池的半径要增加0.5米．
9．解：(1)设足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－6)2＋4.
当x＝0时，y＝1，即1＝36a＋4，∴a＝－，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－6)2＋4.
(2)令y＝0，即－(x－6)2＋4＝0，
∴(x－6)2＝48，
解得x1＝4 ＋6≈13，x2＝－4 ＋6＜0(舍去)．
∴足球第一次落地点C距O处的守门员约13米．
(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD.
根据题意，得CD＝EF(即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位)，
∴2＝－(x－6)2＋4，
解得x1＝6－2 ，x2＝6＋2 .
∴CD＝|x1－x2|＝4 ≈10，
∴BD≈13－6＋10＝17(米)．
即他应再向前跑约17米．
21.4 第4课时 利用二次函数模拟数据
知识点 1 用二次函数模型模拟汽车运动
1．小汽车的刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数表达式为s＝v2.一辆小汽车的速度为100 km/h，发现前方80 m处停放着一辆故障车，此时刹车________有危险(填“会”或“不会”)．
2．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．在平整的路面上，汽车刹车后滑行的路程s(m)与刹车前的速度v(km/h)有如下的经验公式：s＝v2.某辆汽车在限制最高速度为140 km/h的公路上发生了一起交通事故，现场测得刹车距离为50 m，则在事故发生时，该汽车是________行驶(填“超速”或“正常”)．
知识点 2 建立二次函数模型解决实际问题
3．近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，引入“数据包络分析”(简称DEA)的一种效率评价方法，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)，如图21－4－21记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是( )
A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.5
图21－4－21
4．［2017·临沂］足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
时间t(s)
1
2
3
4
…
距离s(m)
2
8
18
32
…
已知小球滚动的距离s是时间t的二次函数，则小球滚动的距离为162 m时，滚动时间t＝________．
6．［教材例4变式］行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要向前方滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某型号汽车的刹车性能(车速不超过120 km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速/km·h－1
0
5
10
20
30
40
50
刹车距离/m
0
0.1
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
(1)以刹车时的车速为x轴，以刹车距离为y轴，建立平面直角坐标系，根据上表中的对应值作出函数的大致图象；
(2)这种型号汽车车速超过100 km/h时，刹车距离至少为多少？
(3)该型号汽车在国道发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，推测刹车时的车速是多少？事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
7.《实验室的故事》中有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测量出这种植物高度的增长情况(如下表)．
温度x/℃
…
－4
－2
0
2
4
4.5
…
植物每天高度
增长量y/mm
…
41
49
49
41
25
19.75
…
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种．
(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数表达式，并简要说明不选择另一种函数的理由；
(2)当温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？
(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm，那么实验室的温度x应该控制在什么范围内？直接写出结果．
8．某汽车在刹车后的行驶距离s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系的部分数据如下表：
时间
t(秒)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
…
行驶距
离s(米)
0
2.8
5.2
7.2
8.8
10
10.8
…
(1)根据这些数据在给出的平面直角坐标系中画出相应的点；
(2)选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数表达式；
(3)①刹车后该汽车行驶了多长距离才停止？
②当t分别为t1，t2(t1＜t2)时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义．
图21－4－22
教师详解详析
1．不会
2．正常 [解析] 由题意可得，v2＝50，则v＝100<100＝140.
3．C [解析] 将(4，0.43)，(5，1.1)，(6，0.87)代入表达式，得
解得∴y＝－0.45x2＋4.72x－11.25，当x＝－≈5.2时，y取得最大值．
4．B [解析] 由题意，设抛物线的表达式为y＝at(t－9)，把(1，8)代入，可求得a＝－1，
∴y＝－t2＋9t＝－(t－4.5)2＋20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25 m，故①错误．
∴抛物线的对称轴为直线t＝4.5，故②正确．
∵t＝9时，y＝0，
∴足球被踢出9 s时落地，故③正确．
∵t＝1.5时，y＝11.25，∴④错误．
∴正确的有②③，
故选B.
5．9 s [解析] 确定s与t的函数表达式为s＝2t2，∴当s＝162时，即2t2＝162，解得t＝9(负值已舍去)．
6．解：(1)如图所示：
(2)根据图象可估计为抛物线．
∴设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
把表内前三对数代入函数表达式，可得
解得
∴y＝0.002x2＋0.01x.
经检验，其他各数均满足函数，
∴当x＝100时，y＝0.002×1002＋0.01×100＝21.
答：这种型号小汽车车速超过100 km/h时，刹车距离至少为21 km.
(3)当y＝46.5时，46.5＝0.002x2＋0.01x.解得x1＝150，x2＝－155(不合题意，舍去)．
∴可以推测刹车时的车速为150 km/h.
∵150＞120，∴事故发生时，汽车是超速行驶．
7．解：(1)选择二次函数．设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由(－2，49)，(0，49)，(2，41)，得
解得
即y＝－x2－2x＋49.
经检验其余各组值均满足该表达式．
∴y关于x的函数表达式是y＝－x2－2x＋49.
不选另一种函数的理由：
∵点(－4，41)，(－2，49)，(2，41)不在同一直线上，∴y不是x的一次函数．
(2)由(1)，得y＝－x2－2x＋49，
∴y＝－(x＋1)2＋50.
∵a＝－1<0，
∴当x＝－1时，y的最大值为50.
即当温度为－1 ℃时，这种植物每天高度增长量最大．
(3)－6 ℃8．解：(1)如图所示：
(2)由散点图可知该函数为二次函数．设二次函数的表达式为s＝at2＋bt＋c(a≠0)，
∵抛物线经过点(0，0)，∴c＝0.
又由点(0.2，2.8)，(1，10)可得
解得
∴s＝－5t2＋15t.
经检验，其余各点均满足s＝－5t2＋15t.
∴二次函数的表达式为s＝－5t2＋15t.
(3)①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离．
∵s＝－5t2＋15t＝－5(t－)2＋，
∴当t＝时，s的值最大，为.
因此，刹车后该汽车行驶了米才停止．
②∵s＝－5t2＋15t，
∴s1＝－5t12＋15t1，s2＝－5t22＋15t2.
∴＝＝－5t1＋15，
＝＝－5t2＋15.
∵t1＜t2，
∴－＝－5t1＋15－(－5t2＋15)＝5(t2－t1)>0，∴>.
其实际意义是该汽车从刹车到t2时间内的平均速度小于从刹车到t1时间内的平均速度．
