专题1.2.1函数的概念-2019届数学高一（必修一）全新视角透析Word版含解析

第一章 集合与函数的概念
1.2.1 函数的概念
【双向目标】
课程目标
学科素养
A.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
B.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
C.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
a数学抽象：数学集合概念的理解、描述法表示集合的方法
b逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用
c数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算
d 直观想象：利用数轴表示数集、集合的图形表示
e 数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识1：函数的概念
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
知识2:函数的表示方法
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法．
(2)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系的方法．
(3)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法．
知识3：构成函数的三要素
(1)函数的三要素是：定义域、对应关系、值域；
(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．
知识4：分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．
知识5：映射的概念
一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．　
知识6：复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
?
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(2)函数y＝()2与y＝是同一个函数．( )
(3)定义域与值域均相同的两个函数是相等函数．( )
(4)分段函数不是一个函数，而是多个函数．( )
(5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )
2.函数f(x)＝ln＋x的定义域为 (　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)
3.设f(x)＝?则f(f(－2))等于( )
A．－1 B.???????
C.?????????????????D.
4.(2015全国卷Ⅱ)设函数
f(x)＝
则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
5.(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________.
6.设函数f(x)＝x3＋3x2＋1.已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，
则实数a＝________，b＝________.
?
基础过关参考答案：
1. 【解析】 (1)错误．值域是集合B的子集．

【答案】B
3.【解析】因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，所以f(f(－2))＝f＝1－＝1－＝.
故选C.
【答案】C
4.【解析】解：由条件得f(－2)＝1＋log24＝3，因为log212>1，所以f(log212)＝2(log212)－1＝2log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9.故选C.
【答案】C
5.【解析】由题意知点(－1，4)在函数f(x)＝ax3－2x的图象上，所以4＝－a＋2，则a＝－2.故填－2.
【答案】－2．
6.【解析】因为f(x)－f(a)＝x3＋3x2－a3－3a2，(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝
x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b，
所以
解得a＝－2，b＝1.
【答案】－2；1.
【能力素养】
探究一 求函数的定义域
函数定义域即自变量的取值范围，是研究函数的首要考虑因素。
例1．函数f(x)＝＋lg的定义域为( )
A．(2，3) B．(2，4]
C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]
【分析】确定函数的定义域首先根据所给的函数解析式特点（即包含的运算）来建立不等式，求解；

【答案】 C
【点评】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等．若已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，则函数y＝f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出．
【变式训练】
1．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】 要使函数有意义，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
【答案】 D
2.若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
【解析】因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2+2ax - a－1≥0对x∈R恒成立，则x2＋2ax－a≥0恒成立．
因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.故填[－1，0]．
【答案】[－1，0]
3.若函数y＝f(x)的定义域是[1，2 019]，则函数g(x)＝的定义域是________．
【解析】因为y＝f(x)的定义域为[1，2 019]，所以g(x)有意义，应满足
所以0≤x≤2 018，且x≠1.因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．故填{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．
【答案】{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．
探究二 求函数的值域
求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
例2：求下列函数的值域：
(1)y＝； (2)y＝2x＋； (3)y＝2x＋；
(4)y＝； (5)若x，y满足3x2＋2y2＝6x，求函数z＝x2＋y2的值域；
(6)f(x)＝－.

(2)(代数换元法) 令t＝(t≥0)，所以x＝1－t2，
所以y＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋.
因为t≥0，所以y≤，故函数的值域为.
(3)(三角换元法) 令x＝cost(0≤t≤π)，所以y＝2cost＋sint＝sin(t＋φ).
因为0≤t≤π，所以φ≤t＋φ≤π＋φ，所以sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1,故函数的值域为[－2，]．
(4)解法一：(不等式法) 因为y＝＝＝(x－1)＋，
又因为x＞1时，x－1＞0，x＜1时，x－1＜0，
所以当x>1时，y＝(x－1)＋≥2＝4，且当x＝3，等号成立；
当x<1时，y＝－≤－4，且当x＝－1，等号成立．
所以函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
解法二：(判别式法) 因为y＝，所以x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0，

所以当x＝0时，z有最小值0，当x＝2时，z有最大值4，
故所求函数的值域为[0，4]．
(6)(图象法) f(x)＝

作出其图象，可知函数f(x)的值域是.
【点评】求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．
【变式训练】
1.函数y＝的值域为________．
【解析】y＝＝＝1－，因为≠0，且可取除0外的一切实数，所以1－≠1，
且可取除1外的一切实数．故函数的值域是{y|y∈R且y≠1}．故填{y|y∈R且y≠1}．
【答案】{y|y∈R且y≠1}
2.函数f(x)＝x＋的值域为________．
【解析】(代数换元法)函数的定义域为，
令t＝(t≥0)，则x＝.
所以y＝＋t＝－(t－1)2＋1(t≥0)，
故当t＝1(即x＝0)时，y有最大值1，故函数f(x)的值域为(－∞，1]．故填(－∞，1]．
【答案】(－∞，1]．
3.函数y＝的值域是________．

【答案】[1，5]．
探究三 求函数解析式
求函数解析式是根据条件求解函数的对应关系，方法众多，技巧性强，体现较强的方程思想。
例3：(1)已知f＝lg x，则f(x)＝________.
(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2·f·－1，则f(x)＝________.
【解析】 (1)令＋1＝t，得x＝，代入得f(t)＝lg ，又x>0，所以t>1.

(3)在f(x)＝2f·－1中，用代替x，得f＝2f(x)·－1，
由得f(x)＝＋.
【答案】 (1)lg(x>1) (2)x2＋x(x∈R) (3)＋
【点评】求函数解析式的四种常见方法
1．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
2．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
3．配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的
解析式．
4.消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
【变式训练】
1．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
【解析】(换元法)令＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．故填x2－1(x≥1)．
【答案】x2－1(x≥1)
2.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
【解析】(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，所以 解得 所以f(x)＝2x＋7.故填2x＋7.
【答案】2x＋7.
3.已知f＝x2＋，则f(x)＝________.
【解析】(配凑法)f＝x2＋＝－2＝－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2)．
故填x2－2(|x|≥2)．
【答案】x2－2(|x|≥2)．
4．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
【解析】 以代替x得2f＋f(x)＝，由得f(x)＝2x－(x≠0)．
【答案】 2x－(x≠0)
探究四 分段函数
分段函数是高考的热点，考查方向主要是：（1）．根据分段函数的解析式求函数值；（2）．已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)。
例4：（1）(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12

【答案】 C
（2）设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1 B.
C. D.
【解析】 f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，
不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.
【答案】 D
【点评】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如f(f(x0))的求值问题时，应从内到外依次求值．(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
【变式训练】
1.设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1 B. C. D.
【解析】 因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，所以f＝1－＝1－＝.
【答案】 C
2．设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.
【解析】 若a＞0，则f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝.
若a≤0，则f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．
【答案】
3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．

【答案】 (－∞，8]
4．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
【解析】 f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤.

【答案】 (－∞，]
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
2,6
1,2,3,4,
2,4
3
B
7,8,9,10
5,6,7,8
5,6,7,8,13
10,
9,13
C
11,14,15,
16
10,12,14,
15,16
10,11,12,14,
15,16
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lgx C．y＝2x D．y＝
【解析】函数y＝10lgx的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lgx的值域为R，排除B.故选D.
【答案】D
2．有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数； ②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数； ④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
系均相同，所以是同一函数，③正确；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1，④错误．
综上可知，正确的判断是②③.故选B.
【答案】B
3．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，则y＝f(x)的图象可以是( )

【解析】A项定义域为[－2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对定义域中除2以外的任一x均有两个y与之对应，故A，C，D均不符合条件．故选B.
【答案】B
4．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
【解析】 由题意知即故C正确．
【答案】 C
5．设全集为R，函数f(x)＝ln 的定义域为M，则?RM＝( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]

【答案】 C
6．已知函数f(x)＝－x＋log2＋1，则f＋f的值为( )
A．2 B．－2 C．0 D．2log2
【解析】 f＝＋log2，f＝＋log23，所以f＋f＝2.
【答案】 A
7．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】 因为f(1)＝21＝2，且f(a)＋f(1)＝0，所以f(a)＝－2.因为x>0时，f(x)>1，
所以a≤0，所以f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.
【答案】 A
8.已知函数f(x)＝ 若f(a)＝5，则a的取值集合为( )
A．{－2，3，5} B．{－2，3} C．{－2，5} D．{3，5}
【解析】令3＋log2(a－1)＝5，得a＝5，令a2－a－1＝5，得a＝3(舍)或a＝－2，故a∈{－2，5}．或由f(－2)＝(－2)2－(－2)－1＝5，f(3)＝3＋log22＝4，f(5)＝3＋log24＝5，所以排除A，B，D.故选C.
【答案】 C
9．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
【解析】 因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15， ① 所以必有4且＝＝30， ②联立①②得c＝60，A＝16.
【答案】 D
10．已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)＞－1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.∪(0,1)

此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1，
∴f(x)－f(－x)＞－1化为－2x＋2＞－1. 解得x＜，所以0＜x≤1.
综上，x∈∪(0,1]．
【答案】 B
11．若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
【解析】 由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，所以0≤x<1，即g(x)的定义域为[0,1)
【答案】 [0,1)
12.已知函数f(x)＝ 则不等式f(x)≥－1的解集是________．
【解析】当x≤0时，由题意得＋1≥－1，解得－4≤x≤0.
当x>0时，由题意得－(x－1)2≥－1，解得0综上，f(x)≥－1的解集为{x|－4≤x≤2}．故填{x|－4≤x≤2}．
【答案】{x|－4≤x≤2}．

13.设O为坐标原点，给定一个定点A(4，3)，点B(x，0)在x轴的正半轴上移动．l(x)表示的长，则函数y＝的值域为________．

【答案】
14．若一系列函数的解析式、值域相同但定义域不同，则称它们为同族函数，则f(x)＝x2，值域为{1,4}的同族函数共有________个．
【解析】 由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}时，它的定义域可以是{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{1,2，－2}，{－1,2，－2}，{1，－1,2，－2}共有9种不同的情况．
【答案】 9
15．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x2－2)的值域．
【解析】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0，所以c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.
因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1. 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.
所以(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，
所以 解得 所以f(x)＝x2＋x.
(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝(x2－2)2＋(x2－2)＝(x4－3x2＋2)＝－，
当x2＝时，y取最小值－.
所以函数y＝f(x2－2)的值域为.
16．已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为[0，＋∞)，求实数a的取值范围．

综合①②得a的取值范围是.
(2)因为函数f(x)的值域为[0，＋∞)，
所以函数g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6取一切非负实数，
所以??－1＜a≤－.
当a＝－1时，f(x)＝的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．
故所求实数a的取值范围为.