2018_2019高中数学第一章空间几何体章末检测新人教A版必修2

第一章 空间几何体
章末检测(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)
解析　观察所给几何体知侧视图应该是一个正方形，所以D错；中间的棱在侧视图中应该为正方形的从左上到右下的一条对角线，所以A，C错，故B选项正确．
答案　B
2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解析　根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．
答案　B
3．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(　　)
A. 　　　B．1 C. 　　　D．2
解析　∵Rt△O′A′B是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，
∴Rt△O′A′B的直角边长是，
∴Rt△O′A′B的面积是××＝1，
∴原平面图形的面积是1×2＝2.故选D.
答案　D
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)
A．18＋36 B．54＋18
C．90 D．81
解析　由已知中的三视图可得：该几何体是一个以边长为3的正方形为底面的斜四棱柱，
其底面面积为：3×3×2＝18，
前后侧面的面积为：3×6×2＝36，
左右侧面的面积为：3××2＝18，
故棱柱的表面积为：18＋36＋18＝54＋18.故选B.
答案　B
5．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)
A．10 B．12 C．14 D．16
解析　由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S梯＝(2＋4)×2÷2＝6，S全梯＝6×2＝12，故选B.
答案　B
6．如图所示的正方体中，M，N分别是AA1，CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是(　　)
解析　四边形D1MBN在上、下底面的正投影为A；在前、后面上的正投影为B；在左、右面上的正投影为C；故答案为D.
答案　D
7．若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是(　　)
A. B. C. D.
解析　易知V＝1－8×××××＝.
答案　D
8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)
A．60 B．30 C．20 D．10
解析　由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥A1－BCD，
VA1－BCD＝××3×5×4＝10，故选D.
答案　D
9．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　　)
A．120° B．150° C．180° D．240°
解析　S底＋S侧＝3S底，2S底＝S侧，即：2πr2＝πrl，得2r＝l.设侧面展开图的圆心角为θ，则＝2πr，∴θ＝180°.
答案　C
10．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为(　　)
A．6π B．12π C．8π D．16π
解析　由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O＝R－1，由勾股定理可得R2＝(R－1)2＋()2，∴R＝2，∴球O的表面积为4πR2＝16π.故选D.
答案　D
11．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)
A．π B. C. D.
解析　如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心．球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝.
∴底面圆半径r＝＝，故圆柱体积V＝
π·r2·h＝π·×1＝.
答案　B
12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)
A. B. C. D.
解析　由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC的底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，
S△ABC＝×AB2＝，
高OD＝＝，
∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×××＝.
答案　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1与B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．
解析　三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以此题可把F看作顶点，△DED1看成底面求解，棱AB可视作三棱锥F－DED1的高．
∴VD1－EDF＝VF－DED1＝·S△DED1·AB
＝××1＝.
答案　
14．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是________．
解析　∵圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，
∴该圆柱的高h＝1，底面周长2πr＝1，
∴底面半径r＝，
∴该圆柱的体积V＝π··1＝.
答案　
15．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为________厘米．
解析　V＝Sh＝πr2h＝πR3，R＝＝12(cm)．
答案　12
16．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为(5＋)π，则旋转体的体积为________．
解析　如图所示的是旋转体的半轴截面，设直角梯形的上底长为r，则下底长为
r，∠C＝45°，所以DE＝，DC＝r，所以旋转体的表面积为S表＝π·＋2π··r＋π··r＝πr2.
又因为S表＝(5＋)π，所以r2＝4，所以r＝2，所以V＝π··r＋π··＝.
答案　
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)某个几何体的三视图(单位：m)如图所示．
(1)求该几何体的表面积；(结果保留π)
(2)求该几何体的体积．(结果保留π)
解　由三视图可知该几何体的下半部分是棱长为2 m的正方体，上半部分是半径为1 m的半球．
(1)几何体的表面积为
S＝×4π×12＋6×22－π×12＝(24＋π)(m2)．
(2)几何体的体积为
V＝23＋×π×13＝(8＋)(m3)．
18．(12分)如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的外接球的体积．
解　(1)由题意可知，该几何体是长方体，
底面是正方形，边长是4，高是2，
因此该几何体的表面积是：2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)，即几何体的表面积是
64 cm2.
(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线长为d，球的半径是r，
d＝＝＝6(cm)，
所以球的半径为r＝3(cm)．
因此球的体积V＝πr3＝×27π＝36π(cm3)，
所以外接球的体积是36π cm3.
19．(12分)如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．(其中∠BAC＝30°)
解　如图所示，
过C作CO1⊥AB于O1.
在半圆中可得∠BCA＝90°，
∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，CO1＝R，
∴V圆锥AO1＋V圆锥BO1＝π·CO·AO1＋π·CO·BO1＝π·CO·(AO1＋BO1)＝π××2R＝R3，
又V球＝πR3，∴所求几何体的体积V＝πR3－R3＝πR3.
20．(12分)如图，降水量是指水平地面上单位面积的降水深度，用上口直径为38 cm，底面直径为24 cm，深度为35 cm的圆台形水桶来测量降水量，如果在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水高度正好是桶深的，求本次降雨的降水量是多少．(精确到1 mm)
解　由所盛雨水高度正好是桶深的可知，水深为＝5(cm)，设水面半径为r，如图所示，过点B作BC⊥AC，交水面于点C′，则AC＝(38－24)＝7(cm)．在△ABC中，∵AC∥A′C′，∴＝，即＝7，所以r＝13(cm)．
所以，V水＝×5×(122＋132＋12×13)
＝(cm3)，
S上底＝πR2＝π·192＝361π(cm2)，
所以，＝≈2.2(cm)＝22(mm)．
所以，本次降水量约是22 mm.
21．(12分)已知正三棱台(上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别是2 cm与4 cm，侧棱长是 cm，试求该几何体体积．
解　如图，O′，O是上、下底面中心，连接OO′，O′B′，OB，在平面BAA′B′内过B′作B′D⊥BA于点D，在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于点E.
∵△A′B′C′是边长为2 cm的等边三角形，O′是△A′B′C′的中心，
∴O′B′＝×2×＝(cm)，
同理OB＝ cm，则BE＝OB－O′B′＝(cm)．
在Rt△B′EB中，BB′＝ cm，BE＝ cm，
∴B′E＝ cm，即棱台高为 cm.
∴三棱台的体积为
V棱台＝××(×16＋×4＋)＝(cm3)．
22．(12分)一块边长为10 cm的正方形铁皮按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．
(1)试把容器的容积V表示为x的函数；
(2)若x＝6，求图2的正视图的面积．
解　(1)连接AC，BD交于点O，
取BC的中点F，连接EO，OF，EF，
则在Rt△EOF中，EF＝5 cm，OF＝x cm，
所以EO＝.
于是V＝x2(cm3)．
依题意函数的定义域为{x|0(2)正视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长＝AB＝6，
底边上的高为四棱锥的高＝EO＝＝4，
∴正视图的面积S＝＝12(cm2)．