课件48张PPT。集合与函数概念第一章1.1.1 集合的概念章末复习章末归纳总结第一章1.1.1 集合的概念
专题一 集合学习中的注意点剖析
集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用．由于集合中的概念较多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常会不知不觉地出错，下面对集合学习中的注意点进行剖析．1．注意正确理解、运用集合语言
[例1] (1)设集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝________；
(2)设集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝( )
A．(0,1)，(0,2) B．{(0,1)，(0,2)}
C．{y|y＝1或y＝2} D．{y|y≥1}
[分析] 首先分析两个问题中集合中的元素特征，再求交集．
[解析] (1)集合A中的元素为数，即表示二次函数y＝x2自变量的取值集合；集合B中的元素为点，即表示抛物线y＝x2上的点的集合．这两个集合不可能有相同的元素，故A∩B＝?.
(2)集合M，N的元素都是数，即分别表示定义域为实数集R时，函数y＝x2＋1与y＝x＋1的值域，不是数对或点，故选项A，B错误．而M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{y|y∈R}，所以M∩N＝M.故选D.
[答案] (1)? (2)D 规律总结：学习集合知识，要加强对集合中元素的认识与识别，注意区分数集与点集，知道集合的元素是什么是进行集合运算的前提．另外，集合语言的表达和转化是必须掌握的． 2．注意元素的互异性
[例2] 已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数a的值．
[解析] 由题意a＋2＝1，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1，解得a＝－1，或a＝－2，或a＝0.
当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合元素的互异性这一特点，故a≠－2.
同理a≠－1.
故a＝0. 规律总结：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．在解含有参数的集合问题时，忽视元素(或参数)的特性，往往容易出现错误，要注意解题后的代入检验．
3．注意空集的特殊性
[例3] 已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－4x＋p＝0}，求?UA.
[分析] 符号?UA隐含了A?U，注意不要忘记A＝?的情形．
[解析] 当A＝?时，方程x2－4x＋p＝0无实数解．
此时Δ＝16－4p＜0，∴p＞4，
∴?UA＝?U?＝U＝{1,2,3,4,5}．
当A≠?时，方程x2－4x＋p＝0的两个根x1，x2(x1＜x2)，必须来自于U.
由于x1＋x2＝4，所以x1＝x2＝2或x1＝1，x2＝3.
当x1＝x2＝2时，p＝4，此时A＝{2}，?UA＝{1,3,4,5}；
当x1＝1，x2＝3时，p＝3，此时A＝{1,3}，?UA＝{2,4,5}．
综上所述，当p＞4时，?UA＝{1,2,3,4,5}；
当p＝4时，?UA＝{1,3,4,5}；
当p＝3时，?UA＝{2,4,5}． 规律总结：求集合的补集时，不要忘记?的情形．分类讨论是重要的数学思想方法之一，在集合的有关问题中常常用到．
专题二 求函数的定义域
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
(3)复合函数问题：
①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
[注意] ①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围．[答案] (1)D (2)A
专题三 二次函数的单调性与最大(小)值
求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论．
[例5] 已知f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2，分别求下列条件下a的取值范围．
(1)函数f(x)的减区间为(－∞，－1]；
(2)函数f(x)在(－∞，－1]上递减；
(3)函数f(x)在[－1,2]上单调．
[分析] 此题关键在于对单调、减区间的理解，主要由对称轴与区间的位置决定．
[解析] 函数f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2的对称轴为x＝1－a.
(1)由于减区间为(－∞，－1]，因此，1－a＝－1，
∴a＝2.
(2)由于函数在(－∞，－1]上递减，应满足1－a≥－1，∴a≤2.
(3)由于函数在[－1,2]上单调，应满足1－a≤－1或1－a≥2，
∴a≥2或a≤－1.
[例6] 已知函数f(x)＝x2－(2a－4)x＋2在[－1,1]内的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．
[分析] 欲求f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)，需考虑f(x)在[－1,1]上的单调性，而f(x)在[－1,1]上的单调性与对称轴相对于区间[－1,1]的位置有关，即对称轴在区间[－1,1]之左、之内、之右时，f(x)在[－1,1]上的单调性不同．因此需关于对称轴相对于区间[－1,1]上的位置展开讨论．
[解析] 对二次函数式配方，
可得f(x)＝[x－(a－2)]2－(a－2)2＋2，x∈[－1,1]．
其图象的对称轴为直线x＝a－2.
(1)当a－2<－1即a<1时，函数f(x)在[－1,1]上单调递增，所以函数最小值g(a)＝f(－1)，
即g(a)＝2a－1.
(2)当－1≤a－2≤1即1≤a≤3时，函数最小值g(a)＝f(a－2)，即g(a)＝－(a－2)2＋2. 规律总结：(1)求二次函数在闭区间上的最值的思路：
区间的两个端点以及区间的中点将x轴分成4部分，根据对称轴在4个区间内的不同情况分别求二次函数最值．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[m，n]上的最值的求法(如图)：
(3)注意事项：
①a<0时，二次函数图象开口向下，可得类似(2)中情况；
②当区间变化时，方法不变．
专题四 例析抽象函数单调性、奇偶性的解法
抽象函数是相对个体的函数而言的，是指没有给出具体的函数解析式或对应关系，只是给出函数所满足的一些条件或性质的一类函数．
抽象函数问题一般是由所给的条件或性质，讨论函数的其他性质，如单调性、奇偶性，或是求函数值、解析式等．下面对抽象函数的单调性、奇偶性问题举例说明．
[例7] 奇函数f(x)的定义域为R，且在[0，＋∞)上为增函数，那么是否存在m使f(2t2－4)＋f(4m－2t)＞f(0)对任意t∈[0,1]均成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[分析] 根据题目条件，化抽象不等式恒成立问题为具体不等式恒成立问题是解决本题的突破口．
专题五 思想方法总结
1．数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．
[例8] 已知函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)的单调性；
(4)求函数f(x)的值域．[解析] (1)证明：∵函数定义域[－3,3]关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在[－3，－1)，[0,1)上为减函数；在[－1,0)，[1,3]上为增函数．
(4)f(x)图象在y轴上的纵投影为[－2,2]，
故函数f(x)的值域为[－2,2]． 规律总结：(1)含绝对值符号的函数图象的画法：
①根据绝对值定义去掉绝对值符号，将原函数化为分段函数；
②依次作每一段的图象．
(2)注意事项：
①若原函数具有奇偶性，可利用奇(偶)函数的对称性作图象；
②通常令绝对值号内的式子等于0，以求得讨论的分界点． 2．分类讨论思想
分类讨论问题的实质是：把整体问题化为部分来解决，从而增加了题设条件，这也是解决分类问题的指导思想，根据题意，要适当划分讨论的层次．
解分类讨论问题的步骤是：
(1)确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论；
(2)对所讨论的对象要进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一，分层不越级)；
(3)逐类讨论，即对各类问题逐类讨论，逐个解决；
(4)归纳总结，即对各类问题总结归纳，得出结论．本章常见分类讨论的问题如下表：
[例9] 设集合A＝{x－y，x＋y，xy}，B＝{x2＋y2，x2－y2,0}，且A＝B，求实数x和y的值及集合A、B.
[解析] ∵A＝B,0∈B，∴0∈A，
若x＋y＝0，或x－y＝0，则x2－y2＝0与集合元素的互异性矛盾，∴x＋y≠0且x－y≠0，∴xy＝0，
∴x＝0或y＝0，
若y＝0，则与集合元素的互异性矛盾，∴x＝0， 规律总结：观察能力是学习数学必须培养的一种重要能力．审题时，注意观察分析，找出解决问题的关键所在，本题中A＝B,0∈B，即是解题的突破口．
3．转化与化归思想
为了解决问题的方便，我们经常把所给问题进行形式上的变化，把要解决的问题转化为已经解决的问题．这种解决问题的思想就是转化与化归思想．[例10] 对任意x∈[1，＋∞)，不等式x2＋2x－a>0恒成立．求实数a的取值范围．
[解析] 由已知x∈[1，＋∞)，x2＋2x－a>0恒成立，
即a令g(x)＝x2＋2x，x∈[1，＋∞)，
则原问题可转化为a小于g(x)在[1，＋∞)上的最小值问题．
∵g(x)＝(x＋1)2－1的图象的对称轴为x＝－1，
∴函数g(x)在[1，＋∞)上是增函数．
∴当x＝1时，g(x)取最小值，g(1)＝3.
∴a<3.
∴实数a的取值范围为{a|a<3}． 规律总结： a4．函数与方程思想
函数思想是将所给问题转化为函数的问题，利用函数的性质，研究后得出所需的结论．利用函数思想处理问题，首先要熟练掌握常见函数的图象特征，同时要善于观察问题的结构特征，揭示内在联系，从而恰当构造函数并准确地利用函数性质使问题得以解决．
[例11] 当m为怎样的实数时，方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根？从图中可以直接看出，当1[分析] 可巧妙的通过t＝x－2赋值，由f(－t)＋f(t)＝0，得f(x)为奇函数．
[解析] ∵f(2－x)＋f(x－2)＝0，
令t＝x－2，∴x＝t＋2.代入有f(－t)＋f(t)＝0，
∴f(x)为奇函数，则有f(0)＝0.
又∵f(x＋4)＝f[4－(x＋4)]＝f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴f(2 012)＝f(2 008＋4)＝－f(2 008)＝－f(2 000＋8)＝－f(2 000)＝－f(1 992＋8)＝－f(1 992)＝…＝－f(0)＝0.课件69张PPT。章末归纳总结
一、集合的概念与表示，集合间的关系与运算．
1．理解用描述法表示的集合中元素的属性是解决集合问题的重要基本功．
[例1] (1)集合A＝{y|y＝x}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝________.
(2)集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝________.
[解析] (1)集合A是函数y＝x的值域，∴A＝R，集合B是函数y＝x2的值域，∴B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{y|y≥0}．故填{y|y≥0}．2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系与运算能起到事半功倍的效果．
[例2] 集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B?A，则实数p的取值范围是________．
[例3] 设全集U＝{a，b，c，d，e}，若A∩B＝{b}，(?UA)∩B＝{d}，(?UA)∩(?UB)＝{a，e}，则下列结论中正确的为 ( )
A．c∈A且c∈B B．c∈A且c?B
C．c?A且c∈B D．c?A且c?B
[答案] B[解析] 画出Venn图如图，依次据条件将元素填入，A∩B＝{b}，故b填在A与B公共部分，(?UA)∩B＝{d}，故d填在A圈外，B圈内，又(?UA)∩(?UB)＝{a，e}，∴a，e填在A、B两圈外，只剩下一元素c不能填在上述三个位置，故应填在A内B外，∴c∈A且c?B，选B.3．含字母的集合的相等、包含、运算关系问题常常要进行分类讨论．讨论时要特别注意集合元素的互异性．4．空集是任何集合的子集，解题时要特别注意．
[例5] 集合A＝{x|x2＋x＋a＝0}，B＝{－2,1}，若A?B，则实数a的取值范围是________．
5．新定义集合，关键是理解“定义”的含义，弄清集合中的元素是什么．
[例6] A、B都是非空集合，定义A*B＝{x|x＝a·b＋a＋b，a∈A，b∈B且b?A∩B}，若A＝{1,2}，B＝{0,2,3}，则A*B中元素的和为________．
[解析] 由A*B的定义知，a可取1,2，b可取0,3，A*B中的元素x＝ab＋a＋b，
∴A*B＝{1,7,2,11}，其元素之和为21.6．熟练掌握A?B?A∩B＝A?A∪B＝B及集合的运算是解决一些集合问题的基础．
[例7] (1)如果全集U＝{x|x2－5x－6<0，x∈N＋}，A＝{2,3}，B＝{1,3,5}，则?U(A∪B)＝________，A∩?UB＝________.
(2)设A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∩B＝B，则实数a的值为 ( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1，－1或0
[解析] (1)∵U＝{x|(x－b)(x＋1)<0，x∈N＋}＝{x|－1∴?U(A∪B)＝{4}，A∩?UB＝{2,3}∩{2,4}＝{2}．
故依次填{4}，{2}．
(2)当a＝0时，B＝? ，A∩B＝B；二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值及应用
1．解决函数问题必须首先弄清函数的定义域
[解析] 由x2＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二次函数u＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向上，故f(x)的增区间为[0，＋∞)．2．求复合函数的定义域，关键是深刻理解“函数的定义域是使函数有意义的自变量x的允许取值范围”．
[点评] 注意上面的虚线箭头，(1)中前面的x与后面的2x－1取值范围相同，都是[0,1]，(2)中前面的x＋2与后面的x的取值范围相同，而x＋2中的“x”允许取值范围是[0,1]．3．熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数和y＝
等的图象特征．熟练判断函数的单调性、奇偶性，了解常见对称特征和平移．
(1)y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称；
(2)y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称；
(3)y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称；
(4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
(5)如果函数y＝f(x)对定义域内的一切x值，都满足f(a＋x)＝f(a－x)，其中a是常数，那么函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(6)将y＝f(x)的图象上各点向右(左)平移a(a>0)个单位，可以得到函数y＝f(x－a)(y＝f(x＋a))的图象．
将y＝f(x)的图象上各点向上(下)平移a(a>0)个单位，可以得到y＝f(x)＋a(或y＝f(x)－a)的图象．
(7)y＝|f(x)|的图象可由y＝f(x)的图象位于x轴及上方的部分不变，下方图象作关于x轴的对称翻折而得到．
y＝f(|x|)的图象在y轴及其右侧部分与y＝f(x)图象相同，而y＝f(|x|)是偶函数，再在y轴左侧作右侧部分的对称图形即可．[例3] 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
[分析] 第(1)问，将a＝－1代入，根据二次函数的图象得出结论；第(2)问，根据二次函数的对称轴的位置确定单调性．
[解析] (1)当a＝－1时，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，
∵f(x)的对称轴为x＝1.
∴x＝1时，f(x)取最小值1；
x＝－5时，f(x)取最大值37.
(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的对称轴为x＝－a，∵f(x)在[－5,5]上是单调函数．
∴－a≤－5，或－a≥5，即a≤－5，或a≥5.
三、注重数学思想与方法的提炼与掌握，养成自觉运用数学思想与方法分析解决数学问题的思维习惯
1．数形结合的思想
[例1] 设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明f(x)是偶函数；
(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(3)求函数的值域．[解析] (1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当x≥0，时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在[－1，0)，[1,3]上为增函数．
(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2.
当x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2；
故函数f(x)的值域为[－2,2]．[例2] 已知关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
[解析] 设y1＝x2－4|x|＋5，y2＝m，由于y1＝x2－4|x|＋5为偶函数，画出x≥0的图象，再由对称性可画出x<0时的图象，由图可见1[例3] f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(4)＝0，则xf(x)>0的解集为 ( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B．(－4,0)∪(0,4)
C．(－∞，－4)∪(0,4)
D．(－4,0)∪(4，＋∞)[例4] 函数y＝a|x|与y＝x＋a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是 ( )
A．(1，＋∞)
B．(－1,1)
C．(－∞，－1]∪[1，∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[解析] 画出y＝a|x|与y＝x＋a的图象．2．函数与方程的思想
函数与方程可以相互转化，注意运用函数与方程的思想解决问题
要特别注意掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布①方程(※)有两不等实根?Δ>0，方程(※)有两相等实根?Δ＝0，方程(※)无实根?Δ<0，方程(※)有实数解?Δ≥0.
②方程(※)有零根?c＝0.一元二次方程根的分布比较复杂，以上仅列出了一些常见情形，只要抓住根的判别式、韦达定理、根的表达式和相应函数的图象，进行综合考察，总能顺利解决．[例5] 若函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)－2f(－x)＝3x，则f(x)必为 ( )
A．奇函数而不是偶函数
B．偶函数而不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
[解析] ∵f(x)－2f(－x)＝3x对任意x∈R成立，
∴f(－x)－2f(x)＝－3x，解得f(x)＝x.
∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)必为奇函数．故选A.
[点评] 将关于函数f(x)的关系式f(x)－2f(－x)视作关于f(x)与f(－x)的“二元一次方程”，利用恒成立，再构造一个“二元一次方程”解方程组，足见转换看问题的角度的威力．
[例6] 已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是( )
A．k>0 B．k<－4
C．－40
[解析] 设f(x)＝2kx2－2x－3k－2，
由题意知kf(1)<0，∴k(k＋4)>0，
∴k>0或k<－4，故选D.3．分类讨论的思想
在求解数学问题中，遇到下列情形常常要进行分类讨论．
①涉及的数学概念是分类定义的；
②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；
③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
④由运算的限制条件引起的分类．
⑤由实际问题的实际意义引起的分类．
⑥数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同的结果．
⑦较复杂的或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．
⑧由图形的不确定性引起分类[例8] 若f(x)＝(m＋1)x2－(m＋1)x＋3(m－1)<0对一切实数x恒成立，则m的取值范围是 ( )
A．(－1，＋∞)
B．(－∞，－1)[解析] 当m＋1＝0时，显然成立
当m＋1<0时，Δ<0
[点评] f(x)＝ax2＋bx＋c不一定是x的二次函数，只有a≠0时才是．故解决这类含参数系数的问题应注意分类讨论．[例9] 设集合A＝{x－y，x＋y，xy}，B＝{x2＋y2，x2－y2,0}，且A＝B，求实数x和y的值及集合A、B.
[解析] ∵A＝B,0∈B，∴0∈A，
若x＋y＝0，或x－y＝0，则x2－y2＝0与集合元素的互异性矛盾，∴x＋y≠0且x－y≠0，∴xy＝0，
∴x＝0或y＝0，
若y＝0，则与集合元素的互异性矛盾，∴x＝0，
A＝{－y，y,0}，B＝{y2，－y2,0}，[点评] 观察能力是学习数学必须培养的一种重要能力．审题时，注意观察分析，找出解决问题的关键所在，本题中A＝B,0∈B，即是解题的突破口．4．转化与化归的思想
在处理问题时，把待解决或难解决的问题，采用某种手段通过某种转化过程，将问题进行变换和转化，归结为一类已经解决或容易解决的熟知问题，进而实现解决问题的目的，就是转化与化归的思想方法．这种思想方法一般总是将复杂的问题变换转化为简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题，把未知的问题转化为已知的问题，把难解的问题转化为容易求解的问题，从而找到解决问题的突破口，转化在高中数学中具有神奇的威力，要在今后的学习中不断体会、总结、积累，逐步形成能力．[例10] 函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是 ( )
A．a≤2 B．a≥－2
C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2
[解析] ∵f(x)为偶函数，
∴f(a)≤f(2)?f(|a|)≤f(2)，
∵f(x)在(－∞，0]上单增，∴f(x)在[0，＋∞)上单减，∴|a|≥2，∴a≥2或a≤－2，选D.
[例11] 已知a>2，b>2，比较a＋b与ab的大小．
[解析] 令a＝2＋x，b＝2＋y，则x>0，y>0，
∴ab－(a＋b)＝(2＋x)(2＋y)－(4＋x＋y)＝x＋y＋xy>0，∴ab>a＋b.
[点评] 将a>2，b>2的条件量化，化不等关系为相等关系，转化为数的正负判断，促成了问题的解决．[例12] 定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是 ( )
① f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；
② f(b)－f(－a)③ f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；
④ f(a)－f(－b)A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
[解析] 本题中的函数比较抽象，直接根据已知条件来选正确结论有困难，不妨将满足条件的函数具体化．
令f(x)＝x，g(x)＝|x|，并设a＝2，b＝1
则f(a)＝g(±a)＝2，f(b)＝g(±b)＝1，f(－2)＝－2，f(－1)＝－1.代入检验易知①③正确．故选C.
[例14] 设函数f(x)的定义域为R，若对于任意实数m、n，总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0(1)证明：f(0)＝1且x<0时f(x)>1；
(2)证明：f(x)在R上单调递减．
[分析] 解决这类问题应去掉抽象函数符号，利用等价转化思想，化为普通函数．[解析] (1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
取m>0，n＝0，有f(m)＝f(m)·f(0)．
∵x>0时，0又设m＝x<0，n＝－x>0，则0∴f(m＋n)＝f(0)＝f(x)·f(－x)，
(2)设x10.
00.
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)
＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)在R上单调递减．
[点评] 1.赋值法是讨论抽象函数问题中的常用方法，利用单调性化去函数符号“f”是解决函数不等式的主要方法．2．性质f(m＋n)＝f(m)·f(n)类似指数函数f(x)＝ax (a>0且a≠1)的性质，可类比指数函数f(x)＝ax，结合已知条件进行讨论．
5．换元法
总结评述：此题解法称为“换元法”，通过换元法把函数变为关于t的二次函数，然后求出二次函数在t≥0时的值域即得原函数的值域，用换元法解题，换元后一定要先确定新元的取值范围．
此题也可利用函数的单调性来解．
[例16] 已知f(x＋1)＝x2－2x，求f(x)．
[解析] 令t＝x＋1，则x＝t－1，
∴f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
∴f(x)＝x2－4x＋3.6．配凑法
[例18] 求f(x)＝2x2－4x＋1 (－1≤x≤1)的值域．
[解析] f(x)＝2(x－1)2－1，此函数在[－1,1]上单减，∴最大值f(－1)＝7，最小值f(1)＝－1，
∴值域为[－1,7]．7．待定系数法
[例19] 一次函数y＝f(x)满足：当x＝1时，y＝2，当x＝2时，y＝4，则f(5)＝________.
[解析] 设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，[例20] 设二次函数f(x)二次项系数为－1，满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.
[解析] 设f(x)＝－x2＋px＋q，
∵f(1)＝f(2)＝0，8．关于对称与平移
[例21] 已知f(x)是偶函数，且其图象与x轴有n(n∈N)个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和为 ( )
A．4 B．2
C．1 D．0
[解析] 由f(x)是偶函数可知，f(x)与x轴的n个交点的横坐标，即f(x)＝0的n个根x1，x2，x3…xn中，若有一根在x轴右侧，则必有关于y轴对称的另一根在左侧，∴x1＋x2＋…＋xn＝0.∴选D.
[例22] 设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于 ( )
A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称
C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
[解析] 应用复合函数知识，令x－1＝u，则y＝f(x－1)＝f(u)，y＝f(1－x)＝f(－u)．
显然f(u)与f(－u)关于直线u＝0对称，即关于x－1＝0对称．所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)关于直线x＝1对称．∴选D.四、函数的实际应用
[例1] 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个多订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价—成本)
[解析] (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则(2)当0＜x≤100时，P＝60；
当100＜x＜550时，(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．
