专题2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义-课时同步2017-2018学年高一数学人教版（必修4）

第二章 平面向量
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
一、选择题
1．在△ABC中，若??=4，则边AB的长为
A． B． C．2 D．2
【答案】C
【解析】∵??=4，∴?+?=?（+）==8，
∴||=2，即边AB的长为2，故选C．
2．已知向量a，b满足|a|=1，a⊥b，则a–2b在向量a上的投影为
A．–1 B．1 C． D．
【答案】B
3．若|a|=|b|=|a?b|，则b与a+b的夹角为
A．30° B．60° C．150° D．120°
【答案】B
【解析】∵|a|=|b|=|a+b|，∴由向量加法平行四边形法则得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，菱形的一条对角线同边相等，∴夹角是，故选B．
4．设|a|=4，|b|=3，夹角为60°，则|a+b|等于
A．37 B．13 C． D．
【答案】C
【解析】∵|a|=4，|b|=3，夹角为60°，∴+2a?b+=42+2×4×3×cos60°+32=37，∴|a+b|=．故选C．
5．已知向量a，b的夹角为60°，且，则与的夹角等于
A．150° B．90° C．60° D．30°
【答案】C
6．若向量a，b的夹角为，且|a|=4，|b|=1，则||=
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】向量a，b的夹角为，且|a|=4，|b|=1，可得a?b=4×1×cos=4×=2，则||===4，故选C．
7．若|a|=5，|b|=6，=60°，则a?b=
A．15 B．15 C．15 D．10
【答案】A
【解析】∵a=5，|b|=6，=60°，∴a?b=|a|?|b|cos=5×6×cos60°=15，故选A．
8．若，m与n的夹角是135°，则等于
A．12 B． C． D．–12
【答案】C
【解析】由题意，m与n的夹角是135°，∴=4×6×（–）=，故选C．
9．已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a–3b|=
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】∵a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，∴，∴|a–3b|=，故选D．
二、填空题
10．若|a|=4，a?b=6，则b在a方向上的投影等于__________．
【答案】
【解析】设向量a与b的夹角为θ，由数量积的运算可得a?b=|a|?|b|cosθ=6，且|a|=4，∴|b|cosθ=，即b在a方向上的投影等于．故答案为：．
11．若向量a、b满足，且，则a与b的夹角为__________．
【答案】120°
【解析】设a与b的夹角θ，∵，且，∴4=3，∴4+4×1×1cosθ+1=3，∴cos，∵0≤θ≤π，∴θ=120°，故答案为：120°．
12．已知|a|=2，|b|=4，向量a与b的夹角为60°，当（a+3b）⊥（k）时，实数k的值是__________．
【答案】
13．若向量a，b满足：，则|b|=__________．
【答案】
【解析】∵，∴（a+b）?a=0，即a2+a?b=0，即a?b=–1，（2a+b）?b=0，即b2+2a?b=0，则b2=–2a?b=2，则|b|=，故答案为：．
三、解答题
14．已知单位向量m和n的夹角为60°，
（1）试判断2与m的关系并证明，
（2）求n在方向上的投影．
【解析】（1）2与m垂直，证明如下：
∵m和n是单位向量，且夹角为60°，
∴（2）?m=2n?=2×1×1×cos60°–12=0，
∴2与m垂直．
（2）设n与所成的角为θ，
则n在方向上的投影为
|n|cosθ=|n|×．
15．已知|a|=14，|b|=5，=150°，求．