24．1 测量
知识点 1 利用勾股定理测量
1．如图24－1－1所示，在竖立的电线杆上的某一点C处安装拉线AC，AB所在的直线在水平地面上，经测量AC＝8米，AB＝5米，根据题意，可知△ABC是________三角形，根据__________，得BC＝＝＝＝________(米)．
图24－1－1
2．如图24－1－2，隔湖有两点A，B，要测量A，B两点间的距离，从与BA成直角的BC方向上的点C处测得CA＝28 m，CB＝11 m，则A，B两点间的距离为________．(精确到0.1 m)
图24－1－2
3．如图24－1－3是一种盛饮料的圆柱形玻璃杯，测得玻璃杯内部底面半径为2.5 cm，高为12 cm，吸管按如图所示的方式放进杯里，露在杯口外面的吸管长4.6 cm，则吸管有多长？
图24－1－3
知识点 2 利用同一时刻物高与影长成比例测量
4．在同一时刻，测得小华和旗杆的影长分别为1 m和6 m，小华的身高为1.6 m，若求旗杆的高度，则需要根据相同时刻的________与________成比例求解，即＝.若设旗杆的高度为x m，则可列比例式为________，解得x＝________．
5．小刚身高1.7 m，小华测得他站立在阳光下的影长为0.85 m．紧接着他把手臂竖直举起，小华又测得他的影长为1.1 m，则小刚举起的手臂超出头顶( )
A．0.5 m B．0.55 m
C．0.6 m D．2.2 m
6．［2017·天水］如图24－1－4，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离路灯的底部(点O)20米的点A处，则小明的影子AM的长为________米．
图24－1－4
知识点 3 利用相似三角形的性质测量
7．小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标点B在同一条直线上．如图24－1－5所示(示意图)，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′.已知OA＝0.2米，OB＝40米，AA′＝0.0015米，求小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′.由题意可知，AA′∥________，所以△________∽△________，根据相似三角形的对应边________，可得＝，即________，解得BB′＝________(米)．
图24－1－5
8．［教材习题24.1第2题变式］如图24－1－6，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝12 m，人的眼睛离地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆的高AB.
图24－1－6
9．如图24－1－7①，某温室屋顶结构外框为△ABC，立柱AD垂直平分横梁BC，AD＝2 m，斜梁AC＝4 m．为增大向阳面的面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为△EBC(点E在BA的延长线上)，立柱EF⊥BC，如图②所示．若EF＝3 m，则斜梁增加部分AE的长为( )
A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m
图24－1－7
10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中，第九章“勾股”主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”
译文：“今有一座长方形小城，东西方向城墙长7里，南北方向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有一棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”(注：1里＝300步)
你的计算结果是：出南门________步而见木．
图24－1－8
11．如图24－1－9(示意图)，水平地面上某建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 __________米．
图24－1－9
12．如图24－1－10所示，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量某条河的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．(提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732)
图24－1－10
13．如图24－1－11，为了测量一棵大树AB的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2米的标杆．
请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是________(用工具序号填写)；
(2)画出你的测量示意图；
(3)你需要测量示意图中哪些数据？并用a，b，c，d等字母表示测得的数据；
(4)写出求树高的算式：AB＝________米．
图24－1－11
1．直角 勾股定理 AC AB 8 5 64 25
2．25.7 m 3．解：设吸管在杯内部分的长为x cm.
由勾股定理，得x＝＝13.
13＋4.6＝17.6(cm)．
答：吸管长17.6 cm.
4．物高 影长 旗杆的高度 旗杆的影长
＝ 9.6
5．A
6．5 7．BB′ OAA′ OBB′ 成比例 OA OB AA′ BB′ ＝ 0.3
8．解：过点E作EH⊥AB于点H，CD与EH交于点G，则四边形EFDG，EFBH均为矩形，
∴EF＝GD，EF＝BH，EH＝FB.
∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD∥AB，
∴△CGE∽△AHE，
∴＝，
从而＝，
即＝，
解得AH＝9.8(m)，
∴AB＝9.8＋1.6＝11.4(m)．
答：旗杆的高AB为11.4 m.
9． D
10．315
11．54
12．解：如图，过点C作CE⊥AB于点E.
设CE＝x米．
在Rt△AEC中，∵∠CAE＝45°，
∴AE＝CE＝x米．
在Rt△EBC中，∵∠CBE＝30°，CE＝x米，
∴BC＝2x米，
∴BE＝＝x米，
∴x＝x＋50，
解得x＝25 ＋25≈68.30.
答：河宽约为68.30米．
13．解：(答案不唯一)(1)①②
(2)测量示意图如图所示．
(3)EA(镜子离树的距离)＝a，EC(人离镜子的距离)＝b，DC(目高)＝c.
(4)
24.2 直角三角形的性质
知识点 1 直角三角形的两个锐角互余
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A．120° B．90° C．60° D．30°
2．如图24－2－1，将一个矩形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
图24－2－1
知识点 2 勾股定理
3．［2016·荆门］如图24－2－2，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
图24－2－2
4．［2017·绍兴］如图24－2－3，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A．0.7米 B．1.5米
C．2.2米 D．2.4米
图24－2－3
知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质
5．如图24－2－4，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点．若AB＝10，则CE＝________．
图24－2－4
6．如图24－2－5，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__________．
图24－2－5
7．如图24－2－6，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连结AE.求证：∠AEC＝∠C.
图24－2－6
知识点 4 直角三角形中30 °角的性质
8．［2016·百色］如图24－2－7，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( )
A．6 B．6 C．6 D．12
图24－2－7
9．如图24－2－8，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若线段DE＝1 cm，则BD的长为________ cm.
图24－2－8
10．如图24－2－9，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则图中互余的角有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
图24－2－9
11．［教材习题24.2第2题变式］如图24－2－10，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E.若AE＝2，则BE＝( )
A．3 B．4 C．6 D．8
图24－2－10
12．如图24－2－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F＝30°，DE＝1，求BE的长．
图24－2－11
13．如图24－2－12，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1.
(1)求CD的长；
(2)求△ABC的面积．
图24－2－12
14．如图24－2－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DN，MN.
(1)求证：MN＝CD；
(2)若AB＝6，求DN的长．
图24－2－13
15．如图24－2－14，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB.
(1)求∠B的度数；
(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝AB.
图24－2－14
16．如图24－2－15所示，一根长2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
(1)请判断在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否发生变化，并简述理由．
(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．
图24－2－15
1．D 2．C 3.C
4．C
5．5
6．8
7．证明：∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形．
∵E是BD的中点，
∴AE＝BD，BE＝BD，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE.
∵∠AEC＝∠B＋∠BAE，
∴∠AEC＝∠B＋∠B＝2∠B.
又∵∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝∠C.
8．A 9.4
10．C
11． C
12．∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F，
∴∠BDF＝90°，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A.
∵∠F＝30°，
∴∠DBF＝60°.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＝30°，
∴∠ABE＝30°，
∴BE＝2DE＝2.
13．解：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠C＝30°，AD＝1，
∴AC＝2AD＝2，
∴CD＝＝＝.
(2)∵∠B＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝1，
∴BC＝BD＋CD＝1＋，
∴△ABC的面积＝AD·BC＝.
14．
解：(1)证明：∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN＝BC，MN∥BC.
∵CD＝BD，
∴CD＝BC，
∴MN＝CD.
(2)连结CM，∵MN∥CD，MN＝CD，
∴四边形MCDN是平行四边形，
∴DN＝CM.
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴CM＝AB，
∴DN＝AB＝3.
15(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，
∴∠BCD＝60°.
又∵CD为高，
∴∠B＝90°－60°＝30°.
(2)证明：由(1)知，∠B＝∠BCE＝30°，
则CE＝BE.
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°.
又由(1)知，∠ACD＝∠DCE＝30°，
∴∠ACE＝60°＝∠A，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE＝BE＝AB，
∴E是AB的中点，
∴CE是AB边上的中线，且CE＝AB.
16． (1)不变．
理由：由题意得OP＝AB.
∵斜边AB的长不变，
∴点P到点O的距离OP不变．
(2)当△AOB斜边上的中线OP是斜边上的高h时，△AOB的面积最大．
理由：如图，过点O作OD⊥AB于点D，则OD＝h.若h与OP不相等，则总有h＜OP，
故根据三角形面积公式，知当h与OP相等时，△AOB的面积最大，
此时，S△AOB＝AB·h＝·2a·a＝a2.
∴△AOB的最大面积为a2.
24.3.1 第1课时 锐角三角函数的定义及关系应用
知识点 1 锐角三角函数的定义
1．如图24－3－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，BC＝7，由勾股定理，得AC＝＝＝＝24.我们知道，在直角三角形中，锐角的正弦为其对边与斜边的比，余弦为其________与斜边的比，正切为其________与其________的比．所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝.
图24－3－1
2．如图24－3－2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( )
A. B. C. D.
图24－3－2
3．如图24－3－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是( )
A．sinA＝ B．cosA＝
C．tanA＝ D．tanB＝
图24－3－3
4．如图24－3－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是________．
图24－3－4
5. ［教材例1变式］设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据下列所给条件，分别求出∠B的三个三角函数值：
(1)a＝5，c＝13； (2)a∶b＝3∶4.
知识点 2 锐角三角函数之间的关系
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值是( )
A. B. C. D.
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是( )
A．tanA＝ B．sin2A＋cos2A＝1
C．sin2A＋sin2B＝1 D．tanA·tanB＝1
知识点 3 锐角三角函数值的范围
8．若∠A是锐角，sinA＝3m－2，则m的取值范围是( )
A. ＜m＜1 B．2＜m＜3
C．0＜m＜1 D. ＜m＜
9．如果0°<∠A<90°，并且cosA是方程(x＋0.5)(x－0．35)＝0的一个根，那么cosA的值是________．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A的度数不断增大时，cosA的值的变化情况是( )
A．不断变大 B．不断减小
C．不变 D．不能确定
11．［2016·安顺］如图24－3－5，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )
A．2 B. C. D.
图24－3－5
12．如图24－3－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.若AB＝4，sinA＝，则斜边上的高CD等于( )
A. B. C. D.
图24－3－6
13．如图24－3－7，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处．若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值为( )
A. B. C. D.
图24－3－7
14．在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝8∶15∶17，则sinB＝________，cosB＝________．
15．如图24－3－8，在△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则AC∶BC∶AB＝________．
图24－3－8
16．如图24－3－9，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
图24－3－9
(1)画AD∥BC(D为格点)，连结CD；
(2)线段CD的长为________；
(3)请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是________，则它所对应的正弦函数值是________；
(4)若E为BC的中点，则tan∠CAE的值是________．
17．已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按图24－3－10所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，求tan∠CBE的值．
图24－3－10
18．在锐角三角形ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求：
(1)tanC的值；
(2)sinA的值．
19．已知a，b，c分别为△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，若关于x的方程(b＋c)x2－2ax＋c－b＝0有两个相等的实数根，且sinB·cosA－cosB·sinA＝0，试判断△ABC的形状．
1．AB BC 25 7 625 49 邻边 对边 邻边 AC AB 24 25 BC AC 7 24
2．D
3．A 4.
5．解：(1)由勾股定理得b＝12，
∴sinB＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝.
(2)设两直角边长为a＝3x，b＝4x，
则斜边长c＝＝5x，
则sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，
tanB＝＝＝.
6．B
7．A
8．A 9．0.35 10．B 11． D
12． B
13． C 14．
15． 3∶4∶5
16． (1)如图．
(2)∵线段CD正好和格线组成一个直角三角形，
∴由勾股定理可知CD＝＝.
(3)(答案不唯一)∠CAD，由网格组成的直角三角形可知AD＝5，AC＝2 .
又∵CD＝，
∴由勾股定理的逆定理知△ACD是一个直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴sin∠CAD＝＝.
(4)由图可知tan∠CAE＝＝.
17．将△ABC沿DE折叠使点A与点B重合，则AE＝BE.
设CE＝x，则BE＝AE＝8－x.
在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2＝CE2＋BC2，即(8－x)2＝x2＋62，解得x＝，
∴CE＝，∴tan∠CBE＝＝＝.
18． (1)如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵S△ABC＝BC·AD＝84，
∴×14AD＝84，∴AD＝12.
又∵AB＝15，
∴BD＝＝9，
∴CD＝14－9＝5.
在Rt△ADC中，AC＝＝13，
∴tanC＝＝.
(2)如图，过点B作BE⊥AC于点E.
∵S△ABC＝AC·BE＝84，∴BE＝，
∴sin∠BAC＝＝.
19．∵关于x的方程(b＋c)x2－2ax＋c－b＝0有两个相等的实数根，
∴(－2a)2－4(b＋c)(c－b)＝0，
化简，得a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，
∴sinB＝，cosA＝，cosB＝，sinA＝，
∴·－·＝0，
∴a2＝b2，
∴a＝b，
∴△ABC为等腰直角三角形．
24.3.1 第2课时 特殊角的三角函数值
知识点 1 特殊角的三角函数值
1．sin60°的值为( )
A. B. C. D.
2．计算·tan60°的值等于( )
A. B. C. D.
3．若α＝30°，则α的余角为________度，sinα的值为________．
4．［教材例2变式］计算：2cos30°－tan45°－.
知识点 2 已知三角函数值求特殊角
5．已知∠A为锐角，sinA＝，则∠A等于( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝，则α＝________．
7．在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝，则∠C的度数是________．
8．在△ABC中，若锐角∠A，∠B满足|cosA－|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小是( )
A．45° B．60° C．75° D．105°
9．已知α为锐角，当无意义时，tan(α＋15°)－tan(α－15°)的值是________．
10．计算：(－2)3＋×(2018＋π)0－|－|＋tan260°＝________．
11．［2016·丽水］数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等．于是小陆同学提出一个问题：如图24－3－11，将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一条直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．
图24－3－11
12．进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ， ①
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ， ②
tan(α＋β)＝(1－tanα·tanβ≠0)． ③
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°＝tan(45°＋60°)＝＝＝＝＝－(2＋)．
根据上面的知识，请你求出下列三角函数值：
(1)sin75°； (2)cos105°.
1．B
2．D 3．60
4．解：原式＝2×－1－(－1)
＝－1－＋1
＝0.
5．B 6. 45°
7．75° ∴∠A＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.
8． D 9.
10．－5
11．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，AC＝＝2 ，则EF＝AC＝2 .
∵∠E＝45°，
∴FC＝EF·sinE＝，
∴AF＝AC－FC＝2 －.
12． (1)sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝×＋×＝.
(2)cos105°＝cos(45°＋60°)＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝×－×＝.
24.3.2 用计算器求锐角三角函数值
知识点 1 已知锐角求三角函数值
1．用计算器求sin74°的值，下列按键顺序正确的是( )
A. B.
C. D. )
2．下列各式不成立的是( )
A．sin50°C．tan22°sin23°
3．已知∠E＝36°，∠F是∠E的余角，则∠F＝________°，sinF＝______(精确到0.0001)．
4．用计算器求下列三角函数值(精确到0.01)：
(1)sin55°； (2)cos46°49′； (3)tan67°20′.
知识点 2 已知三角函数值求锐角
5．已知tanx＝0.3685，求锐角x.在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示)，按键顺序依次为________________________________．
6．已知∠A，∠B都是锐角，且sinA＝0.2，cosB＝0.8，则∠A＋∠B＝________．(精确到1′)
7．已知下列锐角α的各三角函数值，用计算器求锐角α：(精确到1″)
(1)sinα＝0.6725; (2)cosα＝0.8607; (3)tanα＝100.
8．［教材例4变式］运用科学计算器计算：
3 sin73°52′＝________．(结果精确到0.1)
9．等腰三角形中，腰和底的长分别是10和13，则这个三角形底角的度数约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)
10．如图24－3－12，两条笔直的公路AB，CD相交于点O，∠AOC＝36°，指挥中心M设在OA路段上，与O地的距离为18千米．一次行动中，王警官带队从O地出发，沿OC方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)
图24－3－12
11．(1)如图24－3－13，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律．
(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
(3)比较大小(空格处填“<”“>”或“＝”)：
若α＝45°，则sinα________cosα；若α<45°，则sinα______cosα；若α>45°，
则sinα________cosα.
图24－3－13
教师详答
1．A 2.B
3．54 0.8090
4．(1)0.82 (2)0.68 (3)2.39
5. (tan－1)
6．48°24′
7．(1)α≈42°15′37″
(2)α≈30°36′17″
(3)α≈89°25′37″
8． 11.9
9．49.5°
10．解：过点M作MH⊥OC于点H.
在Rt△MOH中，sin∠MOH＝，
∵OM＝18千米，∠MOH＝36°，
∴MH＝18sin36°≈18×0.59＝10.62(千米)>10千米，
∴王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话．
11． (1)由图①②可得sinα随着α的增大而增大，cosα随着α的增大而减小．
(2)sin18°cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.
(3)＝ < >
24.4 第1课时 解直角三角形
知识点 1 锐角三角函数与直角三角形的三边关系
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别为5，12，13，则有 sinA＝________， cosA＝________，tanA＝________．
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝( )
A．3sin40° B．3sin50°
C．3tan40° D．3tan50°
3．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)若已知a与∠B，则b＝________，c＝____________________________________；
(2)若已知∠A与c，则a＝________，b＝_____________________________________.
知识点 2 解直角三角形
4．如图24－4－1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，tanB＝＝________．如果AC＝5，那么BC＝________．
图24－4－1
5．根据下列所给条件解直角三角形，结果不能确定的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边．
A．②④ B．②③
C．只有② D．②④⑤
6．在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝，c＝，则下列解该直角三角形所得的结果中完全正确的一组是( )
A．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
B．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
C．∠A＝45°，∠B＝45°，b＝
D．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝，c＝2，则∠A＝________，b＝________．
8．［教材习题24.4第1题变式］在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，其中a＝4，c＝8，解这个直角三角形．
知识点 3 解直角三角形的简单应用
9．［2016·绥化］如图24－4－2，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )
A．250米 B．250 米
C. 米 D．500 米
图24－4－2
10．如图24－4－3所示，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后在点P处相遇，则乙货船每小时航行________海里．
图24－4－3
11．如图24－4－4，海面上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方向．一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向上，求A，B两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里．参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)
图24－4－4
12．［2016·绵阳］如图24－4－5，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB的中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为( )
A. B. C. D.
图24－4－5
13．如图24－4－6，李明同学在东西方向的滨海路A处测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到滨海路的距离为( )
A．100米 B．100 米 C．200米 D．200 米
图24－4－6
14．如图24－4－7，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 m，某钓鱼者想看看钓钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长3 m，则钓鱼竿转过的角度是( )
A．60° B．45° C．15° D．90°
图24－4－7
15．如图24－4－8，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝6，sinA＝，则菱形ABCD的周长是________．
图24－4－8
16．如图24－4－9，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB和AC，若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为________米．(结果保留整数，参考数据：sin56°≈0.8，tan56°≈1.5)
图24－4－9
17．［2017·德州］如图24－4－10所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测速仪器测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒，已知∠B＝30°，∠C＝45°.
(1)求B，C之间的距离(保留根号)；
(2)如果此路段限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由(参考数据：≈1.7，≈1.4)．
图24－4－10
18．如图24－4－11，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝，那么当点P运动一周时，试求出点Q运动的总路程．
图24－4－11
1.
2．D [解析] 由题意知∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.
又∵tanB＝，
∴AC＝BC·tanB＝3tan50°.
故选D.
3．(1)a·tanB (2)c·sinA c·cosA
[解析] (1)∵tanB＝，∴b＝a·tanB；
∵cosB＝，∴c＝.
(2)∵sinA＝，∴a＝c·sinA；
∵cosA＝，
∴b＝c·cosA.
4．AC BC 5
5．C [解析] 解直角三角形所给条件中至少应有一条边长．
6．C 7.45°
8．解：∵a＝4，c＝8，∴由勾股定理可得b＝4 .
∵sinA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，
故∠A＝30°，∠B＝60°，b＝4 .
9．A
10．2 [解析] 如图，过点P作PC⊥AB于点C，则∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，PC＝PA＝4海里，PB＝PC＝4 海里，
所以乙货船每小时航行4 ÷2＝2 (海里)．
11．解：根据路程＝速度×时间，可得AC＝18×2＝36(海里)．在Rt△ABC中，利用正切函数的定义可得tan∠ACB＝，由此可知AB＝AC·tan∠ACB≈36×0.93≈33.5(海里)．
答：A，B两岛之间的距离约为33.5海里．
12．C [解析] ∵在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝36°.
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝AB＝2，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝36°，
∴∠BEC＝180°－∠EBC－∠C＝72°，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC，∴AE＝BE＝BC.
设AE＝x，则BE＝BC＝x，CE＝4－x.
∵∠EBC＝∠A＝36°，∠C＝∠C，
∴△BCE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得x＝－2＋2 (负值舍去)，
∴AE＝－2＋2 .
在△ADE中，∵∠ADE＝90°，
∴cosA＝＝＝.
13．D [解析] 如图，过点P作PC⊥AB于点C.
根据题意，得∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，
∴∠APB＝30°＝∠PAB，
∴BP＝AB＝400米．
在Rt△PBC中，
sin60°＝，
∴PC＝PB·sin60°＝400×＝200 (米)．
14．C [解析] ∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°.
∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°，
∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，即钓鱼竿转过的角度是15°.故选C.
15． 40
[解析] ∵DE⊥AB，垂足为E，
∴△AED为直角三角形，
∴sinA＝，即＝，
∴AD＝10，
∴菱形ABCD的周长为10×4＝40.
16．60 [解析] ∵∠B＝56°，∠C＝45°，∠ADB＝∠ADC＝90°，BC＝BD＋CD＝100米，
∴BD＝，CD＝，
∴＋＝100，解得AD≈60(米)．
17．[解析] (1)如图，作AD⊥BC于点D，则AD＝10 m，求出CD，BD的长即可解决问题．
(2)求出汽车的速度即可解决问题，注意统一单位．
解：(1)如图，作AD⊥BC于点D，则AD＝10 m.
在Rt△ACD中，
∵∠C＝45°，
∴AD＝CD＝10 m.
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，
∴tan30°＝，
∴BD＝＝AD＝10 m，
∴BC＝BD＋CD＝(10 ＋10)m.
(2)这辆汽车超速．
理由：∵BC＝(10 ＋10)m≈27 m，
∴这辆汽车的速度≈＝30 m/s＝108 km/h.
∵108＞80，
∴这辆汽车超速．
18．解：在Rt△AOB中，
∵∠ABO＝30°，AO＝1，
∴AB＝2，BO＝＝.
(1)当点P从点O运动到点B处时，如图①②所示，点Q运动的路程为.
(2)如图③所示，点P从B→C，当点P运动到点C时，QC⊥AB，则∠ACQ＝90°.
∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，
∴∠OQD＝90°－60°＝30°.
∵cos30°＝，∴AQ＝＝2，
∴OQ＝2－1＝1，
则当点P从点B运动到点C处时，点Q运动的路程为OQ＝1.
(3)当点P从点C运动到点A处时，如图③所示，点Q运动的路程为QQ′＝2－.
(4)当点P从点A运动到点O处时，点Q运动的路程为AO＝1.
综上，点Q运动的总路程为＋1＋2－＋1＝4.
第2课时 解直角三角形的应用——仰角、俯角
知识点 1 仰角与解直角三角形的应用
1．如图24－4－12，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处测得树顶A的仰角∠ABO＝α，则树OA的高度为( )
A. 米 B．30sinα米
C．30tanα米 D．30cosα米
图24－4－12
2．如图24－4－13，在塔AB前的平地上选择一点C，测得塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测得塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为( )
A．50米 B．100米
C．50(＋1)米 D．50(－1)米
图24－4－13
3．［2017·邵阳］如图24－4－14所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得点A，R间的距离是40 km，点A的仰角是30°.n s后，火箭到达B点，此时测得仰角是45°，则火箭在这n s中上升的高度为________ km.
图24－4－14
4．［教材例3变式］如图24－4－15，某校数学兴趣小组为测量校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45°，求旗杆AB的高度．(结果保留根号)
图24－4－15
知识点 2 俯角与解直角三角形的应用
5．在高为100 m的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，要求楼底到该目标的水平距离，可根据题意画出如下图形，因为∠BAC＝α，BC＝________m，所以利用锐角三角函数的定义可得
AB＝________÷________＝________m.
图24－4－16
6．如图24－4－17，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )
A．100 m B．50 m
C．50 m D. m
图24－4－17
7．［2016·阜新］如图24－4－18，在高出海平面120 m的悬崖顶A处，观测海面上的一艘小船B，并测得它的俯角为30°，那么船与观测者之间的水平距离为________m．(结果用根号表示)
图24－4－18
8．［2017·临沂］如图24－4－19，两座建筑物的水平距离BC＝30 m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．
图24－4－19
9．［2016·巴彦淖尔］如图24－4－20，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000 m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是( )
A．3000 m B．3000(＋1)m
C．3000(－1)m D．1500 m
图24－4－20
10．［2017·黄冈］在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图24－4－21所示)，已知标语牌的高AB＝5 m，在地面上的点E处测得标语牌上点A的仰角为30°，在地面上的点F处测得标语牌上点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
图24－4－21
11．［2017·随州］风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图①)，图②是从图①引出的平面图(示意图)．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D(点D，C，H在同一直线上)的仰角是45°.已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计)，山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．(参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6)
图24－4－22
12．如图24－4－23(示意图)，某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为2.4米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.2米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为15米(点C，A，D在同一条直线上)．
(1)求看台最低点A到最高点B的坡面距离AB；
(2)一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G，H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度(精确到0.01米/秒)．
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)
图24－4－23
教师详答
1．C [解析] 在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，∠ABO＝α，BO＝30米，∴AO＝BO·tanα＝30tanα(米)．故选C.
2．C [解析] 在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝45°，∴BD＝AB.
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝30°，
∴tan∠ACB＝＝tan30°＝，
∴BC＝AB.
设AB＝x米，
∵CD＝100米，∴BC＝(x＋100)米，
∴x＋100＝x，
解得x＝50(＋1)．
即塔AB的高为50(＋1)米．
故选C.
3．(20 －20)
4．解：由题意可得CD＝16米．
∵AB＝CB·tan30°，AB＝BD·tan45°，
∴CB·tan30°＝BD·tan45°，
∴(CD＋BD)×＝BD×1，
即(16＋BD)×＝BD，
解得BD＝(8 ＋8)米，
∴AB＝BD·tan45°＝(8 ＋8)米．
答：旗杆AB的高度是(8 ＋8)米．
5．100 BC tanα
6．A [解析] 因为 tan30°＝，
所以BC＝＝100 (m)．
7．120
8．解：延长CD交AM于点E，可得DE⊥AM.
在Rt△AED中，AE＝BC＝30 m，α＝30°，
∴ED＝AEtan30°＝10 m.
∵β＝60°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°.
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝30 m，
∴AB＝＝30 m，
∴CD＝EC－ED＝AB－ED＝30 －10 ＝20 (m)．
答：建筑物AB的高度为30 m，建筑物CD的高度为20 m.
9． C [解析] 由题意可知CE∥BD，
∴∠CBA＝30°，∠CAD＝45°，且CD＝3000 m，
∴AD＝CD＝3000 m.
在Rt△BCD中，BD＝＝＝3000 (m)，
∴AB＝BD－AD＝3000 －3000＝3000(－1)m.
故选C.
10．[解析] 如图，作FH⊥AE于点H.由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，推得AH＝HF.设AH＝HF＝x m，则EF＝2x m，EH＝x m．在Rt△AEB中，由∠E＝30°，AB＝5 m，推得AE＝2AB＝10 m，可得x＋x＝10，解方程即可．
解：如图，作FH⊥AE于点H.
∵∠HAF＝∠AFB－∠E＝75°－30°＝45°，
∴∠HFA＝90°－45°＝45°，
即∠HAF＝∠HFA＝45°，
∴AH＝HF.
设AH＝HF＝x m，则EF＝2x m，EH＝x m.
在Rt△AEB中，
∵∠E＝30°，AB＝5 m，
∴AE＝2AB＝10 m，∴x＋x＝10，
解得x＝5 －5，
∴EF＝2x＝10 －10≈7.3(m)．
答：点E与点F之间的距离约为7.3 m.
11．[解析] 作BE⊥DH于点E，知GH＝BE，BG＝EH＝10，设AH＝x，则BE＝GH＝43＋x，由CH＝AH·tan∠CAH＝tan55°·x，知CE＝CH－EH＝tan55°·x－10，根据BE＝DE，可得关于x的方程，解之即可．
解：如图，作BE⊥DH于点E，
则GH＝BE，BG＝EH＝10.
设AH＝x，则BE＝GH＝GA＋AH＝43＋x.
在Rt△ACH中，CH＝AH·tan∠CAH＝tan55°·x，
∴CE＝CH－EH＝tan55°·x－10.
∵∠DBE＝45°，
∴BE＝DE＝CE＋DC，
即43＋x＝tan55°·x－10＋35，
解得x≈45，
∴CH＝tan55°·x≈1.4×45＝63(米)．
答：塔杆CH的高约为63米．
12．[解析] (1)根据正弦的定义计算即可；
(2)作FP⊥ED于点P，根据正切的定义求出AC，根据正切的概念求出EP，计算即可．
解：(1)在Rt△ABC中，AB＝≈4.00米．
(2)作FP⊥ED于点P，
AC＝≈3.20米，
则CD≈3.2＋15＝18.20(米)，
∴FP＝CD≈18.20米，
∴EP＝FP·tan∠EFP≈11.83米．
∵DP＝BF＋BC＝3.60米，
∴ED＝EP＋DP≈15.43米，
EG＝ED－GH－HD≈13.23米，
则红旗升起的平均速度为13.23÷30≈0.44(米/秒)．
答：红旗升起的平均速度约为0.44米/秒．
24.4 第3课时 解直角三角形的应用——坡度、坡角
知识点 1 坡度与坡角
1．以下对坡度的描述正确的是( )
A. 坡度是指坡面与水平面夹角的度数
B. 坡度是指坡面的铅垂高度与水平长度的比
C. 坡度是指坡面的水平长度与铅垂高度的比
D. 坡度是指坡面的水平长度与坡长的比
2．若斜坡AB的坡角为56°19′，坡度i≈3∶2，则( )
A．sin56°19′≈1.5 B．cos56°19′≈1.5
C．tan56°19′≈1.5 D．tan56°19′≈
3．如果坡角的余弦值为，那么坡度为( )
A．1∶ B．3∶
C．1∶3 D．3∶1
4．［2017·济南］如图24－4－24，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅垂高度与水平长度的比称为坡度)，把一根长5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竹竿上距离竹竿底端1 m处的点D离地面的高度DE＝0.6 m，又量得竿底与坝脚的距离AB＝3 m，则石坝的坡度为( )
A. B．3 C. D．4
图24－4－24
5．如图24－4－25，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角为________．
图24－4－25
5．如图24－4－25，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面的高度h＝2米，则这个土坡的坡角为________．
6．［教材例4变式］渠道的横断面如图24－4－26，渠口宽AD＝4 m，渠底宽BC＝2 m，AD∥BC，AB＝CD，渠深1 m，求渠壁的坡度和坡角α .
图24－4－26
知识点 2 坡面距离、坡面的水平距离(或铅垂高度)
7．［2017·温州］如图24－4－27，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是( )
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
图24－4－27
8．如图24－4－28是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平长度为12米，坡面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( )
A．4 米 B．6 米 C．12 米 D．24米
图24－4－28
9．如图24－4－29，在坡度为1∶2的山坡上种树，要使株距(相邻两棵树的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( )
A．6 m B．3 m C．3 m D．12 m
图24－4－29
10．［2017·泰州］小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了______m.
11．某地下车库的入口处有一斜坡AB，其坡度i＝5∶12，且AB＝26 m，则车库的深度为___________________m.
12．如图24－4－30，一人乘雪橇沿坡度为1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)之间的关系式为s＝10t＋2t2.若滑到坡底的时间为4秒，求此人下降的高度为多少米．
图24－4－30
13．［教材练习变式］［2017·重庆］如图24－4－31(示意图)，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则该建筑物AB的高度为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )
A．29.1米 B．31.9米
C．45.9米 D．95.9米
图24－4－31
14．如图24－4－32所示，小刚早晨起来去爬山，他从山脚沿坡度为1∶1的坡面前进了100 m到达B点，后又沿坡角为60°的坡面前进了200 m到达山顶C点，则此山高为__________m.
图24－4－32
15．［2016·泸州］如图24－4－33，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿坡面坡度i＝1∶的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度.参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值
图24－4－33
16．［2017·黔东南州］如图24－4－34，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°.根据有关部门的规定，当∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24)
图24－4－34
17．如图24－4－35，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°.已知BC＝90米，且B，C，D在同一条直线上，坡面坡度为(即tan∠PCD＝)．
(1)求该建筑物的高度(即AB的长)；
(2)求此人所在位置点P的铅垂高度(测倾器的高度忽略不计，结果保留根号)．
图24－4－35
教师详答
1．B 2.C 3.C 4.B 5.30°
6．解：分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.
∵AD∥BC，∴四边形AEFD为矩形，
∴EF＝AD，AE＝DF.
又∵AB＝DC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴BE＝CF.
∵AD＝4 m，BC＝2 m，
∴BE＝CF＝1 m，
∴渠壁的坡度i＝1∶1，
即tanα＝1，
∴α＝45°.
答：渠壁的坡度为1∶1, 坡角α为45°.
7．A [解析] 如图，假设AC＝13米，作CB⊥AB于点B，
∵cosα＝＝，
∴AB＝12(米)，
∴BC＝＝＝5(米)，
∴小车上升的高度是5米．
故选A.
8．B [解析] 在Rt△ABC中，∵＝i＝，AC＝12米，
∴BC＝6米．
根据勾股定理，得AB＝＝6 米．
故选B.
9．B
10．25 [解析] 如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵坡度i＝1∶，
∴tanA＝1∶＝，
∴∠A＝30°.
∵AB＝50 m，
∴BE＝AB＝25 m，
∴小明沿垂直方向升高了25 m.
故答案为25.
11．10
12．解：如图，由题意知t＝4时，s＝72，i＝1∶.设BC＝x，则AC＝x，
由勾股定理得AB＝2x＝72，
∴x＝36，
∴BC＝36，
∴此人下降的高度为36米．
13．A [解析] 作DE⊥BC于点E，作AF⊥DE于点F，如图．
设DE＝x米，则CE＝2.4x米，由勾股定理，得
x2＋(2.4x)2＝1952，
解得x＝75，
∴DE＝75米，CE＝2.4x＝180米，
EB＝BC－CE＝306－180＝126(米)．
∵AF∥DG，
∴∠1＝∠ADG＝20°，
∴tan∠1＝tan∠ADG≈0.364.
∵AF＝EB＝126米，tan∠1＝≈0.364，
∴DF≈0.364AF＝0.364×126≈45.86(米)，
∴AB＝FE＝DE－DF≈75－45.86≈29.1(米)．
故选A.
14． (50 ＋100 )
15．解：过点B作BE⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，则四边形CEBF是矩形．
∵斜面DB的坡度i＝1∶，∴∠BDE＝30°.
在Rt△BED中，BD＝30，
∴BE＝BD·sin30°＝15，ED＝BD·cos30°＝15 ，
∴BF＝CE＝CD－ED＝45 .
在Rt△AFB中，∠ABF＝53°，
∴AF＝BF·tan∠ABF≈45 ×＝60 ，
∴AC＝AF＋FC＝AF＋BE≈60 ＋15.
答：楼房AC的高度约为(60 ＋15)米．
16．[解析] 假设点D水平移动到点D′的位置时，恰好有∠D′CE＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE，CE，CE′的长，进而可得出结论．
解：假设点D水平移动到D′的位置时，恰好有∠D′CE＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，
∵CD＝12米，∠DCE＝60°，
∴DE＝CD·sin60°＝12×＝6 (米)，CE＝CD·cos60°＝12×＝6(米)．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴D′E′＝DE＝6 米．
∵∠D′CE′＝39°，
∴CE′＝≈≈12.8(米)，
∴EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7(米)，
∴DD′＝EE′≈7米．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
17．解：(1)在Rt△ABC中，BC＝90，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC·tan60°＝90 .
答：该建筑物的高度为90 米．
(2)过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥AB于点F，则四边形BEPF是矩形，
∴PE＝BF，PF＝BE.
设PE＝x，则BF＝PE＝x.
在Rt△PCE中， tan∠PCD＝＝，
∴CE＝2x.
∵AF＝AB－BF＝90 －x，
PF＝BE＝BC＋CE＝90＋2x，
且在Rt△APF中，∠APF＝45°，
∴AF＝PF，即90 －x＝90＋2x.
解得x＝30 －30.
答：此人所在位置点P的铅垂高度为(30 －30)米．
