专题1.1.2集合间的基本关系-2019届数学高一（必修一）全新视角透析Word版含解析
文档属性
| 名称 | 专题1.1.2集合间的基本关系-2019届数学高一（必修一）全新视角透析Word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 583.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-08-22 08:42:13 | ||
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文档简介
第一章 集合与函数的概念
第2课时 集合间的基本关系
【双向目标】
课程目标
学科素养
A了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
B理解子集.真子集的概念
C.能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
a数学抽象：对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解
b逻辑推理：集合的子集的辨析与应用
c数学运算：对给出的集合会计算子集与真子集
d直观想象：利用图表示集合相等以及集合间的关系
e数学建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识1：子集有关的概念
（1）定义:对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集.
（2）记法:(或),读作“A包含与B”(或“B包含A”).
（3）韦恩图表示，图1所示:
知识2：集合相等
（1）定义:如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A的子集(B?A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等.
（2）记法:A=B.
（3）韦恩图表示，图2所示:
知识3：真子集有关的概念
定义:如果集合,但存在元
素x∈B,且x?A，我们称集合A是集合B的真子集.
（2）记法:(或).
（3）韦恩图表示，图3所示:
知识4：空集有关的概念
（1）定义:不含任何元素的集合叫做空集.
（2）记法:.
（3）规定：空集是任何集合的子集
知识5：集合间关系具有的性质
（1）规定:空集是任何集合的子集.
（2）任何一个集合是它本身的子集,即?A?A.
（3）对于集合A,B,C,若A?B,且B?C,则A?C.
（4）对于集合A,B,C,若A B,且B C,则AC.
（5）A?B,且A≠B,则AB.
1.已知集合A={1,2,3},试写出A的所有子集
2.同时满足：①M?{1,2,3,4,5}；②a∈M，则6－a∈M的非空集合M有( )
A．6个 B．7个
C．15个 D．16个
3.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，
若集合A有且仅有2个子集，则a的取值
是( )
A．1 B．－1
C．0,1 D．－1,0,1
4.设集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=2k-1,k∈Z},则集合A,B间的关系为( )
A.A=B B.A?B
C.B?A D.以上都不对
5.，，若，则的取值集合为（ ）
A. B.[Z
C. ????? D.
6.已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求实数a的取值范围.
7.下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若A，则A≠，
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 ? D．3
8.下列关系正确的是( )
A.3∈{y|y=x2+π,x∈R}
B.{(a,b)}={(b,a)}
C.{(x,y)|x2-y2=1}{(x,y)|(x2-y2)2=1}
D.{x∈R|x2-2=0}=
基础过关参考答案：
3.【解析】因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈)仅有一个根或两个相等的根．
(1)当a＝0时,方程为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
(2)当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，
∴a＝±1.
此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．
∴a＝0或a＝±1.
4.【解析】选A.因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B
5. 【解析】 （1）
（2）
（3）
∴ 的取值集合为
【能力素养】
探究一 子集与真子集的求法
例1：写出集合{a，b，c}的所有不同的子集
【分析】根据子集的含义进行求解
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.
【点评】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.
【变式训练】
已知，则这样的集合有 个.
【解析】集合A可以为{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}
【答案】7个
2.已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【解析】∵ 集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，
∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}∴B的子集个数为：23=8个．
【答案】D
探究二 集合间的关系
例2. 集合，集合，那么间的关系是（ ）.
A. B. C. = D.以上都不对
【分析】根据集合间的关系进行判断.
【点评】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
【变式训练】
1.若集合，则（ ）.
A. B. C. = D.
【解析】因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B
【答案】C
2.设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M≠ N
【解析】 当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
【答案】B
探究三 集合间关系具有的性质
例3：已知若M=N，
则= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【分析】解答本题应从集合的概念、表示及关系入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|，∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立
若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1
当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【答案】0
【点评】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
【变式训练】
1．设a，bR，集合，则b-a=( )
【答案】2
2．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？
【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；
集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；
集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．
【答案】都不相同
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
3,10
8
B
9
2,5,7,11
3,4,6,12,13,14,15
C
1
一、选择题
1.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）
2.已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M≠ N
4.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有( )
A．1?A B．0?A C．??A D．{0}?A
5.集合的所有真子集个数为( )．
A．3 B． 7 C．15 D．31
6.同时满足：①M?{1,2,3,4,5}；②a∈M，则6－a∈M的非空集合M有( )
A．6个 B．7个 C．15个 D．16个
7.已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
8.设，，若则的取值范围是（ ）A B C D.9.已知集合A＝{x|1＜x－1≤4}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
10.用适当的符号填空：
（1） ；（2） ；（3） .
11.已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若BA，则实数m＝________.
12.设A是非空集合，对于k∈A，如果，那么称集合A为“和谐集”，在集合的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为
13.已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．
(1)若B?A，求a的取值范围；
(2)若A?B，求a的取值范围．
14.若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且NM，求实数a的值．
15.已知全集,集合R，
；若时，存在集合M使得，求出这样的集合M；
1.【解析】由，得，则,选B．
【答案】B
【答案】D
3.【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
【答案】B
4.【解析】由已知，A＝{1，－1}，所以选项A，B，D都错误，因为?是任何非空集合的真子集，所以C正确．
【答案】C
5.【解析】，所以，真子集的个数为15个
【答案】C
6.【解析】a＝3时，6－a＝3；a＝1时，6－a＝5；
a＝2时，6－a＝4；a＝4时，6－a＝2；a＝5时，6－a＝1，
∴非空集合M可能是：{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，
{1,2,3,4,5}共7个．.故选B
【答案】B
【答案】5
10.【解析】（1） ；（2） ；（3） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
11.【解析】，即，当时，，满足
【答案】1
12.【解析】由和谐集的定义知，该集合中可以含有元素-1，1，和3，和2，所以共有和谐集的集合的个数为15个
【答案】15
13.【解析】(1)因为B?A，B是A的子集，由图(1)得a≤3.
(1)
(2)因为A?B，A是B的子集，由图 (2)得a≥3.
(2)
【答案】（1）a≤3（2）a≥3
14.【解析】由得或，因此
若a=2时，则，此时
若a=-3时，则，此时
若，则，此时N不是M的子集
第2课时 集合间的基本关系
【双向目标】
课程目标
学科素养
A了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
B理解子集.真子集的概念
C.能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
a数学抽象：对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解
b逻辑推理：集合的子集的辨析与应用
c数学运算：对给出的集合会计算子集与真子集
d直观想象：利用图表示集合相等以及集合间的关系
e数学建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识1：子集有关的概念
（1）定义:对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集.
（2）记法:(或),读作“A包含与B”(或“B包含A”).
（3）韦恩图表示，图1所示:
知识2：集合相等
（1）定义:如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A的子集(B?A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等.
（2）记法:A=B.
（3）韦恩图表示，图2所示:
知识3：真子集有关的概念
定义:如果集合,但存在元
素x∈B,且x?A，我们称集合A是集合B的真子集.
（2）记法:(或).
（3）韦恩图表示，图3所示:
知识4：空集有关的概念
（1）定义:不含任何元素的集合叫做空集.
（2）记法:.
（3）规定：空集是任何集合的子集
知识5：集合间关系具有的性质
（1）规定:空集是任何集合的子集.
（2）任何一个集合是它本身的子集,即?A?A.
（3）对于集合A,B,C,若A?B,且B?C,则A?C.
（4）对于集合A,B,C,若A B,且B C,则AC.
（5）A?B,且A≠B,则AB.
1.已知集合A={1,2,3},试写出A的所有子集
2.同时满足：①M?{1,2,3,4,5}；②a∈M，则6－a∈M的非空集合M有( )
A．6个 B．7个
C．15个 D．16个
3.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，
若集合A有且仅有2个子集，则a的取值
是( )
A．1 B．－1
C．0,1 D．－1,0,1
4.设集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=2k-1,k∈Z},则集合A,B间的关系为( )
A.A=B B.A?B
C.B?A D.以上都不对
5.，，若，则的取值集合为（ ）
A. B.[Z
C. ????? D.
6.已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求实数a的取值范围.
7.下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若A，则A≠，
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 ? D．3
8.下列关系正确的是( )
A.3∈{y|y=x2+π,x∈R}
B.{(a,b)}={(b,a)}
C.{(x,y)|x2-y2=1}{(x,y)|(x2-y2)2=1}
D.{x∈R|x2-2=0}=
基础过关参考答案：
3.【解析】因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈)仅有一个根或两个相等的根．
(1)当a＝0时,方程为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
(2)当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，
∴a＝±1.
此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．
∴a＝0或a＝±1.
4.【解析】选A.因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B
5. 【解析】 （1）
（2）
（3）
∴ 的取值集合为
【能力素养】
探究一 子集与真子集的求法
例1：写出集合{a，b，c}的所有不同的子集
【分析】根据子集的含义进行求解
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.
【点评】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.
【变式训练】
已知，则这样的集合有 个.
【解析】集合A可以为{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}
【答案】7个
2.已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【解析】∵ 集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，
∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}∴B的子集个数为：23=8个．
【答案】D
探究二 集合间的关系
例2. 集合，集合，那么间的关系是（ ）.
A. B. C. = D.以上都不对
【分析】根据集合间的关系进行判断.
【点评】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
【变式训练】
1.若集合，则（ ）.
A. B. C. = D.
【解析】因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B
【答案】C
2.设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M≠ N
【解析】 当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
【答案】B
探究三 集合间关系具有的性质
例3：已知若M=N，
则= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【分析】解答本题应从集合的概念、表示及关系入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|，∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立
若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1
当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【答案】0
【点评】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
【变式训练】
1．设a，bR，集合，则b-a=( )
【答案】2
2．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？
【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；
集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；
集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．
【答案】都不相同
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
3,10
8
B
9
2,5,7,11
3,4,6,12,13,14,15
C
1
一、选择题
1.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）
2.已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M≠ N
4.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有( )
A．1?A B．0?A C．??A D．{0}?A
5.集合的所有真子集个数为( )．
A．3 B． 7 C．15 D．31
6.同时满足：①M?{1,2,3,4,5}；②a∈M，则6－a∈M的非空集合M有( )
A．6个 B．7个 C．15个 D．16个
7.已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
8.设，，若则的取值范围是（ ）A B C D.9.已知集合A＝{x|1＜x－1≤4}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
10.用适当的符号填空：
（1） ；（2） ；（3） .
11.已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若BA，则实数m＝________.
12.设A是非空集合，对于k∈A，如果，那么称集合A为“和谐集”，在集合的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为
13.已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．
(1)若B?A，求a的取值范围；
(2)若A?B，求a的取值范围．
14.若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且NM，求实数a的值．
15.已知全集,集合R，
；若时，存在集合M使得，求出这样的集合M；
1.【解析】由，得，则,选B．
【答案】B
【答案】D
3.【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
【答案】B
4.【解析】由已知，A＝{1，－1}，所以选项A，B，D都错误，因为?是任何非空集合的真子集，所以C正确．
【答案】C
5.【解析】，所以，真子集的个数为15个
【答案】C
6.【解析】a＝3时，6－a＝3；a＝1时，6－a＝5；
a＝2时，6－a＝4；a＝4时，6－a＝2；a＝5时，6－a＝1，
∴非空集合M可能是：{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，
{1,2,3,4,5}共7个．.故选B
【答案】B
【答案】5
10.【解析】（1） ；（2） ；（3） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
11.【解析】，即，当时，，满足
【答案】1
12.【解析】由和谐集的定义知，该集合中可以含有元素-1，1，和3，和2，所以共有和谐集的集合的个数为15个
【答案】15
13.【解析】(1)因为B?A，B是A的子集，由图(1)得a≤3.
(1)
(2)因为A?B，A是B的子集，由图 (2)得a≥3.
(2)
【答案】（1）a≤3（2）a≥3
14.【解析】由得或，因此
若a=2时，则，此时
若a=-3时，则，此时
若，则，此时N不是M的子集