一、随机事件的概率
1．概率的取值范围：
2．如果事件与事件互斥，则
3．若事件与事件互为对立事件，则．
互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.
三、几何概型
1．古典概型与几何概型的异同点
相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．
不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．
2．在几何概型中，事件的概率的计算公式为：
专题一 概率的统计定义及意义
对随机事件进行大量的重复试验时，其发生的频率稳定在某个常数上，这个常数反映了随机事件发生的可能性的大小，用概率描述．根据概率的统计定义，我们可以由频率估计概率，因此应理解频率与概率的关系．频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而改变，而概率是大量重复试验中频率的稳定值，是一个常数，所以不可以用一次或少数的试验中的频率来估计概率．
概率是反映随机事件可能性大小的一个数量，概率意义下的可能性是大量随机现象的客观规律，与我们日常生活中所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次试验结果的不确定性与累积结果的有规律性才是概率意义下的“可能性”，事件的概率是事件的本质属性．
例1某射击运动员为2012年伦敦奥运会做准备，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
（1）该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
（2）假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
（3）假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【思路分析】弄清频率与概率的定义及它们之间的关系是解题的关键．
【解】（1）由题意知击中靶心的频率在0.9左右摆动，故概率约为0.9．
（2）击中靶心的次数大约为300×0.9 =270（次）．（3）不一定．
【解题策略】概率是一个理论值，频率是概率的近似值，当做大量重复试验时，试验次数越多，频率值越接近概率值．
互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念．互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用．应用互斥事件的概率加法公式时，首先要确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．
例1下列说法中正确的是（ ）
A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
【答案】D
【解析】A，事件A，B中至少有一个发生的概率可能和事件A，B中恰有一个发生的概率相等，故A错误；B，当事件A=事件B时，事件A，B同时发生的概率和事件A，B恰有一个发生的概率相等，故B错误；由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故选D．
例2（1）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球，都是红球
B．至少有一个红球，都是白球
C．至少有一个红球，至少有一个白球
D．恰有一个红球，恰有两个红球
（2）①将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B是对立事件．②将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B是互斥事件．③在10件产品中有3件是次品，从中任取3件．事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与B互斥不对立．④两个事件对立必然互斥，反之不成立．以上命题正确的有（ ）
A．①③ B．②④
C．②③ D．①④
【答案】（1）D （2）B
古典概型是一类最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础．解题时要注意把握古典概型的两个基本特征：有限性和等可能性．在应用公式（是包含的基本事件个数，是基本事件总数）时，关键是找出事件中包含的基本事件个数．
例1已知圆：．若连续掷两次骰子，点数分别为，，则点在圆内的概率是多少？
【思路分析】由于抛两次骰子的点数是一个有限值，因而是古典概型．
【解】点在圆内需满足．适合题意的点有，，，，共4个，而连续掷两次骰子，点数构成的基本事件共有36个．故所求概率为．
例2某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
未参加演讲社团
（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有5名男同学名女同学现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求被选中且未被选中的概率．
若试验同时具有基本事件的无限性与每个事件发生的等可能性这两个特征，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用求解，故需转化为几何量度（如长度、面积、体积等）的比值求解．
几何概型同古典概型一样，是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的地位．
例1设关于的一元二次方程．
（1）若是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
【解】设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的条件为．
（1）基本事件有12个：
，，，，，，，，，，，．
其中第一个数表示的取值，
第二个数表示的取值．
其中，，不满足，事件中包含9个基本事件，
故．
（2）如图所示，试验的全部结果构成的区域为，
构成事件的区域为，
所以所求的概率为．
例2已知一个三角形的三边长分别是，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过的概率是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图，
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键，考查转化思想以及计算能力.求出蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2对应图形的面积及三角形的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得到结论．
一、选择题
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4°C时结冰．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
2．下列说法正确的是( )
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
【答案】D
【解析】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性．故选D．
3．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝＝．故选B．
4．在区间[－2，1]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
5．1升水中有1只微生物，任取0.1升化验，则有微生物的概率为( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【答案】A
【解析】本题考查的是体积型几何概型．
6．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
【答案】C
【解析】①中两事件是同一事件；②中两事件可能同时发生；③中两事件互斥，并且一定有一个事件发生，因此是对立事件；④中两事件可能同时发生．故选C．
7．某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为( )
A．100 m B．80 m
C．50 m D．40 m
【答案】A
【解析】设河宽为x m，则1－＝，所以x＝100．
8．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)范围内的概率是( )
A．0.2 B．0.8
C．0.0 D．0.8
【答案】B
二、填空题
9．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________．
【答案】
【解析】由古典概型的算法可得P(A)＝＝，P(B)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝．
10．在区间(0，1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个相异实根的概率为________．
【答案】
【解析】方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a)2－4×1×＝4a2－2>0，解得|a|>，又a∈(0，1)，所以
三、解答题
11．小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y．(1)在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点共有几个？
(2)规定：若x＋y≥10，则小王赢；若x＋y≤4，则小李赢，其他情况不分输赢．试问这个游戏规则公平吗？请说明理由．
12．某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．
(1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．
【解析】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝．
一、选择题
1．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A． B．
C． D．
【答案】C
2．将区间[0，1]内的均匀随机数x1转化为区间[－2，2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为( )
A．x＝x1*2 B．x＝x1*4
C．x＝x1*2-2 D．x＝x1*4-2
【答案】D
【解析】由题意可知x＝x1*(2+2)-2=4x1－2
3．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3，则( )
A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3
C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1
【答案】B
【解析】先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6，6)；点数之和为11的有2个：(5，6)，(6，5)；点数之和为10的有3个：(4，6)，(5，5)，(6，4)，故P1＜P2＜P3．
4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则下列选项中以为概率的事件是( )
A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品
C．至多有一件一等品 D．都不是一等品
【答案】C
二、填空题
5．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________．
【答案】
【解析】由题意可知从甲、乙两组中各随机选取一名同学，共有9种选法，其中这两名同学的成绩相同的选法只有1种，故所求概率P＝．
6．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，…，9}．若|a－b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________．
【答案】
【解析】此题可化为任意从0～9中取两数(可重复)共有10×10＝100种取法．若|a－b|≤1分两类，当甲取0或9时，乙只能猜0、1或8、9共4种，当甲取2～8中的任一数字时，分别有3种选择，共3×8＝24种，所以P＝＝．
三、解答题
7．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
8．把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位：米)进行整理，分成以下6个小组：[5.25，6.15)，[6.15，7.05)，[7.05，7.95)，[7.95，8.85)，[8.85，9.75)，[9.75，10.65]，并绘制出频率分布直方图，如图所示是这个频率分布直方图的一部分．已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格．
(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数；
(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；
(3)若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a、b 两位同学的成绩均为优秀，求a、b 两位同学中至少有1人被选到的概率．
【解析】(1)∵第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14．
∴参加这次铅球投掷的总人数为＝50．
根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36．
(2)∵成绩在第1、2、3组的人数为(0.04＋0.10＋0.14)×50＝14，
成绩在第5、6组的人数为(0.30＋0.14)×50＝22，
参加这次铅球投掷的总人数为50，
∴这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在[7.95，8.85)内，即第4组．
(3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a、b、c、d、e，则选出2人的所有可能的情况为：
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，
其中a、b至少有1人的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共有7种，
∴a、b 两位同学中至少有1人被选到的概率为P＝．
