专题2.1.1指数与指数幂的运算-2019届数学高一（必修一）全新视角透析Word版含解析

第二章 基本初等函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
【双向目标】
课程目标
学科素养
A.了解根式的概念，方根的概念及二者的关系
B.理解分数指数幂的概念
C.掌握有理数指数幂的运算性质
a数学抽象：根式的概念，分数指数幂的概念的掌握
b逻辑推理：根式概念与方根概念二者之间的关系
c数学运算：掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简
d 直观想象：让学生感受由特殊到一般的数学思想方法
e 数学建模：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识点1：n次方根、根式的概念及性质
1.n次方根：如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*..
2.a的n次方根的个数：
（1）正数a：偶次方根--有两个，它们互为相反数分别表示为和-
奇次方根--有一个，是正数，表示为
负数a：偶次方根--在实数范围内不存在
奇次方根--有一个，是负数，表
示为
a=0： 有
根式的定义：式子叫做根式,其中根指数是n,被开方数是a
根式的性质：
知识点2：分数指数幂的运算公式
正分数指数幂运算：
负分数指数幂运算：
（3）0的分数指数幂运算：
正分数指数幂等于0
负分数指数幂没有意义
知识点3：有理数指数幂的运算性质
(a>0,r,s∈Q).
((a>0,r,s∈Q).
(a>0,b>0,r∈Q)
知识点4：无理数指数幂的运算性质
(1)无理数指数幂(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.
(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
奇次
1.下列各式中正确的是( )
A.=a
B.=
C.=3 D.=
2.已知a∈R,n∈N*,给出四个式子:
①;
②;
③;
④,
其中没有意义的是 .(只填式子的序号即可)
3.把根式改写成分数指数幂的形式 （ ）
A、 B、?
C、 D、
4.若，，则的值为（ ）
（A） ??（B）2或-2
（C）2 （D）-2
5.?若有意义，则的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6.计算
=________.

基础过关参考答案：

1.【解析】对于A,=a考查了n次方根的运算性质,当n为偶数时,=,故A项错.对于B,本质上与选项A相同,是一个正数的偶次方根,结论应为=,故B项错.对于C,=-3,故C项也错.对于D,它是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故D项正确.
【答案】D
2.【解析】①③是偶次方根,被开方数必须大于等于0,故③没有意义;②④是奇次方根,被开方数可为任意实数.
【答案】③

【答案】D
6.【解析】指数式运算，先将负指数化为正指数，小数化为分数，再将分数化为指数形式，即
【答案】19
【能力素养】
探究一 根式化简与求值
计算下列各式
【分析】根据根式的运算公式进行运算.
【解析】（1）当n为奇数时，，当n为偶数时，；
（2），当时，，当时，；
【点评】1.根式化简或求值的两个注意点
(1)分清根式为奇次根式还是偶次根式，再运用根式的性质进行化简.
(2)注意正确区分
2.带有限制条件的根式的运算步骤
(1)去根号——化为含有绝对值的形式.(2)分类讨论——去掉绝对值号.(3)化简——得出结果.
【变式训练】
1.已知a1,n∈N*,化简+.

2.计算：
【解析】
【答案】0
探究二 根式与分数指数幂互化
例2：化成分数指数幂为 .
【分析】灵活应用分数指数幂的运算公式
【解析】原式=(
【点评】根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
【变式训练】
1.化简(a、b>0)的结果是( )
A. B．ab C. D．a2b
【解析】原式＝
【答案】C
2. 等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【答案】C
探究三 指数幂运算综合应用
例3：计算:÷·(a>0,b>0).
【分析】灵活应用指数幂运算的公式与性质
【解析】
【答案】a
【点评】指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
【变式训练】
1．计算：

【答案】100
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
4
5,6,10
B
3
1,2，8,11
C
7，9
12,13,14,15
一、选择题
1.计算（ ）．
A. B. C. D.
【解析】
【答案】D
2.计算： （ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【解析】原式.
【答案】D
3.下列各式中错误的是（ ）．
A. B. C. D.
【解析】 ，故A项错误，故选A.
【答案】A
4.下列说法：
（1）的运算结果是；
（2）16的4次方根是2；
（3）当为大于1的偶数时， 只有当时才有意义；
（4）当为大于1的奇数时， 对任意有意义．
其中正确的个数为 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】C
5.若，则等于
A. B.
C. D.
【解析】因为
，故选A.
【答案】A
6.>0)可以化简为
A. B. C. D.
【解析】因为>0，所以．选B。
【答案】B
7.下列各式运算错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
【解析】选项． ， ，∴，故选．
【答案】C
8.化简：__________．
【解析】由实数指数幂的运算可得．
【答案】
9.已知则的值为__________．

【答案】
10.化简式子的结果是 __________．
【解析】因为，，所以又因为结果一定非负，所以，故答案为．
【答案】
11.化简： = ______．（用分数指数幂表示）
【解析】
【答案】

13.
【解析】
【答案】
14.
【解析】化简 ，故答案为 .

【答案】
15.已知求
【解析】因为
，因为，所以
所以
又因为，所以
所以
【答案】