专题3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式-课时同步2017-2018学年高一数学人教版（必修4）

第三章 三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、选择题
1．的值为
A． B．
C． D．1
【答案】A
【解析】sin75°cos75°=sin75°cos75°=．故选A．
2．已知，则=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
将式子两边平方得，所以，故选B．
3．若角的终边与单位圆交于点,则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，则，选D．
4．已知角α,β均为锐角，且,tan(α-β)=，则tanβ=
A． B．
C． D．3
【答案】D
【解析】因为均为锐角，所以，所以
，故选D．
5．若，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，
则，故选A．
6．若，则
A． B．1
C． D．
【答案】B
【解析】∵tan（α+）= =﹣3，∴tanα=2，
∴cos2α+2sin2α=．故选B．
7．设，，且，则下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为 所以 故选A．
8．已知，，则的值为
A． B．
C． D．
【答案】C
9．若向量，，则
A．2 B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题得
,故选A．
二、填空题
10．化简：=　　　　.?
【答案】
【解析】原式==tan.
11．若锐角满足,则　　　　.?
【答案】
12．已知，，则__________．
【答案】
【解析】因为，，所以，
则 ，故答案为.
13．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则=__________.
【答案】
【解析】∵角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，
故答案为．
三、解答题
14．已知,,.
（1）求的值;
（2）求的值.
【解析】（1）∵tan＝,∴tanα＝＝,
由解得sin α＝(sin α＝).
（2）由（1）知cos α＝＝,
又0<α<<β<π,∴β－α∈(0,π),
而cos(β－α)＝,∴sin(β－α)＝＝,
于是sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝.
又β∈(),∴β＝.
15．已知.
（1）若，求的值.
（2）若，求的值.
【解析】（1）因为，所以，平方得，
即.
（2）因为，，所以，
所以，得，
所以.
16．在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．
（1）求的值；
（2）求的值.
【解析】（1）因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，
所以cos2α＝2cos2α－1＝．
（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．
又因为β为锐角，所以cosβ＝．
因为cosα＝，且α为锐角，所以sinα＝，
因此sin2α＝2sinαcosα＝，
所以sin(2α－β) ＝．
因为α为锐角，所以0＜2α＜π．
又cos2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
所以2α－β＝．
17．在中,A,B为锐角，且B（1）求角C的值;
（2）求证：5cos Acos(A+3B)=2sin B．
∴cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sin Asin B=+=,
∴C=135°.
（2）由（1）知A+B=45°,
∴cos(A+3B)=cos(45°+2B)=cos 45°cos 2B-sin 45°sin 2B=-,
∴左边=5cos Acos(A+3B)=5×,
右边=2sin B=2×,
∴5cos Acos(A+3B)=2sin B成立.