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第3讲 绝对值
【知识扫描】
知识点一 对绝对值的几何定义的理解
1. 数轴上表示数a的点与原点的距离叫数a的绝对值，记作|a|。它是一个非负数，即|a|≥0。
拓展：若干个非负数之和为0，则每一个非负数都为0。
即|a|＋|b|＋…＋＝0，则有|a|＝0，|b|＝0，……，所以a＝0，b＝0，……
2. 绝对值等于同一个整数的有理数有2个，它们互为相反数；反之，互为相反数的两个数绝对值相等，如|a|＝5，则a＝±5。
知识点二 对绝对值的代数定义的理解
一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数。
即：对于任何有理数a，都有
知识点三 有理数的大小比较
（1）两个正数比较，绝对值大的数较大；
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
（3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
【典型例题】
考点一 利用绝对值的定义求解
【例1】－6的绝对值是（ ）
A．6 B． C． D．－6
【解答】A
【变式】（1）在－3，－3.5，－3.75中，绝对值最小的数是________，离原点最远的是________
（2）化简：|3.14－π|＝____________
【解答】（1）|－3|＝3，|－3.5|＝3.5，|－3.75|＝3.75
∵3＜3.5＜3.75
∴绝对值最小的数是－3，离原点最远的是－3.75
（2）∵3.14－π＜0
∴|3.14－π|＝－(3.14－π)＝π－3.14
考点二 已知一个数的绝对值，求这个数
【例2】已知一个数的绝对值等于2018，则这个数是____________
【解答】∵|2018|＝2018，|－2018|＝2018，
∴绝对值等于2018的数是±2018．
故答案为：±2018．
【变式】绝对值小于3的所有整数是________________
【解答】绝对值小于3的所有整数有：－2，－1，0，1，2．
【例3】如果|a|＝2，|b|＝3，且a＜b，求a、b的值。
【解答】∵|a|＝2，|b|＝3
∴a＝±2，b＝±3
又∵a＜b，∴a＝2，b＝3或a＝－2，b＝3
【变式】若a，b互为相反数，c，d互为负倒数，m的绝对值为3，求的值．
【解答】依题意有：a＋b＝0，cd＝－1，＝9
∴＝0＋9＋1＝10
考点三 有理数的大小比较方法
【例4】用“＞”号将连接起来
【解答】在数轴上表示出各点，如图
∴
【例5】比较大小：与
【解答】∵，
而
∴＞
【例6】已知a、b为有理数，且a＞0，b＜0，a＜|b|，则a，b，－a，－b的大小顺序是( )
A. b＜－a＜a＜－b B. －a＜a＜－b＜b
C. －a＜b＜a＜－b D. －b＜a＜－a＜b
【解答】由已知条件，设a＝1，b＝－2，则－a＝－1，－b＝2
∵－2＜－1＜1＜2
∴b＜－a＜a＜－b 故选A
考点四 绝对值的非负性的运用
【例7】若|x－2|＋|y＋3|＋|z－5|＝0，计算:
（1）x，y，z的值. （2）求|x|＋|y|＋|z|的值.
【解答】（1）∵|x－2|＋|y＋3|＋|z－5|＝0
|x－2|≥0，|y＋3|≥0，|z－5|≥0
∴ x－2＝0，y＋3＝0，z－5＝0
∴ x＝2，y＝－3，z＝5
（2）当x＝2，y＝－3，z＝5时，
|x|＋|y|＋|z|＝|2|＋|－3|＋|5|＝＝2＋3＋5＝10
【变式】若|3－a|与|b－1|互为相反数，求的值。
【解答】∵|3－a|与|b－1|互为相反数
∴|3－a|＋|b－1|＝0
∵|3－a|≥0，|b－1|≥0
∴3－a＝0，b－1＝0
∴a＝3，b＝1
∴
考点五 绝对值的实际应用
【例8】正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数。检测结果(单位：克)：－25，＋10，－20，＋30，＋15，－40。裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢 请说明理由。
【解答】因为｜＋10｜＜｜＋15｜＜｜－20｜＜｜－25｜＜｜＋30｜＜｜－40｜
所以检测结果为＋10的足球的质量好一些。所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛。
【变式】一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶．某一天早晨从A地出发，晚上到达B地。约定向北为正，向南为负，当天记录如下：（单位：千米）
－18.3，－9.5，＋7.1，－14，－6.2，＋13，－6.8，－8.5
若汽车行驶每千米耗油3.35升，那么这一天共耗油多少升？
【解答】18.3＋9.5＋7.1＋14＋6.2＋13＋6.8＋8.5＝83.4，3.35×83.4＝278.39．
故这一天共耗油278.39升
第3讲 绝对值（随堂练习）
1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ）
A. －2 B. 3 C. ＋4 D. －5
【解答】A
2. －|－2|的值为（ ）
A. －2 B. 2 C. D.
【解答】A
3. |a|＝3，则a的值是（ ）
A. －3 B. 3 C. D. ±3
【解答】D
4. 绝对值大于2而小于4的整数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解答】绝对值大于2而小于4的整数有±3，故选B
5. 已知a≠b，a＝－5，|a|＝|b|，则b等于( )
A. ＋5 B. －5 C. 0 D. ±5
【解答】∵a＝－5，|a|＝|b|，∴|b|＝5，又∵a≠b，∴b＝＋5。故选A
6. 计算：|－8|＋|－4|＝_______ |－25|×|－4|＝_______ |－12.5|－|＋3.5|＝_______
【解答】12；100；9
7. 绝对值等于它本身的数是________
【解答】非负数
8. 两个负数比较大小，绝对值大的________，绝对值小的________
【解答】小；大
9. 当x＞0时，|x|＝________；当x＜0时，|x|＝________
【解答】一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数。
当x＞0时，|x|＝x，当x＜0时，|x|＝－x
10. 已知|x－1|＝2，则x＝________
【解答】∵|x－1|＝2，∴x－1＝±2，∴x－1＝2或x－1＝－2，∴x＝3或x＝－1
第3讲 绝对值（课后作业）
1. 如果a表示一个任意有理数，那么下面说法正确的是（ ）
A．－a是负数 B．|a|一定是正数 C．|a|一定不是负数 D．|－a|一定是负数
【解答】A、∵a表示一个任意有理数，若a＝0，则－a＝0不是负数，故A错误；
B、若a＝0，则|a|＝0，0不是负数，故B错误；
C、∵a表示一个任意有理数，∴|a|≥0，∴|a|一定不是负数，故C正确；
D、若a＝0，则|－a|＝0，0不是负数，故D错误．
故选：C．
2. 已知m，n互为相反数，则下列说法不正确的是（ ）
A．2m＋2n＝0 B．mn＝m2 C．|m|＝|n| D.
【解答】A. ∵m，n互为相反数，∴m＋n＝0，∴2m＋2n＝0，正确，∴选项A不符合题意；
B. ∵m，n互为相反数，∴m＋n＝0，∴m(m＋n)＝0，∴mn＝－m2，正确，
∴选项B不符合题意；
C. ∵m，n互为相反数，∴|m|＝|n|，正确，∴选项C不符合题意；
D. ∵m，n互为相反数，∴m、n都可以是0，不正确，∴选项D符合题意．
故选：D．
3. 数a，b的绝对值分别为2和5，且在数轴上表示a点的数在表示b点的数的右侧，则b的值为（ ）
A．－5 B．5 C．±5 D．2
【解答】∵数a和b的绝对值分别为2和5，
∴a＝±2，b＝±5，
∵在数轴上表示a的点在表示b的点右侧，
∴a＞b，
∴b＝－5．
故选：A．
4. a、b在数轴上位置如图所示，则|a－b|等于（ ）
A．－b－a B．a－b C．a＋b D．－a＋b
【解答】由数轴可得：a＜0＜b，∴a－b＜0，∴|a－b|＝－(a－b)＝－a＋b，故选：D．
5. 下面说法正确的是（ ）
A. 的相反数是4 B. 的绝对值为8
C．0.1和10互为相反数 D．0的相反数是0
【解答】A、的相反数是－，故原题说法错误；
B、的绝对值为，故原题说法错误；
C、0.1和－0.1互为相反数，故原题说法错误；
D、0的相反数是0，故原题说法正确；
故选：D．
6. 化简|π－4|＋|3－π|＝________
【解答】∵π≈3.414，∴π－4＜0，3－π＜0，|π－4|＋|3－π|＝4－π＋π－3＝1
7. 已知|x|＝2，|y|＝3，且xy＜0，x＋y＞0，则x－y＝________
【解答】∵|x|＝2，|y|＝3，
∴x＝±2，y＝±3，
又∵xy＜0，x＋y＞0，
∴x＝－2，y＝3，
∴x－y＝－5．
8. 绝对值大于2且小于5的所有整数的和是________
【解答】根据绝对值性质，可知绝对值大于2且小于5的所有整数为±3，±4．
所以3－3＋4－4＝0．
9. 绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为8，则这两个数是________
【解答】∵绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点间的距离是8，
∴这两个数到原点的距离都等于4，
∴这两个数分别为4和－4．
10. 若|a－1|＋|b－2|＝0，则a＋b＝________
【解答】∵|a－1|＋|b－2|＝0
|a－1|≥0，|b－2|≥0
∴a－1＝0，b－2＝0
∴a＝1，b＝2
∴a＋b＝1＋2＝3
11. 已知零件的标准直径是 10 mm，超过规定直径长度的毫米数记作正数，不足规定直径长度的毫米数记作负数。检验员某次抽查了5件样品，检查的结果如下。
序号 1 2 3 4 5
结果 ＋0.1 －0.15 －0.2 －0.05 ＋0.25
（1）试指出哪件样品的大小最符合要求？
（2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品．误差的绝对值在0.18mm～0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm的是废品，那么上述五件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？
【解答】（1）∵|－0.05|＜|＋0.1|＜|－0.15|＜|－0.2|＜|＋0.25|，
∴第4个样品最符合要求；
（2）∵|－0.05|＝0.05＜0.18，|＋0.1|＝0.1＜0.18，|－0.05|＝0.05＜0.18，
∴第1、2、4件样品是正品，
∵|－0.2|＝0.2，且0.18＜0.2＜0.22，
∴第3个样品是次品；
∵|＋0.25|＝0.25＞0.22，
∴第5件样品是废品．
12. 若2m与n互为相反数，x是最小的非负数，y是最小的正整数，求(4m＋2n)y＋y－x的值
【解答】∵2m与n互为相反数，x是最小的非负数，y是最小正整数，
∴2m＋n＝0，x＝－1，y＝1，
∴(4m＋2n)y＋y－x
＝2×0×1＋1－(－1)
＝2．
【拓展提升】
已知：非零整数m，n满足|m|＋|n|－5＝0，所有这样的整数组（m，n）共有多少组？
【解答】已知等式变形得：|m|＋|n|＝5，
当|m|＝1时，|n|＝4；当|m|＝2时，|n|＝3；当|m|＝3时，|n|＝2；当|m|＝4时，|n|＝1，此时整数组为(1，4)，(1，－4)，(－1，4)，(－1，－4)，(2，3)，(2，－3)，(－2，3)，(－2，－3)，(3，2)，(3，－2)，(－3，2)，(－3，－2)，(4，1)，(4，－1)，(－4，1)，(－4，－1)，共16组，
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第3讲 绝对值
【知识扫描】
知识点一 对绝对值的几何定义的理解
1. 数轴上表示数a的点与原点的距离叫数a的绝对值，记作|a|。它是一个非负数，即|a|≥0。
拓展：若干个非负数之和为0，则每一个非负数都为0。
即|a|＋|b|＋…＋＝0，则有|a|＝0，|b|＝0，……，所以a＝0，b＝0，……
2. 绝对值等于同一个整数的有理数有2个，它们互为相反数；反之，互为相反数的两个数绝对值相等，如|a|＝5，则a＝±5。
知识点二 对绝对值的代数定义的理解
一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数。
即：对于任何有理数a，都有
知识点三 有理数的大小比较
（1）两个正数比较，绝对值大的数较大；
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
（3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
【典型例题】
考点一 利用绝对值的定义求解
【例1】－6的绝对值是（ ）
A．6 B． C． D．－6
【变式】（1）在－3，－3.5，－3.75中，绝对值最小的数是________，离原点最远的是________
（2）化简：|3.14－π|＝____________
考点二 已知一个数的绝对值，求这个数
【例2】已知一个数的绝对值等于2018，则这个数是____________
【变式】绝对值小于3的所有整数是________________
【例3】如果|a|＝2，|b|＝3，且a＜b，求a、b的值。
【变式】若a，b互为相反数，c，d互为负倒数，m的绝对值为3，求的值．
考点三 有理数的大小比较方法
【例4】用“＞”号将连接起来
【例5】比较大小：与
【例6】已知a、b为有理数，且a＞0，b＜0，a＜|b|，则a，b，－a，－b的大小顺序是( )
A. b＜－a＜a＜－b B. －a＜a＜－b＜b
C. －a＜b＜a＜－b D. －b＜a＜－a＜b
考点四 绝对值的非负性的运用
【例7】若|x－2|＋|y＋3|＋|z－5|＝0，计算:
（1）x，y，z的值. （2）求|x|＋|y|＋|z|的值.
【变式】若|3－a|与|b－1|互为相反数，求的值。
考点五 绝对值的实际应用
【例8】正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数。检测结果(单位：克)：－25，＋10，－20，＋30，＋15，－40。裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢 请说明理由。
【变式】一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶．某一天早晨从A地出发，晚上到达B地。约定向北为正，向南为负，当天记录如下：（单位：千米）
－18.3，－9.5，＋7.1，－14，－6.2，＋13，－6.8，－8.5
若汽车行驶每千米耗油3.35升，那么这一天共耗油多少升？
第3讲 绝对值（随堂练习）
1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ）
A. －2 B. 3 C. ＋4 D. －5
2. －|－2|的值为（ ）
A. －2 B. 2 C. D.
3. |a|＝3，则a的值是（ ）
A. －3 B. 3 C. D. ±3
4. 绝对值大于2而小于4的整数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 已知a≠b，a＝－5，|a|＝|b|，则b等于( )
A. ＋5 B. －5 C. 0 D. ±5
6. 计算：|－8|＋|－4|＝_______ |－25|×|－4|＝_______ |－12.5|－|＋3.5|＝_______
7. 绝对值等于它本身的数是________
8. 两个负数比较大小，绝对值大的________，绝对值小的________
9. 当x＞0时，|x|＝________；当x＜0时，|x|＝________
10. 已知|x－1|＝2，则x＝________
第3讲 绝对值（课后作业）
1. 如果a表示一个任意有理数，那么下面说法正确的是（ ）
A．－a是负数 B．|a|一定是正数 C．|a|一定不是负数 D．|－a|一定是负数
2. 已知m，n互为相反数，则下列说法不正确的是（ ）
A．2m＋2n＝0 B．mn＝m2 C．|m|＝|n| D.
3. 数a，b的绝对值分别为2和5，且在数轴上表示a点的数在表示b点的数的右侧，则b的值为（ ）
A．－5 B．5 C．±5 D．2
4. a、b在数轴上位置如图所示，则|a－b|等于（ ）
A．－b－a B．a－b C．a＋b D．－a＋b
5. 下面说法正确的是（ ）
A. 的相反数是4 B. 的绝对值为8
C．0.1和10互为相反数 D．0的相反数是0
6. 化简|π－4|＋|3－π|＝________
7. 已知|x|＝2，|y|＝3，且xy＜0，x＋y＞0，则x－y＝________
8. 绝对值大于2且小于5的所有整数的和是________
9. 绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为8，则这两个数是________
10. 若|a－1|＋|b－2|＝0，则a＋b＝________
11. 已知零件的标准直径是 10 mm，超过规定直径长度的毫米数记作正数，不足规定直径长度的毫米数记作负数。检验员某次抽查了5件样品，检查的结果如下。
序号 1 2 3 4 5
结果 ＋0.1 －0.15 －0.2 －0.05 ＋0.25
（1）试指出哪件样品的大小最符合要求？
（2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品．误差的绝对值在0.18mm～0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm的是废品，那么上述五件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？
12. 若2m与n互为相反数，x是最小的非负数，y是最小的正整数，求(4m＋2n)y＋y－x的值
【拓展提升】
已知：非零整数m，n满足|m|＋|n|－5＝0，所有这样的整数组（m，n）共有多少组？
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