专题1.1.1集合的含义与表示-2019届数学高一（必修一）全新视角透析Word版含解析

第一章 集合与函数的概念
第1课时 集合的含义与表示
【双向目标】
课程目标
学科素养
A理解集合的概念及其三要素，理解用描述法表示集合的特点
B判断元素与集合间的“属于”与“不属于”关系，利用互异性判断元素的值
C. 能用集合语言表示一些实际生活中的集体性问题，会利用集合对实际生活的问题进行分类
a数学抽象：数学集合概念的理解、描述法表示集合的方法
b逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用
c数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算
d 直观想象：利用数轴表示数集、集合的图形表示
e 数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识1：元素与集合的概念
1.元素：一般地，我们把研究的对象称为元素.
2.集合：把一些元素组成的总体统叫作集合（简称为集）
3.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性。
知识2：元素与集合的关系
集合通常用大写字母表示，如A,B,C,…,元素用小写字母表示，如a,b,c,…,元素和集合之间的专用符号是属于（∈）或不属于（）,
知识3．常用数集及表示符号
自然数集（或非负整数集），记作：N；
（注意：0是自然数）
正整数集，记作：N+或N*。
整数集，记作：Z；
理数集，记作：Q；
称实数集，记作：R。
知识4：集合常用的表示法有
(1) 列举法:在大括号内把集合的元素一一列举出来，特点是适用于元素的个数较少的集合；
（2）描述法：用集合元素的属性表示集合，其一般形式是{x|x所具有的属性}；
（3）图形法：用韦恩图或数轴表示集合，?
如
1下列对象能组成集合的是( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
2.?若且
,则???????
3.?若一个集合中的三个元素a,b，c是△ABC的三边长， 则此三角形一定不是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.下列说法中:①集合N与集合N＋是同一个集合 ②集合N中的元素都是集合Z中的元素 ③集合Q中的元素都是集合Z中的元素 ④集合Q中的元素都是集合R中的元素
其中正确的有________．
5.已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值 ．
6.已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________．
基础过关参考答案：
1. 【解析】对A，“著名”无明确标准；对B，“快”的标准不确定；对D，“高”的标准不确定，因而A、B、D均不能组成集合．而对C，上海市的中学生是确定的，能组成集合．
【答案】C
2.【解析】 ：因为，所以，又，所以
【答案】1
3.【解析】：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．
【答案】D

【答案】{1}
【能力素养】
探究一 集合含义的考查
集合是由元素构成的，因而分析集合问题，常常从元素入手。
例1．判断下列表述是否正确，并说明理由．
（1）某个班级中年龄较小的男生组成一个集合；
（2）Z={全体整数}；
（3）集合{1，2}与{2，1}相等；
（4）集合{（1，2）}与{1，2}相等.
【分析】根据集合的有关概念进行判断.
【解析】（1）不正确，年龄较小的标准不明确，所以某个班级中年龄较小的男生不能组成一个集合.
（2）不正确，“{}”就包含了所有的含义，应写成Z={整数}.
（3）正确，根据集合中元素的无序性，可知集合{1，2}与{2，1}相等.
（4）不正确，集合{（1，2）}表示直角坐标平面上的一个点（1，2），而{1，2}是1，2的集合，它们是不可能相等的.
【点评】（1）确定性是判断一组对象能否组成集合的标准.
（2）判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性.
（3）集合符号“{}”已包含“所有”的意思，因而大括号内的文字描述不应再用“全体”“所有”“全部”或“集”等词语.
【变式训练】
1.下列所给的对象能构成集合的是
①所有的正三角形；
②比较接近1的数的全体；
③某校高一年级所有16岁以下的学生；
④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；
⑤所有参加2012年伦敦奥运会的年轻运动员；
⑥的近似值的全体.

【答案】①③④
2.下列各组对象能组成一个集合吗？请判断并说明理由.
（1）所有很大的实数；
（2）好心的人；
（3）方程在实数范围内的解；
（4）中国古代的四大发明；
（5）小于18的既是奇数又是质数的正实数；
（6）高一新生中数学成绩较好的同学；
（7）立方接近零的正数；
（8）2012年伦敦奥运会的所有比赛项目.
【解析】一组对象能否组成集合主要看这组对象是否能确定，只要研究对象是确定的，就可以构成集合，否则就不能组成集合.

探究二 元素与集合之间的关系的应用
元素与集合间的关系有两种关系即；属于“”和不属于“”，分析时需准确把握集合中所含的元素。
例2：设集合．
（1）试判断元素1和2与集合的关系；
（2）用列举法表示集合
【分析】（1）令，，判断是否成立，从而判断，是否成立．（2）令分别取自然数，代入逐一确定的值，得集合．
【解析】（1）当时，，当时，，∴，．
（2）令，1，2，3，4，代入检验，可得．
【点评】（1）判断所给元素是否属于给定集合时，若在集合内，则用符号“”；若不在集合内，则用符号“”．（2）对于所给集合是常见的数集时，要注意符号的书写规范．
【变式训练】
1.设集合，．若,，试判断与A，B的关系．
【解析】∵，∴．
∵，∴．
∴．
又∵，∴．
从而．
【答案】，
2.若，则实数的取值范围是 ．
【解析】因为，所以2不满足不等式，即2满足不等式，所以，．所以实数的取值范围是．
【答案】
探究三 元素互异性的应用
集合中元素的互异性（即集合中的元素各不相同），它是分析集合问题的一个重要切入口。
例3：为集合的四个元素，那么以为边长构成的四边形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
【分析】欲判断四边形的形状，需判断四边形的四条边之间的关系．
【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．
【答案】D
【点评】解答本题应抓住集合的元素具有“互异性”这一特征，由互异转化为四边形的四条边互不相等．
【变式训练】
1．给出下列说法，其中正确的个数为（ ）
（1）由1，，，，这些数组成的集合有5个元素；
（2）方程的解组成的集合有3个元素；
（3）由一条边为2，一个内角为的等腰三角形组成的集合中含有4个元素；
（4）由，，组成的三元素集合中含有，则的值是0或．
A．1 B． 2 C．3 D． 4
合中有4个元素．
（4）不正确．当时，三个数分别为，0，，组成的集合中只有两个元素，不合题意；当时，三个数分别为，，，符合题意，即只能取．
【答案】A
2．含有两个元素的集合A可以表示为，求实数的取值范围．
【解析】根据题意可知，由集合中元素的互异性，可得，所以．即实数 的取值范围为．
【答案】
探究四 集合的表示方法
集合作为一种数学语言，需要对它的三种表示方法充分熟悉，特别是描述法应能准确解读。
例4：用适当的方法表示下列集合：
（1）方程组的解集；
（2）1000以内被3除余2的正整数组成的集合；
（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
（4）所有的正方形组成的集合．
【分析】

【点评】所谓适当的表示方法，就是较简单、较明了的表示方法，用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性，可选用“且”与“或”等词连接；若描述部分出现代表元素以外的字母，要说明新字母的含义或指出其取值范围．
【变式训练】
1．判断：（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）任何一个集合都可以用列举法表示．（ ）
（2）由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．（ ）
（3）{0,1}和{(0,1)}是相同的集合．（ ）
【答案】× × ×
2．用另一种方法表示下列集合：
（1）{绝对值不大于2的整数}；
（2）{能被3整除且小于10的正数}；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）{自然数中六个最小数的平方}；
（7）；
（8）．

（6）；
（7）；
（8）．集合为．

【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
1
1,5,7,
10,13
5
1
B
2,3,6，8
9,11,14,15
C
4
12
一、选择题
1.下列对象能构成集合的是（ ）
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员
②所有的钝角三角形
③2005年诺贝尔经济学奖得主
④大于等于0的整数
⑤北京师范大学的所有聪明学生
A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④

2.已知集合A中只有一个元素1，若|b|∈A，则b等于（ ）
A．1 B．－1 C．±1 D．0
【解析】由题意可知|b|＝1，∴b＝±1.
【答案】C
3.给出下列5个关系：∈R，∈Q，0∈{0}，0∈N，π∈Q，其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】∈Q，π∈Q不正确．
【答案】B
4.集合{x∈Z|－1＜x＜5}的另一种表示形式是（ ）
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【解析】集合{x∈Z|－1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}．
【答案】A
5.直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为（ ）
A．{0,1} B．{（0,1）}
C．{，0} D．{（，0）}
【解析】把x＝0代入y＝2x＋1得y＝1，∴交点为（0,1），选B.
【答案】B
6.已知集合M中的元素a、b、c是△ABC的三边，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【解析】因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.
【答案】D
7.集合M＝{(x，y)|xy>0，x∈R，y∈R}是指（ ）
A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集
C．第一、三象限内的点集 D．第二、四象限内的点集
【解析】∵xy>0，∴x、y同号，∴M表示第一、三象限内的点集，选C.
【答案】C
8.集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）
A．2∈A，且2∈B B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B D．(3,10)∈A，且2∈B

【答案】C
9.已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【解析】用列举法把集合中的元素一一列举出来．
根据集合中元素的互异性知，中元素有0，-1，-2，1，2，共5个.
【答案】C
二、填空题
10.已知1∈{m，m2},则实数m= .
【解析】当m=1时，m2=1，与元素的互异性矛盾；当m2=1时，m=-1或m=1（舍）.
【答案】-1
11.设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}中所有元素之和为 ．

【答案】4
12.集合可用列举法表示为 ．
【解析】首先依据题意确定的值，则对分类讨论．
由，得，
则有，，，，．
故用列举法表示为．
【答案】
13.若集合A中有三个元素，x，x＋1,1，集合B中也有三个元素x，x＋x2，x2，且A＝B，则实数x的值为________．
【解析】∵A＝B，
∴或
解得x＝±1.经检验，x＝1不适合集合元素的互异性，而x＝－1适合．
∴x＝－1.
【答案】－1
14.若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．
【解析】(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．
(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．
(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，
由(2)知不合题意．
综上可知：a＝0或a＝1.
【答案】0或1
三、解答题
15.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}，
(1)若1∈A，求a的值；
(2)若A为单元素集合，求a的值；
(3)若A为双元素集合，求a的范围．