第三章复习课
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课件30张PPT。章末复习课第三章 不等式1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.
2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.
3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.
4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.
5.会用基本不等式求解函数最值.学习目标知识点一 “三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是①二次 图象及与x轴的交点；②相应的一元二次 的实根；③一元二次 的解集端点.
解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化.函数不等式方程类型一 “三个二次”之间的关系例1 设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M?[1,4]，求实数a的取值范围.解答M?[1,4]有两种情况：
其一是M＝?，此时Δ<0；其二是M≠?，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围.
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
对方程x2－2ax＋a＋2＝0，
有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，
①当Δ<0时，－1②当Δ＝0时，a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，M＝{－1}?[1,4]，不满足题意；
当a＝2时，M＝{2}?[1,4]，满足题意.③当Δ>0时，a<－1或a>2.
设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1那么M＝[x1，x2]，M?[1,4]?1≤x1综上可知，当M?[1,4]时，a的取值范围是(－1， ].解得2要是用求根公式来解就相当麻烦，用 则可化归为简单的一元一次不等式组.
(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想.跟踪训练1 若关于 的方程 的两根一个小于1，一个大于1，求实数 的取值范围.知识点二 规划问题1.规划问题的求解步骤.
(1)把问题要求转化为约束条件；
(2)根据约束条件作出可行域；
(3)对目标函数变形并解释其几何意义；
(4)移动目标函数寻找最优解；
(5)解相关方程组求出最优解.类型二 线性规划问题例2 已知变量x，y满足约束条件 求z＝2x＋y的最大值和最小值.如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域.
设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直
线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当直线越往
上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直
线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小.
上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.(1)因为寻找最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z越大还是越小.跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小.解答设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.
在一组平行直线3x＋2y＝z中，
经过可行域内的点A时，z取得最小值，
直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，
即最优解为(2,1).
所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.知识点三 基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别.
利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件.
利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.类型三 利用基本不等式求最值命题角度1 无附加条件型
例3 设f(x)＝ .
(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；解答∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值.解答∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20.利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形.如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解.跟踪训练3 求函数y＝ ＋x(x＞3)的最小值.解答即x＝4时，y有最小值5.命题角度2 有附加条件的最值问题
例4 函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则 的最小值为__.4答案解析方法一 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，
∴m＋n＝1，
当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值.跟踪训练4 设x，y都是正数，且 ＝3，求2x＋y的最小值.解答1.不等式的基本性质
不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质.
2.一元二次不等式的求解方法
对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集.3.二元一次不等式表示的平面区域的判定
对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点.4.求目标函数最优解的方法
通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解.
5.运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.
3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.
4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.
5.会用基本不等式求解函数最值.学习目标知识点一 “三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是①二次 图象及与x轴的交点；②相应的一元二次 的实根；③一元二次 的解集端点.
解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化.函数不等式方程类型一 “三个二次”之间的关系例1 设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M?[1,4]，求实数a的取值范围.解答M?[1,4]有两种情况：
其一是M＝?，此时Δ<0；其二是M≠?，此时Δ＝0或Δ>0，下面分三种情况计算a的取值范围.
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
对方程x2－2ax＋a＋2＝0，
有Δ＝(－2a)2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)，
①当Δ<0时，－1
当a＝－1时，M＝{－1}?[1,4]，不满足题意；
当a＝2时，M＝{2}?[1,4]，满足题意.③当Δ>0时，a<－1或a>2.
设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1
(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想.跟踪训练1 若关于 的方程 的两根一个小于1，一个大于1，求实数 的取值范围.知识点二 规划问题1.规划问题的求解步骤.
(1)把问题要求转化为约束条件；
(2)根据约束条件作出可行域；
(3)对目标函数变形并解释其几何意义；
(4)移动目标函数寻找最优解；
(5)解相关方程组求出最优解.类型二 线性规划问题例2 已知变量x，y满足约束条件 求z＝2x＋y的最大值和最小值.如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域.
设l0：2x＋y＝0，l：2x＋y＝z，则z的几何意义是直
线y＝－2x＋z在y轴上的截距，显然，当直线越往
上移动，对应在y轴上的截距越大，即z越大；当直
线越往下移动，对应在y轴上的截距越小，即z越小.
上下平移直线l0，可得当l0过点A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12；当l0过点B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.(1)因为寻找最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确；(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系，所以要关注截距越大，z越大还是越小.跟踪训练2 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个.现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小.解答设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.
在一组平行直线3x＋2y＝z中，
经过可行域内的点A时，z取得最小值，
直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点为A(2,1)，
即最优解为(2,1).
所以使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.知识点三 基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别.
利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件.
利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.类型三 利用基本不等式求最值命题角度1 无附加条件型
例3 设f(x)＝ .
(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最大值；解答∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值是25.(2)求f(x)在[2，＋∞)上的最大值.解答∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为20.利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”，缺一不可，可以通过拼凑、换元等手段进行变形.如不能取到最值，可以考虑用函数的单调性求解.跟踪训练3 求函数y＝ ＋x(x＞3)的最小值.解答即x＝4时，y有最小值5.命题角度2 有附加条件的最值问题
例4 函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则 的最小值为__.4答案解析方法一 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，
∵点A在直线mx＋ny－1＝0上，
∴m＋n＝1，
当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为角度1的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值.跟踪训练4 设x，y都是正数，且 ＝3，求2x＋y的最小值.解答1.不等式的基本性质
不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质.
2.一元二次不等式的求解方法
对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；方程ax2＋bx＋c＝0的根.按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集.3.二元一次不等式表示的平面区域的判定
对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”.特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点.4.求目标函数最优解的方法
通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解.
5.运用基本不等式求最值时把握三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.