课件27张PPT。1.3.1 函数的单调性与最大（小）值 第一课时 函数单调性的概念问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：函数的单调性思考1:当时间间隔t逐渐增 大你能看出对应的函数值y
有什么变化趋势？通过这个
试验，你打算以后如何对待
刚学过的知识?
思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”
从左至右是逐渐下降的，对此，
我们如何用数学观点进行解释？知识探究（一）考察下列两个函数:
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何
共同特征？ 思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，
那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？知识探究（二）考察下列两个函数:
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？ 理论迁移 小 结利用定义确定或证明函数f(x)在给定的
区间D上的单调性的一般步骤：
1.设元:任取x1，x2∈D，且x12.作差:f(x1)－f(x2)；
3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负;
5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.作业：
P32 练习：1，2，3，4.1.3.1 函数的单调性与最大（小）值 第二课时 函数单调性的概念问题提出1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性，
如果函数的图象存在最高点或最低点，它又
反映了函数的什么性质？函数的最值知识探究（一）观察下列两个函数的图象： 思考1:这两个函数图象有何共同特征？思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，
则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小
关系如何？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？知识探究（二）观察下列两个函数的图象： 思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？知识探究（三）思考2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而
言，有哪几种可能情况？理论迁移 单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到以下一些结论：
①如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递增，在区间[b,c)上单调递减，则函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).
②如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递减，在区间[b,c)上单调递增，则函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b).
③如果函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递增，则函数函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值f(a).1、利用函数单调性的求函数的最大（小）值
例 2 “菊花”烟花是最壮观 的烟
花之一。制造时一般是期望在它
达到最高点时爆裂,
如果烟花 距地面的
高度h m与时间t s之间的关系为
h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少? （精确到1m）2、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。3、利用图象求函数的最大（小）值(2)二次函数 在区间 上的
值域为 ，求 的范围.例4课堂小结：（1）函数的最大（小）值的概念
（2）求函数的最大（小）值一般方法 ①对于熟悉的 一次函数、二次函数、反比例函数等函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最大（小）值 ②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画 出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值作业
P39 习题1.3A组：5
B组：1，2.课件55张PPT。------函数的单调性一、引入课题
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相
应函数的哪些变化规律：yx11-1y-1知识探究（一）考察下列两个函数:
思考1:说说随着X的增大，图像从左到右的升降情况？xyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy函数单调性的概念： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2) ，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,如图2.2．减函数注意：
① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间I内的任意两个自变量x1，x2；③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。下列说法是否正确？请画图说明理由。（1）如果对于区间（0，+∞）上的任意x有f(x)>f(0),则函数在区间（0，+∞）上单调递增。（2）对于区间（a,b）上得某3个自变量的值
x1,x2,x3,当 时，
有
则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。2．单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（二）典型例题例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 用定义证明函数单调性的步骤是：（1）取值（2）作差变形（3）定号（4）判断根据单调性的定义得结论证明：f（x1）＜ f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（ 3x2＋2）
＝3（x1－x2）由x1＜x2，得 x1－x2＜0??设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则练习：判断函数 的单调区间。单调递增区间：单调递减区间：三、归纳小结
1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数
的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
2.直接利用初等函数的单调区间。 四、作业布置
书面作业：课本P39 A组：第2题
2(选做) 证明函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上是增函数.例2 物理学中的玻意定律
(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V 减小时,压强 P 将增大.试用函数的单调性证明之.二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数
一般地，设函数y=f (x)的定义域为I，如果对于定义域 I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1, x2 ，当x1< x2 时，都有f(x1) < f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing fun_ction）．3．证明函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1② 作差f(x1)－f(x2)；
③ 变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．证明：（取值）（作差）（下结论）（定号）证明：f（x1）＜ f（x2）f（x1）－f（x2）＜0f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（ 3x2＋2）
＝3（x1－x2）由x1＜x2，得 x1－x2＜0??设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则探究：P30 画出反比例函数 的图象．
①这个函数的定义域是什么？
②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．思考3：反比例函数 的单调性，
单调区间： 证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x）在定义域 上是减函数吗？
减函数
取x1=-1，x2=1 f（-1）=-1 f（1）=1 -1＜1 f（-1）＜f（1）例3 讨论函数 在(-2,2)内的单调性.变式1：若二次函数在区间(-∞,1]上单调递增，求a的取值范围。变式2：若二次函数的递增区间是（-∞,1]，则a的取值情况是 是定义在（-1，1）上的单调增函数，
解不等式
练习：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性思考与讨论f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，
那么f(x)和g(x)四则运算后在该
区间D内还具备单调性吗？情况如何？
你能证明吗？能举例吗？1.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，
则F(X)=f(x)+g(x)为增函数。2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，
则F(X)=f(x)+g(x)为减函数。3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，
则F(X)=f(x)-g(x)为增函数。
4.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，
则F(X)=f(x)-g(x)为减函数。
三、归纳小结
1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数
的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
2.直接利用初等函数的单调区间。 四、作业布置
书面作业：课本P39 A组：第2题
2(选做) 证明函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上是增函数.------函数的最大（小）值画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题： 1.说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
2.指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高点的？ (1) (2) 1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值 最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最小值 2.函数最大（小）值应该是所有函数值中
最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有
f(x)≤M（f (x)≥M）． 注 意：1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f (x0) = M；3.最大值和最小值统称为最值。判断以下说法是否正确。例3 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的
关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，
那么烟花冲出后什么时候是
它的爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确
到1m）解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.例3 求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x10,(x1-1)
(x2-1)>0,于是 因此,函数 在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 .（二）判断函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 例3 写出函数 的单调区间，并求出最值。例4 已知二次函数 （1）当 时，求 的最值。（2）当 时，求 的最值。例5 求下列函数的最小值提示：（1）将f(x)变形用定义法证明
f(x)的单调性求f(x)的
最小值（2）f(x)求f(x)的
对称轴讨论对称轴
与所给区间
的位置关系结论求函数 的最值。设f(x)是定义在R上的函数，对m,n∈R恒有
f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，0（1）求证:f(0)=1(2) 求证：x∈R时恒有f(x)>0(3) 求证：f(x)在R上是减函数。提高练习课件44张PPT。1．3.2 奇偶性第1课时 函数奇偶性的概念我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，如和谐美、自然美、对称美……下图中的图标给我们什么感觉呢？如果给下图中的图标建立适当的坐标系，我们不难发现它们有的关于y轴对称，有的关于坐标原点对称．图象关于y轴对称和关于坐标原点对称的函数是什么特殊函数呢？1．偶函数
(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝ ，那么函数f(x)叫做偶函数．
(2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于 对称．f(x)y轴温馨提示：函数f(x)是偶函数?对定义域内任意一个x，有f(－x)－f(x)＝0?f(x)的图象关于y轴对称．2．奇函数
(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝ ，那么函数f(x)叫做奇函数．
(2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于 对称．－f(x)原点温馨提示：函数f(x)是奇函数?对定义域内任意一个x，有f(－x)＋f(x)＝0?f(x)的图象关于原点对称．3．奇偶性
(1)定义：如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性．
(2)几何意义：定义域关于 对称；图象关于原点或y轴对称．原点温馨提示：函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上的性质，是“整体性质”，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质．1．函数y＝x4＋x2 ( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析：定义域是R，f(－x)＝(－x)4＋(－x)2＝x4＋x2＝f(x)，所以是偶函数．
答案：B解析：定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数．
答案：D4．(2010·北京师大附中高一检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.思路分析：利用函数奇偶性的定义判断．
解：(1)∵定义域为R，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)∵定义域为{x|x>1或x≤－1}，定义域关于原点不对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
(3)∵定义域为{－2,2}，任取x∈{－2,2}，则－x∈{－2,2}．f(－x)＝0＝f(x)＝－f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．温馨提示：证明函数奇偶性必须用定义：任取x∈D，则－x∈D，f(－x)＝±f(x)．如果D不关于原点对称，立刻否定有奇偶性．因为它不满足任意x∈D，则－x∈D.
判断函数奇偶性方法很多，如奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×偶函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数等等． 思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①已知函数为分段函数；
②判断此函数的奇偶性．
解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明．解：(1)当x<0时，－x>0.
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－x2－2x－3＝－f(x)；
(2)当x>0时，－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知f(x)为奇函数．温馨提示：(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与－x所满足的对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋2x－3，－x<0满足的不再是f(x)＝－x2＋2x－3，而是f(x)＝x2＋2x＋3；
(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的．
(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断． 类型二 函数奇偶性的图象特征
【例3】 (1)如下图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如下图，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小，并试作出它的y轴右侧的图象．
思路分析：依据奇、偶函数的图象的对称性，分别作出它们在y轴右侧的部分图象．解：(1)∵奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点P′(x，f(x))．下图为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)偶函数y＝f(x)在y轴右侧图象上任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点P′(x，f(x))，下图为补充完后的图象．易知f(1)>f(3)．温馨提示：给出奇函数(或偶函数)在直角坐标平面内的某个半平面上的图象，要作出它的另一个半平面内的图象是依据奇、偶函数图象的对称性．其过程是作出原图象几个关键点(图象的最高点、最低点、拐点等)关于原点或y轴的对称点．然后按原图象的特征用平滑曲线连接这些点，就作出了它们在另一个半平面的图象． 温馨提示：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力．对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得． 解：(1)函数定义域为R.
f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠－1}．
不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如下图所示，则不等式f(x)<0的解集是__________．
解析：如下图，根据y＝f(x)，x∈[－5,5]的图象知f(x)<0的解集为{x|－2答案：{x|－2(1)求f(0)、f(1)的值．
(2)证明f(x)为奇函数．
解：(1)令a＝b＝0，∴f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0.
令a＝b＝1，∴f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)令a＝b＝－1，则f(－1)＝0.
∵f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．3．(1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之亦真．
(2)若f(x)为奇函数，且0在定义域内，则f(0)＝0.
(3)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．课件32张PPT。1.3.2 奇偶性第1课时 函数奇偶性的概念1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．掌握判断函数奇偶性的方法．
3．了解奇函数和偶函数的图象的特点．课前自主学习1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内_____一个x，都有___________ ，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内_____一个x，都有____________ ，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于____对称．
(2)奇函数的图象关于_____对称．自学导引任意f(－x)＝f(x)任意f(－x)＝－f(x)y轴原点1．判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？
答：由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性．例如：函数f(x)＝x3在R上是奇函数，但在[－2,1]上既不是奇函数也不是偶函数．自主探究2．有没有既是奇函数又是偶函数的函数？
答：有．如f(x)＝0，x∈(－5,5)．1．函数f(x)＝x＋x3的奇偶性为 ( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：∵函数的定义域为R，且f(－x)＝－x－x3＝－(x＋x3)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
答案：A预习测评2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )解析：图象关于原点或y轴对称的函数具有奇偶性．选项A，D中的图形关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C中的图形虽然关于坐标原点对称，但是过(0，－1)和(0,1)两点，这说明当x＝0时，y＝±1，不符合函数的概念，不是函数的图象，故排除；选项B中图形关于y轴对称，是偶函数．故选B.
答案：B3．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________.
解析：函数y＝f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)，则f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1.
答案：1
4．如果定义在区间[2－a,4]上的函数f(x)为偶函数，那么a＝________.
解析：因为奇偶函数的前提是定义域必须关于原点对称，所以2－a＝－4，∴a＝6.
答案：6课堂讲练互动1．函数奇偶性定义的理解
(1)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．要点阐释(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则－x必然在定义域中，因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数y＝2x在(－∞，＋∞)上是奇函数，但在[－2,3] 上则无奇偶性可言．
(3)既奇又偶函数的表达式是f(x)＝0，x∈A，定义域A是关于原点对称的非空数集．
(4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0.2．用定义判断函数奇偶性的一般步骤及方法
函数根据奇偶性分为：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
(1)要判断一个函数是否具有奇偶性，应按照函数奇偶性的定义，先判断这个函数的定义域是否关于原点对称(因为一个函数的定义域不关于原点对称，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数，即函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的前提条件)，然后再确定f(－x)与f(x)的关系：①若f(－x)＝－f(x)，则此函数为奇函数；②若f(－x)＝f(x)，则此函数为偶函数；③若f(－x)＝－f(x)，同时f(－x)＝f(x)，则此函数为既奇又偶函数．3．奇、偶函数的图象特征
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴成轴对称图形．反之，如果一个函数的图象关于y轴成轴对称图形，则这个函数是偶函数．
(3)由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因而研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的性质(或图象)．
(4)从奇、偶函数图象可以看出：奇函数在对称的两个区间上的单调性是一致的；偶函数在对称的两个区间上的单调性是相反的．题型一 函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；典例剖析解：(1)函数定义域为R.
f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠－1}．
不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
此时f(x)＝0，x∈{－1,1}．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．点评：(1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：
①先求定义域，考查定义域是否关于原点对称；
②有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，
再找f(－x)与f(x)的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数．解：(1)f(x)定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．题型二 分段函数奇偶性的判断
解：函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
①当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．
②当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，
都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．点评：(1)分段函数的奇偶性应分段判断f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．
(2)若f(x)是定义在R上的奇函数时必有f(0)＝0.
(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断．解：函数f(x)的定义域是R，关于原点对对称，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，
另一方面，当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，
而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．题型三 利用函数奇偶性作图
【例3】 如图，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出它在y轴右侧的图象，并比较f(2)与f(3)的大小．解：偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上的任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，如图为补充后的图象，易知f(2)>f(3)．
点评：利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．3．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈ [0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．解析：由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
答案：(－2,0)∪(2,5)误区解密 判断函数奇偶性时，
因忽略定义域而出错错因分析：错解中没有判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性．
正解：函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<1}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．
纠错心得：判断所给函数的奇偶性时，在求出函数的定义域以前，不能化简函数的解析式，否则会导致函数的定义域发生变化，得到错误结论．1．在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件．
2．解题中可以灵活运用f(x)±f(－x)＝0对奇偶性作出判断．
3．奇函数f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.课堂总结
