2019高中物理必修2第05章+曲线运动章末复习
文档属性
| 名称 | 2019高中物理必修2第05章+曲线运动章末复习 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 873.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2018-08-20 13:25:27 | ||
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文档简介
曲线运动章末复习
基础知识自主巩固
一、物体做曲线运动的条件与轨迹分析
1．曲线运动
（1）定义：物体运动径迹是曲线而不是直线的运动称为曲线运动。
（2）速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。
（3）特点：① 方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。
② 运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
③ F合≠0，一定有加速度a。
④ F合方向一定指向曲线凹侧。
⑤ F合可以分解成水平和竖直的两个力。
2. 曲线运动的条件：
3．速率变化情况判断
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。
(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。
(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
[小题练手]
1．一个物体在F1、F2、F3、…、Fn共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去外力F2，而其他力不变，则该物体( )
A．可能做曲线运动
B．不可能继续做直线运动
C．一定沿F2的方向做直线运动
D．一定沿F2的反方向做匀减速直线运动
【答案】A
【解析】 根据题意，物体开始做匀速直线运动，物体所受的合力一定为零，突然撤去F2后，物体所受其余力的合力与F2大小相等、方向相反，而物体速度的方向未知，故有很多种可能情况：若速度和F2的方向在同一直线上，物体做匀变速直线运动，若速度和F2的方向不在同一直线上，物体做曲线运动，A正确。
2.如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是( )
A．质点经过C点的速率比D点的大
B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C．质点经过D点时的加速度比B点的大
D．质点从B点到E点的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
【答案】A
【解析】 质点做匀变速曲线运动，所以加速度大小不变，C错误；由于在D点速度方向与加速度方向垂直，则在A、B、C点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，B错误；质点由C点到D点速率减小，所以C点速率比D点大，A正确；质点从B点到E点的过程中加速度方向与速度方向的夹角先减小后增大，D错误。
3.小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢球在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹。图中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢球的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢球的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)。实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动。
【答案】b c 不在
【解析】物体所受合外力和速度的方向共线时做直线运动，不共线时做曲线运动，运动轨迹的弯曲方向与力在速度的同侧，由此易知，磁铁放在位置A时，小钢球的运动轨迹是b；放在位置B时，小钢球的运动轨迹是c。
二 运动的合成与分解的应用
1．合运动与分运动的关系
等时性
合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响
2．合运动的性质和轨迹的判断
(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。
(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。
3. 互成角度的两个分运动的合运动的判断：
① 两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。
② 速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a合为分运动的加速度。
③ 两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。
④ 两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。
[小题练手]
1．(多选)如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v -t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x -t图像如图丙所示。若以地面为参考系，下列说法正确的是( )
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在2 s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
D．猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2
【答案】BD
【解析】 由题图可知，猴子在竖直方向做初速度为8 m/s，加速度大小为m/s2＝4 m/s2的匀减速运动，水平方向做速度大小为m/s＝4 m/s的匀速运动，其合运动为曲线运动，故猴子在2 s内做匀变速曲线运动，选项A错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝＝ m/s＝4 m/s，选项C错误；猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2，选项D正确。
2．如图甲所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放置一个蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧。然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动。假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每1 s通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm。图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管运动的水平位移，t＝0 时蜡块位于坐标原点。
(1)请在图乙中画出蜡块4 s内的运动轨迹；
(2)求出玻璃管向右平移的加速度大小；
(3)求t＝2 s时蜡块的速度大小v。
【答案】(1)见解析图 (2)5×10－2 m/s2 (3) m/s
【解析】(1)蜡块在竖直方向做匀速直线运动，在水平方向向右做匀加速直线运动，根据题中的数据画出的轨迹如图所示。
(2)由于玻璃管向右匀加速平移，根据Δx＝at2可求得加速度，由题中数据可得：Δx＝5.0 cm，相邻时间间隔为1 s，则加速度大小为a＝＝5×10－2 m/s2。
(3)由运动的独立性可知，竖直方向的速度为
vy＝＝0.1 m/s
水平方向做匀加速直线运动，2 s时蜡块在水平方向的速度为vx＝at＝0.1 m/s
则2 s时蜡块的速度大小：v＝＝ m/s。
三 平抛运动的基本规律
1. 定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动．
2. 性质：平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线．
3. 平抛运动的条件：①v0≠0，沿水平方向；②只受重力作用．
4. 研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
5. 基本规律
速度
加速度
位移
合成分解图
水平分运动（匀速直线运动）
竖直分运动（自由落体运动）
合运动（平抛运动）
竖直向下
两个重要推论
做平抛(或类平抛)运动的物体在任意 一时刻任一位置处,tanβ=2tanɑ.
任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
6．对规律的理解
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
(3)落地速度：v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。
(4)速度改变量：任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。
[小题练手]
1. (多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法中正确的有( )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
【答案】BC
【解析】 根据合运动与分运动的等时性和独立性特点可知，两球应同时落地，为减小实验误差，应改变装置的高度，多次实验，选项B、C正确；平抛运动的实验与小球的质量无关，选项A错误；此实验只能说明A球在竖直方向做自由落体运动，选项D错误。
2．一物体从某高度以初速度v0水平抛出，落地时速度大小为v，重力加速度为g，则它运动的时间为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 物体平抛运动的时间t＝，由速度的合成与分解可知vy＝，故t＝＝，D正确。
3.如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，则小球运动的时间为( )
A．1 s B．2 s
C．3 s D．4 s
【答案】C
【解析】 由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移s水平＝OM＝2QM＝6 m。由于水平方向做匀速直线运动，则小球运动的时间为t＝＝3 s。
4.(多选)某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ 随时间t变化的图像如图所示(g取10 m/s2)。则( )
A．第1 s物体下落的高度为5 m
B．第1 s物体下落的高度为10 m
C．物体的初速度为5 m/s
D．物体的初速度为10 m/s
【答案】AD
【解析】 因平抛运动中tan θ＝＝＝t，对应题图图像可得＝1，v0＝10 m/s，D正确，C错误；第1 s物体下落的高度h＝gt2＝×10×12 m＝5 m，A正确，B错误。
四 斜抛运动
1．定义
将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．运动性质
加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。
3．基本规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)
(1)水平方向：做匀速直线运动，
v0x＝v0cos_θ，x＝v0tcos θ。
(2)竖直方向：做竖直上抛运动，
v0y＝v0sin_θ，y＝v0tsin θ－gt2。
4．平抛运动和斜抛运动的相同点
(1)都只受到重力作用，加速度相同，相等时间内速度的变化量相同。
(2)都是匀变速曲线运动，轨迹都是抛物线。
(3)都采用“化曲为直”的运动的合成与分解的方法分析问题。
[小题练手]
1. (多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
【答案】CD
【解析】 做抛体运动的物体只受重力作用，加速度都是重力加速度，A项错误；由于两球上升时在竖直方向做的是竖直上抛运动，上升的高度相同，因此运动的时间相等，B项错误；由于水平方向都做匀速直线运动，且在相等时间内B运动的水平位移大，因此B在水平方向的分速度大，在最高点时竖直分速度为零，因此最高点的速度等于水平分速度，则B在最高点的速度比A在最高点的大，C项正确；两小球落地时在竖直方向的分速度相等，而B的水平分速度大，因此落地时B的速度大，D项正确。
2.(多选)如图所示，在水平地面上的A点以速度v1跟地面成θ角射出一弹丸，恰好以速度v2垂直穿入墙壁上的小孔B，下列有关说法正确的是( )
A．在B点以跟v2大小相等、方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上的A点
B．在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上的A点
C．在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在A点的左侧
D．在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在A点的右侧
【答案】AC
【解析】 由题意知B点是弹丸斜抛运动的最高点，则v2与v1的水平分速度大小相等，且v2五、圆周运动的基本概念
1．描述圆周运动的物理量
定义和意义
公式和单位
线速度
(1)描述物体沿圆周运动?快慢的物理量(v)
(2)是矢量，方向和半径垂直，和圆周?相切
(1)v＝＝
(2)单位：?m/s
角速度
(1)描述物体绕圆心?转动快慢的物理量(ω)
(2)矢量，中学不研究其方向
(1)ω＝＝
(2)单位：?rad/s
周期
和转速
(1)周期是物体沿圆周运动?一圈的时间(T)
(2)转速是物体在单位时间内转过的?圈数(n)，也叫频率(f)
(1)T＝，单位：?s
(2)f＝，单位：?
(3)n的单位：r/s、r/min
向心
加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)矢量，方向指向圆心
(1)an＝＝ω2r
(2)单位：m/s2
相互
关系
(1)v＝ωr＝＝2πrf
(2)an＝＝ω2r＝＝4π2f2r＝ωv
2．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
3．非匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，但线速度大小发生变化。
(2)合力的作用：
①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的大小。
②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的方向。
[小题练手]
1. (多选)(粤教教材改编题)如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图像可以知道( )
A．甲球运动时，线速度的大小保持不变
B．甲球运动时，角速度的大小保持不变
C．乙球运动时，线速度的大小保持不变
D．乙球运动时，角速度的大小保持不变
【答案】AD
【解析】 由题图可知，甲图线中a与r成反比，则由向心加速度公式a＝可知，甲球的线速度大小不变，根据v＝rω 知，随r变化角速度变化，故A正确，B错误；乙图线中a与r成正比，则由向心加速度公式a＝ω2r可知，乙球运动的角速度保持不变，根据v＝rω知，随r变化线速度变化，故C错误，D正确。
2．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
D．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
【答案】BC
【解析】 由匀速圆周运动的定义知，B、C正确；位移和平均速度是矢量，其方向不同，A、D错误。
3．(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则( )
A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2
【答案】BCD
【解析】 角速度为ω＝＝π rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5 r/s，B正确；半径r＝＝ m，C正确；向心加速度大小为an＝＝4π m/s2，D正确。
六、几类常见的传动装置
1．传动装置的分类
主要有四种：(1)同轴传动如图甲所示；(2)皮带传动如图乙所示；(3)齿轮传动如图丙所示；(4)摩擦传动如图丁所示。
2．传动装置的特点
(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同。
(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。
[小题练手]
1．如图是自行车传动装置的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为( )
A. B．
C. D.
【答案】D
【解析】 因为要计算自行车前进的速度，即后轮Ⅲ边缘上的线速度的大小，根据题意知：轮Ⅰ和轮Ⅱ边缘上的线速度的大小相等，根据v＝rω可知：r1ω1＝r2ω2，已知ω1＝ω＝2πn，则轮Ⅱ的角速度ω2＝ω，因为轮Ⅱ和后轮Ⅲ共轴，所以转动的角速度相等，即ω3＝ω2，根据v＝rω可知，v3＝r3ω3＝＝，D正确。
2.如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在转动过程中的( )
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
【答案】D
【解析】 A、B轮摩擦传动，故va＝vb，ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝3∶2；B、C同轴，故ωb＝ωc，＝，vb∶vc＝3∶2，因此va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，A、B错误；转速之比等于角速度之比，C错误；由a＝ωv得：aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，D正确。
七、向心力的理解和计算
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力。
3．向心力的公式
Fn＝man＝m＝mω2r＝mr·＝mr·4π2f2＝mωv。
4．匀速圆周运动的条件
当物体所受的合外力大小恒定，且始终与速度方向垂直时，物体做匀速圆周运动，此时向心力由物体所受合外力提供。
[小题练手]
1.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度逐渐增大时(物体不滑动)，下列说法正确的是( )
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C．物体所受弹力和摩擦力都减小
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
【答案】D
【解析】 物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN和筒壁对它的摩擦力f(如图所示)。
其中G和f是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做圆周运动的向心力。当圆筒转动时，不管其角速度为多大，只要物体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的摩擦力f大小就等于其重力。而根据向心力公式得FN＝mrω2，当角速度ω增大时，FN也增大，选项D正确。
2．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒，其轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动。有一个质量为m的小球A紧贴着筒内壁在水平面内做匀速圆周运动，筒口半径和筒高分别为R和H，小球A所在的高度为筒高的一半。已知重力加速度为g，则( )
A．小球A做匀速圆周运动的角速度ω＝
B．小球A受到重力、支持力和向心力三个力作用
C．小球A受到的合力大小为
D．小球A受到的合力方向垂直于筒壁斜向上
【答案】A
【解析】 小球A受到重力、支持力两个力作用，合力(提供向心力)的方向水平且指向转轴，则mgtan θ＝mω2r(θ为圆锥筒内壁倾角)，半径r＝，tan θ＝，解得ω＝，A正确，B、C、D错误。
八、离心运动
1. 定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势．
3．受力特点
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力，如图所示。
4. 离心运动的应用：离心干燥器、无缝钢管的生产、离心水泵等。
5. 离心运动的危害及防止：为防止汽车转弯、砂轮转动时发生离心现象，都要对它们的速度加以限制。
[小题练手]
1.(多选)如图所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是( )
A．脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的
B．水会从筒中甩出是因为水滴受到的向心力很大的缘故
C．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
D．靠近中心的衣物的脱水效果不如周边的衣物的脱水效果好
【答案】ACD
【解析】 水滴依附衣物的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水会从筒中甩出，B错误；脱水过程中，衣物做离心运动而甩向筒壁，A正确；角速度增大，水滴所需向心力增大，脱水效果更好，C正确；周边的衣物上的水滴因圆周运动的半径R更大，在ω一定时，所需向心力比靠近中心衣物的大，脱水效果更好，D正确。
2. 在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，处于静止状态。当转盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会(球直径比管直径略小)( )
A．向管底运动 B．向管口运动
C．保持不动 D．无法判断
【答案】B
【解析】 转盘在水平面内转动时，玻璃管壁的摩擦力不足以提供水做圆周运动时所需要的合外力，所以水被“甩”到外侧管底才能随转盘转动，则乒乓球在水的作用下向管口运动，故B正确。
重难突破
一、小船渡河问题
1．三种速度
船在静水中的速度v1、水流速度v2和船的实际运动速度v，其中v是v1与v2的合速度。
2．三种情景
情况
图示
说明
渡河时间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短
当v水＜v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d
当v水＞v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝
(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线．
(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解．
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
(4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形定则求极限的方法处理．
3. 解题流程
【典例1】一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
【答案】 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 m
(2)船头与上游河岸成60°角 24 s 180 m
【解析】 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。
当船头垂直河岸时，如图甲所示。
最短时间为t＝＝ s＝36 s，合速度v＝＝ m/s
x＝vt＝90 m
(2)欲使船渡河航程最短，合运动应垂直河岸，船头应朝上游与河岸方向成某一夹角α，如图乙所示。
有v2cos α＝v1，得α＝60°
所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短。
x′＝d＝180 m
t′＝＝ s＝24 s
【典例2】如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是( )
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
【答案】B
【解析】 由题意可知，小船在南北方向上做匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，小船的合运动是曲线运动，A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，为×400 m/s＝3 m/s，此时小船的合速度最大，可得最大值vm＝5 m/s，B正确；由v水与x的关系可知，水流在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m 处的速度，故小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，C错误；小船的渡河时间t＝＝200 s，D错误。
二、关联速度问题
1．问题特点：沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与原则
(1)思路
①明确合速度→物体的实际运动速度v。
(2)原则：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3．解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
【典例3】如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m1和m2，且m1A．v2sin θ B．
C．v2cos θ D.
【答案】C
【解析】 m2的实际运动情况是沿杆竖直下滑，这个实际运动是合运动，m1的速度与绳上各点沿绳子方向的速度大小相等，所以绳子的速度等于m1的速度v1，而m2的实际运动应是合运动(沿杆向下)，合速度v2可由沿绳子方向的分速度和垂直于绳子的分速度来合成(即两个实际运动效果)。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可得m1的速度大小v1＝v2cos θ，C正确。
【典例4】如图所示，当小车A以恒定的速度v向左运动时，对于B物体，下列说法正确的是( )
A.匀加速上升
B.B物体受到的拉力大于B物体受到的重力
C.匀速上升
D.B物体受到的拉力等于B物体受到的重力
【答案】 B
【解析】 将小车的速度分解，如图所示，合速度v沿绳方向的分速度等于物体B的速度vB，所以vB＝vcos θ，随着小车的运动，θ变小，速度vB增大，但速度vB增大不均匀，B物体做变加速运动；由牛顿第二定律知，B物体受到的拉力大于B物体受到的重力。
【典例5】如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 由题图可知，棒与平台接触点的实际运动即合运动，其速度方向是垂直于棒指向左上方，合速度沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即ωLsin α＝v，所以ω＝。
三、多体平抛运动问题
1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题。
2．三类常见的多体平抛运动
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
【典例6】 (多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则( )
A.a的飞行时间比b的长
B.b和c的飞行时间相同
C.a的水平速度比b的小
D.b的初速度比c的大
【答案】 BD
【解析】 根据平抛运动的规律h＝gt2，得t＝ ，因此平抛运动的时间只由高度决定，因为hb＝hc>ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此选项A错误，B正确；又因为xa>xb，而tavc，即b的水平初速度比c的大，选项D正确。
【典例7】如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2.5h，B点离地面高度为2h。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在P点相遇，P点离地面的高度为h。已知重力加速度为g，则( )
A．两个小球一定同时抛出
B．两个小球抛出的时间间隔为(－)
C．两个小球抛出的初速度之比＝
D．两个小球抛出的初速度之比＝
【答案】BD
【解析】 平抛运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动，由h＝gt2，得t＝ ，由于A点到P点的竖直高度较大，所以从A点抛出的小球所需运动时间较长，应先抛出，故A错误；由t＝ ，得两个小球抛出的时间间隔为Δt＝tA－tB＝－ ＝(－) ，故B正确；由x＝v0t得v0＝x ，相遇时x相等，则两个小球抛出的初速度之比 ＝ ＝ ＝ ，故C错误，D正确。
四、斜面上的平抛运动
两类模型
解题方法
方法应用
分解速度，构建速度矢量三角形
水平方向：vx＝v0
竖直方向：vy＝gt
合速度：v＝
方向：tan θ＝
分解位移，构建位移矢量三角形
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
合位移：s＝
方向：tan θ＝
【典例8】[速度分解法的应用]如图所示，以10 m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ＝30°的斜面上，g取10 m/s2，这段飞行所用的时间为( )
A. s B. s C. s D．2 s
【答案】 C
【解析】 如图所示，
把末速度分解成水平方向的分速度v0和竖直方向的分速度vy，则有
＝cot 30°，
又vy＝gt
将数值代入以上两式得t＝ s.
【典例9】如图所示，一高度为h的光滑水平面与一倾角为θ的斜面连接，一小球以速度v从平面的右端P点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间t( )
A．一定与v的大小有关
B．一定与v的大小无关
C．当v大于 cot θ时，t与v无关
D．当v小于 cot θ时，t与v有关
【答案】CD
【解析】 小球有可能落在斜面上，也有可能落在水平面上，可用临界法求解，如果小球恰好落在斜面与水平面的交点处，则满足hcot θ＝vt，h＝gt2，联立可得v＝ cot θ。故当v大于 cot θ时，小球落在水平面上，t＝ ，即t与v 无关；当v小于 cot θ时，小球落在斜面上，x＝vt，y＝gt2，＝tan θ，联立可得t＝，即t与v有关，故选项C、D正确。
五、水平面内的圆周运动
题型1 水平面内匀速圆周运动的动力学分析
题型
简述
此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。
方法
突破
(1)选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象。
(2)分析物体受力情况，其合外力提供向心力。
(3)由Fn＝m列方程求解。
题型2 水平面内圆周运动的临界问题
题型
简述
在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力达最大值、弹簧弹力大小或方向发生变化等，从而出现临界问题。
方
法
突
破
(1)判断临界状态：在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势(半径有变化)，通常对应着临界状态的出现。
(2)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
(3)选择物理规律：确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解。
【典例10】 如图所示，水平转台上放有质量均为m的两个小物块A、B，A离转轴中心的距离为L，A、B间用长为L的细线相连。开始时，A、B与轴心在同一直线上，细线刚好被拉直，A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
(1)当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？
(2)当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)细线上开始出现张力时，B物块受到的静摩擦力刚好达到最大值，在此临界状态时，细线上的张力还是零。对B物块，由牛顿第二定律得μmg＝mωrB，rB＝2L，解得此时转台的角速度ω1＝＝
(2)当物块A刚要开始滑动时，A、B受到的静摩擦力都达到最大值，设此时细线上的张力为F，根据牛顿第二定律
对A，有μmg－F＝mωrA，rA＝L
对B，有F＋μmg＝mωrB，rB＝2L
解得ω2＝。
六、竖直面内的圆周运动
1．轻绳模型和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。
2．两类模型对比
轻绳模型
轻杆模型
情景图示
弹力特征
弹力可能向下，也可能等于零
弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力
示意图
力学方程
mg＋FT＝m
mg±FN＝m
临界特征
FT＝0，即mg＝m，
得v＝
v＝0，即F向＝0，
此时FN＝mg
v＝
的意义
物体能否过最高点的临界点
FN表现为拉力还是支持力的临界点
【典例11】如图所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定在转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点时的速度大小为，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是( )
A.小球不能到达P点
B.小球到达P点时的速度大于
C.小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力
D.小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力
【答案】 C
【解析】 要使小球恰能到达P点，由机械能守恒定律有：mv2＝mg·2L，可知它在圆周最低点必须具有的速度为v≥2，而＞2，所以小球能到达P点；由机械能守恒定律可知小球到达P点的速度为；由于＜，故小球在P点受到轻杆向上的弹力。
【典例12】如图所示，轻杆长为3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时( )
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
【答案】C
【解析】 球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得vB＝，故A错误；由于球A、B的角速度相等，则球A的速度大小vA＝，故B错误；球B在最高点时，对杆无作用力，此时球A所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，则水平转轴对杆的作用力为1.5mg，故C正确，D错误。
巩固提升
1．如图1所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动。若在铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁铁，下列关于小球运动的说法正确的是( )
图1
A．磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动
B．磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动
C．磁铁放在B处时，小铁球做匀速圆周运动
D．磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动
【答案】 D
【解析】 磁铁放在A处时，小铁球做变加速直线运动，选项A、B错误；磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动，选项C错误，D正确。
2．自行车轮盘与车轴上飞轮之间的链条传动装置如图所示。P是轮盘上的一个齿，Q是飞轮上的一个齿。下列说法中正确的是
A. P、Q两点角速度大小相等
B. P点线速度大于Q点线速度
C. P点转动的周期小于Q点转动的周期
D. P点向心加速度小于Q点向心加速度
【答案】D
【解析】由于P、Q两点是传送带传动的两轮子边缘上两点，则vP=vQ，根据v=ωr可知，P、Q两点角速度大小不相等，故AB错误；根据可知，P点转动的周期大于Q点转动的周期，选项C错误；根据a=及vP=vQ，而rP＞rQ，可知P点向心加速度小于Q点向心加速度，故D正确。故选D。
3．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为3 m/s，转动周期为2 s，则
A. 角速度为0.5 rad/s B. 转速为0.5 r/s
C. 轨迹半径为m D. 加速度大小为m/s2
【答案】BC
【解析】由角速度与周期的关系得：，故A错误；由转速与周期的关系得：n=1/T=1/2r/s。故B正确；圆周运动的半径为：，故C正确；加速度为：．故D正确；故选BC.
4．在G20峰会“最忆是杭州”的文化文艺演出中，芭蕾舞演员保持如图所示姿势原地旋转，此时手臂上A、B两点角速度大小分别为、，线速度大小分别为、，则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】可以把A、B两点看成是同轴转动的两个质点，则，由得，故D选项正确。故选D
5．下列说法正确的是( )
A．物体在恒力作用下能做曲线运动也能做直线运动
B．物体在变力作用下一定是做曲线运动
C．物体做曲线运动，沿垂直速度方向的合力一定不为零
D．两个直线运动的合运动一定是直线运动
【答案】 AC
【解析】 物体是否做曲线运动，取决于物体所受合外力方向与物体运动方向是否共线，只要两者不共线，无论物体所受合外力是恒力还是变力，物体都做曲线运动，若两者共线，则物体做直线运动，选项A正确，B错误；由垂直速度方向的力改变速度的方向，沿速度方向的力改变速度的大小可知，C正确；两个直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，选项D错误。
6．如图所示，喷出的水柱显示了平抛运动的轨迹。若飞行时间为2s，水平位移为0.6m，则平抛的初速度为
A. m/s B. 0.3m/s
C. 0.6m/s D. 0.9m/s
【答案】B
【解析】平抛运动，水平方向匀速运动，则有：，故B正确，ACD错误，故选B。
7．洗衣机是现代家庭常见的电器设备．它的脱水原理是采用转筒带动衣物旋转的方式进行脱水的，下列有关说法中错误的是( )
A. 脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的
B. 加快脱水筒转动的角速度，脱水效果会更好
C. 靠近中心的衣物脱水效果比四周的衣物脱水效果好
D. 水能从桶中甩出是因为水滴需要的向心力太大的缘故
【答案】C
【解析】脱水过程中，衣物做离心运动而甩向桶壁。故A正确。F=ma=mω2R，ω增大会使向心力F增大，而转筒有洞，不能提供足够大的向心力，水滴就会被甩出去，增大向心力，会使更多水滴被甩出去。故B正确。中心的衣服，R比较小，角速度ω一样，所以向心力小，脱水效果差。故C错误。水滴依附的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉。故D正确。本题选不正确的，故选C。
8. 如图，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶，船的轨迹是一个弯曲的“S”形，则( )
A．小船垂直河岸的速度大小恒定不变
B．小船垂直河岸的速度大小先增大后减小
C．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间长了
D．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间短了
【答案】 BD
【解析】 船在沿河岸的方向上做匀速直线运动，即在相同的时间间隔内，在河岸方向上的位移是相同的；在垂直于河岸的方向上，在相等的时间间隔内(参照船在沿河岸方向上的时间)，开始时位移的变化逐渐增大再逐渐减小，所以速度先增大后减小；因中间那段时间速度较大，所以与船保持恒定的初始速度过河相比过河时间短了，选项B、D正确。
9．如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时( )
图7
A．人拉绳行走的速度为vcos θ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
【答案】 AC
【解析】 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v人＝v∥＝vcos θ，选项A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos θ－f＝ma，解得a＝，选项C正确，D错误。
10．船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图乙所示，经过一段时间该船以最短时间成功渡河，下列对该船渡河的说法错误的是( )
A．船在河水中的最大速度是5 m/s
B．船渡河的时间是150 s
C．船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
D．船渡河的位移是×102 m
【答案】B
【解析】 由题图乙可知，水流的最大速度为4 m/s，根据速度的合成可知，船在河水中的最大速度是5 m/s，选项A正确；当船头始终与河岸垂直时，渡河时间最短，有t＝＝ s＝100 s，因此船渡河的时间不是150 s，选项B错误，C正确；在渡河时间内，船沿水流方向的位移x在数值上等于水流速度与时间图像所围成的面积大小，根据速度变化的对称性可得x＝ m＝200 m，再根据运动的合成与分解可得，船渡河的位移为×102 m，选项D正确。
11．“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图1，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁圈，都能套中地面上同一目标。设铁圈在空中运动时间分别为t1、t2，则( )
图1
A．v1＝v2 B．v1＞v2 C．t1＝t2 D．t1＞t2
【答案】 D
【解析】 根据平抛运动的规律h＝gt2知，运动的时间由下落的高度决定，故t1＞t2，所以C错误，D正确；由题图知，两圈水平位移相同，再根据x＝vt，可得：v1＜v2，故A、B错误。
12. 将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经 s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g＝10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，下列判断正确的是( )
A．斜面的倾角是60°
B．小球的抛出点距斜面的竖直高度约是15 m
C．若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方
D．若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处
【答案】C
【解析】 设斜面倾角为θ，对小球在A点的速度进行分解有tan θ＝，解得θ＝30°，A错误；小球距过A点水平面的距离为h＝gt2＝15 m，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度一定大于15 m，B错误；若小球的初速度为v0′＝5 m/s，过A点做水平面，小球落到水平面的水平位移是小球以初速度v0＝10 m/s抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，可知小球应该落在P、A之间，C正确，D错误。
13．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )
A. 小球通过最高点时的最小速度 ＝
B. 小球通过最低点时的最小速度＝
C. 小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D. 小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】C
【解析】A．此问题中类似于“轻杆”模型，故小球通过最高点时的最小速度为零，选项A 错误；
B．如果小球在最高点的速度为零，则在最低点时满足：，解得，选项B错误；
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然是提供指向圆心的支持力，故只有外侧管壁才能提供此力，所以内侧管壁对小球一定无作用力，选项C正确；
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球可能没有作用力，如在最高点速度为零时，故D错误。
14．平抛一物体，当抛出1s后它的速度与水平方向成45°角，落地时速度方向与水平方向成60°角.求（取g=10m/s2）：
（1）物体的初速度；
（2）物体的落地速度大小；
（3）开始抛出时物体距地面的高度；
（4）物体的水平射程.
【答案】（1）10m/s（2）20m/s（3）15m（4）10m/s
【解析】（1）物体做平抛运动，1s末竖直分速度 vy1=gt=10×1m/s=10m/s 则抛出时物体的初速度 v0==vy1=10m/s． （2）落地时的速度 v==2v0=20m/s． （3）落地时竖直分速度 vy=v0tan60°=10×m/s=10m/s 则抛出点距离地面的高度 ． （4）平抛运动的时间
物体的水平射程 x=v0t=10×m=10m
15. 某同学在某砖墙前的高处水平抛出一个石子，石子在空中运动的部分轨迹照片如图所示。从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为37°的斜坡上的A点。已知每块砖的平均厚度为10 cm，抛出点到A点竖直方向刚好相距200块砖，取g＝10 m/s2。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)石子在空中运动的时间t；
(2)石子水平抛出的速度v0。
【答案】 (1)2 s (2)15 m/s
【解析】 (1)由题意可知：石子落到A点的竖直位移y＝200×10×10－2 m＝20 m
由y＝gt2
得t＝2 s
(2)由A点的速度分解可得v0＝vytan 37°
又因vy＝gt
解得vy＝20 m/s
故v0＝15 m/s
基础知识自主巩固
一、物体做曲线运动的条件与轨迹分析
1．曲线运动
（1）定义：物体运动径迹是曲线而不是直线的运动称为曲线运动。
（2）速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。
（3）特点：① 方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。
② 运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
③ F合≠0，一定有加速度a。
④ F合方向一定指向曲线凹侧。
⑤ F合可以分解成水平和竖直的两个力。
2. 曲线运动的条件：
3．速率变化情况判断
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。
(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。
(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
[小题练手]
1．一个物体在F1、F2、F3、…、Fn共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去外力F2，而其他力不变，则该物体( )
A．可能做曲线运动
B．不可能继续做直线运动
C．一定沿F2的方向做直线运动
D．一定沿F2的反方向做匀减速直线运动
【答案】A
【解析】 根据题意，物体开始做匀速直线运动，物体所受的合力一定为零，突然撤去F2后，物体所受其余力的合力与F2大小相等、方向相反，而物体速度的方向未知，故有很多种可能情况：若速度和F2的方向在同一直线上，物体做匀变速直线运动，若速度和F2的方向不在同一直线上，物体做曲线运动，A正确。
2.如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是( )
A．质点经过C点的速率比D点的大
B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C．质点经过D点时的加速度比B点的大
D．质点从B点到E点的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
【答案】A
【解析】 质点做匀变速曲线运动，所以加速度大小不变，C错误；由于在D点速度方向与加速度方向垂直，则在A、B、C点时速度方向与加速度方向的夹角为钝角，B错误；质点由C点到D点速率减小，所以C点速率比D点大，A正确；质点从B点到E点的过程中加速度方向与速度方向的夹角先减小后增大，D错误。
3.小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的不同位置，让小钢球在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹。图中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁铁放在位置A时，小钢球的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁铁放在位置B时，小钢球的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)。实验表明，当物体所受合外力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动。
【答案】b c 不在
【解析】物体所受合外力和速度的方向共线时做直线运动，不共线时做曲线运动，运动轨迹的弯曲方向与力在速度的同侧，由此易知，磁铁放在位置A时，小钢球的运动轨迹是b；放在位置B时，小钢球的运动轨迹是c。
二 运动的合成与分解的应用
1．合运动与分运动的关系
等时性
合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响
2．合运动的性质和轨迹的判断
(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。
(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。
3. 互成角度的两个分运动的合运动的判断：
① 两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。
② 速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a合为分运动的加速度。
③ 两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。
④ 两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。
[小题练手]
1．(多选)如图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v -t图像如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x -t图像如图丙所示。若以地面为参考系，下列说法正确的是( )
A．猴子的运动轨迹为直线
B．猴子在2 s内做匀变速曲线运动
C．t＝0时猴子的速度大小为8 m/s
D．猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2
【答案】BD
【解析】 由题图可知，猴子在竖直方向做初速度为8 m/s，加速度大小为m/s2＝4 m/s2的匀减速运动，水平方向做速度大小为m/s＝4 m/s的匀速运动，其合运动为曲线运动，故猴子在2 s内做匀变速曲线运动，选项A错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝＝ m/s＝4 m/s，选项C错误；猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2，选项D正确。
2．如图甲所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放置一个蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧。然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动。假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每1 s通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm。图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管运动的水平位移，t＝0 时蜡块位于坐标原点。
(1)请在图乙中画出蜡块4 s内的运动轨迹；
(2)求出玻璃管向右平移的加速度大小；
(3)求t＝2 s时蜡块的速度大小v。
【答案】(1)见解析图 (2)5×10－2 m/s2 (3) m/s
【解析】(1)蜡块在竖直方向做匀速直线运动，在水平方向向右做匀加速直线运动，根据题中的数据画出的轨迹如图所示。
(2)由于玻璃管向右匀加速平移，根据Δx＝at2可求得加速度，由题中数据可得：Δx＝5.0 cm，相邻时间间隔为1 s，则加速度大小为a＝＝5×10－2 m/s2。
(3)由运动的独立性可知，竖直方向的速度为
vy＝＝0.1 m/s
水平方向做匀加速直线运动，2 s时蜡块在水平方向的速度为vx＝at＝0.1 m/s
则2 s时蜡块的速度大小：v＝＝ m/s。
三 平抛运动的基本规律
1. 定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动．
2. 性质：平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线．
3. 平抛运动的条件：①v0≠0，沿水平方向；②只受重力作用．
4. 研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
5. 基本规律
速度
加速度
位移
合成分解图
水平分运动（匀速直线运动）
竖直分运动（自由落体运动）
合运动（平抛运动）
竖直向下
两个重要推论
做平抛(或类平抛)运动的物体在任意 一时刻任一位置处,tanβ=2tanɑ.
任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
6．对规律的理解
(1)飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
(3)落地速度：v＝＝，落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。
(4)速度改变量：任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。
[小题练手]
1. (多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片后，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法中正确的有( )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
【答案】BC
【解析】 根据合运动与分运动的等时性和独立性特点可知，两球应同时落地，为减小实验误差，应改变装置的高度，多次实验，选项B、C正确；平抛运动的实验与小球的质量无关，选项A错误；此实验只能说明A球在竖直方向做自由落体运动，选项D错误。
2．一物体从某高度以初速度v0水平抛出，落地时速度大小为v，重力加速度为g，则它运动的时间为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 物体平抛运动的时间t＝，由速度的合成与分解可知vy＝，故t＝＝，D正确。
3.如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，则小球运动的时间为( )
A．1 s B．2 s
C．3 s D．4 s
【答案】C
【解析】 由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移s水平＝OM＝2QM＝6 m。由于水平方向做匀速直线运动，则小球运动的时间为t＝＝3 s。
4.(多选)某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ 随时间t变化的图像如图所示(g取10 m/s2)。则( )
A．第1 s物体下落的高度为5 m
B．第1 s物体下落的高度为10 m
C．物体的初速度为5 m/s
D．物体的初速度为10 m/s
【答案】AD
【解析】 因平抛运动中tan θ＝＝＝t，对应题图图像可得＝1，v0＝10 m/s，D正确，C错误；第1 s物体下落的高度h＝gt2＝×10×12 m＝5 m，A正确，B错误。
四 斜抛运动
1．定义
将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2．运动性质
加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。
3．基本规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)
(1)水平方向：做匀速直线运动，
v0x＝v0cos_θ，x＝v0tcos θ。
(2)竖直方向：做竖直上抛运动，
v0y＝v0sin_θ，y＝v0tsin θ－gt2。
4．平抛运动和斜抛运动的相同点
(1)都只受到重力作用，加速度相同，相等时间内速度的变化量相同。
(2)都是匀变速曲线运动，轨迹都是抛物线。
(3)都采用“化曲为直”的运动的合成与分解的方法分析问题。
[小题练手]
1. (多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同。空气阻力不计，则( )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
【答案】CD
【解析】 做抛体运动的物体只受重力作用，加速度都是重力加速度，A项错误；由于两球上升时在竖直方向做的是竖直上抛运动，上升的高度相同，因此运动的时间相等，B项错误；由于水平方向都做匀速直线运动，且在相等时间内B运动的水平位移大，因此B在水平方向的分速度大，在最高点时竖直分速度为零，因此最高点的速度等于水平分速度，则B在最高点的速度比A在最高点的大，C项正确；两小球落地时在竖直方向的分速度相等，而B的水平分速度大，因此落地时B的速度大，D项正确。
2.(多选)如图所示，在水平地面上的A点以速度v1跟地面成θ角射出一弹丸，恰好以速度v2垂直穿入墙壁上的小孔B，下列有关说法正确的是( )
A．在B点以跟v2大小相等、方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上的A点
B．在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在地面上的A点
C．在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在A点的左侧
D．在B点以跟v1大小相等、跟v2方向相反的速度射出弹丸，它必定落在A点的右侧
【答案】AC
【解析】 由题意知B点是弹丸斜抛运动的最高点，则v2与v1的水平分速度大小相等，且v2
1．描述圆周运动的物理量
定义和意义
公式和单位
线速度
(1)描述物体沿圆周运动?快慢的物理量(v)
(2)是矢量，方向和半径垂直，和圆周?相切
(1)v＝＝
(2)单位：?m/s
角速度
(1)描述物体绕圆心?转动快慢的物理量(ω)
(2)矢量，中学不研究其方向
(1)ω＝＝
(2)单位：?rad/s
周期
和转速
(1)周期是物体沿圆周运动?一圈的时间(T)
(2)转速是物体在单位时间内转过的?圈数(n)，也叫频率(f)
(1)T＝，单位：?s
(2)f＝，单位：?
(3)n的单位：r/s、r/min
向心
加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)矢量，方向指向圆心
(1)an＝＝ω2r
(2)单位：m/s2
相互
关系
(1)v＝ωr＝＝2πrf
(2)an＝＝ω2r＝＝4π2f2r＝ωv
2．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
3．非匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，但线速度大小发生变化。
(2)合力的作用：
①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的大小。
②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的方向。
[小题练手]
1. (多选)(粤教教材改编题)如图为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图线，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图像可以知道( )
A．甲球运动时，线速度的大小保持不变
B．甲球运动时，角速度的大小保持不变
C．乙球运动时，线速度的大小保持不变
D．乙球运动时，角速度的大小保持不变
【答案】AD
【解析】 由题图可知，甲图线中a与r成反比，则由向心加速度公式a＝可知，甲球的线速度大小不变，根据v＝rω 知，随r变化角速度变化，故A正确，B错误；乙图线中a与r成正比，则由向心加速度公式a＝ω2r可知，乙球运动的角速度保持不变，根据v＝rω知，随r变化线速度变化，故C错误，D正确。
2．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
D．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
【答案】BC
【解析】 由匀速圆周运动的定义知，B、C正确；位移和平均速度是矢量，其方向不同，A、D错误。
3．(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则( )
A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2
【答案】BCD
【解析】 角速度为ω＝＝π rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5 r/s，B正确；半径r＝＝ m，C正确；向心加速度大小为an＝＝4π m/s2，D正确。
六、几类常见的传动装置
1．传动装置的分类
主要有四种：(1)同轴传动如图甲所示；(2)皮带传动如图乙所示；(3)齿轮传动如图丙所示；(4)摩擦传动如图丁所示。
2．传动装置的特点
(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同。
(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。
[小题练手]
1．如图是自行车传动装置的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为( )
A. B．
C. D.
【答案】D
【解析】 因为要计算自行车前进的速度，即后轮Ⅲ边缘上的线速度的大小，根据题意知：轮Ⅰ和轮Ⅱ边缘上的线速度的大小相等，根据v＝rω可知：r1ω1＝r2ω2，已知ω1＝ω＝2πn，则轮Ⅱ的角速度ω2＝ω，因为轮Ⅱ和后轮Ⅲ共轴，所以转动的角速度相等，即ω3＝ω2，根据v＝rω可知，v3＝r3ω3＝＝，D正确。
2.如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在转动过程中的( )
A．线速度大小之比为3∶2∶2
B．角速度之比为3∶3∶2
C．转速之比为2∶3∶2
D．向心加速度大小之比为9∶6∶4
【答案】D
【解析】 A、B轮摩擦传动，故va＝vb，ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝3∶2；B、C同轴，故ωb＝ωc，＝，vb∶vc＝3∶2，因此va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，A、B错误；转速之比等于角速度之比，C错误；由a＝ωv得：aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，D正确。
七、向心力的理解和计算
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力。
3．向心力的公式
Fn＝man＝m＝mω2r＝mr·＝mr·4π2f2＝mωv。
4．匀速圆周运动的条件
当物体所受的合外力大小恒定，且始终与速度方向垂直时，物体做匀速圆周运动，此时向心力由物体所受合外力提供。
[小题练手]
1.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度逐渐增大时(物体不滑动)，下列说法正确的是( )
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C．物体所受弹力和摩擦力都减小
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
【答案】D
【解析】 物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力FN和筒壁对它的摩擦力f(如图所示)。
其中G和f是一对平衡力，筒壁对它的弹力FN提供它做圆周运动的向心力。当圆筒转动时，不管其角速度为多大，只要物体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的摩擦力f大小就等于其重力。而根据向心力公式得FN＝mrω2，当角速度ω增大时，FN也增大，选项D正确。
2．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒，其轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动。有一个质量为m的小球A紧贴着筒内壁在水平面内做匀速圆周运动，筒口半径和筒高分别为R和H，小球A所在的高度为筒高的一半。已知重力加速度为g，则( )
A．小球A做匀速圆周运动的角速度ω＝
B．小球A受到重力、支持力和向心力三个力作用
C．小球A受到的合力大小为
D．小球A受到的合力方向垂直于筒壁斜向上
【答案】A
【解析】 小球A受到重力、支持力两个力作用，合力(提供向心力)的方向水平且指向转轴，则mgtan θ＝mω2r(θ为圆锥筒内壁倾角)，半径r＝，tan θ＝，解得ω＝，A正确，B、C、D错误。
八、离心运动
1. 定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势．
3．受力特点
当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；
当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力，如图所示。
4. 离心运动的应用：离心干燥器、无缝钢管的生产、离心水泵等。
5. 离心运动的危害及防止：为防止汽车转弯、砂轮转动时发生离心现象，都要对它们的速度加以限制。
[小题练手]
1.(多选)如图所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是( )
A．脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的
B．水会从筒中甩出是因为水滴受到的向心力很大的缘故
C．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
D．靠近中心的衣物的脱水效果不如周边的衣物的脱水效果好
【答案】ACD
【解析】 水滴依附衣物的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水会从筒中甩出，B错误；脱水过程中，衣物做离心运动而甩向筒壁，A正确；角速度增大，水滴所需向心力增大，脱水效果更好，C正确；周边的衣物上的水滴因圆周运动的半径R更大，在ω一定时，所需向心力比靠近中心衣物的大，脱水效果更好，D正确。
2. 在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，处于静止状态。当转盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会(球直径比管直径略小)( )
A．向管底运动 B．向管口运动
C．保持不动 D．无法判断
【答案】B
【解析】 转盘在水平面内转动时，玻璃管壁的摩擦力不足以提供水做圆周运动时所需要的合外力，所以水被“甩”到外侧管底才能随转盘转动，则乒乓球在水的作用下向管口运动，故B正确。
重难突破
一、小船渡河问题
1．三种速度
船在静水中的速度v1、水流速度v2和船的实际运动速度v，其中v是v1与v2的合速度。
2．三种情景
情况
图示
说明
渡河时间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短
当v水＜v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，渡河位移最短，xmin＝d
当v水＞v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝
(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线．
(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解．
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．
(4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形定则求极限的方法处理．
3. 解题流程
【典例1】一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
【答案】 (1)船头垂直于河岸 36 s 90 m
(2)船头与上游河岸成60°角 24 s 180 m
【解析】 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。
当船头垂直河岸时，如图甲所示。
最短时间为t＝＝ s＝36 s，合速度v＝＝ m/s
x＝vt＝90 m
(2)欲使船渡河航程最短，合运动应垂直河岸，船头应朝上游与河岸方向成某一夹角α，如图乙所示。
有v2cos α＝v1，得α＝60°
所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短。
x′＝d＝180 m
t′＝＝ s＝24 s
【典例2】如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法正确的是( )
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
【答案】B
【解析】 由题意可知，小船在南北方向上做匀速直线运动，在东西方向上先加速，到达河中间后再减速，小船的合运动是曲线运动，A错误；当小船运动到河中间时，东西方向上的分速度最大，为×400 m/s＝3 m/s，此时小船的合速度最大，可得最大值vm＝5 m/s，B正确；由v水与x的关系可知，水流在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m 处的速度，故小船在距南岸200 m处的速度等于在距北岸200 m处的速度，C错误；小船的渡河时间t＝＝200 s，D错误。
二、关联速度问题
1．问题特点：沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与原则
(1)思路
①明确合速度→物体的实际运动速度v。
(2)原则：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3．解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
【典例3】如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为m1和m2，且m1
C．v2cos θ D.
【答案】C
【解析】 m2的实际运动情况是沿杆竖直下滑，这个实际运动是合运动，m1的速度与绳上各点沿绳子方向的速度大小相等，所以绳子的速度等于m1的速度v1，而m2的实际运动应是合运动(沿杆向下)，合速度v2可由沿绳子方向的分速度和垂直于绳子的分速度来合成(即两个实际运动效果)。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可得m1的速度大小v1＝v2cos θ，C正确。
【典例4】如图所示，当小车A以恒定的速度v向左运动时，对于B物体，下列说法正确的是( )
A.匀加速上升
B.B物体受到的拉力大于B物体受到的重力
C.匀速上升
D.B物体受到的拉力等于B物体受到的重力
【答案】 B
【解析】 将小车的速度分解，如图所示，合速度v沿绳方向的分速度等于物体B的速度vB，所以vB＝vcos θ，随着小车的运动，θ变小，速度vB增大，但速度vB增大不均匀，B物体做变加速运动；由牛顿第二定律知，B物体受到的拉力大于B物体受到的重力。
【典例5】如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 由题图可知，棒与平台接触点的实际运动即合运动，其速度方向是垂直于棒指向左上方，合速度沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即ωLsin α＝v，所以ω＝。
三、多体平抛运动问题
1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题。
2．三类常见的多体平抛运动
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
【典例6】 (多选)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的。不计空气阻力，则( )
A.a的飞行时间比b的长
B.b和c的飞行时间相同
C.a的水平速度比b的小
D.b的初速度比c的大
【答案】 BD
【解析】 根据平抛运动的规律h＝gt2，得t＝ ，因此平抛运动的时间只由高度决定，因为hb＝hc>ha，所以b与c的飞行时间相同，大于a的飞行时间，因此选项A错误，B正确；又因为xa>xb，而ta
【典例7】如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2.5h，B点离地面高度为2h。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在P点相遇，P点离地面的高度为h。已知重力加速度为g，则( )
A．两个小球一定同时抛出
B．两个小球抛出的时间间隔为(－)
C．两个小球抛出的初速度之比＝
D．两个小球抛出的初速度之比＝
【答案】BD
【解析】 平抛运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动，由h＝gt2，得t＝ ，由于A点到P点的竖直高度较大，所以从A点抛出的小球所需运动时间较长，应先抛出，故A错误；由t＝ ，得两个小球抛出的时间间隔为Δt＝tA－tB＝－ ＝(－) ，故B正确；由x＝v0t得v0＝x ，相遇时x相等，则两个小球抛出的初速度之比 ＝ ＝ ＝ ，故C错误，D正确。
四、斜面上的平抛运动
两类模型
解题方法
方法应用
分解速度，构建速度矢量三角形
水平方向：vx＝v0
竖直方向：vy＝gt
合速度：v＝
方向：tan θ＝
分解位移，构建位移矢量三角形
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝gt2
合位移：s＝
方向：tan θ＝
【典例8】[速度分解法的应用]如图所示，以10 m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ＝30°的斜面上，g取10 m/s2，这段飞行所用的时间为( )
A. s B. s C. s D．2 s
【答案】 C
【解析】 如图所示，
把末速度分解成水平方向的分速度v0和竖直方向的分速度vy，则有
＝cot 30°，
又vy＝gt
将数值代入以上两式得t＝ s.
【典例9】如图所示，一高度为h的光滑水平面与一倾角为θ的斜面连接，一小球以速度v从平面的右端P点向右水平抛出，则小球在空中运动的时间t( )
A．一定与v的大小有关
B．一定与v的大小无关
C．当v大于 cot θ时，t与v无关
D．当v小于 cot θ时，t与v有关
【答案】CD
【解析】 小球有可能落在斜面上，也有可能落在水平面上，可用临界法求解，如果小球恰好落在斜面与水平面的交点处，则满足hcot θ＝vt，h＝gt2，联立可得v＝ cot θ。故当v大于 cot θ时，小球落在水平面上，t＝ ，即t与v 无关；当v小于 cot θ时，小球落在斜面上，x＝vt，y＝gt2，＝tan θ，联立可得t＝，即t与v有关，故选项C、D正确。
五、水平面内的圆周运动
题型1 水平面内匀速圆周运动的动力学分析
题型
简述
此类问题相对简单，物体所受合外力充当向心力，合外力大小不变，方向总是指向圆心。
方法
突破
(1)选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象。
(2)分析物体受力情况，其合外力提供向心力。
(3)由Fn＝m列方程求解。
题型2 水平面内圆周运动的临界问题
题型
简述
在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力达最大值、弹簧弹力大小或方向发生变化等，从而出现临界问题。
方
法
突
破
(1)判断临界状态：在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势(半径有变化)，通常对应着临界状态的出现。
(2)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
(3)选择物理规律：确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后列方程求解。
【典例10】 如图所示，水平转台上放有质量均为m的两个小物块A、B，A离转轴中心的距离为L，A、B间用长为L的细线相连。开始时，A、B与轴心在同一直线上，细线刚好被拉直，A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
(1)当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？
(2)当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)细线上开始出现张力时，B物块受到的静摩擦力刚好达到最大值，在此临界状态时，细线上的张力还是零。对B物块，由牛顿第二定律得μmg＝mωrB，rB＝2L，解得此时转台的角速度ω1＝＝
(2)当物块A刚要开始滑动时，A、B受到的静摩擦力都达到最大值，设此时细线上的张力为F，根据牛顿第二定律
对A，有μmg－F＝mωrA，rA＝L
对B，有F＋μmg＝mωrB，rB＝2L
解得ω2＝。
六、竖直面内的圆周运动
1．轻绳模型和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”。
2．两类模型对比
轻绳模型
轻杆模型
情景图示
弹力特征
弹力可能向下，也可能等于零
弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力
示意图
力学方程
mg＋FT＝m
mg±FN＝m
临界特征
FT＝0，即mg＝m，
得v＝
v＝0，即F向＝0，
此时FN＝mg
v＝
的意义
物体能否过最高点的临界点
FN表现为拉力还是支持力的临界点
【典例11】如图所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定在转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点时的速度大小为，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是( )
A.小球不能到达P点
B.小球到达P点时的速度大于
C.小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力
D.小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力
【答案】 C
【解析】 要使小球恰能到达P点，由机械能守恒定律有：mv2＝mg·2L，可知它在圆周最低点必须具有的速度为v≥2，而＞2，所以小球能到达P点；由机械能守恒定律可知小球到达P点的速度为；由于＜，故小球在P点受到轻杆向上的弹力。
【典例12】如图所示，轻杆长为3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力。则球B在最高点时( )
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
【答案】C
【解析】 球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，解得vB＝，故A错误；由于球A、B的角速度相等，则球A的速度大小vA＝，故B错误；球B在最高点时，对杆无作用力，此时球A所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，则水平转轴对杆的作用力为1.5mg，故C正确，D错误。
巩固提升
1．如图1所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动。若在铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁铁，下列关于小球运动的说法正确的是( )
图1
A．磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动
B．磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动
C．磁铁放在B处时，小铁球做匀速圆周运动
D．磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动
【答案】 D
【解析】 磁铁放在A处时，小铁球做变加速直线运动，选项A、B错误；磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动，选项C错误，D正确。
2．自行车轮盘与车轴上飞轮之间的链条传动装置如图所示。P是轮盘上的一个齿，Q是飞轮上的一个齿。下列说法中正确的是
A. P、Q两点角速度大小相等
B. P点线速度大于Q点线速度
C. P点转动的周期小于Q点转动的周期
D. P点向心加速度小于Q点向心加速度
【答案】D
【解析】由于P、Q两点是传送带传动的两轮子边缘上两点，则vP=vQ，根据v=ωr可知，P、Q两点角速度大小不相等，故AB错误；根据可知，P点转动的周期大于Q点转动的周期，选项C错误；根据a=及vP=vQ，而rP＞rQ，可知P点向心加速度小于Q点向心加速度，故D正确。故选D。
3．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为3 m/s，转动周期为2 s，则
A. 角速度为0.5 rad/s B. 转速为0.5 r/s
C. 轨迹半径为m D. 加速度大小为m/s2
【答案】BC
【解析】由角速度与周期的关系得：，故A错误；由转速与周期的关系得：n=1/T=1/2r/s。故B正确；圆周运动的半径为：，故C正确；加速度为：．故D正确；故选BC.
4．在G20峰会“最忆是杭州”的文化文艺演出中，芭蕾舞演员保持如图所示姿势原地旋转，此时手臂上A、B两点角速度大小分别为、，线速度大小分别为、，则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】可以把A、B两点看成是同轴转动的两个质点，则，由得，故D选项正确。故选D
5．下列说法正确的是( )
A．物体在恒力作用下能做曲线运动也能做直线运动
B．物体在变力作用下一定是做曲线运动
C．物体做曲线运动，沿垂直速度方向的合力一定不为零
D．两个直线运动的合运动一定是直线运动
【答案】 AC
【解析】 物体是否做曲线运动，取决于物体所受合外力方向与物体运动方向是否共线，只要两者不共线，无论物体所受合外力是恒力还是变力，物体都做曲线运动，若两者共线，则物体做直线运动，选项A正确，B错误；由垂直速度方向的力改变速度的方向，沿速度方向的力改变速度的大小可知，C正确；两个直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，选项D错误。
6．如图所示，喷出的水柱显示了平抛运动的轨迹。若飞行时间为2s，水平位移为0.6m，则平抛的初速度为
A. m/s B. 0.3m/s
C. 0.6m/s D. 0.9m/s
【答案】B
【解析】平抛运动，水平方向匀速运动，则有：，故B正确，ACD错误，故选B。
7．洗衣机是现代家庭常见的电器设备．它的脱水原理是采用转筒带动衣物旋转的方式进行脱水的，下列有关说法中错误的是( )
A. 脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的
B. 加快脱水筒转动的角速度，脱水效果会更好
C. 靠近中心的衣物脱水效果比四周的衣物脱水效果好
D. 水能从桶中甩出是因为水滴需要的向心力太大的缘故
【答案】C
【解析】脱水过程中，衣物做离心运动而甩向桶壁。故A正确。F=ma=mω2R，ω增大会使向心力F增大，而转筒有洞，不能提供足够大的向心力，水滴就会被甩出去，增大向心力，会使更多水滴被甩出去。故B正确。中心的衣服，R比较小，角速度ω一样，所以向心力小，脱水效果差。故C错误。水滴依附的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉。故D正确。本题选不正确的，故选C。
8. 如图，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶，船的轨迹是一个弯曲的“S”形，则( )
A．小船垂直河岸的速度大小恒定不变
B．小船垂直河岸的速度大小先增大后减小
C．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间长了
D．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间短了
【答案】 BD
【解析】 船在沿河岸的方向上做匀速直线运动，即在相同的时间间隔内，在河岸方向上的位移是相同的；在垂直于河岸的方向上，在相等的时间间隔内(参照船在沿河岸方向上的时间)，开始时位移的变化逐渐增大再逐渐减小，所以速度先增大后减小；因中间那段时间速度较大，所以与船保持恒定的初始速度过河相比过河时间短了，选项B、D正确。
9．如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时( )
图7
A．人拉绳行走的速度为vcos θ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
【答案】 AC
【解析】 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v人＝v∥＝vcos θ，选项A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos θ－f＝ma，解得a＝，选项C正确，D错误。
10．船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图乙所示，经过一段时间该船以最短时间成功渡河，下列对该船渡河的说法错误的是( )
A．船在河水中的最大速度是5 m/s
B．船渡河的时间是150 s
C．船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
D．船渡河的位移是×102 m
【答案】B
【解析】 由题图乙可知，水流的最大速度为4 m/s，根据速度的合成可知，船在河水中的最大速度是5 m/s，选项A正确；当船头始终与河岸垂直时，渡河时间最短，有t＝＝ s＝100 s，因此船渡河的时间不是150 s，选项B错误，C正确；在渡河时间内，船沿水流方向的位移x在数值上等于水流速度与时间图像所围成的面积大小，根据速度变化的对称性可得x＝ m＝200 m，再根据运动的合成与分解可得，船渡河的位移为×102 m，选项D正确。
11．“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图1，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁圈，都能套中地面上同一目标。设铁圈在空中运动时间分别为t1、t2，则( )
图1
A．v1＝v2 B．v1＞v2 C．t1＝t2 D．t1＞t2
【答案】 D
【解析】 根据平抛运动的规律h＝gt2知，运动的时间由下落的高度决定，故t1＞t2，所以C错误，D正确；由题图知，两圈水平位移相同，再根据x＝vt，可得：v1＜v2，故A、B错误。
12. 将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经 s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g＝10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，下列判断正确的是( )
A．斜面的倾角是60°
B．小球的抛出点距斜面的竖直高度约是15 m
C．若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方
D．若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处
【答案】C
【解析】 设斜面倾角为θ，对小球在A点的速度进行分解有tan θ＝，解得θ＝30°，A错误；小球距过A点水平面的距离为h＝gt2＝15 m，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度一定大于15 m，B错误；若小球的初速度为v0′＝5 m/s，过A点做水平面，小球落到水平面的水平位移是小球以初速度v0＝10 m/s抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，可知小球应该落在P、A之间，C正确，D错误。
13．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )
A. 小球通过最高点时的最小速度 ＝
B. 小球通过最低点时的最小速度＝
C. 小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D. 小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】C
【解析】A．此问题中类似于“轻杆”模型，故小球通过最高点时的最小速度为零，选项A 错误；
B．如果小球在最高点的速度为零，则在最低点时满足：，解得，选项B错误；
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然是提供指向圆心的支持力，故只有外侧管壁才能提供此力，所以内侧管壁对小球一定无作用力，选项C正确；
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球可能没有作用力，如在最高点速度为零时，故D错误。
14．平抛一物体，当抛出1s后它的速度与水平方向成45°角，落地时速度方向与水平方向成60°角.求（取g=10m/s2）：
（1）物体的初速度；
（2）物体的落地速度大小；
（3）开始抛出时物体距地面的高度；
（4）物体的水平射程.
【答案】（1）10m/s（2）20m/s（3）15m（4）10m/s
【解析】（1）物体做平抛运动，1s末竖直分速度 vy1=gt=10×1m/s=10m/s 则抛出时物体的初速度 v0==vy1=10m/s． （2）落地时的速度 v==2v0=20m/s． （3）落地时竖直分速度 vy=v0tan60°=10×m/s=10m/s 则抛出点距离地面的高度 ． （4）平抛运动的时间
物体的水平射程 x=v0t=10×m=10m
15. 某同学在某砖墙前的高处水平抛出一个石子，石子在空中运动的部分轨迹照片如图所示。从照片可看出石子恰好垂直打在一倾角为37°的斜坡上的A点。已知每块砖的平均厚度为10 cm，抛出点到A点竖直方向刚好相距200块砖，取g＝10 m/s2。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)石子在空中运动的时间t；
(2)石子水平抛出的速度v0。
【答案】 (1)2 s (2)15 m/s
【解析】 (1)由题意可知：石子落到A点的竖直位移y＝200×10×10－2 m＝20 m
由y＝gt2
得t＝2 s
(2)由A点的速度分解可得v0＝vytan 37°
又因vy＝gt
解得vy＝20 m/s
故v0＝15 m/s