2018_2019高中数学第一章三角函数章末检测新人教A版必修4

第一章 三角函数
章末检测(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是(　　)
A． B．
C． D．
解析　与角－终边相同的角是2kπ＋(－)，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边相同的角是，故选C．
答案　C
2．tan 150°的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析　tan 150°＝－tan 30°＝－.故选B．
答案　B
3．若cos θ>0，sin θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　由题意，根据三角函数的定义sin θ＝<0，cos θ＝>0，∵r>0，∴y<0，x>0.∴θ在第四象限，故选D．
答案　D
4．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是(　　)
A．2，－2 B．1，－3
C．1，－1 D．2，－1
解析　∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，当cos x＝－1时，函数取得最小值为－2－1＝－3，故最大值、最小值分别为1，－3，故选B．
答案　B
5．α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点且cos α＝x，则x的值为(　　)
A． B．±
C．－ D．－
解析　∵cos α＝＝＝x，∴x＝0(∵α是第二象限角，舍去)或x＝(舍去)或x＝－.答案C．
答案　C
6．已知tan α＝3，则sin αcos α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析　∵tan α＝3，∴sin αcos α＝＝＝．
答案　A
7．函数f(x)＝tan(－)，x∈R的最小正周期为(　　)
A． B．π
C．2π D．4π
解析　f(x)＝tan(－)，
∵ω＝，∴T＝＝2π，
则函数的最小正周期为2π．
答案　C
8．把函数y＝sin(5x－)的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为(　　)
A．y＝sin(10x－) B．y＝sin(10x－)
C．y＝sin(10x－) D．y＝sin(10x－)
解析　将函数y＝sin(5x－)的图象向右平移个单位，得到函数为y＝sin[5(x－)－]＝sin(5x－)，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得到函数y＝sin(10x－)的图象，故选D．
答案　D
9．已知函数f(x)＝|sin(2x－)|，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)的周期是
B．函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝
C．函数f(x)在区间[，]上为减函数
D．函数f(x)是偶函数
解析　当x＝时，f(x)＝1，
∴x＝是函数图象的一条对称轴，故选B．
答案　B
10．下列函数中，在区间[0，]上为减函数的是(　　)
A．y＝cos x B．y＝sin x
C．y＝tan x D．y＝sin(x－)
解析　对于A，函数y＝cos x在区间[0，]上是减函数，满足题意；
对于B，函数y＝sin x在区间[0，]上是增函数，不满足题意；
对于C，函数y＝tan x在区间[0，]上增函数，且在x＝时无意义，不满足题意；
对于D，函数y＝sin(x－)在区间[0，]上是增函数，不满足题意．
故选A．
答案　A
11．函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式为(　　)
A．y＝2sin(2x＋) B．y＝2sin(2x＋)
C．y＝2sin(－) D．y＝2sin(2x－)
解析　由已知可得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象经过点(－，2)和点(，－2)，则A＝2，T＝π，即ω＝2，则函数的解析式可化为y＝2sin(2x＋φ)，将(－，2)代入得－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，
当k＝0时，φ＝，此时y＝2sin(2x＋)，故选A．
答案　A
12．对于函数f(x)＝cos(2x－)，给出下列四个结论：
①函数f(x)的最小正周期为2π；
②函数f(x)在[，]上的值域是[，]；
③函数f(x)在[，]上是减函数；
④函数f(x)的图象关于点(－，0)对称．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　f(x)＝cos(2x－)＝sin 2x，
∴T＝＝π≠2π，可排除①；
若x∈[，]，则2x∈[，π]，sin 2x∈[0,1]，故函数f(x)在[，]上的值域是[0, ]，可排除②；
若x∈[，]，2x∈[，]，y＝sin u在[，]上单调递减，故函数f(x)在[，]上是减函数，③正确；
当x＝－时，f(x)＝sin(－π)＝0，故函数f(x)的图象关于点(－，0)对称，即④正确．
综上所述，正确结论有2个，故选B．
答案　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10 cm，则扇形的面积是________cm2．
解析　根据题意得：S扇形＝＝＝(cm2)．
答案　
14．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为________．
解析　由题意可得x＝－8m，y＝－6sin 30°＝－3，r＝|OP|＝，cos α＝＝＝－，解得m＝．
答案　
15．函数y＝1＋的定义域为________．
解析　由cos x－≥0，得cos x≥，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．
∴函数y＝1＋的定义域为{x|－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．
答案　{x|－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}
16．给出下列命题：
①函数y＝cos(x＋)是奇函数；
②若α，β是第一象限角且α<β，则tan α③y＝2sinx在区间[－，]上的最小值是－2，最大值是；
④x＝是函数y＝sin(2x＋π)的一条对称轴．
其中正确命题的序号是________．
解析　①函数y＝cos(x＋)＝－sinx是奇函数，正确；
②若α，β是第一象限角且α<β，取α＝30°，β＝390°，则tan α＝tan β，不正确；
③y＝2sinx在区间[－，]上的最小值是－2，最大值是2，不正确；
④sin(2×＋)＝sin＝－1.正确．
答案　①④
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知f(α)＝．
(1)若α＝－，求f(α)的值；
(2)若α为第二象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．
解　(1)∵f(α)＝＝＝cos α，
∴f(－)＝cos(－)＝cos＝．
(2)∵cos(α－)＝，∴sin α＝．
∵α为第二象限角，∴f(α)＝cos α＝－＝－．
18．(12分)已知函数f(x)＝2asin(2x＋)＋a＋b的定义域是[0，]，值域是[－5,1]，求a，b的值．
解　∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π，
∴－≤sin(2x＋)≤1．
当a>0时，f(x)max＝3a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋a＋b＝b＝－5．
∴解得
当a<0时，f(x)max＝－a＋a＋b＝b＝1，
f(x)min＝2a＋a＋b＝3a＋b＝－5，
∴解得
∴a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1．
19．(12分)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(，)，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(π，0)，φ∈(－，)．
(1)求这条曲线的函数解析式；
(2)求函数的单调增区间．
解　(1)依题意知，A＝，T＝π－＝π，T＝4π，
∴ω＝＝，
由×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)得：
φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈(－，)，∴φ＝，
∴这条曲线的函数解析式为y＝sin(x＋)．
(2)由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)得：
4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，
∴函数的单调增区间是[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)．
20．(12分)已知函数y＝2sin(＋)．
(1)试用“五点法”画出它的图象；
(2)求它的振幅、周期和初相；
(3)根据图象写出它的单调递减区间．
解　(1)令t＝＋，列表如下：
x
－
t
0
π
2π
y
0
2
0
－2
0
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：
(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为．
(3)由图象得单调递减区间为[＋4kπ，＋4kπ](k∈Z)．
21．(12分)是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acos x＋a－在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a值；若不存在，则说明理由．
解　存在a＝符合题意．
y＝1－cos2x＋acos x＋a－
＝－(cos x－)2＋＋a－．
∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1．
若>1，即a>2，
则当cos x＝1时，ymax＝a＋a－＝1，
解得a＝<2(舍去)；
若0≤≤1，即0≤a≤2．
则当cos x＝时，ymax＝＋a－＝1．
解得a＝或a＝－4<0(舍去)；
若<0，即a<0，
则当cos x＝0时，ymax＝a－＝1，
解得a＝>0(舍去)．
综上所述，存在a＝符合题设条件.
22．(12分)函数f(x)＝1－2a－2acos x－2sin2x的最小值为g(a)，a∈R．
(1)求g(a)；
(2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．
解　(1)f(x)＝1－2a－2acos x－2(1－cos2x)
＝2cos2x－2acos x－1－2a＝2(cos x－)2－－2a－1．
若<－1，即a<－2，则当cos x＝－1时，
f(x)有最小值g(a)＝2(－1－)2－－2a－1＝1；
若－1≤≤1，即－2≤a≤2，则当cos x＝时，
f(x)有最小值g(a)＝－－2a－1；
若>1，即a>2，则当cos x＝1时，
f(x)有最小值g(a)＝2(1－)2－－2a－1＝1－4a．
∴g(a)
(2)若g(a)＝，由所求g(a)的解析式知只能是－－2a－1＝或1－4a＝．
由?a＝－1或a＝－3(舍)．
由?a＝(舍)．
此时f(x)＝2(cos x＋)2＋，得f(x)max＝5．
∴若g(a)＝，应有a＝－1，此时f(x)的最大值是5．