课时跟踪检测（一） 命 题
层级一 学业水平达标
1．下列语句不是命题的有( )
①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<4；④函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．
2．下列命题是真命题的是( )
A．所有质数都是奇数
B．若>，则a>b
C．对任意的x∈N，都有x3>x2成立
D．方程x2＋x＋2＝0有实根
解析：选B 选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错；因为当x＝0时x3>x2不成立；选项D错，因为Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x2＋x＋2＝0无实根．
3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D 由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．
4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2
C．0 D．－3
解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
5．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的， 则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：选C 对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；
对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
6．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
②是假命题，0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤祈使句，不是命题．
答案：②③④ ④
7．给出下面三个命题：
①函数y＝tan x在第一象限是增函数；
②奇函数的图象一定过原点；
③若a>b>1，则0
其中是真命题的是________．(填序号)
解析：①是假命题，反例：x＝2π＋和x＝，tan＝，tan ＝1,2π＋>，但tan2π＋②是假命题，反例：y＝是奇函数，但其图象不过原点．
③是真命题，由对数函数的图象及单调性可知是真命题．
答案：③
8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有
解得－3≤a<0.
综上，－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．
p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
10．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B 构造的命题“若p，则q”为真命题．
解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．
层级二 应试能力达标
1．在空间中，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：选D A中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时，两平行直线的平行投影不重合．B中两直线也可以相交或异面．C中两平面可以相交．D正确．故选D.
2．下面的命题中是真命题的是( )
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0
C．如果M?N，那么M∪N＝M
D．在△ABC中，若·>0，则B为锐角
解析：选B y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；当M?N时，M∪N＝N，故C为假命题；在三角形ABC中，当·>0时，向量与的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题．故选B.
3．下列命题为真命题的是( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x解析：选A 很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A.
4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
解析：选C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.
5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”条件p：________，结论q：________________________________.它是____________命题(填“真”或“假”)．
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，
∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域(包括边界)，
∴命题为真命题．
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
6．定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：
①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；
③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
解析：对于①，当a≥1时，ab≥1，则ln＋(ab)＝ln ab＝bln a＝bln＋a；当0同理讨论a，b在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题．
对于②，可取特殊值a＝e，b＝，则ln＋(ab)＝0，ln＋a＋ln＋b＝1＋0＝1，故②为假命题．
综上可知，真命题有①③④.
答案：①③④
7．已知p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
解：若命题p为真命题，由x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥m，可知m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，
即或所以1故实数m的取值范围是(1,2)．
8．试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件．
解：方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：
当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－；
当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0.
综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．
课时跟踪检测（七） 直线与椭圆的位置关系
层级一 学业水平达标
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：选B 直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B．
2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A． B．
C． D．
解析：选A 由消去y得，
(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝，∴x0＝，
代入y＝1－x得y0＝．
由题意＝，∴＝，选A．
3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．0，
C．0， D．，1
解析：选C ∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c0，∴04．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则| |＝( )
A． B．2
C． D．3
解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1．∴右焦点F(1,0)．
由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0．
∴x0＝，y0＝n．
将x0，y0代入＋y2＝1，
得×2＋2＝1．
解得n2＝1，
∴||＝＝＝．
5．(全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选D 因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，
所以直线AB的方程为y＝(x－3)，
代入椭圆方程＋＝1消去y，
得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，
又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3．
所以E的方程为＋＝1．
6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为______．
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0．
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6．
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝ ＝ ＝．
答案：
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，| |＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，
∴⊥．
∴||2＝| |2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，∴||min＝．
答案：
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6．
答案：6
9．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
解：∵a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴右焦点F(，0)，∴直线l的方程y＝x－．
由消去y并整理，得5x2－8x＋8＝0．
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝＝，
即弦AB的长为．
10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，
∴b＝4．又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1．
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，∴AB的中点坐标 x0＝＝，y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为．
层级二 应试能力达标
1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2 B．1
C．0 D．0或1
解析：选A 由题意，得 >2，所以m2＋n2<4，则－22．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A．
B．
C．∪
D．∪
解析：选C 由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)>0，即k>或k<－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C．
3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
解析：选C 设＝k，则y＝k(x－2)．
由消去y，整理得
(k2＋4)x2－4k2x2＋4(k2－1)＝0，
Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，
解得k＝±，
∴kmin＝－．选C．
4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P(不在x轴上)为椭圆上一点，且满足·＝c2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选C 由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2． ①
又·＝c2，
∴|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝c2， ②
由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2＝4c2， ③
由①②③，得cos∠F1PF2＝<1，
所以c又|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
∴2a2－3c2≤a2，a2≤3c2，e≥，
则椭圆离心率的取值范围是，故选C．
5．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程是________．
解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并将x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入，得＝－，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
答案：x＋2y－4＝0
6．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，所以＝，即e＝．
答案：
7．已知F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
解：显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝．
由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－．①
又0°<∠AOB<90°?cos∠AOB>0?·>0，
所以·＝x1x2＋y1y2>0．
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，
所以＋>0，即k2<4，所以－2综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为－2，－∪．
8．(2016·浙江高考)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
解：(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，
由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
故x1＝0，x2＝－.
因此|AP|＝|x1－x2|＝.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.
由(1)知，|AP|＝，
|AQ|＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.
由k1≠k2，k1，k2＞0得
1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
因此＝1＋a2(a2－2)． ①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是
1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤.
由e＝＝，得0＜e≤.
所求离心率的取值范围为.
课时跟踪检测（三） 充分条件与必要条件
层级一 学业水平达标
1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选D 当数列{an}的首项a1＜0时，若q＞1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1＜0时，要使数列{an}为递增数列，则0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.
2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙
丙，如图．
综上，有丙?甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C 对于A，当a＝－b时，≠；对于B，注意当a∥b时，与可能不相等；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.
4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，
而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．
故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．
5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( )
A．x≥0 B．x2≥－x
C．log2(x＋1)>0 D．2x<1
解析：选B ∵|x|＝x?x≥0，
∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．
对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，
∴x≥0或x≤－1.
故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________________条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A?/ B.
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A，
所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.
答案：(－∞，1)
8．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为______________．
解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.
所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝，
所以c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则＝r成立，
说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：(1)充分性：当q＝－1时，a1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
当n＝1时，上式也成立．
于是＝＝p，即数列{an}为等比数列．
(2)必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p＝，∴q＝－1.
即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
层级二 应试能力达标
1．“0b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当0b成立，所以是充分条件；当a>b时，有a2．已知p：x2－x<0，那么命题p的一个必要不充分条件是( )
A．0C.解析：选B 由x2－x<0?03．下列说法正确的是( )
A．“x>0”是“x>1”的必要条件
B．已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件
C．“a4>b4”是“a>b”的必要条件
D．在△ABC中，“a>b”不是“A>B”的充分条件
解析：选A A中，当x>1时，有x>0，所以A正确；B中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以B不正确；C中，当a>b时，a4>b4不一定成立，所以C不正确；D中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以D不正确．故选A.
4．设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，
∴解得0≤a≤.故选B.
5．已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)，则该方程有两个正根的充要条件是________．
解析：方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是
即?
设此时方程的两根分别为x1，x2，则方程有两个正根的充要条件是??1答案：(1,2]∪[10，＋∞)
6．已知“－1解析：当方程x2＋y2＋kx＋y＋k2＝0表示圆时，
k2＋3－4k2>0，解得－1所以－1即实数m的取值范围是(－1,1]．
答案：(－1,1]
7．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分条件，求正实数a的取值范围．
解：不等式x2－8x－20>0的解集为
A＝{x|x>10或x<－2}；
不等式x2－2x＋1－a2>0的解集为
B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p?q，所以A?B.
于是有解得0所以正实数a的取值范围是(0,3]．
8．求二次函数y＝－x2＋mx－1的图象与两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点的充要条件．
解：线段AB的方程为x＋y＝3，由题意得方程组在[0,3]上有两组实数解，将①代入②，得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，此方程有两个不同的实数根，令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根，
故有：解得3故m的取值范围是.
课时跟踪检测（九） 双曲线的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．下列双曲线中离心率为的是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选B 由e＝得e2＝，∴＝，
则＝，∴＝，即a2＝2b2．因此可知B正确．
2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
解析：选A 令y＝0得，x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A．
3．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－10,0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
解析：选B 由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k．
∴e2＝＝＝1－．
又e∈(1,2)，∴1<1－<4，∴－124．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选B 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1．
5．(2016·浙江高考)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
解析：选A C1的焦点为(±，0)，C2的焦点为(±，0)，∵C1与C2的焦点重合，∴＝，∴m2＝n2＋2，∴m2＞n2.∵m＞1，n＞0，∴m＞n.
∵C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，
∴e1e2＝·＝＝＝＝＞＝1.
6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，
在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得
解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
答案：－y2＝1
7．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且＝0，△F1PF2的内切圆半径r＝2a，则双曲线的离心率e＝________.
解析：可设P为第一象限的点，
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，①
＝0，可得PF1⊥PF2，
由勾股定理可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，②
②－①2，可得2|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2，
即有|PF1|＋|PF2|＝，
由三角形的面积公式可得
r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝|PF1|·|PF2|，
即为2a(＋2c)＝2b2，整理得：c2－4ac－5a2＝0，解得c＝5a(c＝－a舍去)，即有e＝＝5.
答案：5
8．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x．
不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，
所以B．
所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝．
答案：
9．(全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，求该三角形的面积．
解：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|．
因为|AF|＝＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，
由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12．
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解：(1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2．
所以双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．
所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m．
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5．
故m＝±1．
层级二 应试能力达标
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2
C． D．1
解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y＝x，则所求距离d＝＝2．故选A．
2．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
解析：选D 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24．故选D．
3．若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，所以－2＝－×4，即a＝2b．设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，所以e＝＝＝．故选D．
4．(全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A． B．
C． D．2
解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝．故选A．
法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝．
又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝．
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．
解析：由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
6．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：联立解得
∴M，F1(－c,0)，F2(c,0)，
∴＝，＝，
由题意可得>0，即－>0，
化简可得b2>3a2，即c2－a2>3a2，
故可得c2>4a2，c>2a，可得e＝>2.
答案：(2，＋∞)
7．设双曲线－＝1(0解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0．
于是有＝c，
所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4．
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝．
又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2．
于是双曲线的离心率为2．
8．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是，求实数k的值．
解：(1)由消去y，
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．①
由直线l与双曲线C有两个不同的交点，
得
解得－即k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程①，得x1＋x2＝，x1x2＝．
因为直线l：y＝kx－1恒过定点D(0，－1)，
则当x1x2<0时，S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1－x2|＝；
当x1x2>0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD|＝|x1－x2|＝．
综上可知，|x1－x2|＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±．
由(1)，可知－课时跟踪检测（二） 四种命题 四种命题间的相互关系
层级一 学业水平达标
1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
解析：选C 因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：选A a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
解析：选B 即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．
4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
解析：选A 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
5．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.
6．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是______________________，这是________(填“真”或“假”)命题．
解析：逆命题即将原命题条件和结论互换位置．
答案：如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数 假
7．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
8．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．
答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．
10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真命题．
层级二 应试能力达标
1．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
解析：选C 若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.
2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
解析：选A 由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选A.
3．原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( )
A．原命题是真命题 B．逆命题是假命题
C．否命题是真命题 D．逆否命题是真命题
解析：选C 原命题是假命题，所以逆否命题是假命题，逆命题“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题是真命题，故选C.
4．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．
5．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是________________．
答案：若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1
6．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”；
全为真命题．
答案：4
7．已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于.
证明：原命题的逆否命题为：已知a，b，c∈R，若a，b，c都不小于，则a＋b＋c≥1.
由条件a≥，b≥，c≥，
三式相加得a＋b＋c≥1，
显然逆否命题为真命题．
所以原命题也为真命题．
即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1，
则a，b，c中至少有一个小于.
8．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若命题：对于任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[－1,2]使f(x1)＝g(x2)为真命题，求实数a的取值范围．
解：对于任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[－1,2]使f(x1)＝g(x2)，则{f(x)|x∈[－1,2]}?{g(x)|x∈[－1,2]}．又f(x)＝x2－2x在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以－1≤f(x)≤3.因为g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上单调递增，所以－a＋2≤g(x)≤2a＋2，于是有即a≥3.
故实数a的取值范围为[3，＋∞)．
课时跟踪检测（五） 椭圆及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D．
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4．
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
4．在直角坐标系xOy中，“a>b”是“方程＋＝1表示椭圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分条件又不必要条件
解析：选A 若a>b，则a2≠b2，方程＋＝1表示椭圆，是充分条件，若方程＋＝1表示椭圆，得不到a>b，不是必要条件．
5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝．
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2．∴b2＝a2－c2＝9．
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1．
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1．
∴m－4＝1，m＝5．
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，
∴m＝3．
答案：3或5
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________________．
解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1．
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16．所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．
解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3．
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25．
∴椭圆的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
解：由点在椭圆上，得＋＝1，
又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解：(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．
所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．
将点的坐标代入整理得4a4－463a2＋6 300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)因为P为椭圆C上任一点，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20．
由(1)知c＝6，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，
所以由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ，
即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．
因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·
所以122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|．
所以122＝202－3|PF1||PF2|．
所以|PF1|·|PF2|＝＝＝．
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin ＝××＝．
所以△F1PF2的面积为．
层级二 应试能力达标
1．下列说法中正确的是( )
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
解析：选C A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选C．
2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为( )
A．9 B．12
C．10 D．8
解析：选A ∵·＝0，
∴PF1⊥PF2．
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a．
又a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴
②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|·|PF2|＝18，
∴△F1PF2的面积为
S＝·|PF1|·|PF2|＝9．
3．若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1．因为椭圆的焦点在y轴上，所以>>0，即sin α>cos α>0．又α∈，所以<α<．
4．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心：且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7．
5．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．
解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1变形为＋＝1，所以－＝16，解得k＝．
答案：
6．已知椭圆C： ＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|＋|BN|＝________．
解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12．
答案：12
7．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，
由已知条件得解得
所以b2＝a2－c2＝12．
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
法二：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2．
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4．
在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；
在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝．
依题意有＝3，得b2＝12．
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
8． 如图在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
解：如图，连接MA．由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5．
又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝．
故点M的轨迹方程为＋＝1．
课时跟踪检测（八） 双曲线及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
解析：选D F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
解析：选D 将方程化为－＝1，
由mn<0，知－>0，
所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A． B．
C． D．5
解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝．
4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A． B．1或－2
C．1或 D．1
解析：选D 依题意知解得a＝1．
5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．y2－＝1 D．－＝1
解析：选A 由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1．
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16．
答案：16
7．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________．
解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则解得
故双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
8．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．
解析：由题意可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2．根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20．
根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a．
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得
20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1．
答案：－y2＝1
9．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
解：已知双曲线－＝1，由c2＝a2＋b2，
得c2＝16＋9＝25，∴c＝5．
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为－＝1．
∵点P在双曲线上，
∴－＝1．
化简，得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝．
又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24．
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C．
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1．
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4．
(2)∵sin B－sin A＝sin C，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
层级二 应试能力达标
1．设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
解析：选B 由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B．
2．若双曲线－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A．1 B．
C．2 D．4
解析：选A 设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2，已知|PF1|＋|PF2|＝2，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，|PF1|·|PF2|＝2．又|F1F2|＝2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，于是S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2＝1．故选A．
3．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k＝( )
A．1 B．－1
C． D．－
解析：选A 依题意，知双曲线的焦点在x轴上，方程可化为－＝1，则k>0，且a2＝，b2＝，所以＋＝9，解得k＝1．
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
解析：选C 由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m．故选C．
5．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为________．
解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，所以|PF2|＝22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2．
答案：22或2
6．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．
解析：因为双曲线方程为－＝1，
所以c＝＝13，
设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，
则F1(－13,0)，F2(13,0)．
设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y>0)，则＝－1＝，
所以y＝，即|AF1|＝．
又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
所以|AF2|＝24＋＝．
即所求距离分别为，．
答案：，
7．已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．
(1)设(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
解：(1)因为
所以tan θ＝．
又即tan θ的取值范围为(1,4)．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则||＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，则y1＝±．
又·＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，解得x1＝c，
所以||＝＝ ≥＝2，
当且仅当c＝4时，||最小，
这时Q的坐标为(，)或(，－)．
因为所以于是双曲线的标准方程为－＝1．
8．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值．
解：(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r．由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，
两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4．
则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，
∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1．
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．
又|MF|＝＝2，
∴||MP|－|FP||的最大值为2．
课时跟踪检测（六） 椭圆的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 依题意，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A．
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9．
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若＝2，则椭圆的离心率是( )
A． B．
C． D．
解析：选D ∵＝2，∴||＝2||．
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝．
5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mA．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
解析：选C 化为标准方程是＋＝1，
∵m∴焦点在y轴上，且c＝＝．
6．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________．
解析：当焦点在x轴上时，＝?m＝3；
当焦点在y轴上时，＝?m＝．
综上，m＝3或m＝．
答案：3或
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2．
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1．
解得a2＝45．∴椭圆方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
解析：设A(m，n)．
由＝5，得B．
又A，B均在椭圆上，所以有
解得或
所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．
答案：(0,1)或(0，－1)
9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由e＝知＝，故＝，从而＝，＝．由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8．
故椭圆C的标准方程为＋＝1．
10．椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是2＋y2＝2．
∴y2＝ax－x2．①
又P点在椭圆上，故＋＝1．②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即
(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0∴0<由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>．
又∵0层级二 应试能力达标
1．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴长、短轴长 B．有相等的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的顶点
解析：选B c＝25－9＝16，c＝(25－k)－(9－k)＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B．
2．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )
A．8,6 B．4,3
C．2， D．4,2
解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3．故选B．
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，
可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝．
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1．
4．(全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
设E(0，m)，
由PF∥OE，得＝，
则|MF|＝．①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝．②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，
∴e＝＝．故选A．
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．
解析：在Rt△ABF中，
|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，
由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2．
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝．
因为e>0，所以e＝．
答案：
6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．
解析：由题意，知a＝10，b＝8，不妨设椭圆方程为＋＝1，其上的点M(x0，y0)，则|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，点M到椭圆中心的距离d＝．因为＋＝1，所以y＝64＝64－x，则d＝＝ ，因为0≤x≤100，所以64≤x＋64≤100，即8≤d≤10．
答案：[8,10]
7．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．
解：椭圆方程可化为＋＝1，
由m－＝>0，可知m>，
所以a2＝m，b2＝，c＝＝ ，
由e＝，得 ＝，解得m＝1．
于是椭圆的标准方程为x2＋＝1，
则a＝1，b＝，c＝．
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，．
8．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．
(1)若|AB|＝4，△ABF2 的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E 的离心率．
解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1．
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．
故|AF2|＝8－3＝5．
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k．
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．
在△ABF2中，由余弦定理可得，
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k．
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k．
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝．
课时跟踪检测（十九） 抛物线的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝－22x D．y2＝22x
解析：选C 在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，即＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C．
2．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2 ) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
解析：选B 设A(x，y)，则y2＝4x，①
又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
所以·＝x－x2－y2＝－4．②
由①②可解得x＝1，y＝±2．
4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋2．
由得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1．
∴|AB|＝
＝＝＝2．
5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝．由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝．
6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2．
∴所求点的坐标为(3,2)．
答案：(3,2)
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为．
因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝．
答案：
8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________．
解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为y＝x＋，与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为xA＝－p，xB＝p，故A－p，p，Bp，p，所以|AF|＝p，|BF|＝2p，所以＝．
答案：
9．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．
解：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2．
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①
∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3．
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0．
10．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3．代入y2＝4x，解得y1＝±2．
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
得消去y，整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
∵直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝2＋．
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4．
层级二 应试能力达标
1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
解析：选C 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x．故选C．
2．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有两条
C．有无穷多条 D．不存在
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7．又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，所以这样的直线有两条．故选B．
3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )
A．2或－2 B．1或－1
C．2 D．3
解析：选C 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0．又由Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，得k>－1．则由＝4，得k＝2．故选C．
4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A． B．
C． D．2
解析：选D 由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①
由
?
∵·＝0，
∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0．
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，
即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0．④
由①②③④解得k＝2．故选D项．
5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；若抛物线C上一点A到其准线的距离与到原点距离相等，则A点到x轴的距离为________．
解析：∵抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，∴＝1，即p＝2.∵点A到其准线的距离与到原点距离|OA|相等，且点A到准线的距离等于|AF|，∴|OA|＝|AF|，∴A点的横坐标为，∴y＝4×＝2，解得|yA|＝，即A到x轴的距离为.
答案：2
6．顶点为坐标原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为，则抛物线方程为________．
解析：设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，
联立得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则Δ＝(4－a)2－16>0，得a>8或a<0．
设直线与抛物线的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|AB|＝
＝＝，
解得a＝12或a＝－4．
所以抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x．
答案：y2＝12x或y2＝－4x
7．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于 时，求实数k的值．
解：(1)证明：由消去x，得ky2＋y－k＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知k≠0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－1．
由A，B在抛物线y2＝－x上，可知y＝－x1，y＝－x2，则yy＝x1x2．
因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，
所以OA⊥OB．
(2)设直线与x轴交于点N．
令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．
因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON|·|y2|＝|ON||y1－y2|，
所以S△OAB＝×1×
＝ ＝．
解得k＝±．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
解：(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝．
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋．
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2．
所以C的方程为y2＝4x．
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，
故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x得y2－4my－4＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝|y1－y2|
＝·
＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，
所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3．
将上式代入y2＝4x，
并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0．
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|
＝·
＝．
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋2＋2＝．
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1．
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0．
课时跟踪检测（十七） 空间向量与平行、垂直关系
层级一 学业水平达标
1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
解析：选D 问题即求与n共线的一个向量．即n＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)．
2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于( )
A．3 B．6
C．－9 D．9
解析：选C ∵l⊥α，v与平面α平行，
∴u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋3×2＋z×1＝0，
∴z＝－9.
3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1,1，－1) B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1) D．(－1，－1，－1)
解析：选D ＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD C．A1D D．A1A
解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，
∴＝，
＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.
5.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
这四个结论中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴∥，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．
又B1Q与D1P不平行，故②不正确．
6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是_______(填序号)．
解析：由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，
所以①②③正确．
答案：①②③
7．在直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，得·＝0.
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0.
∴cos x＝0或cos x＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
8.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE＝________.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则B1(0,0,3a)，
C(0，a,0)，
D，，3a.
设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，
则＝，
＝(a,0，z－3a)，
＝.
又·＝a2－a2＋0＝0，
故由题意得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.
故AE＝a或2a.
答案：a或2a
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
D-xyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.
∴＝(1,1，－1)，＝，＝，设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，
＝.
∵⊥，
∴x＋－＝0，即x＋y－z＝0.①
又∵∥，可设＝λ，
∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
∴＝.
(1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有
即∴
取z1＝－1，则n1＝(－1,1，－1)．
∵＝(1,0，－1)，∴·n1＝0.
又∵PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB.
(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有
即∴
取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．
∴∥n2，∴PB⊥平面EFD.
10．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，M分别是BC，AE的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.试问在线段CD1上是否存在一点N使MN∥平面ADD1A1，若存在确定N的位置，若不存在说明理由．
解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(a，0,0)，B(a,2a,0)，
C(0，2a,0)，D1(0,0，a)，
E，M，
＝(0,2a,0)，＝(0，－2a，a)，假设CD1上存在点N使MN∥平面ADD1A1并设＝λ1＝(0，－2aλ，aλ)(0<λ<1)．
则＝＋＝(0,2a,0)＋(0，－2aλ，aλ)
＝(0,2a(1－λ)，aλ)，
＝－＝.
又是平面ADD1A1的一个法向量．
∴⊥，则2a(a－2aλ)＝0，λ＝.
又MN?平面ADD1A1.
故存在N为CD1的中点使MN∥平面ADD1A1.
层级二 应试能力达标
1．已知a＝，b＝分别是直线l1，l2的一个方向向量．若l1∥l2，则( )
A．x＝3，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝3，y＝
解析：选D ∵l1∥l2，∴＝＝，∴x＝3，y＝，故选D.
2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论：
①平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；
②平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)；
③平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)；
④平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)．
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴①正确；
∵＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴②不正确；
∵＝(0,1，－1)，＝(－1,0,1)，(1,1,1)·＝0，(1,1,1)·＝0，B1C∩CD1＝C，∴(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，∴③正确；
∵＝(0,1,1)，而·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即④不正确．因此正确结论的个数为2，选B.
3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.
C. D.
解析：选B 要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C、D.故选B.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
解析：选B 建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，
∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，
∴＝(－1,0,1)．
又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，
∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，
∴⊥n，
∴MN∥平面BB1C1C.故选B.
5．若直线l的一个方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的一个法向量为u＝(－2,0，－4)，则直线l与平面α的位置关系为________．
解析：∵u＝－2a，∴a∥u，∴l⊥α.
答案：l⊥α
6．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝________.
解析：∵⊥，∴·＝0，∴3＋5－2z＝0，
∴z＝4.
∵＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，
∴即解得
故＝.
答案：
7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点．求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.
证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，
由题意，知D(0,0,0)，A(2，0,0)，C(0,2，0)，B1(2，2，4)，
E(2，，0)，F(，2，0)，
则＝(0，－，－4)，
＝(－，，0)．
设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)．
则n·＝－y－4z＝0，n·＝－x＋y＝0，
得x＝y，z＝－y，令y＝1，得n＝.
又平面BDD1B1的一个法向量为＝(－2，2，0)，
而n·＝1×(－2)＋1×2＋×0＝0，
即n⊥，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
8.如图，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；
(2)求证：EG与直线PG和BC都垂直．
证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系P-xyz.
则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0，0,0)．
于是＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)，
则即可取n＝(0,1，－1)．
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
又n·＝0，
∴n⊥，
即平面PBC的法向量与平面GEF的法向量垂直，
∴平面GEF⊥平面PBC.
(2)由(1)，知＝(1，－1，－1)，
＝(1,1,0)，＝(0，－3,3)，
∴·＝0，·＝0，
∴EG⊥PG，EG⊥BC，
∴EG与直线PG和BC都垂直．
课时跟踪检测（十三） 空间向量的数乘运算
层级一 学业水平达标
1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为( )
A．1 B．0
C．3 D.
解析：选D ∵＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，x＝.
2．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：选A ∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A，B，D三点共线．
3．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB B．P?AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
解析：选A 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以＝(1－n) ＋n，
即－＝n(－)，
即＝n，所以与共线．
又，有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，
即P∈AB.
4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A．＝3－2－
B．＋＋＋＝0
C．＋＋＝0
D．＝－＋
解析：选C ∵＋＋＝0，
∴＝－－，
∴M与A，B，C必共面．
5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
解析：选D 因为＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝1，y＝.
6．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________.
解析：原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b＋c＝a＋b－c.
答案：a＋b－c
7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
解析：＝－＝－＝－(－)＝＋，又＝＋λ，所以λ＝.
答案：
8．有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；
因为∥且，有公共点A，所以②正确；
由于a＝4e1－e2＝－4－e1＋e2＝－4b，所以a∥b.故③正确；
易知④也正确．
答案：②③④
9.在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果的向量．
解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
∴＝.
又＝(－)
＝－＝－＝，
∴＋－
＝＋－＝ (如图所示)．
10.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解：(1)证明：∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，
∴＝＝＝，
∴＝，＝，
∴＝＋＋＝＋＋＋
＝＋＝＋＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝，
∴x＋y＋z＝.
层级二 应试能力达标
1．给出下列命题：
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
③若，共线，则AB∥CD；
④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x ＋y ＋z (其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．
其中不正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C.
2．若a，b是平面α内的两个向量，则( )
A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0
C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)
解析：选D 当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面α内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．
3．已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若i与j不共线，则k与i，j共面?存在唯一的一对实数x，y，使k＝xi＋yj，x，y不一定非零．故选A.
4．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则存在实数λ，使＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ) －λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
5.如图，已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝______(用向量a，b，c表示)．
解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则＝
＋
＝＋
＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝3a＋3b－5c.
答案：3a＋3b－5c
6.如图所示，在四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋＝a＋×(＋)＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
7.如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)
＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝，
∴∥.
又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．
8.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．
(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．
证明：(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，
连接MN，NQ，QR，RM，
∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
∴M，N，Q，R是所在边的中点，且＝，＝，＝，＝.
由题意知四边形MNQR是平行四边形，
∴＝＋＝(－)＋(－)
＝(－)＋(－)
＝(＋)．
又＝－＝－＝.
∴＝＋，
由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．
(2)平行．证明如下：
由(1)得＝，
∴∥，
∴∥平面ABCD.
又＝－＝－
＝，∴∥.
即EF∥平面ABCD.
又∵EG∩EF＝E，
∴平面EFGH与平面ABCD平行．
课时跟踪检测（十二） 空间向量及其加减运算
层级一 学业水平达标
1．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝( )
A．2 B．3
C．3 D．2
解析：选B －＋＝＋＝＋2＝3.
2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
解析：选A ∵＋＝＋，∴＝.
∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形．
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的共有( )
①(＋)＋；②(＋)＋；
③(＋)＋；④(＋)＋.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D 根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．
4．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A．＋＋＋＝0
B．＋＋＋＝0
C．＋＋＋＝0
D．－＋＋＝0
解析：选B 由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中＝，且＝，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有＋＋＋＝0.
5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有( )
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反向量．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C 利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．
6.如图所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，与是________向量，与是________向量(用“相等”“相反”填空)．
答案：相等 相反
7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
解析：如图，
＝－
＝－＝－－(－)
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
8．给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为________．
解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．
答案：④
9．如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)写出模为的所有向量；
(3)试写出的相反向量．
解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
(3)向量的相反向量为，，，，共4个．
10.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1) ；(2) ；(3) .
解：(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c.
层级二 应试能力达标
1．下列命题中，正确的个数为( )
①若a＝b，b＝c，则a＝c；
②|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；
③＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C ①正确，∵a＝b，∴a，b的模相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的模相等且方向相同，∴a＝c.②正确，a＝b?|a|＝|b|，|a|＝|b|?/ a＝b.③不正确，由＝，知||＝||，且与同向．故选C.
2．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于( )
A． B．
C． D．
解析：选D 法一：＋－＝(＋)－＝－＝.
法二：＋－＝＋(－)＝＋＝.
3．如果向量，，满足||＝||＋||，则( )
A．＝＋
B．＝－－
C．与同向
D．与同向
解析：选D ∵||＝||＋||，
∴A，B，C共线且点C在AB之间，
即与同向．
4．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
解析：选C ＝＋＋＝－＋＝b－a＋c＝－a＋b＋c.
5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，E是A1B的中点，则＝________.(用a，b，c表示)
解析：＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
答案：(a＋b＋c)
6．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________.
解析：＝＋
＝＋(＋)
＝c＋(－＋)
＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
7．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1) ＋－；
(2) －－.
解：(1)＋－＝＋＋＝＋＝ (如图)．
(2) －－
＝＋(＋)
＝＋(＋)
＝＋
＝ (如图)．
8.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．
(1) ＋－；
(2) －－.
解：(1) ＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
(2) －－＝＋＋＝＋＋＝＋＝，如图中向量.
课时跟踪检测（十五） 空间向量的正交分解及其坐标表示
层级一 学业水平达标
1．已知A(3,2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是( )
A．(－3，－2,3) B．(－3,2，－3)
C．(－3,2,3) D．(－3，－2，－3)
解析：选C 由对称定义知．
2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p?/ q，q?p.
3．在空间直角坐标系O-xyz中，下列说法正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
解析：选D 因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理B，C都不正确；由于＝－，所以D正确．
4．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于( )
A. ＋＋ B.( ＋＋)
C.( ＋＋) D. ＋＋
解析：选B 如图，
＝(＋)
＝＋×(＋)
＝＋＋
＝(＋＋)．
5．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则为( )
A.a－b＋c B．－a＋b＋c
C.a＋b－c D.a＋b－c
解析：选B ＝＋＋
＝＋－＋(－)
＝－＋＋
＝－a＋b＋c.
6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．
解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，
所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．
答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)
7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，
于是有解得
答案：2 －2
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.
解析：如图，连接A1C1，C1D，
则E在A1C1上，F在C1D上，
易知EF綊A1D，
∴＝，即－＝0，
∴λ＝－.
答案：－
9．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示，；
(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
解：(1)如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．
(2) ＝(＋)
＝(－＋)
＝(－c＋a－b－c)
＝a－b－c，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1.
证明：设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝(＋)
＝(＋)＝(＋－)
＝(－a＋b＋c)，
＝＋＝＋＝a＋b.
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥，即EF⊥AB1.
层级二 应试能力达标
1．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间的一个基底的关系是( )
A．＝＋＋
B．＝＋
C．＝＋＋
D．＝2－
解析：选C 对于选项A，由＝x ＋y ＋z (x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，易知，，共面，故选C.
2．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；
②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；
④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(1,1,1) B.
C．(3,2,5) D．(3,2，－5)
解析：选C ＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)，故选C.
4．已知向量和在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若＝，则向量在基底{a，b，c}下的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵＝－＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，∴＝＝－a－b－c，∴向量在基底{a，b，c}下的坐标是，故选A.
5．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
解析：若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.
答案：x＝y＝z＝0
6．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝α a＋β b＋γ c时，α＋β＋γ＝________.
解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.
所以故有α＋β＋γ＝3.
答案：3
7．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，且M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．
证明：依题意，有＝2 ，＝2 .
＝＋＋＝＋＋＝(＋＋)＋＋＝(＋)． (*)
∵A，B，C及A1，B1，C1分别共线，
∴存在λ，ω∈R，使得＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.
代入(*)式，得＝(2λ＋2ω)＝λ＋ω，
∴，，共面．
∴M，N，P，Q四点共面．
8．已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
证明：如图，取向量，，为空间基底，则＝(＋)，
＝(＋)．
∴＝－＝(＋)
－＝(＋－)，
＝－＝(＋)－
＝(＋－)．
又∵＝－，
∴＝(＋)，＝(－)，
∴·＝(＋)·(－)
＝(||2－||2)，
又∵||＝||，
∴·＝0，即PM⊥QN.
课时跟踪检测（十六） 空间向量运算的坐标表示
层级一 学业水平达标
1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
解析：选C 因为a与b共线，所以＝＝，所以x＝，y＝－.
2．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则与的夹角是( )
A．0 B．π C. D.
解析：选B ∵·＝3×6＋3×6＋3×6＝54，
且||＝3，||＝6，
∴cos〈，〉＝＝1，
∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝0.∴〈，〉＝π.
3．在空间直角坐标系中，i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，则与i，j，k所成角都相等的单位向量为( )
A．(1,1,1)
B.
C.
D.或
解析：选D 设所求的单位向量为a＝(x，y，z)，则由与i，j，k所成角都相等得到a·i＝a·j＝a·k，所以x＝y＝z，且x2＋y2＋z2＝1，所以x＝y＝z＝或－.
4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C ＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，
＝(2，－3,1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2.
∴△ABC为直角三角形．
5．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．± B. C．－ D．±
解析：选C ∵＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，
∴＋λ＝(1，－λ，λ)，
∴(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，
|＋λ|＝＝，||＝.
∴cos 120°＝＝－，∴λ2＝.
又<0，∴λ＝－.
6．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ＝________.
解析：∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，
∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．
∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.
∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2.
∵λ>0，∴λ＝3.
答案：3
7．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．
解析：由已知，得
b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．
∴|b－a|＝
＝＝ .
∴当t＝时，|b－a|的最小值为.
答案：
9．空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5)，试求：
(1)△ABC的面积；
(2)△ABC的AB边上的高．
解：(1)因为＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)，
＝(2,0，－8)，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
且||＝，||＝2，
所以cos〈，〉＝＝－，
sin〈，〉＝，
S△ABC＝||·||sin〈，〉
＝×2×＝3.
(2)| |＝，设AB边上的高为h，
则|AB|·h＝S△ABC＝3，∴h＝3.
10.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，＝λ，且PC⊥AB.求：
(1)λ的值；
(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值．
解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0，1,2)，
于是＝(，1,0)，＝(0，－2,2)，＝(，1，－2)．
因为PC⊥AB，
所以·＝0，
即(＋)·＝0，
也即(＋λ)·＝0.
故λ＝－＝.
(2)由(1)知＝，＝(0,2,2)，
cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.
层级二 应试能力达标
1．已知两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是( )
A.a＝b
B．a1·b1＝a2·b2＝a3·b3
C．a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
D．存在非零实数k，使a＝kb
解析：选D 根据空间向量平行的充要条件，易知选D.
2．若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则||的取值范围是( )
A．[0,5] B．[1,5]
C．(1,5) D．(0,5)
解析：选B 由题意知，
||＝＝，
∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤||≤5.
3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，
所以解得
∴λ＝3x－2y＝.
4．已知a＝(3,2－x，x)，b＝(x,2,0)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，－4) B．(－4,0)
C．(0,4) D．(4，＋∞)
解析：选A ∵a，b的夹角为钝角，∴a·b<0，即3x＋2(2－x)＋0·x＝4＋x<0，∴x<－4.又当夹角为π时，存在λ<0，使a＝λb，
∴此方程组无解，故选A.
5．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(－1,0，)，则角A的大小为________．
解析：由题意，知＝，＝(－1,0,0)，所以||＝1，||＝1.则cos A＝＝＝，故角A的大小为30°.
答案：30°
6．已知M1(2,5，－3)，M2(3，－2，－5)，设在线段M1M2上的一点M满足＝4，则向量的坐标为________．
解析：设M(x，y，z)，则＝(1，－7，－2)，
＝(3－x，－2－y，－5－z)．
又∵＝4，
∴∴
答案：
7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1是A1B1C1D1的中心，E1在B1C1上，并且B1E1＝B1C1，求BE1与CO1所成的角的余弦值．
解：不妨设AB＝1，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立直角坐标系，则B(1,0，0)，E1，
C(1,1,0)，O1，
BE1＝，＝，
BE1·＝·＝，
| BE1|＝ ，||＝ .
∴cos〈BE1，〉＝＝.
即BE1与CO1所成角的余弦值为.
8．已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且向量a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb.
(1)当|c|取最小值时，求t的值；
(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值．
解：(1)∵关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，
∴Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，即－4≤t≤－.
又c＝a＋tb＝(－1＋t,1,3－2t)，
∴|c|＝＝ .
∵当t∈时，关于t的函数y＝52＋是单调递减的，
∴当t＝－时，|c|取最小值.
(2)由(1)，知当t＝－时，c＝，
|b|＝＝，|c|＝，
∴cos?b，c?＝＝－.
课时跟踪检测（十四） 空间向量的数量积运算
层级一 学业水平达标
1．已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0，且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若l⊥平面α，则c⊥a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；反之，若a∥b，则c⊥a，c⊥b，并不能保证l⊥平面α.
2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．90°
解析：选B a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝＝
＝＝，
|b|＝＝＝
＝＝.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝120°.
3.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
A．2·
B．2·
C．2·
D．2·
解析：选C 2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错，只有C正确．
4．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
解析：选A 用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④正方体的体积为|··|.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 如图所示，
(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；
·(－)＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为||||||.综上可知，①②正确．
6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
答案：22
7．已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，如图，则PC等于________．
解析：∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝36＋36＋36＋0＋0＋2||||cos 60°
＝108＋2×6×6×＝144.
∴PC＝12.
答案：12
8．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．
解析：＝＋＋，
∴·＝·(＋＋)＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝＝，
∴异面直线a，b所成角是60°.
答案：60°
9．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．
解：如图所示，设＝a，＝b，＝c，|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
则a·b＝b·c＝c·a＝.
∵＝(＋)＝(a＋b)，
＝－＝－＝c－b，
又||＝||＝，
∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－，
∴cos〈，〉＝＝－.
∴异面直线OE与BF所成角的余弦值是.
10.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
解：(1)证明：＝＋，
＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2
＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝＝＝||，
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
层级二 应试能力达标
1．已知在正四面体A-BCD中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，
∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(＋)－ ＝(＋＋)，而(＋＋)2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝.
2．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C 根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，∴·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，
∴cos?，?＝＝，
∴AB与CD所成的角为60°.
3．设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·a)c－(c·a)b一定不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析：选D 根据向量数量积的定义及性质，可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故(a·b)c与(c·a)b不一定相等，故①错误；③因为[(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以当a⊥b，且a⊥c或b⊥c时，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b与c垂直，故③错误；易知②④正确．故选D.
4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD( )
A．是钝角三角形 B．是锐角三角形
C．是直角三角形 D．形状不确定
解析：选B ∵＝－，＝－，
∴·＝(－)(－)
＝·－·－·＋||2
＝||2>0，
∴cos∠CBD＝cos?，?＝>0，
∴∠CBD为锐角．
同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，
∴△BCD为锐角三角形．
5．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos?a，b?＝________.
解析：将|a－b|＝两边平方，得(a－b)2＝7.
因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝.
又a·b＝|a||b|cos?a，b?，故cos?a，b?＝.
答案：
6.如图所示，在一个直二面角α -AB-β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．
解析：∵＝＋＋＝－＋，∴＝(－＋)2＝＋＋－2·＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，∴||＝2.
答案：2
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，E为CC1上的点，且CE＝1，求异面直线AB1，BE所成角的余弦值．
解：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋0＋0＋3＝3.
依题意，易知||＝，||＝，
∴cos?，?＝＝＝.
8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．
解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.
同理·＝0.
∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.
又∵＝＋＋，
∴||2＝·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝3＋2×1×1×cos〈，〉．
当〈，〉＝60°时，＝4；
当〈，〉＝120°时，2＝2.
∴||＝2或，即B，D间的距离为2或.
课时跟踪检测（十） 抛物线及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A．3 B．6
C． D．
解析：选C 将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝．故到焦点的距离最小值为．
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A． B．1
C．2 D．4
解析：选C ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2．
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A． B．
C．3 D．2
解析：选C 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3．故选C．
4．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：选A 由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
5．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：选D 双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝ ＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y．
6．抛物线x＝y2的焦点坐标是________．
解析：方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，∴p＝2m，即焦点(m,0)．
答案：(m,0)
7．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
解析：设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，
由抛物线的定义知x＋1＝10，∴x＝9，
∴点M到y轴的距离为9.
答案：9
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，3＋＝5，即p＝4．
所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2．
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F．
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2．
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0．1米)?
解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y．
(2)设车辆高为h，则|DB|＝h＋0．5，
故D(3．5，h－6．5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4．05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4．0米．
层级二 应试能力达标
1．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．直线 D．抛物线
解析：选D 设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D．
2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．4
解析：选D 如图，∵△FPM是等边三角形．
∴由抛物线的定义知PM⊥l．
在Rt△MQF中，|QF|＝2，
∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，
∴S△PMF＝×42＝4．故选D．
3．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为( )
A． B． C．1 D．2
解析：选D 设AB的中点为M，焦点为F(0,1)．过M作准线l：y＝－1的垂线MN，过A作AC⊥l于C，过B作BD⊥l于D，则|MN|＝＝≥＝3，所以AB中点到x轴的最短距离为3－1＝2，此时动弦AB过焦点，故选D．
4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5．若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：选C 由已知得抛物线的焦点F，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝．由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M．
由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C．
5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
解析：因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．
答案：6
6．从抛物线y2＝4x上的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的内切圆的面积为________．
解析：如图，∵|PM|＝5，
∴点P的坐标为(4,4)，
∴S△PMF＝×5×4＝10．
设△PMF的内切圆圆心为O′，半径为r，
∴S△PMF＝S△O ′PM＋S△O ′PF＋S△O ′MF，
即(5＋5＋2)r＝10，解得r＝，
故△PMF内切圆的面积为πr2＝π．
答案：π
7．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上任一点(不与原点重合)，F是其焦点．
求证：以MF为直径的圆与y轴相切．
证明：如图，过M作MN⊥l于N，交y轴于点Q，O′是MF的中点，作O′R⊥y轴于R．
∵|MF|＝|MN|，|OF|＝|OP|＝|QN|，
∴|O′R|＝(|OF|＋|QM|)
＝(|QM|＋|QN|)
＝|MN|＝|MF|，
∴以MF为直径的圆与y轴相切．
8．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝．
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，
因为>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4．
即|PB|＋|PF|的最小值为4．
课时跟踪检测（四） 曲线与方程 求曲线的方程
层级一 学业水平达标
1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：选B 将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C．
2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于x－y＝0对称
解析：选C 同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．
3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
解析：选B 方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B．
4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：选B 设点P的坐标为(x，y)，则＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
∴||＝4，||＝，·＝4(x－2)．
根据已知条件得4 ＝4(2－x)．
整理得y2＝－8x．∴点P的轨迹方程为y2＝－8x．
5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：选B 由两点式，得直线AB的方程是
＝，即4x－3y＋4＝0，
线段AB的长度|AB|＝＝5．
设C的坐标为(x，y)，
则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0．
6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的图形为________．
解析：对方程左边配方得(x－2)2＋2(y＋2)2＝0．
∵(x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0，
∴解得
从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．
答案：一个点(2，－2)
7．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足·＝12，则点P的轨迹方程为________________．
解析：设P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)．
于是·＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12，
化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程．
答案：x2＋y2＝16
8．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________________．
解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x＋1．
又M为AB的中点，所以即
将其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2×(2x)2＋1，即y＝4x2．
答案：y＝4x2
9．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，求动点P的轨迹方程．
解：由已知得M(0，y)，N(x，－y)，则＝(x，－2y)，
故·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，
依题意知，x2－2y2＝4，
因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4．
10．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹．
解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．
因为＝＋，
即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，
则x0＝x，y0＝．
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，
即x2＋＝4(y≠0)．
所以动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
层级二 应试能力达标
1．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是( )
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：选A 设动点P(x，y)，
则由|PA|＝3|PO|，得
＝3．
化简，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0．故选A．
2．下列四组方程表示同一条曲线的是( )
A．y2＝x与y＝
B．y＝lg x2与y＝2lg x
C．＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)
D．x2＋y2＝1与|y|＝
解析：选D 根据每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致；而D中两曲线的x与y的取值范围都是[－1,1]，且化简后的解析式相同，所以D正确．故选D．
3．方程y＝－对应的曲线是( )
解析：选A 将y＝－平方得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A．
4．已知0≤α≤2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A． B． C．或 D．或
解析：选C 将点P的坐标代入曲线(x－2)2＋y2＝3中，得(cos α－2)2＋sin2α＝3，解得cos α＝．又0≤α<2π，所以α＝或．故选C．
5．方程|x－1|＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．
解析：方程|x－1|＋|y－1|＝1可写成或或或其图形如图所示，它是边长为的正方形，其面积为2．
答案：2
6．给出下列结论：
①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；
②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；
③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．
其中正确结论的序号是________．
解析：对于①，方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且除掉点(2,0)，所以①错误；对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误；对于③，方程(x2－4)2＋(y－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．故填③．
答案：③
7．已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|＝4，点A到直线l的距离为3，求△ABC外心的轨迹方程．
解：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．
设△ABC的外心为P(x，y)，
因为点P在线段BC的垂直平分线上，
所以不妨令B(x＋2,0)，C(x－2,0)．又点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|＝|PB|，
即＝，化简得x2－6y＋5＝0．
于是△ABC外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0．
8．已知两点P(－2,2)，Q(0,2)以及一条直线l：y＝x，设长为的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．
解：设A(m，m)，B(m＋1，m＋1)，
当m≠－2且m≠－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝(x＋2)＋2和y＝x＋2．
由消去m，得x2－y2＋2x－2y＋8＝0．
当m＝－2时，直线PA和QB的方程分别为x＝－2和y＝3x＋2，其交点为(－2，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0．
当m＝－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝－3x－4和x＝0，其交点为(0，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0．
综上，可知所求交点M的轨迹方程为x2－y2＋2x－2y＋8＝0．
