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华师大版数学九年级上册23.3.4相似三角形的应用
教学设计
课题 23.3.4相似三角形的应用 单元 23章 学科 数学 年级 九
教材分析 本节课的内容是继相似三角形的条件之后的复习与应用，它将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，利用学生已有的相似三角形的知识采用不同的方法给予解决，通过对此问题的解决方案的探究，渗透数学识模和建模的思想，从而提高学生解决世纪问题的能力，增强应用意识。
学情分析 学生的知识技能基础：学生在本章前几节课中，学习了相似三角形的判定和性质，初步理解了相似三角形的特征，掌握了了两个三角形相似的条件，具备了利用三角形相似来解决现实世界中的具体问题的基本知识；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程和学生的世纪生活中，学生已经尽力了一些测量活动，解决过一些简单的现实问题，获得一些数学活动经验；同时，在以前的数学学习中学生已经尽力了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
学习目标 知识与能力：会应用相似三角形的性质、判定解决实际问题过程与方法：经历综合运用相似三角形性质、判定的过程，掌握其运用思路和方法情感态度与价值观：让学生感受到综合性思维的运用方法，认知逻辑是几何学的训练目标，是很有应用价值的一门学问
重点 相似三角形性质与判定的应用
难点 把实际问题转化为数学模型，利用所学的数学知识来进行解答
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：我们已经学习相似三角形的性质有哪些？师：同学们回答的真好；不知道同学们是不是都只会说说呢？我们来看看真功夫。1. 如图(1)，在△ABC中，DE∥AC，BD=10，DA=15，BE=8，则2.2.如图(2),已知 ∠ 1 = ∠ 2,若再增加一个条件就能使结论“△ADE∽△ABC”成立,则这条件可以是······师：看来还考不住大家了。书上的知识，你们掌握了，不知道课外的知识，你们又知道多少呢？这里有这么一句话，不知道呢们听过了没，“给我一个支点 我可以撬动整个地球。——阿基米德”具体是什么意思，我们来看看今天学的内容，你大概就能理解了 相似三角形对应角相等相似三角形对应边成比例。3、相似三角形的周长之比等于相似比；4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。5、相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比等于相似比。学生思考计算 带领学生复习旧知识，能帮学生在学习本节课知识点前，简单梳理一下 ，有助于快速接受本节课的知识点。挑战性，又不一样的引导性语音，能够勾起学生的兴趣。
讲授新课 人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体高度和两地距离问题:古代一位数学家想出了一种测量金字塔高 ( http: / / www.21cnjy.com )度的方法：如图（书73）为了测量金字塔的高度OB，先竖立一根已知长度的木棒O1B1，比较木棒的影长A1B1与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB。如果O1B1=1米，A1B1=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB提示：利用上题的方法构造相似三角形解决问题小结：利用相似三角形解决问题，关键先把实际问题转化成数学模型（相似三角形对应边成比例）标注条件解决问题同学们了解了构造数学模形的方法后，你们以小组为单位自己试一试：如图:为了估算河的宽度，我们可以 ( http: / / www.21cnjy.com )在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB。联系实际、应用拓展如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE=∠C，求证：AD·AB=AE·AC师总结：一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面 1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 2 测距(不能直接测量的两点间的距离)二、测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决 三、测距的方法 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解 小组合作探究，做出图形，写出已知求解小组合作探究，做出图形，写出已知求解小组合作探究，做出图形，写出已知求解学生先理解老师的总结，再依据自身不理解的地方，提问。 本节课是前面课程的综合运用，所以本节课更多地是让学生运用已有的知识点去解决实际问题，所以采取了，学生小组讨论去探索答案，老师只做本节课的引导者有效地帮助学生梳理解决问题的思绪，能够帮助学生更加省时省力地学习，也能让学生更加清楚自身心里的迷惑，在这个环节尽量把学生疑惑解决了，是本节课的一大推动
巩固练习 1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)3.如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网5米的位置上，则拍击球的高度应为（ ） 。A、2.7米 B、1.8米 C、0.9米 D、 6米 在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？ 5.如图,已知零件的外径为a,要求它的厚度x,需先求出内孔的直径AB,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量,若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b,求厚度x。
课堂小结 师：今天的课程到这里就结束了，哪位同学能讲讲今天的收获呢？(1)会直接应用性质解决简单的实际问题；(2)会利用所给的方案构造示意图解决问题；(3)会初步设计解决实际问题的方案；(4)会实地测量和计算旗杆的高度、河的宽度。
板书教学反思 一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面 1 测高 2 测距二、测高的方法三、测距的方法 本节课以生活实例为情境，引导学生探究如何建立相似的数学模型，构造相似三角形，把实际问题转化为数学问题（相似）来解决，进一步提高学生应用数学知识的能力。
A
D
E
C
B
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23.3.4相似三角形的应用
数学华师大版 九年级上
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新知导入
我们已经学习相似三角形的性质有哪些？
1、相似三角形对应角相等。
2、相似三角形对应边成比例。
3、相似三角形的周长之比等于相似比；
4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
5、相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比等于相似比。
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新知导入
1. 如图(1)，在△ABC中，DE∥AC，BD=10，DA=15，BE=8，则
EC=
.
B
D
E
C
A
2.如图(2),已知 ∠ 1 = ∠ 2,若再增加一个条件就能使结论“△ADE∽△ABC”成立,则这条件可以是······
(1)
A
D
B
E
(2)
C
1
2
……
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新知导入
给我一个支点 我可以撬动整个地球。
——阿基米德
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新知讲解
例：古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′ 与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB。如果O′B′ =1米，A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB。
A′
B′
O′
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新知讲解
答:该金字塔高为137米．
（米）
解:∵ 太阳光线是平行线
∴ ∠OAB＝∠O′A′B′．
又∵ ∠ABO＝∠A′B′O′＝90°．
∴ △OAB∽△O′A′B′，
OB∶O′B′＝AB∶A′B′，
OB＝
A′
B′
O′
新知讲解
例7 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
C
A
D
B
C
E
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新知讲解
解： ∵ ∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD，
∴
解得 AB ＝
＝
＝100（米）．
答： 两岸间的大致距离为100米．
D
A
B
C
E
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新知讲解
例8 如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ ADE=∠C，求证：AD·AB=AE·AC。
证明：∵ ∠ ADE=∠C，∠ A=∠A
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似。）
∴
AD
AC
=
AE
AB
∴AD·AB=AE·AC
A
B
C
D
E
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新知讲解
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
二、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决
三、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
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课堂练习
o
B
D
C
A
┏
┛
(第1题)
1m
16m
0.5m
1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m
8
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课堂练习
2. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)
A
D
B
C
E
┏
┏
解：如图所示，可得
AD
DE
=
AB
BC
5
0.8
=
15
h
解得h=2.4
答：球拍击球的高度h为2.4米
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新知讲解
3.如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网5米的位置上，则拍击球的高度应为（ ） 。
5m
10m
0.9m
h
A、2.7米 B、1.8米
C、0.9米 D、 6米
A
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课堂练习
4、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
解:设高楼的高度为X米，则
答:楼高36米.
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拓展提升
5.如图,已知零件的外径为a,要求它的厚度x,需先求出内孔的直径AB,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量,若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b,求厚度x。
O
（分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB。而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度。）
O
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拓展提升
解：
∴△AOB∽△COD
∵AB=CD · n = nb
又∵CD=b
且∠AOB=∠COD
∵ OA:OC=OB:OD=n
∵ OA:OC=AB:CD=n
又∵x = ( a － AB )÷2
= ( a － nb )÷2
A
C
D
b
O
x
B
x
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课堂小结
(1)会直接应用性质解决简单的实际问题；
(2)会利用所给的方案构造示意图解决问题；
(3)会初步设计解决实际问题的方案；
(4)会实地测量和计算旗杆的高度、河的宽度。
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板书设计
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高
2 测距
二、测高的方法
三、测距的方法
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作业布置
教材第74页1~3题
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谢谢
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