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新湘教版 数学 八年级上 1.3.3整数指数幂的运算法则 教学设计
课题 1.3.3整数指数幂的运算法则 单元 第一单元 学科 数学 年级 八年级
学习目标 1. 探索把正整数指数幂的运算法则推广到整数指数幂的运算法则；2. 会用整数指数幂的运算法则，熟练进行计算.3. 从学生已有知识点去探究新知识，培养学生探究能力
重点 整数指数幂的运算法则
难点 整数指数幂的运算法则
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 同学们，我们已经学习了正整数指数幂，下面请同学： 说一说：正整数指数幂的运算法则有哪些？答案： 学生根据老师的提问回答问题. 通过复习正整数指数幂的运算性质，为拓展到整数指数幂的运算性质做好铺垫.
新知讲解 正整数指数幂中的指数可不可以扩大到任意整数的情形呢，下面，让我们一起完成：探究： am·an=am+n(m，n都是正整数)这条性质能扩大到m，n都是任意整数的情形吗？探究过程：答案：成立想一想：下面的这两条性质也能扩大到m，n都是任意整数的情形吗？答案：同样成立归纳：这就说明： 当a≠0， b≠0时，正整数指数幂的运算法则对于整数指数幂也成立，引申1：对于a≠0，m，n 都是整数，有即同底数幂除法法则包含在公式（1）中引申2：对于a≠0，b≠0， n 是整数，有即分式的乘方法则包含在公式（3）中小结：这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：例1：设a≠0，b≠0，计算下列各式：解：注意：最后结果一般不保留负指数，应写成分式形式.练习1：设a≠0，b≠0，计算下列各式：答案：；例2：计算下列各式：解： 练习2：计算下列各式：答案：例3：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示. 学生根据老师出示的问题，在老师的引导下积极思考，并探究正整数指数幂在指数由正整数扩大到整数.老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解后独立完成.练习题独立完成小组内交流后班内交流. 引导学生探究整数指数幂的运算法则.在例题的学习中加深对整数指数幂计算法则的理解及应用.提高学生的计算能力.
课堂练习 下面，请同学们独立完成课堂练习.1．计算a·a－1的结果为( )A．－1 B．0 C．1 D．－a答案：C2．已知|b－2|＋(a＋b－1)2＝0，则a－2b－3＝__________．答案：3.计算下列各式：解： 学生自主完成课堂练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。 借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识，并强化法则的运用。
拓展提高 下面，让我们一起完成下面这道题：已知：10-2a=2,10-b=，求106a+2b的值.解： 在老师的引导下完成问题. 加深对所学知识的理解，并能利用所学解决实际问题，提高解决问题的能力..
课堂总结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：1、整数指数幂的运算性质：2、进行计算时，需要注意：（1）在应用各公式时，底数必须是相同的，指数可以是任意整数.（2）注意对于负指数和零指数时，a≠0，b≠0的条件. 跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识. 帮助学生梳理所学知识.
作业布置 基础作业教材第22页习题1.3A组第6题能力作业教材第22页习题1.3B组第7、8题. 学生课下独立完成. 检测课上学习效果.
板书设计 借助板书，让学生知道本节课的重点.
课题：1.3.3整数指数幂的运算法则
教师板演区
学生展示区
一、整数指数幂的运算性质
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1.3.3整数指数幂的运算法则
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将写成只含有正整数指数幂的形式是（ ）
A． B．
C． D．
3．计算(a2)3＋a2·a3－a2÷a－3的结果是（ ）
A．2a5－a B．2a5－ C．a5 D．a6
4．若m，n为正整数，则下列各式中错误的是（ ）
A．am÷an＝am·a－n B．(a－m)－n＝amn C．()n＝anb－n D．am－n＝
5．若102y=25，则10﹣y等于（ ）
A． B． C．﹣或 D．
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．计算：x2y（x﹣1﹣y﹣1）=_____．
7．计算：， ．
8．计算的结果是_________.(结果写成分式)
9．已知x-m=2,yn=3,则(x-2my-n)-4=_________.
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．计算下列各式，且把结果化为只含有正整数指数的形式：
（1）（x﹣2）﹣3（yz﹣1）3 ； （2）a2b3（2a﹣1b）3
（3）（3a3b2c﹣1）﹣2（5ab﹣2c3）2； （4）．
11．计算下列各式,并把结果化为只含有正整数次幂的形式:
(1)a-2b2·(-2a2b-2)-2÷(a-4b2);
(2) ÷·.
12．已知10-2α=3,10-β=,求108α+3β的值.
试题解析
1．D
【解析】分别根据整式加法、积的乘方、同底数幂的乘法、负指数幂的运算法则逐项进行计算即可作出判断.
解：A. 与不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
B. ，故错误，不符合题意；
C. ，故错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意，
故选D.
【点评】本题考查了积的乘方、同底数幂乘法，负指数幂的运算等，熟练掌握运算法则是解题的关键.
2．B
【解析】根据负整数指数幂的意义，
= (a≠0)，
所以3﹣1x(x+y)﹣3=，
故选B.
3．D
【解析】先分别进行幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算，然后再进行合并同类项即可.
解：原式=a2×3+a2+3-a2-(-3)
=a6+a5-a5
=a6，
故选D.
【点评】本题考查了有关幂的运算，熟练掌握“幂的乘方，底数不变，指数相乘”、“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”、“同底数幂的除法，底数不变，指数相减”是解题的关键.
4．D
【解析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、分式的乘方、负整数指数幂进行运算即可．
解：A．，，故，计算正确；
B．(a－m)－n＝amn，计算正确；
C．()n＝anb－n，计算正确；
D．，计算错误．
故选D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、分式的乘方、负整数指数幂的计算．解题的关键是熟练掌握法则．
5．A
【解析】将102y变形为(10y)2，求得10y的值，再将10-y变形为，代入即可得解.
解：∵102y=25，∴(10y)2=25，
∴10y=5或10y=-5（舍），
∴10-y== .
故选A.
【点评】本题考查幂的乘方运算的逆运算和负指数幂的运算法则.幂的乘方运算法则：(am)n=amn（m，n都是正整数）.
负指数幂的运算法则：a-m=（a≠0，m为正整数）
6．xy﹣x2
【解析】用单项式乘以多项式的法则运算，所以x2y(x﹣1﹣y﹣1)=x2y·x﹣1﹣x2y·y﹣1=xy﹣x2，故答案为xy﹣x2.
7．、
【解析】解：
故答案为： ,
8．
【解析】原式=a 2b4 a 6=a 8b4=.
故答案为： .
【点评】本题主要考查的是负整数指数幂、积的乘方、同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键.
9．
【解析】(x-2my-n)-4= .
【点评】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算及负整数指数幂的性质，将原式正确的变形是解题关键．
10．（1）；（2）；（3）（4）0．
【解析】（1）利用积的乘方运算法则进行化简，得出即可；
（2）利用积的乘方运算法则进行化简，进而利用同底数幂的乘法运算法则得出即可；
（3）利用积的乘方运算法则进行化简，进而利用同底数幂的乘法运算法则得出即可；
（4）利用负整数指数幂的性质以及有理数加减运算法则得出即可．
解：（1）原式=x6 y3z﹣3= ；
（2）原式=a2b3 8a﹣3b3=8a﹣1b6=
（3）原式= a﹣6b﹣4c2 25a2b﹣4c6= a﹣4b﹣8c8=；
（4）解：原式=1﹣4+3=0．
11．(1) (2) a6b9
【解析】（1）根据幂的乘方的性质进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数即可解答；（2）先根据同底数幂的除法进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答即可．
解：(1)原式=a-2b2·a-4b4·a4b-2=a-2b4=.
(2)原式====a6b9.
12．
【解析】因为10-2α==3,10-β==,根据倒数的定义可得102α=,10β=5.再由108α+3β=(102α)4·(10β)3，代入求值即可.
解：因为10-2α==3,10-β==,
所以102α=,10β=5.
所以108α+3β=(102α)4·(10β)3
=×53
=×125
=.
点睛：本题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算及负整数指数幂的性质，将原式正确的变形是解题关键．
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整数指数幂的运算法则
数学湘教版 八年级上
新知导入
说一说：正整数指数幂的运算法则有哪些？
新知讲解
探究： am·an=am+n(m，n都是正整数)这条性质能扩大到m，n都是任意整数的情形吗？
成立
新知讲解
想一想：
这两条性质也能扩大到m，n都是任意整数的情形吗？
同样成立
新知讲解
这就说明： 当a≠0， b≠0时，正整数指数幂的运算法则对于整数指数幂也成立，
对于a≠0，m，n 都是整数，有
同底数幂除法法则
新知讲解
这就说明： 当a≠0， b≠0时，正整数指数幂的运算法则对于整数指数幂也成立，
对于a≠0，b≠0， n 是整数，有
分式的乘方法则
新知讲解
这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：
新知讲解
例1：设a≠0，b≠0，计算下列各式：
解：
注意：最后结果一般不保留负指数，应写成分式形式.
新知讲解
练习1：设a≠0，b≠0，计算下列各式：
答案：
新知讲解
例2：计算下列各式：
解：
总结：分式形式的幂运算，若分式外面有幂要先算分式的乘方，再将分子、分母的系数，同底数幂分别相除，对于只在分子或分母里出现的字母或式子在分式里照写.
新知讲解
练习2：计算下列各式：
答案：
新知讲解
例3：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示.
解：我们知道：1纳米＝ 米.由 ＝10－９可知，1纳米＝１０－９米.
所以35纳米＝35×１０－９米
而35×10－９＝（3.5×10）×10－９
＝35×10１＋（－9）＝3.5×10－８，
所以这个纳米粒子的直径为3.5×１０－８米.
课堂练习
1．计算a·a－1的结果为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－a
C
2．已知|b－2|＋(a＋b－1)2＝0，则a－2b－3＝__________．
课堂练习
3.计算下列各式：
解：
拓展提高
已知：10-2a=2,10-b= ，求106a+2b的值.
解：∵
课堂总结
1、整数指数幂的运算性质：
2、进行计算时，需要注意：
（1）在应用各公式时，底数必须是相同的，指数可以是任意整数.
（2）注意对于负指数和零指数时，a≠0，b≠0的条件.
板书设计
课题：1.3.3整数指数幂的运算法则
教师板演区
学生展示区
一、整数指数幂的运算性质
基础作业
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能力作业
教材第22页习题1.3B组第7、8题.
作业布置
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课题
1.3.3整数指数幂的运算法则
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1. 探索把正整数指数幂的运算法则推广到整数指数幂的运算法则；
2. 会用整数指数幂的运算法则，熟练进行计算.
3. 从学生已有知识点去探究新知识，培养学生探究能力
重点
整数指数幂的运算法则
难点
整数指数幂的运算法则
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，我们已经学习了正整数指数幂，下面请同学：
说一说：正整数指数幂的运算法则有哪些？
答案：
学生根据老师的提问回答问题.
通过复习正整数指数幂的运算性质，为拓展到整数指数幂的运算性质做好铺垫.
新知讲解
正整数指数幂中的指数可不可以扩大到任意整数的情形呢，下面，让我们一起完成：
探究： am·an=am+n(m，n都是正整数)这条性质能扩大到m，n都是任意整数的情形吗？
探究过程：
答案：成立
想一想：下面的这两条性质也能扩大到m，n都是任意整数的情形吗？
答案：同样成立
归纳：这就说明： 当a≠0， b≠0时，正整数指数幂的运算法则对于整数指数幂也成立，
引申1：对于a≠0，m，n 都是整数，有
即同底数幂除法法则包含在公式（1）中
引申2：对于a≠0，b≠0， n 是整数，有
即分式的乘方法则包含在公式（3）中
小结：这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：
例1：设a≠0，b≠0，计算下列各式：
解：
注意：最后结果一般不保留负指数，应写成分式形式.
练习1：设a≠0，b≠0，计算下列各式：
答案：；
例2：计算下列各式：
解：
练习2：计算下列各式：
答案：
例3：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示.
学生根据老师出示的问题，在老师的引导下积极思考，并探究正整数指数幂在指数由正整数扩大到整数.
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解后独立完成.
练习题独立完成小组内交流后班内交流.
引导学生探究整数指数幂的运算法则.
在例题的学习中加深对整数指数幂计算法则的理解及应用.提高学生的计算能力.
课堂练习
下面，请同学们独立完成课堂练习.
1．计算a·a－1的结果为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－a
答案：C
2．已知|b－2|＋(a＋b－1)2＝0，则a－2b－3＝__________．
答案：
3.计算下列各式：
解：
学生自主完成课堂练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识，并强化法则的运用。
拓展提高
下面，让我们一起完成下面这道题：
已知：10-2a=2,10-b=，求106a+2b的值.
解：
在老师的引导下完成问题.
加深对所学知识的理解，并能利用所学解决实际问题，提高解决问题的能力..
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1、整数指数幂的运算性质：
2、进行计算时，需要注意：
（1）在应用各公式时，底数必须是相同的，指数可以是任意整数.
（2）注意对于负指数和零指数时，a≠0，b≠0的条件.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生梳理所学知识.
作业布置
基础作业
教材第22页习题1.3A组第6题
能力作业
教材第22页习题1.3B组第7、8题.
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点.
1.3.3整数指数幂的运算法则
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将写成只含有正整数指数幂的形式是（ ）
A． B．
C． D．
3．计算(a2)3＋a2·a3－a2÷a－3的结果是（ ）
A．2a5－a B．2a5－ C．a5 D．a6
4．若m，n为正整数，则下列各式中错误的是（ ）
A．am÷an＝am·a－n B．(a－m)－n＝amn C．()n＝anb－n D．am－n＝
5．若102y=25，则10﹣y等于（ ）
A． B． C．﹣或 D．
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．计算：x2y（x﹣1﹣y﹣1）=_____．
7．计算：， ．
8．计算的结果是_________.(结果写成分式)
9．已知x-m=2,yn=3,则(x-2my-n)-4=_________.
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．计算下列各式，且把结果化为只含有正整数指数的形式：
（1）（x﹣2）﹣3（yz﹣1）3 ； （2）a2b3（2a﹣1b）3
（3）（3a3b2c﹣1）﹣2（5ab﹣2c3）2； （4）．
11．计算下列各式,并把结果化为只含有正整数次幂的形式:
(1)a-2b2·(-2a2b-2)-2÷(a-4b2);
(2) ÷·.
12．已知10-2α=3,10-β=,求108α+3β的值.
试题解析
1．D
【解析】分别根据整式加法、积的乘方、同底数幂的乘法、负指数幂的运算法则逐项进行计算即可作出判断.
解：A. 与不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
B. ，故错误，不符合题意；
C. ，故错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意，
故选D.
【点评】本题考查了积的乘方、同底数幂乘法，负指数幂的运算等，熟练掌握运算法则是解题的关键.
2．B
【解析】根据负整数指数幂的意义，
= (a≠0)，
所以3﹣1x(x+y)﹣3=，
故选B.
3．D
【解析】先分别进行幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算，然后再进行合并同类项即可.
解：原式=a2×3+a2+3-a2-(-3)
=a6+a5-a5
=a6，
故选D.
【点评】本题考查了有关幂的运算，熟练掌握“幂的乘方，底数不变，指数相乘”、“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”、“同底数幂的除法，底数不变，指数相减”是解题的关键.
4．D
【解析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、分式的乘方、负整数指数幂进行运算即可．
解：A．，，故，计算正确；
B．(a－m)－n＝amn，计算正确；
C．()n＝anb－n，计算正确；
D．，计算错误．
故选D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、分式的乘方、负整数指数幂的计算．解题的关键是熟练掌握法则．
5．A
【解析】将102y变形为(10y)2，求得10y的值，再将10-y变形为，代入即可得解.
解：∵102y=25，∴(10y)2=25，
∴10y=5或10y=-5（舍），
∴10-y== .
故选A.
【点评】本题考查幂的乘方运算的逆运算和负指数幂的运算法则.幂的乘方运算法则：(am)n=amn（m，n都是正整数）.
负指数幂的运算法则：a-m=（a≠0，m为正整数）
6．xy﹣x2
【解析】用单项式乘以多项式的法则运算，所以x2y(x﹣1﹣y﹣1)=x2y·x﹣1﹣x2y·y﹣1=xy﹣x2，故答案为xy﹣x2.
7．、
【解析】解：
故答案为： ,
8．
【解析】原式=a?2b4?a?6=a?8b4=.
故答案为： .
【点评】本题主要考查的是负整数指数幂、积的乘方、同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键.
9．
【解析】(x-2my-n)-4= .
【点评】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算及负整数指数幂的性质，将原式正确的变形是解题关键．
10．（1）；（2）；（3）（4）0．
【解析】（1）利用积的乘方运算法则进行化简，得出即可；
（2）利用积的乘方运算法则进行化简，进而利用同底数幂的乘法运算法则得出即可；
（3）利用积的乘方运算法则进行化简，进而利用同底数幂的乘法运算法则得出即可；
（4）利用负整数指数幂的性质以及有理数加减运算法则得出即可．
解：（1）原式=x6?y3z﹣3= ；
（2）原式=a2b3?8a﹣3b3=8a﹣1b6=
（3）原式= a﹣6b﹣4c2?25a2b﹣4c6= a﹣4b﹣8c8=；
（4）解：原式=1﹣4+3=0．
11．(1) (2) a6b9
【解析】（1）根据幂的乘方的性质进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数即可解答；（2）先根据同底数幂的除法进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答即可．
解：(1)原式=a-2b2·a-4b4·a4b-2=a-2b4=.
(2)原式====a6b9.
12．
【解析】因为10-2α==3,10-β==,根据倒数的定义可得102α=,10β=5.再由108α+3β=(102α)4·(10β)3，代入求值即可.
解：因为10-2α==3,10-β==,
所以102α=,10β=5.
所以108α+3β=(102α)4·(10β)3
=×53
=×125
=.
点睛：本题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算及负整数指数幂的性质，将原式正确的变形是解题关键．
课件20张PPT。整数指数幂的运算法则数学湘教版 八年级上新知导入说一说：正整数指数幂的运算法则有哪些？新知讲解 探究： am·an=am+n(m，n都是正整数)这条性质能扩大到m，n都是任意整数的情形吗？成立新知讲解想一想：
这两条性质也能扩大到m，n都是任意整数的情形吗？同样成立新知讲解 这就说明： 当a≠0， b≠0时，正整数指数幂的运算法则对于整数指数幂也成立，对于a≠0，m，n 都是整数，有同底数幂除法法则新知讲解 这就说明： 当a≠0， b≠0时，正整数指数幂的运算法则对于整数指数幂也成立，对于a≠0，b≠0， n 是整数，有分式的乘方法则新知讲解 这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：新知讲解例1：设a≠0，b≠0，计算下列各式：解： 注意：最后结果一般不保留负指数，应写成分式形式.新知讲解练习1：设a≠0，b≠0，计算下列各式：
答案：新知讲解例2：计算下列各式：解：总结：分式形式的幂运算，若分式外面有幂要先算分式的乘方，再将分子、分母的系数，同底数幂分别相除，对于只在分子或分母里出现的字母或式子在分式里照写.新知讲解练习2：计算下列各式：
答案：新知讲解例3：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示.所以35纳米＝35×１０－９米而35×10－９＝（3.5×10）×10－９
＝35×10１＋（－9）＝3.5×10－８，所以这个纳米粒子的直径为3.5×１０－８米.课堂练习1．计算a·a－1的结果为( )
A．－1 B．0 C．1 D．－aC2．已知|b－2|＋(a＋b－1)2＝0，则a－2b－3＝__________．课堂练习3.计算下列各式：解： 拓展提高已知：10-2a=2,10-b= ，求106a+2b的值. 解：∵
课堂总结1、整数指数幂的运算性质：2、进行计算时，需要注意：（1）在应用各公式时，底数必须是相同的，指数可以是任意整数.
（2）注意对于负指数和零指数时，a≠0，b≠0的条件.
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