北师大九年级上《1.3正方形的性质与判定》同步练习（有答案）

2018-2019学年度北师大版数学九年级上册同步练习
1.3 正方形的性质与判定
学校:___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共12小题）
1．下列哪种四边形的两条对角线互相垂直平分且相等（　　）
A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角形互相垂直平分
3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（　　）
A． B． C．1 D．1﹣
4．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使EF过点A，若DE=9，那么DG的长为（　　）
A．3 B．3 C．4 D．4
5．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（　　）
A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（　　）
A．① B．② C．③ D．④
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　）
A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90° D．OD=AC
9．下列说法错误的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
D．邻边相等的矩形是正方形
10．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM，则四边形ANCM是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（　　）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①③④
12．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，?ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．
这四位同学写出的结论中不正确的是（　　）
A．小青 B．小何 C．小夏 D．小雨
　
二．填空题（共6小题）
13．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　 　．
14．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是　 　度．
15．如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB=2cm．则图中阴影部分面积为　 　．
16．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　 　．（请写出正确结论的序号）．
17．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　 　．
18．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为　 　．
　
三．解答题（共5小题）
19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．
20．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
21．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：GF=GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
22．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE；
（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．
（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
23．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB=2，CE=，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
　
参考答案
　
一．选择题（共12小题）
1．D．
2．B．
3．A．
4．C．
5．D．
6．B．
7．C．
8．C．
9．B．
10．B．
11．C．
12．B．
二．填空题（共6小题）
13．（﹣1，5）．
14．67.5．
15．．
16．①②．
17．3．
18．9
　
三．解答题（共5小题）
19．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF．
　
20．解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，
∴∠CFH=∠CBG，
∵BF=CF，
∴△BGF≌△FHC，
（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，
∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，
∴GH=，且GH∥BC，
∴EF⊥BC，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB=EF=GH=a，
∴矩形ABCD的面积=．
　
21．证明：（1）如图1，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠A=∠C=90°，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，
∴∠DFG=90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
∵，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴GF=GC；
（2）BH=AE，理由是：
证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE，
∵AD=AB，
∴DM=BE，
由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ADC=90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴2∠2+2∠3=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EDG=45°，
∵EH⊥DE，
∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，
∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，
∴∠1=∠BEH，
在△DME和△EBH中，
∵，
∴△DME≌△EBH，
∴EM=BH，
Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，
∴EM=AE，
∴BH=AE；
证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，
∴∠ENH=90°，
由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，
在△DAE和△ENH中，
∵，
∴△DAE≌△ENH，
∴AE=HN，AD=EN，
∵AD=AB，
∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，
∴AE=BN=HN，
∴△BNH是等腰直角三角形，
∴BH=HN=AE．
　
22．解：（1）四边形BECF是菱形．
∵EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠3=∠1，
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠4，
∴EC=AE，
∴BE=AE，
∵CF=AE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形．
（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠1=45°，
∴∠EBF=2∠A=90°，
∴菱形BECF是正方形．
　
23．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC=AB=2，
∵EC=，
∴AE=CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG=．

（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC=30°
综上所述，∠EFC=120°或30°．