高中物理选修3-1第三章磁场-7.带电粒子的圆周运动习题（课件）

(共85张PPT)
吕 叔 湘 中 学
庞 留 根
带电粒子的
圆周运动习题课
一、带电粒子的圆周运动 1、圆周运动的轨道半径
2、圆周运动的周期
3、带电粒子做匀速圆周运动的分析方法
4、带电粒子在匀强磁场中的偏转
二、带电粒子在复合场中的运动
处理带电粒子在复合场中的运动的方法
例1 例2 例3
A组1 A组2 A组3 A组4 A组5
A组6 A组7 A组8 A组9
B组1 B组2 B组3 B组4 B组5
B组6 B组7 B组8 B组9
B组10 B组11 B组12
带电粒子的圆周运动习题课
一、带电粒子的圆周运动
1、圆周运动的轨道半径
当带电粒子速度方向与磁场垂直时，带电粒子在垂直于磁感应线的平面内做匀速圆周运动．
带电粒子在匀强磁场中仅受洛仑兹力而做匀速圆周运动时，洛仑兹力充当向心力：
所以
由此得到:
在匀强磁场中做匀速圆周运动的带电粒子，它的轨道半径跟粒子的运动速率成正比．运动的速率越大， 轨道的半径也越大．
2、圆周运动的周期
（T与r，v 无关）
可见粒子在磁场中做匀速圆周运动的 周期跟轨道半径和运动速率无关．
3、带电粒子做匀速圆周运动的分析方法：（1）圆心的确定
如何确定圆心是解决问题的前提,也是解题的关键.
即圆心一定在与速度方向垂直的直线上。
首先，应有一个最基本的思路：
圆心位置的确定通常有两种方法:
可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图示，P为入射点，M为出射点)．
P
M
v
v
O
-q
图①
P
M
v
O
-q
图②
可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图所示，图中P为入射点，M为出射点).
①已知入射方向和出射方向时，
②已知入射方向和出射点的位置时，
（2）半径的确定和计算
粒子做匀速圆周运动所需的向心力是由粒子所受的洛伦兹力提供，即
所以粒子的轨道半径为
半径的计算一般是利用几何关系,常用解三角形的方法求出该圆的半径。
（3）运动时间的确定
①直接根据公式 t=s/v 或 t=θ/ω求出运动时间t
②粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间可由下式表示：
4、带电粒子在匀强磁场中的偏转
要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
侧移 y由 R2=L2-(R-y)2解出。
偏转角θ由sinθ=L/R求出。
经历时间由 得出。
注意，这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点，这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同！
B
v
L
O
v
R
y
θ
（1）穿过矩形磁场区。
画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
（2）穿过圆形磁场区。
偏角可由
求出。
经历时间由
得出。
注意：由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。
r
R
v
O'
O
v
二、带电粒子在复合场中的运动
带电粒子在复合场中的运动，一般需同时考虑电场力、磁场力和重力的作用，对于有轨道约束的运动，还要考虑弹力和摩擦力对运动的影响。带电体在复合场中的运动一般具有较复杂的运动图景。
1、复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两个场并存，或分区域存在（组合场）。
2、带电粒子在复合场中的运动问题本质上是一个力学问题，应顺应力学问题的研究思路和运用力学的基本规律。
（1）当带电粒子（带电体）所受的合外力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态。
（2）当带电粒子（带电体）做匀速圆周运动时,其它各力的合力必为零（电场力和重力平衡），则当粒子速度方向与磁场方向垂直时，洛仑兹力提供向心力，使带电粒子作匀速圆周运动。
（3）当带电粒子（带电体）所受的合外力不断变化且与粒子速度不在一直线上时， 带电粒子将作 非匀变速曲线运动。此类问题，通常用能量观点分析解决。
3、处理带电粒子在复合场中的运动的方法：
（1）正确分析带电粒子（带电体）的受力情况。
带电粒子（带电体）在复合场中做什么运动，取决于带电粒子（带电体）所受的合外力及其初始速度，因此应把带电粒子（带电体）的运动情况和受力情况结合起来分析，选择恰当的运动规律解决问题。运用牛顿第二定律并结合运动学规律求解。
（2）灵活选用力学规律。
①当带电粒子（带电体）在复合场中做匀速运动时，根据平衡条件列方程求解
②当带电粒子（带电体）在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程求解
③当带电粒子（带电体）在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解，根据各种力对带电粒子做功引起的能量变化或全过程中的功能关系，从而可确定带电粒子的运动情况，这不但适用于均匀场，也适用于非均匀场。
④带电体在复合场中受力情况复杂运动情况多变，往往出现临界问题，应以题中“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其它方程联立求解。
⑤若匀强电场和匀强磁场是分开的独立的区域，则带电粒子在其中运动时，分别遵守在电场和磁场中的运动规律，处理这类问题时要注意分阶段求解。
（1）
例1
、 在以坐标原点 O 为圆心、半径为 r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为 B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与 x 轴的交点 A 处以速度 v 沿 –x 方向射入磁场，它恰好从磁场边界与 y 轴的交点 C 处沿 +y 方向飞出。
（1） 请判断该粒子带何种电荷，
并求出其比荷q/m ；
（2） 若磁场的方向和所在空间范围
不变，而磁感应强度的大小变为 B',
该粒子仍从A处以相同的速度射入磁
场．但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60 角．求磁感应强度B'多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t 是多少？
A
C
y
x
O
B
解:
(1)从C 处沿 +y 方向飞出。过A、C分别作xy轴的垂线相交与O1 , O1就是粒子作圆周运动的圆心.
O1
由左手定则粒子带负电荷.
容易看出粒子作圆周运动的半径为r
由r=mv/qB 得比荷 q/m= v／Br
(2)出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60 角，画出示意图如图:
∠AO2C = 600
粒子作圆周运动的半径为R
在磁场中运动时间
A
C
y
x
O
B
A
C
y
x
O
B
600
O2
R
例2.
E0
x
S2
S1
v0
E
B0
D
L
速度选择器
如图所示的装置,左半部为速度选择器，右半部为匀强的偏转电场. 一束同位素离子流从狭缝S1射入速度选择器，能够沿直线通过速度选择器并从狭缝S2射出的离子，又沿着与电场垂直的方向，立即进入场强大小为E的偏转电场，最后打在照相底片D上。已知同位素离子的电荷量为q (q＞0)，速度选择器内部存在着相互垂直的场强大小为E0的匀强电场和磁感应强度大小为
B0的匀强磁场,照相底片D与狭缝S1、S2的连线平行且距离为L,忽略重力的影响。
(1)求从狭缝S2射出的离子速度v0的大小；
(2)若打在照相底片上的离子在偏转电场中沿速度v0方向飞行的距离为x，求出x与离子质量m之间的关系式(用E0、B0、E、q、m、L表示)。
（1）能从速度选择器射出的离子满足
所以
①
(2)离子进入匀强偏转电场E后做类平抛运动,则
②
③
由牛顿第二定律得 qE=ma ⑤
④
由②③④⑤解得
解：
例3.
两平面荧光屏互相垂直放置,在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴,交点O为原点,如图所示,在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B.在O点有一处小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮，入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度
y
O
x
a
最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2:5，
在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）.
解：
对于y轴上的光屏亮线范围的临界条件如图1所示：带电粒子的轨迹和x=a相切 ，
y
O
x
a
O1
图1
此时r=a，y轴上的
最高点为y=2r=2a ;
速度最大的粒子是如图2中的蓝实线，由两段圆弧组成，圆心分别是C和C′, 由对称性得到 C′在 x轴上，与D点重合。
对于 x轴上光屏亮线范围的临界条件如图2所示：
y
O
x
a
P
M
N
D
图2
左边界的极限情况还是和x=a相切，此刻，带电粒子在右边的轨迹是个圆，与x轴相切于D点，
由几何知识得到在x轴上的坐标为x=2a;
C'
C
设在左右两部分磁场中运动时间分别为t1和t2，满足
题目
y
O
x
a
P
M
N
D
C'
C
θ
解得
由数学关系得到：
代入数据得到：
所以在x 轴上的范围是
题目
第2页
A组能力训练题1.
1. 右图是科学史上一张著名的实验照片，显示一个带电粒子在云室中穿过某种金属板运动的径迹。云室放置在匀强磁场中，磁场方向垂直照片向里。云室中横放的金属板对粒子的运动起阻碍作用。分析此径迹可知粒子（ ）
A. 带正电，由下往上运动
B. 带正电，由上往下运动
C. 带负电，由上往下运动
D. 带负电，由下往上运动
A
解见下页
又由于洛仑兹力的方向指向圆心，由左手定则，粒子带正电，选A。
解：
粒子穿过金属板后，速度变小，由半径公式
可知，半径变小，粒子运动方向为由下向上；
A组能力训练题2.
2.初速为v0的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图所示，则 ( )
A．电子将向右偏转，速率不变
B．电子将向左偏转，速率改变
C．电子将向左偏转，速率不变
D．电子将向右偏转，速率改变
A
v0
-e
左
右
解见下页
电子所在处的磁场方向向里，由左手定则判断，电子受到的洛伦兹力方向向右，电子将向右偏转，选项A正确，D错误。
解：
因电子只受洛伦兹力作用，且洛伦兹力不做功，电子在运动过程中，动能保持不变，选项B、D错误。
注意，电子不是做匀速圆周运动，因为直线电流产生的磁场从左到右是逐渐减弱的。
A组能力训练题3.
11．如图8所示，表面粗糙的斜面固定于地面上,并处于方向垂直纸面向外、强度为B的匀强磁场中。质量为m、带电量为＋Q的小滑块从斜面顶端由静止下滑。在滑块下滑的过
程中,下列判断正确的是（ ）
A．滑块受到的摩擦力不变
B．滑块到达地面时的动能与B的大小无关
C．滑块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向下
D．B很大时，滑块可能静止于斜面上
+Q
m
图8
CD
解见下页
取物块为研究对象，小滑块沿斜面下滑由于受到洛伦兹力作用，如答图1所示，C正确；
N=mgcosθ+qvB，由于v不断增大，则N不断增大，滑动摩擦力f=μN，摩擦力增大，A错误；
滑块的摩擦力与B有关，摩擦力做功与B有关，依据动能定理,在滑块下滑到地面的过程中,满足
当B很大,则摩擦力有可能很大,所以
滑块可能静止在斜面上,D正确。
所以滑块到地面时的动能与B有关,B错误;
解：
f
qvB
mg
N
m
+Q
答图1
A组能力训练题4
4．质量为m、带电量为q的小物块，从倾角为θ的光滑绝缘斜面上由静止下滑，整个斜面置于方向水平向里的匀强磁场中，磁感应强度为B，如图所示。若带电小物块下滑后某时
刻对斜面的作用力恰好为零，下
面说法中正确的是（ ）
A．小物块一定带有正电荷
B．小物块在斜面上运动时做匀加速直线运动
C．小物块在斜面上运动时做加速度增大，而速度也增大的变加速直线运动
D．小物块在斜面上下滑过程中，当小球对斜面
压力为零时的速率为
B
θ
BD
解见下页
小物块下滑后对斜面的作用力逐渐减小，可见垂直斜面斜向上的洛伦兹力逐渐增大，小物块带负电荷，A错；
解：
在光滑斜面上运动时沿斜面方向只有重力的分力mgsinθ，所以做匀加速直线运动，a=gsinθ，C错B正确；
当qvB=mgcosθ时，小球对斜面压力为零，
所以
选项D正确。
B
θ
A组能力训练题5
5．如图甲所示，带电粒子(不计重力)以水平向右的初速度v0先通过有界匀强电场E，后通过有界匀强磁场B，再从磁场右边穿出，此过程中该粒子动能的改变量为ΔEk1；若如图乙所示，将该匀强电场和匀强磁场区域正交叠加，再让该粒子以同样的初速度水平向右穿越叠加场区而从右边穿出,此过程中该粒子动能的改变量为ΔEk2.比较ΔEk1和ΔEk2的大小,下列说法中正确的是（ ）
A.一定有ΔEk1>ΔEk2
B.一定有ΔEk1=ΔEk2
C.一定有ΔEk1<ΔEk2
D.ΔEk1>ΔEk2、
ΔEk1=ΔEk2、 ΔEk1<ΔEk2都有可能
v0
E
B
v0
E
B
乙
甲
D
解见下页
在乙图中，若qv0B> qE，则粒子偏转的位移可能恰好等于d，也可能大于d，也可能小于d，
解：
v0
E
B
v0
E
B
在甲图中，设粒子在电场中偏转的位移为d，电场力做正功，在磁场中运动洛伦兹力不做功，
由动能定理ΔEk1=qEd；
由动能定理知，选项D正确。
A组能力训练题6
6.为了测量某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口，在垂直于上下底面方向加磁感应强度为B的匀强磁场，在前后两个内侧固定有金属板作为电极，污水充满管口从左向右流经
前表面
c
a
b
Q
B
该装置时，电压表将显示两个电极间的电压U．若用Q表示污水流量（单位时间内打出的污水体积），下列说法中正确的是
下列说法中正确的是 （ ）
A.若污水中正离子较多,则前表面比后表面电势高
B.前表面的电势一定低于后表面的电势，与哪种离子多无关
C.污水中离子浓度越高，电压表的示数将越大
D.污水流量Q与U成正比，与a、b无关
B D
由左手定则，正离子向后表面集中，负离子向前表面集中，前后表面形成电势差,前表面的电势一定低于后表面的电势。
设液体中离子的带电量为q，污水的速度为v
∵ Bqv=qU/ b
∴ U= v Bb
电压表的示数与q无关,即与污水中离子浓度无关
流量 Q=V/t=LS/t=vS=vbc=cU/B
即Q与U成正比，与a、b无关
解：
A组能力训练题7
7. 如图所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带负电的粒子（不计重力），从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B点射出，已知∠AOB=120°，求该带电粒子在磁场中运动的时间。
B
A
O
v0
v0
r
首先通过已知条件找到粒子的运动轨迹中圆弧AB所对应的圆心O′,画出粒子的运动轨迹并画出几何图形。
分析：
设粒子在磁场中的轨道半径为R，粒子的运动轨迹及几何图形如图所示。
粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，
有 qvB=mv2/R ①
由几何关系有：R = r tan60 ②
粒子的运动周期T =2πR/v0 ③
联立以上各式解得：
B
A
O
v0
v0
r
θ
O'
R
R
解：
A组能力训练题 8
8．如图所示，两块带电金属板a、b水平正对放置,在板间形成匀强电场,电场方向竖直向上。板间同时存在与电场正交的匀强磁场，假设电场、磁场只存在于两板间的空间区域。一束电子以一定的初速度vo从两板的左端中央,沿垂直于电场、磁场的方向射入场中，无偏转地通过场区。
已知板长l=10.0cm，两板间距d=3.0cm，两板间电势差U=150V，v0=2.0×10-7m/s。电子所带电荷量与其质量之比e/m=1.76×1011C/kg，电子电荷量e=1.60×10-19C，不计
电子所受重力和电子之间
的相互作用力。
l
d
e
a
b
v0
（1）电子进入正交的电、磁场不发生偏转,受力平衡，即
所以
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）若撤去磁场，求电子离开电场时偏离入射方向的距离y ；
（3）若撤去磁场，求电子穿过电场的整个过程中动能的增加量△Ek。
解:
（2）电子在电场中运动的加速度大小
运动时间
所以电子离开电场时偏转的距离
（3）由于电子在电场中偏转的过程,电场力对电子做正功，根据动能定理可知,电子动能的增量
题目
A组能力训练题9
9．如图所示，坐标系xOy位于竖直平面内，在该区域内有场强E=12N/C、方向沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B=2T、沿水平方向且垂直于xOy平面指向纸里的匀强磁场．一个质量m=4×10-5kg，电量q=2.5×10-5C带正电的微粒,在xOy平面内做匀速直线运动,运动到原点O时,撤去磁场,经一段时间后,带电微粒运动到了x轴上的P点.取g＝10 m/s2，求：
（1）P点到原点O的距离；
（2）带电微粒由原点O运
动到P点的时间．
x
y
B
E
P
O
解:
微粒运动到O点之前受到重力、电场力和洛仑兹力作用，在这段时间内微粒做匀速直线运动，说明三力合力为零．由此可得
FB2 = FE2 +(mg)2 ①
电场力 FE =Eq =3×10-4 N, 重力mg= 4×10-4 N ②
洛仑兹力 FB =Bqv =5×10-4 N ③
联立求解、代入数据得　v=10m/s ④
微粒运动到O点之后，撤去磁场，微粒只受到重力、电场力作用，其合力为一恒力，且方向与微粒在O点的速度方向垂直，所以微粒在后一段时间内的运动为类平抛运动，可沿初速度方向和合力方向进行分解．
设沿初速度方向的位移为s1，沿合力方向的位移为s2 ，如图示：
F合
s2
s1
θ
v
x
y
B
E
P
O
因为 s1 =v t ⑦ 　
联立求解，代入数据可得P点到原点O的距离
OP＝15m ⑩
O点到P点运动时间
t＝1.2s ⑾
题目
代入数据得
B组能力训练题1
19．如图所示的虚线区域内，充满垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场。一带电粒子a(不计重力)以一定的初速度由左边界的O点射入磁场、电场区域，恰好沿直线由区域右边界的O‘ 点(图中未标出)穿出。若撤去该区域内的磁场而保留电场不变，另一个同样的粒子b（不计重力）仍以相同初速度由O点射入，
从区域右边界穿出,则粒子b（ ）
A.穿出位置一定在O' 点下方
B.穿出位置一定在O' 点上方
C.运动时，在电场中的电势能一定减小
D.在电场中运动时，动能一定减小
C
O
E
B
解见下页
粒子b在穿过电场区的过程中必然受到电场力的作用而做类似于平抛的运动，电场力做正功，其电势能减小，动能增大，故C项正确D项错误。
解：
a粒子要在电场、磁场的复合场区内做直线运动，则该粒子一定做匀速直线运动，故对粒子a有：
Bqv=Eq
即只要满足E =Bv无论粒子带正电还是负电，粒子都可以沿直线穿出复合场区，当撤去磁场只保留电场时, 粒子b由于电性不确定, 故无法判断从O'点的上方或下方穿出，故AB错误；
B组能力训练题2
2.如下图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B，一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的
位置与O点的距离为l，
求该粒子的电量和质量
之比q/m.
O
y
x
θ
B
带正电粒子射入磁场后，由于受到洛仑兹力的作用，粒子将沿图示的轨迹运动，从A点射出磁场，O、A间的距离为l，射出时速度的大小仍为v0，射出方向与x轴的夹角仍为θ.
由洛仑兹力公式和牛顿定律可得，
式中R为圆轨道的半径，解得
①
O
y
x
θ
B
C
A
解：
圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，
由几何关系可得
联立①、②两式，解得
②
③
O
y
x
θ
B
C
A
题目
B组能力训练题3
电视机的显像管中，电子速的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度，此时磁场的磁感应强度B应为多少？
U
P
O
θ
M
电子束
+
电子在磁场中沿圆弧ab运动。圆心为C，半径为R，如图以v表示电子进入磁场时的速度。m、e 分别表示电子的质量和电量，则
本题是一道关于带电粒子在电场中加速和在磁场中受洛仑兹力的综合题,关键要搞清电子束从加速电场出来后,进入磁场前及从磁场出来后是作匀速运动的.本题考查了粒子加速和圆周运动问题又结合了生活实际。
由以上各式解得
①
又有
③
②
解：
C
a
b
O
θ
B组能力训练题4
如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y＜0的空间中,存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0,方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的 P2点进入磁场，并经过y 轴上 y＝-2h处的P3点。不计重力。求
（l）电场强度的大小。
（2）粒子到达P2时速度的
大小和方向。
（3）磁感应强度的大小。
y
x
P1
P2
P3
O
（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有
v0t ＝ 2h ②
③
由①、②、③式解得
解:
v
θ
y
x
P1
P2
P3
O
qE ＝ ma ①
④
（2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x轴的夹角，则有
⑤
⑥
⑦
由②、③、⑤式得
v1＝v0 ⑧
由⑥、⑦、⑧式得
⑨
⑩
v
θ
y
x
P1
P2
P3
O
题目
（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
⑾
r是圆周的半径。此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3。因为OP2＝OP3，θ＝45°，由几何关系可知，连线P2P3为圆轨道的直径，由此可求得
⑿
由⑨、⑾、⑿可得
⒀
v
θ
y
x
P1
P2
P3
O
第2页
题目
B组能力训练题5
如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c、d，外筒的半径为r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m，带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S出发，初速为零，如果该
粒子经过一段时间的运动
之后恰好又回到出发点S，
则两电极之间的电压U应
是多少？（不计重力，
整个装置在真空中）
O
+q S
a
d
c
b
解：
带电粒子从S出发，在两筒之间的电场力作用下加速，沿径向穿出a进入磁场区，在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，
O
+q S
a
d
c
b
然后，粒子将以同样方式经过c、b，再经过a回到S点。
粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d,只要穿过了d,粒子就会在电场力作用下先减速,再反向加速,经d重新进入磁场区，
设粒子射入磁场区的速度为v,根据能量守恒,有
设粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R，由洛仑兹力公式和牛顿定律得
由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到b必经过3/4圆周，所以半径R必定等于筒的外半径，即
由以上各式解得
O
+q S
a
d
c
b
题目
如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1、S2为板上正对的小孔， N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域, 磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向外和向里,磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与S1、S2共线的O点为原点，向上为正方向建立x轴.M板左侧电子枪发射出的热电子经S1进入两板间, 电子的质量为m, 电荷
量为e，初速度可以忽略.
（1）当两板间电
势差为U0 时，求
从小孔S2射出的电子的速度.
B组能力训练题6
N
d
d
B
B
M
+
-
O
x
S1
S2
荧光屏
K
（2）求两金属板间电势差U在什么范围内，
电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上？
（3）若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试在答题卡的图上定性地画出电子运动的轨迹.
（4）求电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系.
N
d
d
B
B
M
+
-
O
x
S1
S2
荧光屏
K
根据动能的定理得: eU0 =1/2 mv02
（2）欲使电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上，应有 r=mv／eB < d
（3）电子穿过磁场区域而打到荧光屏上时运动的轨迹如图所示
解: （1）
而eU =1/2 mv2 由此 即可解得 Ud
d
B
B
O
x
题目
（4）若电子在磁场区域做圆周运动的轨道半径为r，穿过磁场区域打到荧光屏上的位置坐标为x，则由（3）中的轨迹图可得：
注意到 r=mv／eB 和 eU =1/2 mv2
所以，电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系为
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题目
B组能力训练题7
7、在场强为B的水平匀强磁场中,一质量为m、带正电q的小球在O静止释放,小球的运动曲线如图所示.已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍,重力加速度为g.求:
⑴小球运动到任意位置P（x，y）的速率v；
⑵小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym;
⑶当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（ ）的匀强电场时，
小球从O静止释放后获得
的最大速率vm．
x
y
O
B
P(x，y)
解：⑴
洛伦兹力不做功，由动能定理得：
①
解得：
②
⑵设在最大距离ym处的速率为vm,根据圆周运动有:
③
且由②知
④
由③④及
解得：
⑤
⑶小球运动如图所示
x
y
O
B
由动能定理得：
⑥
由圆周运动得：
⑦
且由⑥⑦及
解得：
题目
B组能力训练题8
4. 如图所示，虚线MN是垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外。O 是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子。粒子射入磁场时的方向可在纸面的各个方向。已知先后
射入的两个粒子恰好在磁场中给定
的P点相遇, P到O的距离为L, 不计
重力及粒子间的相互作用。
（1）求粒子在磁场中的轨道半径；
（2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。
P
O
M
N
由于不计重力和粒子间的相互作用，且粒子速度方向和匀强磁场方向互相垂直，故粒子只受和粒子速度垂直的洛伦兹力作用，在纸面所在平面内做匀速圆周运动。由洛伦兹力充当向心力,可求出
粒子做圆周运动的半径。
又因两粒子都是从O点射出,且同时经过P点，故OP应是两粒子运动轨迹圆的公共弦,其径迹应如图所示.
由于两粒子从O点射出后至P点的轨迹对应的圆心角不同，可知其运动至P点经历的时间不同.
P
O

N
O1
O2

M
分析：
利用几何知识找出其轨迹对应的圆心角大小关系,即可应用粒子运动时间和周期的关系求出其从O点射出的时间差。
（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律，有
得
（2）如图所示,以OP为弦可画两个半径相同的圆,分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道.圆心分别为O1、O2，OP弦所对圆心角为 。
先射入的粒子由O→P的时间
后射入的粒子由O→P的时间
式中T为圆周运动周期
两粒子射入的时间间隔
题目
因
得
由上两式可解得
根据 可将上面结果化为
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题目
B组能力训练题9.
汤姆生用来测定电子的比荷(电子的电荷量与质量之比)的实验装置如图所示，真空管内的阴极K发出的电子(不计初速、重力和电子间的相互作用)经加速电压加速后，穿过A'中心的小孔沿中心轴O1O的方向进入到两块水平正对放置的平行极板P和P'间的区域．当极板间不加偏转电压时，电子束打在荧光屏的中心O点处，形成了一个亮点；加上偏转电压U后，亮点偏离到O'点，（O'与O点的竖直
间距为d，水平间
距可忽略不计）．
L1
d
O
O'
L2
P'
P
A'
A
K
b
O1
此时，在P和P'间的区域，再加上一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场．调节磁场的强弱，当磁感应强度的大小为B时，亮点重新回到O点．已知极板水平方向的长度为L1，极板间距为b，极板右端到荧光屏的距离为L2（如图所示）．
（1）求打在荧光屏O点的电子速度的大小。
（2）推导出电子的比荷的表达式
L1
d
O
O'
L2
P'
P
A'
A
K
b
O1
（1）当电子受到的电场力与洛沦兹力平衡时，电子做匀速直线运动，亮点重新回复到中心O点，设电子的速度为v，则
evB=eE
得 v=E/B
即 v=U/Bb
（2）当极板间仅有偏转电场时，电子以速度v进入后，竖直方向作匀加速运动，加速度为
a = eU / mb
电子在水平方向作匀速运动，在电场内的运动时间为 t 1=L/v
这样，电子在电场中，竖直向上偏转的距离为
解：
题目
离开电场时竖直向上的分速度为
电子离开电场后做匀速直线运动，经t2时间到达荧光屏
t2=L2 /v
t2时间内向上运动的距离为
这样，电子向上的总偏转距离为
可解得
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题目
B组能力训练题10. （2014年海南卷 14）
如图，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外；在x轴下方存在匀强电场，电场方向与xoy平面平行，且与x轴成450夹角。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从y轴上P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的
速度方向与电场方向相
反；又经过一段时间T0，
磁场方向变为垂直纸面
向里，大小不变，不计
重力。
O
B
y
x
P
E
（1）求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需的时间；
（2）若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值。
O
B
y
x
P
E
【解析】
依题意，粒子第一次到达x轴时，运动转过的角度为 ，
所需时间t1为
求得
（1）带电粒子在磁场中做圆周运动，设运动半径为R，运动周期为T，根据洛伦兹力公式
及圆周运动规律，有
（2）粒子进入电场后，先做匀减速运动，直到速度减小为0，然后沿原路返回做匀加速运动，到达x轴时速度大小仍为v0，
设粒子在电场中运动的总时间为t2，加速度大小为a，电场强度大小为E，有
得
根据题意，要使粒子能够回到P点，必须满足
得电场强度最大值
题目
B组能力训练题11. （2014年重庆卷9）
如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，
距KL高h处分别有P、Q两点，
NS和MT间距为1.8h。质量为
m、带电量为+q的粒子从P点
垂直于NS边界射入该区域，
在两边界之间做圆周运动，
重力加速度为g。
1.8h
h
N
M
Q
P
K
L
T
S
2B
B
（1）求该电场强度的大小和方向。
（2）要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。
（3）若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值。
1.8h
h
N
M
Q
P
K
L
T
S
2B
B
（1）设电场强度大小为E
由题意有 mg = qE
【解析】
得
方向竖直向上
（2）如答图1所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2，圆心的连线与NS的夹角为φ，
由
得
由 有
φ
S
h
N
P
K
r2
r1
r2
O1
O2
答图1
题目
（3）如答图2所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r1和r 2，粒子第一次通过 KL 时距离K点为 x，由题意有
3nx =1.8h ( n=1 , 2 , 3 ,……)
得
即 n=1时
n=2时
n=3时
φ
x
答图2
S
h
N
P
K
r2
r1
x
O1
O2
x
M
L
T
Q
题目
第2页
B组能力训练题12.（2015年福建卷22.）
如图，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止
开始沿MN下滑，到达C点时
离开MN做曲线运动。A、C
两点间距离为h，重力加速度
为g。
C
P
B
M
N
A
D
E
vD
h
(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC；
(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf ；
(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小
滑块继续运动到水平地面上
的P点。已知小滑块在D点时
的速度大小为vD，从D点运动
到P点的时间为t，求小滑块
运动到P点时速度的大小vP。
C
P
B
M
N
A
D
E
vD
h
（1）由题意知，根据左手定则可判断，滑块在下滑的过程中受水平向左的洛伦兹力，当洛伦兹力等于电场力qE时滑块离开MN开始做曲线运动，
解析：
即 Bqv=qE
解得：
（2）从A到C，根据动能定理：
解得：
C
P
B
M
N
A
D
E
vD
h
题目
从D到P做类平抛运动，在F方向做匀加速运动a=F/m，t时间内在F方向的位移为
从D到P，根据动能定理：
其中
联立解得：
（3）设重力与电场力的合力为F，由图意知，在D点速度vD的方向与F的方向垂直，
题目
第2页
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