新课标2010高考物理二轮复习：专题五《带电粒子在电磁场中的运动》

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【专题五】带电粒子在电磁场中的运动
【考情分析】
带电粒子在电磁场中的运动是高中物理的一个难点，是高考必考的重点和热点。带电粒子在电场中的运动问题，是高考试题中经常出现的一类问题，高考命题所涉及的电场既有匀强电场，也有非匀强电场和交变电场，涉及的知识既有电场知识，也有力学中的有关知识。
电场对带电粒子有两种基本的作用，其一使带电粒子加速,其二使带电粒子偏转。而带电粒子在电场中的运动问题可分为五类，即带电粒子在电场中的平衡问题、加速问题、偏转问题、轨迹问题及带电粒子在交变电场中的运动问题。平衡问题运用物体的平衡条件；直线运动问题运用运动学公式、牛顿运动定律、动量关系及能量关系；偏转问题运用运动的合成和分解，以及运动学中的平抛运动规律等窗体顶端；而对带电粒子在交变电场中运动，则应从粒子的受力情况入手，根据其初始状态的速度，根据牛顿定律、能量守恒以及对称性来分析粒子在不同时间内的运动情况。
带电粒子在磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，还要牵涉到数学中的平面几何、解析几何知识。纵观历年高考试题不难发现，实际上单独考查磁场知识的题目很少，绝大多数试题的考查方式为磁场中的通电导线或带电的运动粒子在安培力或洛仑兹力作用下的运动，尤其以带电粒子在洛仑兹力作用下在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题居多，侧重于知识应用方面的考查，且难度较大，对考生的空间想象能力及物理过程、运动规律的综合分析能力要求较高。但只要准确地画出轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径R、周期T的关系，求出有关物理量应该是水到渠成的。
带电粒子在复合场中的运动包括带电粒子在匀强电场、交变电场、匀强磁场及包含重力场在内的复合场中的运动问题，是高考必考的重点和热点。
纵观近几年各种形式的高考试题，题目一般是运动情景复杂、综合性强，多把场的性质、运动学规律、牛顿运动定律、功能关系以及交变电场等知识有机地结合，题目难度中等偏上，对考生的空间想像能力、物理过程和运动规律的综合分析能力，及用数学方法解决物理问题的能力要求较高，题型有选择题，填空题、作图及计算题，涉及本部分知识的命题也有构思新颖、过程复杂、高难度的压轴题。
【知识交汇】
1、带电粒子在电场中的加速：
在匀强电场中的加速问题，一般属于物体受恒力（重力一般不计）作用运动问题。处理的方法有两种：
①根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解；②根据动能定理与电场力做功，运动学公式结合求解.其基本方程包括：加速度，场强，运动学公式，以及电场力做功.
而对非匀强电场中的加速问题，由于电场力变化而使带电粒子做非匀加速运动，故处理的方法只能根据动能定理等公式求解。其基本方程是：.
2、带电粒子在电场中的偏转
带电粒子垂直于匀强电场的场强方向进入电场后，受到恒定的电场力作用，而做类平抛运动。
在垂直电场方向做匀速直线运动，即
而在沿电场力方向，做初速度为零的匀加速直线运动，则
且 通过电场区的时间：
故粒子通过电场区的侧移距离：，粒子通过电场区偏转角：.由此可见，侧移距离也可表示为：，即带电粒子从极板的中线射入匀强电场，其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点。这是一个很重要的结论，要注意理解和灵活运用。
3、带电粒子在磁场中匀速圆周运动的圆心、半径及周期
①圆心的确定：因为洛仑兹力指向圆心，根据F⊥V，只要画出粒子运动轨迹上的两点（一般是射入和射出磁场的两点）的洛仑兹力方向，沿两个洛仑兹力方向做其延长线，两延长线的交点即为圆心。
②半径和周期的计算：带电粒子垂直磁场方向射入磁场，只受洛仑兹力，将做匀速圆周运动，此时应有，由此可求得粒子运动半径 ，周期T=2πm/qB，即粒子的运动周期与粒子的速率大小无关。这几个公式在解决洛仑兹力的问题时经常用到，必须熟练掌握。在实际问题中，半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的知识（如勾股定理等）求解。
4、所谓复合场，即重力、电场力、洛仑兹力共存或洛仑兹力与电场力同时存在等，当带电粒子所受合外力为零时，所处状态是匀速直线运动或静止状态，当带电粒子所受合力只充当向心力时，粒子做匀速圆周运动，当带电粒子所受合力变化且速度方向不在同一直线上时，粒子做非匀变速曲线运动。
对于复合场或组合场中带电体运动的问题，其实是以洛仑兹力为载体，本质上可看作是力学题，仍可从以下三个方面入手：①动力学观点（牛顿定律结合运动学方程）；②能量观点（动能定理和机械能守恒或能量守恒）；③动量观点（动量定理和动量守恒定律）．
一般地，对于微观粒子，如电子、质子、离子等不计重力，而一些实际物体，如带电小球、液滴等应考虑其重力．有时也可由题设条件，结合受力与运动分析，确定是否考虑重力．
5、洛仑兹力在实际中的应用
电场可以对带电粒子有电场力的作用，而磁场对运动的带电粒子有洛仑兹力作用。当电场和磁场共同存在时，对带电粒子也会施加影响，这一知识在现代科学技术中有着广泛的应用。
①带电粒子在电场力和洛仑兹力同时作用下的运动主要有三种，即速度选择器、磁流体发电机和霍尔效应。
②带电粒子在电场力与洛仑兹力递次作用可交替作用下的运动也有三种应用，即电视显像管，质谱仪和回旋加速器。
【思想方法】
【例1】如图所示一质量为m，带电量为q的小球用长为L的细线拴接，另一端固定在O点，整个装置处在水平向右的匀强电场中。现将小球位至与O等高的水平位置A点，将小球由静止释放，小球恰能摆到与竖直方向成θ角的位置，由此可以判定 （ ）
A．小球在下摆过程中机械能守恒 B．小球向左摆动过程中机械能减少
C．小球在经过最低点时速度最大 D．匀强电场的电场强度E=mgtanθ/q
【解析】物体机械能守恒的条件是只有重力和弹力做功，而本题中由于电场力的存在，且电场力做了负功，则小球向左摆动过程中机械能减少；小球速度的最大值不是出在最低点时，而是经过其“等效平衡”位置，即选项C不正确；由于将小球是由静止释放恰能摆到与竖直方向成θ角的位置，故场强不能根据平衡条件求解，而只能借助动能定理解决，故选项D也不正确．即本题正确答案只有B．
【例2】如图所示，实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是 ( )?
A. 带电粒子所带电荷的符号
B. 带电粒子在a、b两点的受力方向
C. 带电粒子在a、b两点的速度何处较大
D. 带电粒子在a、b两点的电势能何处较大
【解析】设粒子从a运动到b，由轨迹的弯曲情况，可知电场力应沿电场线向左，但因不知电场线的方向，故带电粒子所带电荷符号不能确定。此时，速度方向与电场力方向夹角大于90°，电场力做负功，电势能增加，即b的电势能较大。相应地运动速度减小，即a点速度大于b点速度。当粒子从b到a时，也有同样结论。故应选B、C、D。
【例3】如图所示，在光滑水平长直轨道上有A、B两个小绝缘体，它们之间有一根长为L的轻质软线相连接（图中未画出细线）．其中A的质量为m，B的质量为M，已知M＝4m．A带有正电荷B不带电，空间存在着方向向右的匀强电场．开始时将A与B靠在一起，并保持静止．某时刻撤去外力，A将开始向右运动，到细线被绷紧，当细线被绷紧时，两物体间将发生时间极短的相互作用，此后B开始运动，线再次松弛，已知B开始运动时的速度等于线刚要绷紧瞬间A的速度的1/3．设整个过程中A的带电量都保持不变．B开始运动后到细线第二次被绷紧前的过程中，B与A是否会相碰 如果能相碰，求出相碰时B的位移的大小及A、B相碰前瞬间的速度；如果不能相碰，求出B与A间的最短距离．
【解析】细绳第一次绷紧时，电场力对m做正功，由动能定理有
，则．　
由题意和动量守恒定律，有，且M＝4m 　
由以上各式，解得．
可见软线绷紧后，A将先向左做减速运动，加速度a保持不变，同时B将向右做匀速直线运动。
A减速为零后再次加速到与B同速时所用的时间为tA
据动量定理有 F tA = 2 m vA′
这段时间B前进位移为 SB = < L.
可见，细线再次绷紧时A、B不会相碰.
此时A、B间距离最短，则A、B间相距为 ΔL= =
【例4】一束电子以Ek=100eV的动能在t=0时由中心水平进入电场，而电容器两板间电势差随时间的变化如图所示。试求电容器两板间有电子穿出与无电子穿出的时间之比。（电子质量）
【解析】由，得 ，则电子穿出电场的时间为
，该时间远远小于，故可认为电子穿过电场时电势差不变。
当电子恰好穿出电容器极板时有 ，则得 ，这时由图象可知， ，故在2内电容器两板间有电子穿出的时间，则无电子穿出的时间
因此，电容器两板间有电子穿出与无电子穿出的时间之比为 。
【例5】某同学家中电视机画面的幅度偏小，维修的技术人员检查后认为是显像管或偏转线圈出了故障，显像管及偏转线圈如图所示，引起故障的原因可能是 （ ）
A .电子枪发射的电子数减小
B.加速电场的电压过大
C.偏转线圈的电流过小，偏转磁场减弱
D.偏转线圈匝间短路，线圈匝数减小
【解析】电视机画面的幅度偏小，说明电子的偏转半径变大了，根据电视机原理公式及，容易得到，即可能是电压过大或者磁场减弱造成，故本题正确答案为BCD.
【例6】两个相同的回旋加速器，分别接在加速电压U1和U2的高频电源上，且U1>U2，有两个相同的带电粒子分别在这两个加速器中运动,设两个粒子在加速器中运动的时间分别为t1和t2，获得的最大动能分别为Ek1和Ek2，则 （ ）
A .t1< t2 ,Ek1 >Ek2 B.t1= t2 , Ek1C.t1> t2 ,Ek1 =Ek2 D.t1【解析】带电粒子在回旋加速器中,获得的速度由确定，则有，故最大动能，与加速电压U无关，因此相同的带电粒子分别在这两个加速电压不同的回旋加速器中运动获得的最大动能是相等的.
由于带电粒子在回旋加速器中获得的能量来源于加速电场,且粒子每转一周增加能量，而周期不随速度变化，则粒子旋转的周数为，故粒子在加速器中运动的时间，即运动时间与加速电压U成反比，可见正确答案为D.
【例7】如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀强电场，在其余象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O的距离为1.5h．一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以大小为v0的初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而经过C点进入磁场区域．不计重力作用．（sin53 =0.8，cos53 =0.6）
（1）求匀强电场的电场强度E．
（2）求粒子经过C点时速度的大小和方向．
（3）若匀强磁场的磁感应强度，粒子在磁场区域中运动一段时间后又从某一点D进入电场区域，求粒子在磁场区域中运动的这段时间．
【解析】（1）设由A点运动到C点经历的时间为t，则有
①
以a表示粒子在电场作用下的加速度，有
qE=ma ②
③
解得 ④
（2）设粒子从C点进入磁场时的速度为v，v垂直于x 轴的分量
⑤
⑥
设粒子经过C点时的速度方向与x轴夹角为，则有
即 ⑦
（2）粒子从C点进入磁场后在磁场中做半径为R的圆周运动。则有
⑧
将代入可解得
⑨
由于，因此粒子从y轴上的D点离开磁场。⑩
设圆心为P，。用表示与y轴的夹角，由几何关系得
⑾
解得即 ⑿
因为，因此粒子在磁场区域中运动了周，经过的时间为
⒀
解得 ⒁
【例8】如图所示，在平面直角坐标系xOy平面内，x<0的区域内没有电场和磁场； 区域内有一匀强电场区，电场方向沿x轴正方向；x=0处的各点电势为零，x=a处各点电势为a，在x>a处充满匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里。现有一带电粒子，质量为m，电荷量为q，在x=0，y=0的位置由静止开始自由释放，求：
（1）靶子M的坐标是x=a，y=b，带电粒子击中靶子时的速度多大？
（2）磁感应强度为多大时，带电粒子才能击中靶子M？
【解析】（1）带电粒子从原点由静止释放后，在的匀强电场
区域内被加速，由动能定理得
，va即为进入匀强磁场时速度的大小。
进入匀强磁场区内带电粒子做匀速圆周运动，速度大小恒定不变，所
以击中靶子M的速度大小为。
（2）带电粒子可以经电场、磁场各一次后击中靶子，也可能经电场、
磁场多次后才击中靶子，如图6－18所示，故轨道半径R有多个值，对应的磁感应强度B也有多个可能值。设带电粒子在磁场中经n(n=1，2，3，……)次偏转后击中靶子M。根据题意有
洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律，有
解得磁感应强度的可能值
【专题演练】
1．如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab=Ubc，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知 （ ）
（A）三个等势面中，a的电势最高
（B）带电质点通过P点时的电势能较大
（C）带电质点通过P点时的动能较大
（D）带电质点通过P点时的加速度较大
2．光滑水平面上有一边长为l的正方形区域处在场强为E的匀强电场中，电场方向与正方形一边平行。一质量为m、带电量为q的小球由某一边的中点，以垂直于该边的水平初速v0进入该正方形区域。当小球再次运动到该正方形区域的边缘时，动能的增量可能为 （ ）
A．0 B． C． D．
3．如图所示，两平行金属板A、B长l＝8cm，两板间距离d＝8cm，A板比B板电势高300V，即UAB＝300V。一带正电的粒子电量q＝10-10 C，质量m＝10-20 kg，从R点沿电场中心线垂直电场线飞入电场，初速度v0＝2×106m/s，粒子飞出平行板电场后经过界面MN、PS间的无电场区域后，进入固定在中心线上的O点的点电荷Q形成的电场区域（设界面PS右边点电荷的电场分布不受界面的影响）。已知两界面MN、PS相距为L＝12cm，粒子穿过界面PS最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏EF上。（静电力常数k＝9×109 N·m2/C2）
求：（1）粒子穿过界面PS时偏离中心线RO的距离多远？（2）点电荷的电量．
4．如图所示，oxyz坐标系的y轴竖直向上，在坐标系所在的空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向与x轴平行．从y轴上的M点（0，H，0）无初速释放一个质量为m、电荷量为q的带负电的小球，它落在xz平面上的N（l，0，b）点（l>0，b>0）．若撤去磁场则小球落在xz平面的P点（l，0，0）．已知重力加速度为ｇ．
（1）已知匀强磁场方向与某个坐标轴平行，试判断其可能的具体方向．
（2）求电场强度E的大小．
（3）求小球落至N点时的速率v．
5．如图所示，一质量为m，带电荷量为+q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图所示。粒子的重力不计，试求：
（1）圆形匀强磁场的最小面积。
（2）c点到b点的距离s。
6．如图所示，在xOy平面内的第一象限中有沿y方向的匀强电场，
在第二、第三和第四象限中有匀强磁场，方向垂直于坐标平面向里,
有一个质量为m、电荷量为e的电子，从y轴的P点以初速度v0垂直于电场方向进入电场。接着
电子从x轴上Q点进入匀强磁场，最后恰从P点以垂直于y轴的方向射出磁场。若OP=h,OQ=h,不计电子的重力。求：
(1)匀强电场的电场强度大小;
(2)匀强磁场的磁感应强度大小。
【参考答案】
1．BD； 2．ABD．
3．【解析】：
（1）设粒子从电场中飞出时的侧向位移为h, 穿过界面PS时偏离中心线OR的距离为y，则： h=at2/2
即：
代入数据，解得： h=0．03m=3cm
带电粒子在离开电场后将做匀速直线运动,由相似三角形知识得：
代入数据，解得: y=0．12m=12cm
（2）设粒子从电场中飞出时沿电场方向的速度为vy，则：vy=at=
代入数据，解得: vy=1．5×106m/s
所以粒子从电场中飞出时沿电场方向的速度
设粒子从电场中飞出时的速度方向与水平方向的夹角为θ，则：，
因为粒子穿过界面PS最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏上，所以该带电粒子在穿过界面PS后将绕点电荷Q作匀速圆周运动，其半径与速度方向垂直。
匀速圆周运动的半径：
由，代入数据，解得： Q=1.04×10-8C
4．【解析】（1）用左手定则判断出：磁场方向为－x方向或－y方向．
（2）在未加匀强磁场时，带电小球在电场力和重力作用下落到P点，设运动时间为t，小球自由下落，有　　　　 ①
小球沿x轴方向只受电场力作用　 ②
小球沿x轴的位移为　　　　 ③
小球沿x轴方向的加速度　　 ④
联立求解，得　　　　　　　 ⑤
（3）带电小球在匀强磁场和匀强电场共存的区域运动时，洛仑兹力不做功
电场力做功为　　　　　　　　WE=qEl ⑥
重力做功为　　　　　　　　　WG=mgH ⑦
设落到N点速度大小为v,根据动能定理有
⑧
解得　　　　　　　　　　 ⑨
5．【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径为R，则有
，即 R=
粒子经过磁场区域速度偏转角为120°，这表明在磁场区域中轨迹为半径为R的圆弧，此圆弧应与入射和出射方向相切。作出粒子运动轨迹如图中实线所示。轨迹MN为以O′为圆心、R为半径，且与两速度方向相切的圆弧，M、N两点还应在所求磁场区域的边界上。
在过M、N两点的不同圆周中，最小的一个是以MN为直径的圆周，所求圆形磁场区域的最小半径为
面积为S=
（2）粒子进入电场做类平抛运动，设从b到c垂直电场方向位移x′，沿电场方向位移y′，所用时间为t。则有
x′=v0t，
又
解得 x′=mv02/Eq， y′=6mv02/Eq
6.【解析】(1)电子在电场中运动过程是类平抛运动如图　
沿X方向，由几何关系和匀速分运动得： 　
沿Y方向，由几何关系和匀加速分运动得：
　　　　　
又由牛顿第二定律得：　　
　　　　
(2)电子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹如是图所示，Oˊ为圆心，设电子做匀速圆周
运动的半径为r，进入磁场中速度为v，由图中几何关系有
　　　　　
　由洛仑兹力提供向心力得
而　　　　
综合上式得　.　　　　　www.
b
a
B
A
v0
R
M
N
L
P
S
O
E
F
l
y
x
z
o
M(0,H,0)
N(l,0,b)
P(l,0,0)
y
N
M
O
30°
E
b
c
x
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