第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征(重点).2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型(重、难点)．
知识点1 空间几何体
1．概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．
2．多面体与旋转体
类别
定义
图示
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体
旋转体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，其中定直线叫做旋转体的轴
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)多面体是由平面多边形和圆面围成的．(×)
(2)旋转体是由“平面图形”旋转而形成的，这个平面图形可以是平面多边形，也可以是圆或直线或其他曲线．(√)
知识点2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
多面体
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
如图可记作：棱柱ABCDEF－
A′B′C′D′E′F′
底面(底)：两个相互平行的面．
侧面：其余各面．
侧棱：相邻侧面的公共边．
顶点：侧面与底面的公共顶点
按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、
……
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
如图可记作：棱锥S－ABCD
底面(底)：多边形面．
侧面：有公共顶点的各个三角形面．
侧棱：相邻侧面的公共边．
顶点：各侧面的公共顶点
按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、
……
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
如图可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′
上底面：原棱锥的截面．
下底面：原棱锥的底面．
侧面：其余各面．
侧棱：相邻侧面的公共边．
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
【预习评价】
1．下列棱锥有6个面的是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
答案 C
2．下面属于多面体的是________(将正确答案的序号填在横线上)．
①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．
答案 ①②
题型一 棱柱的结构特征
【例1】 下列说法正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形
解析 选项A、B都不正确，反例如图所示．选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体．根据棱柱的定义知选项D正确．
答案 D
规律方法 1.判断一个几何体是否为棱柱的方法
(1)有两个面互相平行；
(2)其余各面是平行四边形；
(3)每相邻两侧面的公共边都互相平行．
这三个条件缺一不可，解答此类问题要思维严谨，紧扣棱柱的定义．
2．棱柱概念的推广
(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．
(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形．
(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体．
(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体．
【训练1】 下列命题中，正确的是( )
A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形
解析 A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如下图(1)，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如下图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点，故选D.
答案 D
题型二 棱锥、棱台的结构特征
【例2】 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．
解析 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
答案 ①②
规律方法 判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【训练2】 下列说法中，正确的是( )
①棱锥的各个侧面都是三角形；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；
③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；
④棱锥的各侧棱长相等．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
解析 由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．
答案 B
考查
方向
题型三 空间几何体的平面展开图
方向1 绘制展开图
【例3－1】 画出如图所示的几何体的表面展开图．
解 表面展开图如图所示：
方向2 由展开图复原几何体
【例3－2】 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
解 ①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．
方向3 求几何体表面上两点间的距离
【例3－3】 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．
解 沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝
＝＝4.
(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝＝＝3.
(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝＝.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
规律方法 (1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．
(3)求几何体表面上两点间的距离的方法：求从几何体的表面上一点，将几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题.
课堂达标
1．下列说法错误的是( )
A．多面体至少有四个面
B．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面为平行四边形
C．长方体、正方体都是棱柱
D．三棱柱的侧面为三角形
解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错．
答案 D
2．下列说法中正确的是( )
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行
C．棱柱的侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
解析 棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错．
答案 A
3．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．
解析 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．
答案 ①③④ ⑥ ⑤
4．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫做侧棱．
解析 ①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱．
答案 ①③
课堂小结
1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2．棱柱、棱台、棱锥关系图
基础过关
1．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点
解析 四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．
答案 C
2．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
解析 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．
答案 B
3．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
解析 余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.
答案 B
4．下列三个命题，其中正确的有________个．
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台．
解析 ①截面不一定与底面平行，不正确；②侧棱不一定相交于一点，不正确；③侧棱不一定相交于一点，不正确．
答案 0
5．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
解析 由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
答案
6．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
解 (1)如图，折起后的几何体是三棱锥．
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．
(3)S△PEF＝a2，
S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE
＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.
7．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
解 (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．
(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
能力提升
8．下列命题中，真命题是( )
A．顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥
B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
C．顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥
D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥
解析 对于选项A，到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B，如图所示，△ABC为正三角形，若PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；
对于选项C，顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；
对于选项D，顶点在底面上的投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形，所以外心即为中心，故该命题是真命题．
答案 D
9．如图，往透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③当E在AA1上时，AE＋BF是定值．
其中，正确的说法是( )
A．①② B．① C．①②③ D．①③
解析 显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故①正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确．所以四个命题中①③正确．故选D.
答案 D
10．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：
(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．
其中正确结论的个数为________．
解析 如图所示：
四边形ABCD为矩形，故(1)满足条件；四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故(4)满足条件；故正确的结论有4个．故答案为4.
答案 4
11．长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为________．
解析 设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则∴abc＝24.分别除以bc，ac，ab，得a＝4，b＝3，c＝2.
∴体对角线长为＝.
答案
12．如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值．
解 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．
∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.
又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4.
∴△AEF周长的最小值为4.
13．(选做题)给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．
解 如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．
如图(2)所示，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
学习目标 1.认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征(重点).2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.3.圆柱、圆台、圆锥之间关系的理解(重点)．
知识点1 圆柱的结构特征
圆柱
图形及表示
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图中圆柱表示为：圆柱O′O
相关概念：
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
【预习评价】
1．在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？
提示 圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．
2．圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？
提示 不一定．圆柱的母线与轴是平行的．
知识点2 圆锥
圆锥
图形及表示
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体
图中圆锥表示为圆锥SO
相关概念：
圆锥的轴：旋转轴
圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(√)
(2)过轴的截面是全等的等边三角形．(×)
提示 不一定是等边三角形，但一定是等腰三角形．
知识点3 圆台
圆台
图形及表示
定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台
旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台
图中圆台表示为：圆台O′O
相关概念：
圆台的轴：旋转轴
圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面
圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点．(×)
提示 延长后相交于一点．
(2)过任意两条母线的截面是等腰梯形．(√)
知识点4 球
球
图形及表示
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
图中的球表示为：球O
相关概念：
球心：半圆的圆心
半径：半圆的半径
直径：半圆的直径
【预习评价】
1．半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？
提示 半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面．
2．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？
提示 不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部．
知识点5 简单组合体
1．概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．
2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
【预习评价】
观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．
提示 图1是由圆柱中挖去圆台形成的，图2是由球、棱柱、棱台组合而成的.
题型一 旋转体的结构特征
【例1】 给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
解析 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．
答案 D
规律方法 简单旋转体判断问题的解题策略
(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．
(2)解题时要注意两个明确：
①明确由哪个平面图形旋转而成；
②明确旋转轴是哪条直线．
【训练1】 下列命题正确的是________(只填序号)．
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．
解析 ①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确．
答案 ④⑥
题型二 简单组合体的结构特征
【例2】 如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的？
解 旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．
规律方法 (1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．
【训练2】 如图，将直角梯形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体组成的？
解 画出形成的几何体如图所示．
由图可知，旋转得到的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的．
考查
方向
题型三 旋转体的有关计算
方向1 有关圆柱、圆锥、圆台的计算问题
【例3－1】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．
解 设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm.
根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm.
根据相似三角形的性质，得＝.解得l＝9.
所以圆台的母线长为9 cm.
方向2 有关球的简单计算问题
【例3－2】 已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是________cm.
解析 如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解该直角三角形即可．
由已知，R＝10 cm，由πr2＝36π cm2，得r＝6 cm，
所以d＝＝＝8(cm)．
答案 8
规律方法 (1)旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．
(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
课堂达标
1．下列几何体是台体的是( )
解析 台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点；B的错误在于截面与圆锥底面不平行；C是棱锥；结合棱台和圆台的定义可知D正确．
答案 D
2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是( )
A．圆柱 B．圆台 C．球体 D．棱台
解析 圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形．只有棱台可以截出三角形，故选D.
答案 D
3．过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是( )
A．有且只有一个 B．一个或无穷多个
C．无数个 D．以上均不正确
解析 当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．
答案 B
4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．
解析 如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝AB2，∴＝AB2，∴AB＝2.
答案 2
5．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
解 分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．
图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
课堂小结
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．球面、球体的区别和联系
区别
联系
球面
球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面
球面是球体的表面
球体
球体是几何体，包括球面及所围的空间部分
3.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．
4．处理组合体问题常采用分割思想．
5．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.
基础过关
1．圆柱的母线长为10，则其高等于( )
A．5 B．10 C．20 D．不确定
解析 圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.
答案 B
2.如图是由哪个平面图形旋转得到的( )
解析 图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故轴截面的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成，故选D.
答案 D
3．下列说法正确的是( )
A．到定点的距离等于定长的点的集合是球
B．球面上不同的三点可能在同一条直线上
C．用一个平面截球，其截面是一个圆
D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面
解析 对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C也是错误的．所以选D.
答案 D
4．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( )
A．4 B．3 C．2 D．2
解析 圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝2，即两底面之间的距离为2.
答案 D
5．观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号)．
解析 ①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成．
答案 ①④
6．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示)．
解析 设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.
∴4r2＝Q，解得r＝，∴此圆柱的底面半径为.
答案
7．圆台的上底周长是下底周长的，轴截面面积等于392，母线与底面的夹角为45°，求此圆台的高、母线长及两底面的半径．
解 设圆台上、下底面半径分别为r，R，母线长为l，高为h.
由题意，得2πr＝·2πR，即R＝3r.①
(2r＋2R)·h＝392，即(R＋r)h＝392.②
又母线与底面的夹角为45°，则h＝R－r＝l.③
联立①②③，得R＝21，r＝7，h＝14，l＝14.
8．已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在此圆锥内有一个内接正方体，这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上，求此正方体的棱长．
解 作出圆锥的一个纵截面如图所示：其中AB，AC为母线，BC为底面直径，DG，EF是正方体的棱，DE，GF是正方体的上、下底面的对角线．设正方体的棱长为x，则DG＝EF＝x，DE＝GF＝x.依题意，得△ABC∽△ADE，∴＝，
∴x＝，即此正方体的棱长为.
能力提升
9．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )
A．4 B．3 C．2 D．0.5
解析 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.
∵球心到两个截面的距离d1＝，d2＝，
∴d1－d2＝－＝1，∴R2＝9，∴R＝3.
答案 B
10．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的(填序号)( )
解析 易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A、D；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C.
答案 C
11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径r＝1，所以该圆锥的高为h＝＝＝.
答案
12．圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．
解 将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，
则所以
即h1∶h2＝2∶1.
故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
13．(选做题)如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
(3)f(x)的最大值．
解 将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，
∴L＝2πr＝2π.
∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4)．
f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，
在△SAM中，
∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，
∴SR＝＝(0≤x≤4)，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4)．
(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，
∴f(x)的最大值为f(4)＝32.
§1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图学习目标
1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形的三视图(重点).3.能识别三视图所表示的立体模型(难点)．
知识点1 投影的概念及分类
1．投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．
2．投影的分类
3．当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；
②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平行投影和中心投影都是空间图形的一种画法．(√)
(2)正投影不具有平行投影的性质．(×)
知识点2 三视图
1．三视图
2．三视图的画法要求
(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方看到的几何体的正投影．
(2)一个物体的三视图排放规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．
(3)在视图中，被遮挡的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出．
(4)确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．
特别提醒 画三视图时务必做到“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”．
【预习评价】
1．三视图是平行投影还是中心投影所成的？
提示 平行投影
2．画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗？
提示 是．由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直
题型一 中心投影与平行投影
【例1】 下列说法中：
①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线，③不正确．
答案 B
规律方法 判断几何体投影形状的方法及画投影的方法：
(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．
(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影．
【训练1】 已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC( )
A．全等 B．相似 C．不相似 D．以上都不对
解析 本题主要考查对中心投影的理解．根据题意画出图形，如图所示．
由图易得＝＝＝＝＝，则△ABC∽△A′B′C′.
答案 B
互动探究
题型二 画空间几何体的三视图
【探究1】 如图是按不同方式放置的同一个圆柱，阴影面为正面，画出其三视图．
解 三视图分别如图所示．
【探究2】 螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图．
解 它的三视图如图所示．
规律方法 画三视图应遵循的原则和注意事项：
(1)务必做到“长对正、高平齐，宽相等”．
(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．
(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法．
(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性．
题型三 由三视图联想实物图
【例2】 根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．
解 由三视图的特征，结合柱、锥、台、球及简单组合体的三视图逆推．
图①对应的几何体是一个正六棱锥，图②对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别如下：
规律方法 1.由三视图还原空间几何体的策略
(1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体．
(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体．若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．
2．由三视图还原空间几何体的步骤
【训练2】 根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征并画出物体的实物草图．
解该几何体是由一个圆柱和一个底面为正方形的长方体组合而成，且圆柱下底面圆的直径等于长方体底面正方形的边长，其草图如图所示.
课堂达标
1．中心投影的投影线( )
A．相互平行 B．交于一点
C．是异面直线 D．在同一平面内
解析 由中心投影的定义知，中心投影的投影线交于一点，故选B.
答案 B
2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析 从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的．
答案 D
3．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是________．
解析 由圆锥的三视图可知这个几何体可能是圆锥．
答案 圆锥
4．有一个正三棱柱(俯视图为正三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．
解析 由正三棱柱三视图中的数据，知三棱柱的高为2，底面边长为2×＝4.
答案 2，4
5．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的投影是底面正方形的中心，试画出其三视图．
解 所给四棱锥的三视图如图所示：
课堂小结
1．三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．
2．画组合体的三视图的步骤
特别提醒 画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．
基础过关
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( )
A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
解析 先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．
由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.
答案 D
2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱
解析 由三视图知识，知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.
答案 A
3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
解析 正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B，D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.
答案 C
4．下列物品：①探照灯；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯中，所形成的投影是中心投影的是________(填序号)．
解析 探照灯、车灯、台灯的光线是由光源发出的光线，是中心投影；太阳、月亮距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影，故答案为①②⑤.
答案 ①②⑤
5．一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是________(填序号)．
解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此填②.
答案 ②
6．根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．
解 (1)此几何体上面为圆柱，下面为圆台，实物草图如图①.(2)此几何体上面为圆锥，下面为圆柱，实物草图如图②.
能力提升
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )
A．3 B．2 C．2 D．2
解析 由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D－BCC1B1，最长棱为DB1＝
＝＝2.故选B.
答案 B
8．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是( )
A．①②③ B．②③ C．①②④ D．②④
解析 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，
也就是在面ABCD、面BCC1B1、面DCC1D1上的射影．
四边形BFD1E在面ABCD和面DCC1D1上的射影相同，如图②所示；
四边形BFD1E在该正方体的对角面ABC1D1内，它在面BCC1B1上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确．
答案 B
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．
解析 依题意得三棱锥P－ABC的正视图与侧视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都等于正方体的棱长，因此三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为1.
答案 1
10．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于________．
解析 由图可得该几何体为三棱柱，因为正视图、侧视图、俯视图的内切圆最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆，所以最大球的半径为正视图中直角三角形的内切圆的半径r.
由题意，得8－r＋6－r＝.解得r＝2.
答案 2
11．画出下列几何体的三视图．
解 题图①为正六棱柱，可按棱柱的画法画出，其三视图如图a；题图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状，其三视图如图b.
12．(选做题)一个物体由几块相同的小正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：
(1)该物体有多少层？
(2)该物体的最高部分位于哪里？
(3)该物体一共由几个小正方体构成？
解 (1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．
(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．
(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成．
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.2.掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法，并能计算简单组合体的表面积和体积(难点).3.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积(重点)．
知识点1 柱体、锥体、台体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和．
(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体
侧面展开图
表面积公式
圆柱
S圆柱＝2πr(r＋l)，
r为底面半径，
l为侧面母线长
圆锥
S圆锥＝πr(r＋l)，
r为底面半径，
l为侧面母线长
圆台
S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，
r′为上底面半径，
r为下底面半径，
l为侧面母线长
【预习评价】
1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？
提示 不同的展开方式，几何体的平面展开图不一定相同；表面积是各个面的面积和，几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．
2．求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？
提示 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．
知识点2 柱体、锥体与台体的体积公式
几何体
体积
说明
柱体
V柱体＝Sh
S为柱体的底面积，h为柱体的高
锥体
V锥体＝Sh
S为锥体的底面积，h为锥体的高
台体
V台体＝(S′＋＋S)h
S′，S分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高
【预习评价】
1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3
解析 V长方体＝3×4×5＝60(cm3)．
答案 B
2．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________．
解析 V台体＝(2＋4＋)×3
＝×3×(6＋2)
＝6＋2.
答案 6＋2
题型一 空间几何体的表面积
【例1】 圆台的母线长为8 cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积．
解 如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于H，则O1O＝A1H＝A1A·sin 60°＝4(cm)，
AH＝A1A·cos 60°＝4(cm)．
设O1A1＝r1，OA＝r2，
则r2－r1＝AH＝4.①
设A1B与AB1的交点为M，
则A1M＝B1M.
又∵A1B⊥AB1，
∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.
∴O1M＝O1A1＝r1.
同理OM＝OA＝r2.
∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝4，②
由①②可得r1＝2(－1)，r2＝2(＋1)．
∴S表＝πr＋πr＋π(r1＋r2)l＝32(1＋)π(cm2)．
规律方法 空间几何体的表面积的求法技巧：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
【训练1】 若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为( )
A. B．2 C. D.
解析 所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝＝1，
∴以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积：S＝8××1×1×sin 60°＝2.故选B.
答案 B
题型二 柱体、锥体、台体的体积
【例2】 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？
解 由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图
所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD，
且BD＝＝，
两个圆锥的高分别为AD和DC，
所以V＝V1＋V2＝πBD2·AD＋πBD2·CD
＝πBD2·(AD＋CD)＝πBD2·AC
＝π××5＝π.
故所形成的几何体的体积是π.
规律方法 求几何体体积的常用方法
【训练2】 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.
解 在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，
A1B＝BD＝A1D＝a，
∵VA1－ABD＝VA－A1BD，
∴×a2·a＝××a×·a·d.
∴d＝a.∴A到平面A1BD的距离为a.
考查
方向
题型三 求组合体的表面积与体积
方向1 知三视图求体积(表面积)
【例3－1】 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( )
A．8π cm2 B．7π cm2
C．(5＋)π cm2 D．6π cm2
(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A．90π B．63π C．42π D．36π
解析 (1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S表＝S圆柱侧＋S圆锥侧＋S底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π(cm2)．
(2)由题意，该几何体是由高为6的圆柱截去一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为V＝·π·32·6＋π·32·4＝63π，故选B.
答案 (1)B (2)B
方向2 割补法求体积
【例3－2】 如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1，CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．
解 因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝ ＝a，
D1F∥EB，
所以四边形EBFD1是菱形．
连接EF，则△EFB≌△EFD1.
易知三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1的高相等，
故VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1.
又因为S△EBA1＝EA1·AB＝a2，
则VF－EBA1＝a3，
所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1＝a3.
规律方法 组合体体积与表面积的求解策略：
(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.
课堂达标
1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A. B. C. D.
解析 设底面圆半径为r，母线长为h，∴h＝2πr，则＝＝＝＝.
答案 A
2．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A．5π B．6π C．20π D．10π
解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
答案 D
3．已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )
A．9 B．9＋
C．12 D．12
解析 由三视图可知三棱锥的高为2，底面正三角形的高为3，则底面正三角形的边长a满足a＝3，解得a＝2.
又侧棱长为＝2，
故该正三棱锥是正四面体，
该三棱锥的表面积为：4××(2)2＝12.故选D.
答案 D
4．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2.由＝，得＝，
∴＝.
由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，
即r1h1＝r2h2.
∴＝＝＝.
答案
5．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
解析 由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，棱柱的底面面积S＝×(1＋2)×1＝，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝.
答案
课堂小结
1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．
2．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
基础过关
1．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A．2 B．2 C．4 D．8
解析 圆台的轴截面如图，由题意知，l＝(r＋R)，
S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，
∴l＝4.
答案 C
2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π C．2π D．π
解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
答案 C
3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于( )
A．6 B．6π C．3π D．6π
解析 ∵圆台的母线长为＝，
∴S圆台侧＝π(1＋2)·＝3π.
答案 C
4．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
解析 依题意得，该四棱锥底面平行四边形的一边长为2，该边上的高为1.
又依据正视图知该四棱锥高为3.
∴V四棱锥＝S·h＝×2×1×3＝2(m3)．
答案 2
5．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．
解析 S圆柱＝2·π＋2π··a＝πa2，
S圆锥＝π＋π··a＝πa2，
∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.
答案 2∶1
6．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
解析 设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
答案
7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S侧．
解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V－ABCD.
(1)V＝×(8×6)×4＝64.
(2)该四棱锥的两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝ ＝4，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝ ＝5.
因此S侧＝2
＝40＋24.
能力提升
8．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )
A．21＋ B．18＋
C．21 D．18
解析 由三视图可知，该多面体为一个棱长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×＋×××2＝21＋.
答案 A
9．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )
A．54 B．54π C．58 D．58π
解析 设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，∴h＝h1，
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.
答案 A
10．由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．
解析 V＝V长方体＋V圆柱＝1·1·2＋(π·12·1)＝2＋.
答案 2＋
11．如图是一个空间几何体的三视图(俯视图外框为正方形)，则这个几何体的体积为________．
解析 空间几何体为正四棱柱内挖空了一个圆柱，如图．
∵正四棱柱的底面边长为4，高为3，圆柱的底面半径为1，∴这个几何体的体积为4×4×3－π×12×3＝48－3π.
答案 48－3π
12．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．
解 这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．
根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S＝π×12＋π×22＋π×(1＋2)×2＋×(2＋4)×＝＋3.
13．(选做题)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示．
因为＝，所以r＝R－x，
所以S圆柱侧＝2πrx
＝2πRx－x2(0(2)因为－<0，
所以当x＝＝时，S圆柱侧最大．
故当x＝时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．
