1.1.1 任意角
学习目标 1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念(重点).3.掌握终边相同的角的表示(重、难点)．
知识点1 任意角的概念
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2．角的表示
顶点：用O表示；
始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置．
终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．
3．角的分类
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)经过1小时，时针转过30°.( )
(2)终边与始边重合的角是零角．( )
(3)小于90°的角是锐角．( )
提示 (1)×，因为是顺时针旋转，所以时针转过－30°．
(2)×，终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)．
(3)×，锐角是指大于0°且小于90°的角．
知识点2 象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
【预习评价】
思考 锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
提示 锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．
知识点3 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
【预习评价】
与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角的终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．
答案 C
题型一 与任意角有关的概念辨析
【例1】 (1)下列说法中，正确的是________(填序号)．
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；
⑤角α与－α的终边关于x轴对称．
解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．
答案 ②⑤
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________．
解析 ∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，
β＝－(760°－720°)＝－40°．
答案 －40°
规律方法 判断角的概念问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可．
【训练1】 写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．
解 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；
题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°．
题型二 终边相同的角的表示及应用
【例2】 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．
解 直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．
∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°．
规律方法 解答本题关键是找到0°～360°范围内，终边落在直线y＝x的角：45°，225°，再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．
【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S．
解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
典例
迁移
题型三 象限角和区域角的表示
【例3】 (1)－2 017°是第________象限角．
解析 －2 017°＝－6×360°＋143°，143°是第二象限角，所以－2017°为第二象限角．
答案 二
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
【迁移1】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解 在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：
150°≤α≤225°，则满足条件的角α为
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．
【迁移2】 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解 由题干图可知满足题意的角的集合为
{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}
即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}．
规律方法 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
课堂达标
1．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．终边相同的角之间相差180°的整数倍
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
解析 A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；
C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；
D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．
答案 D
2．－378°是第________象限角( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析 －378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角．
答案 D
3．把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为________．
解析 －936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为144°＋(－3)×360°．
答案 144°＋(－3)×360°
4．终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________．
解析 由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，
从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}．
答案 {α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}
5．已知，如图所示，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
课堂小结
1．象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角．
2．“锐角”，“0°～90°的角”，“小于90°的角”，“第一象限角”这几个概念注意区分：锐角是0°<α<90°；0°～90°的角是0°≤α<90°；小于90°的角为α<90°；第一象限的角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．
3．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角;(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α);
(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍;(4)k∈Z这一条件不能少．
基础过关
1．下列说法中，正确的是( )
A．第二象限的角都是钝角
B．第二象限角大于第一象限的角
C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合
D．若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)
解析 A错，495°＝135°＋360°是第二象限的角，但不是钝角；
B错，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限的角，但α<β；
C错，α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合；
D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z)．
答案 D
2．在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是( )
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
解析 ②480°＝120°＋360°是第二象限的角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限的角；
④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限的角，故选C．
答案 C
3．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析 可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
答案 C
4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________．
解析 ∵30°与150°的终边关于y轴对称，
∴β的终边与150°角的终边相同．
∴β＝150°＋k·360°，k∈Z．
答案 150°＋k·360°，k∈Z
5．12点过小时的时候，时钟分针与时针的夹角是________．
解析 时钟上每个大刻度为30°，12点过小时，分针转过－90°，时针转过－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°．
答案 82.5°
6．如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
解 终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合是S＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，
于是终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
7．已知角α＝2 010°．
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°．
解 (1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°．
∴取k＝5，β＝210°，
α＝5×360°＋210°．
又β＝210°是第三象限角，
∴α为第三象限角．
(2)与2 010°终边相同的角为
k·360°＋2 010°(k∈Z)．
令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
解得－6≤k<－3(k∈Z)．
所以k＝－6，－5，－4．
将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°．
能力提升
8．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是( )
A．A＝B＝C B．A＝B∩C
C．A∪B＝C D．A?B?C
解析 由题意知集合A是终边在x轴的非负半轴上的角的集合，集合B是终边在x轴上的角的集合，集合C是终边在坐标轴上的角的集合，故A?B?C．
答案 D
9．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
解析 方法一 (特值法)：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°．
方法二 (直接法)：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z．
答案 B
10．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝________________．
解析 当k＝－1时，α＝－126°；
当k＝0时，α＝－36°；
当k＝1时，α＝54°；
当k＝2时，α＝144°．
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
答案 {－126°，－36°，54°，144°}
11．若角θ的终边与60°角的终边相同，则在0°～360°内终边与角的终边相同的角为________．
解析 由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，
则＝20°＋k·120°(k∈Z)，
则当k＝0,1,2时，＝20°，140°，260°．
答案 20°，140°，260°
12．写出如图所示阴影部分的角α的范围．
解 (1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同
的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式．所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)同理可表示图(2)中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．
13．(选做题)如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ．
解 ∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ则一定有k＝0，于是90°<θ<135°．
又∵14θ＝n·360°(n∈Z)，
∴θ＝，从而90°<<135°，
∴当n＝4时，θ＝；当n＝5时，θ＝．
1.1.2 弧度制
学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换(重点).2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式(重、难点)．
知识点1 弧度制
1．度量角的两种制度
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
周角的为1度的角，记作1°
弧度制
定义
以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度
的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad
2．弧度数的计算
(1)正角：正角的弧度数是一个正数．
(2)负角：负角的弧度数是一个负数．
(3)零角：零角的弧度数是0．
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝．
3．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π_rad
2π rad＝360°
180°＝π_rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝()°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×()°＝度数
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧．( )
(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( )
(3)160°化为弧度制是π rad.( )
提示 (1)×，1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角．
(2)√，“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
(3)√，160°＝160× rad＝π rad．
知识点2 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝
l＝α·R
扇形的面积
S＝
S＝l·R ＝α·R2
【预习评价】
圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是________．
解析 因为15°＝，所以面积S＝αR2＝××36＝π(cm2)．
答案 π(cm2)
题型一 角度与弧度的互化及应用
【例1】 将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－800°；(3)；(4)－π．
解 (1)20°＝20×＝；
(2)－800°＝－800×＝－π；
(3)＝(×)°＝105°；
(4)－π＝－(π×)°＝－144°．
规律方法 角度制与弧度制互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝()°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·()°；n°＝n·．
【训练1】 (1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度．
解 (1)112°30′＝()°＝×＝．
(2)－＝－×()°＝－75°．
题型二 用弧度制表示角的集合
【例2】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
解 (1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为{α|－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．
规律方法 根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
【训练2】 已知角α＝2 010°．
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解 (1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，
又π<<，
∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ＜0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π．
题型三 扇形的弧长公式及面积公式的应用
【例3】 已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．
解 设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r．
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r
＝－2＋．
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0∴当r＝时，Smax＝.此时，l＝a－2·＝，
∴α＝＝2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为．
规律方法 扇形弧长、面积问题的解决方法
(1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：
一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．
(2)解决此类题目要首先分析已知哪些量，要求哪些量，然后灵活运用公式求解．
提醒：当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于R的二次函数，但要注意R的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必须满足0【训练3】 已知扇形AOB的周长为10 cm．
(1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
(1)依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4．
当r＝1时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去；
当r＝4时，l＝2 cm，此时，θ＝＝ rad．
(2)由l＋2r＝10得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2
＝－(r－)2＋(0当r＝时，S取得最大值，
这时l＝10－2×＝5，
∴θ＝＝＝2 rad．
课堂达标
1．下列命题中，假命题是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
解析 根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D．
答案 D
2．2 340°转化为弧度为( )
A．π B．13π
C． D．13
解析 2 340×＝13π，选B．
答案 B
3．已知半径为1的扇形面积为π，则扇形的圆心角为( )
A． B．
C． D．
解析 由S＝|α|r2得＝×α×12，所以α＝．
答案 C
4．若θ＝－5，则角θ的终边在( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
解析 2π－5与－5的终边相同，
∵2π－5∈(0，)，
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．
答案 D
5．已知α＝1 690°．
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．
解 (1)1 690°＝1 440°＋250°
＝4×360°＋250°＝4×2π＋π．
(2)∵θ与α终边相同，
∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π，
∴－∴k＝－2，－1,0,1．
∴θ的值是－π，－π，π，π．
课堂小结
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．
基础过关
1．下列各命题中，真命题是( )
A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度等于半径的弧
C．1弧度是1°的弧与1°的角之和
D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角
解析 根据弧度制和角度制的规定可知A、B、C均错误，D正确．
答案 D
2．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A．－－8π B．π－8π
C．－10π D．π－10π
解析 －1 485°＝－5×360°＋315°，化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为－10π，选D．
答案 D
3．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的圆心角大小不变
B．扇形的圆心角增大到原来的2倍
C．扇形的圆心角增大到原来的4倍
D．扇形的圆心角减小到原来的一半
解析 设扇形原来的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则变化后半径为2r，弧长为2l，圆心角为β，∴α＝，β＝＝＝α，即扇形的圆心角大小不变．
答案 A
4．若α∈(0，π)，且α与角－终边相同，则α＝________．
解析 －＝－2π＋，故α＝．
答案
5．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为________．
解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β，则解得α＝＋，β＝－．
答案 ＋，－
6．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
解 (1)将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到OB所形成．故满足条件的角的集合为
．
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为．
(3)将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为．
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为．
7．把下列角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式：
(1)；(2)－315°．
解 (1)∵0≤＜2π，∴＝4π＋．
(2)∵－315°＝－315×＝－＝－2π＋，
∵0≤＜2π，∴－315°＝－2π＋．
能力提升
8．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A．－π B．－2π
C．π D．－π
解析 ∵－π＝－2π＋
＝2×(－1)π＋，或－＝－4π＋，且|－|<||，∴θ＝－π．
答案 A
9．如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是( )
A．(2－sin 1 cos 1)R2 B．R2sin 1cos 1
C．R2 D．(1－sin 1cos 1)R2
解析 ∵l＝4R－2R＝2R，∴α＝＝2．
∵S弓形＝S扇形－S△
＝αR2－(2Rsin )·(Rcos )
＝×2×R2－R2sin 1·cos 1＝R2(1－sin 1cos 1)．
答案 D
10．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________．
解析 如图所示，
∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．
答案 [－4，－π]∪[0，π]
11．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______ ．
解析 ∵α是第二象限角，
∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，
当k＝－1时，－＜α＜－π，
当k＝0时，＜α≤2，
当k为其他整数时，满足条件的角α不存在．
答案 (－，－π)∪(，2]
12．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R．
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是30 cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10(cm)，
∴l＝αR＝ (cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－2××10×sin×10×cos＝50 (cm2)．
(2)由l＋2R＝30，∴l＝30－2R，
从而S＝·l·R＝(30－2R)·R
＝－R2＋15R＝－2＋．
∴当半径R＝ cm时，l＝30－2×＝15 cm，
扇形面积的最大值是 cm2，这时α＝＝2 rad．
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2．
13．(选做题)如图，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．
解 AA1所在圆弧的半径是2 dm，圆心角为；A1A2所在圆弧的半径是1 dm，圆心角为；A2A3所在圆弧的半径是 dm，圆心角为，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是×2×π＋×＋××＝(dm2)．
1.2.1 任意角的三角函数(一)
学习目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义(重点).2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同的角的同一三角函数值相等(难点)．
知识点1 三角函数的概念
1．任意角的三角函数的定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y
余弦
x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x
正切
叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
{α|α∈R且α≠kπ＋，k∈Z}
【预习评价】
已知角α的终边经过点(－，－)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________．
解析 因为(－)2＋(－)2＝1，所以点(－，－)在单位圆上，由三角函数的定义知sin α＝－，cos α＝－，tan α＝．
答案 － －
知识点2 三角函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．
【预习评价】
三角函数在各象限的符号由什么决定？
提示 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．
知识点3 诱导公式一
1．语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等．
2．式子表示：
【预习评价】
计算：sin(2π＋)＝________，cos＝________．
解析 sin(2π＋)＝sin＝，cos＝cos(6π＋)＝cos＝．
答案
考查
方向
题型一 任意角的三角函数的定义及应用
方向1 三角函数定义的直接应用
【例1-1】 在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，求tan α．
解 由题意，设点A的坐标为(x，)，所以x2＋()2＝1，
解得x＝或－．
当x＝时，角α在第一象限，tan α＝＝；
当x＝－时，角α在第二象限，tan α＝＝－．
方向2 含参数的三角函数定义问题
【例1-2】 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
解 r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1．
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝．
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1．
方向3 已知三角函数值求参数值
【例1-3】 已知角α的终边经过点P(5m,12)，且cos α＝－，则m＝________．
解析 cos α＝－<0，则α的终边在第二或三象限，又点P的纵坐标是正数，所以α是第二象限角，所以m<0，由＝－，解得m＝－1．
答案 －1
规律方法 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值；
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
题型二 三角函数在各象限的符号问题
【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．故选D．
答案 D
(2)判断下列各式的符号：
①tan 191°－cos 191°；②sin 2·cos 3·tan 4．
解 ①因为191°是第三象限角；
所以tan 191°>0，cos 191°<0．
所以tan 191°－cos 191°>0．
②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角．
所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0．
所以sin 2·cos 3·tan 4<0．
规律方法 三角函数值符号的判断问题：
(1)由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，tan α＝(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键．
(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．
【训练1】 判断下列三角函数值的符号：
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)．
解 (1)∵<3<π<4<<5<2π，
∴3,4,5分别在第二、三、四象限，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0．
(2)∵θ是第二象限角，∴－<－1∴sin(cos θ)<0．
题型三 诱导公式一的应用
【例3】 求下列各式的值：
(1)cos＋tan(－)；
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°．
解 (1)原式＝cos(8π＋)＋tan(－4π＋)
＝cos＋tan＝＋1＝；
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°
＝1＋1＋＝．
规律方法 利用诱导公式一化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
【训练2】 求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋cos·tan 4π．
解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝．
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝．
课堂达标
1．sinπ等于( )
A． B．
C．－ D．－
解析 sinπ＝sin(4π＋)＝sin＝．
答案 A
2．若sin α·cos α<0，则α的终边在( )
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第一或第四象限 D．第二或第四象限
解析 若sin α>0，cos α<0，则α的终边在第二象限；
若sin α<0，cos α>0，则α的终边在第四象限，故选D．
答案 D
3．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．
解析 易知r＝＝5，所以sin α＝－，cos α＝，故sin α＋cos α＝－．
答案 －
4．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α＝________．
解析 ∵cos α＝＝，
∴＝5.∴y2＝16，∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－．
答案 －
5．已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的三角函数值．
解 因为x＝2，y＝－3，
所以r＝＝．
于是sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，
tan α＝＝－．
课堂小结
1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．
2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等．
基础过关
1．cos 1 110°的值为( )
A． B．
C．－ D．－
解析 cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝．
答案 B
2．若角α的终边上有一点P(0,3)，则下列式子无意义的是( )
A．tan α B．sin α
C．cos α D．都有意义
解析 由三角函数的定义sin α＝，cos α＝，tan α＝，可知tan α无意义．
答案 A
3．设角α终边上一点P(－4a,3a)(a<0)，则2sin α＋cos α的值为( )
A． B．或－
C．－ D．与a有关
解析 ∵a<0，∴r＝＝5|a|＝－5a，
∴cos α＝＝，sin α＝＝－，∴2sin α＋cos α＝－．
答案 C
4．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
解析 因为点P(tan α，cos α)在第三象限，则tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限．
答案 二
5．求值：cos＋tan(－)＝________．
解析 原式＝cos(2π＋)＋tan(2π－)
＝cos＋tan＝＋＝．
答案
6．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
解 当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－．
所以sin α－3cos α＋tan α
＝－－－＝－．
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，
所以点P′到坐标原点的距离
r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝＝－．
所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×－＝＋－＝．
7．求下列各式的值：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°．
解 (1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°+0°)＝
a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2．
(2)tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝
tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝．
能力提升
8．已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m等于( )
A．－ B．
C．－4 D．4
解析 cos α＝＝－，解得m＝－4(m＝4不合题意，舍去)．
答案 C
9．某点从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动π弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A． B．
C． D．
解析 由三角函数定义可得：Q，
cos＝－，sin＝．
答案 A
10．如果角α的终边经过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α＝________．
解析 所给点的坐标为(1，－)，故sin α＝－．
答案 －
11．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角．
解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，
即需cos α，tan α同号，
所以α是第一或第二象限角．
答案 一或二
12．判断下列各式的符号：
(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan；
(3)(θ为第二象限角)．
解 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin 340°<0，cos 265°<0，
∴sin 340°cos 265°>0．
(2)∵π<4<，∴4是第三象限角，
∵－＝－6π＋，
∴－是第一象限角．
∴sin 4<0，tan>0，
∴sin 4tan<0．
(3)∵θ为第二象限角，
∴0∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0，
∴<0．
13．(选做题)已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(，m)，求m的值及sin α的值．
解 (1)∵＝－，
∴sin α<0，①
由lg(cos α)有意义，
∴cos α>0.②
由①②得，角α在第四象限．
(2)∵点M(，m)在单位圆上，
∴()2＋m2＝1，解得m＝±．
又α是第四象限角，
∴m<0，∴m＝－．
由三角函数定义知，sin α＝－．
1.2.1 任意角的三角函数(二)
学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域(重点).2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切(重点).3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题(难点)．
知识点1 三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}．
【预习评价】
函数y＝的定义域为________．
解析 由cos x≥0得{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
答案 {x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}
知识点2 三角函数线
1．相关概念
(1)单位圆：
以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆．
(2)有向线段：
带有方向(规定了起点和终点)的线段．
规定：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之为负值．
2．三角函数线
题型一 三角函数线及其作法
【例1】 分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)；(2)；(3)－；(4)．
解 作图，如图所示：
图(1)，(2)，(3)，(4)中的MP，OM，AT分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线．
规律方法 三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT．
【训练1】 (1)作出－的正弦线；(2)作出的正切线．
解 (1)作出－的正弦线MP如图所示．
(2)作出π的正切线AT如图所示．
考查
方向
题型二 三角函数线的应用
方向1 利用三角函数线比较大小
【例2-1】 利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；(2)tan与tan．
解 如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin＝MP，tan＝AT；
的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin＝M′P′，tan＝AT′，
由图可见，MP>M′P′>0，AT所以(1)sin>sin，(2)tan方向2 利用三角函数线解不等式
【例2-2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥；(2)tan α≥－1．
解 (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围，如图所示，故满足条件的角α的集合为
．
(2)在单位圆过点A(1,0)的切线上取AT＝－1，连接OT，OT所在直线与单位圆交于P1，P2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，如图所示，所以α的取值集合是．
规律方法 1.利用三角函数线比较大小的两个注意点
(1)角的终边的位置要找准；
(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．
2．利用三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边范围．
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．
(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．
【训练2】 解不等式cos α≤－．
解 作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，如图所示，故满足条件的角α的集合为．
题型三 求三角函数的定义域
【例3】 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝lg sin x＋．
解 (1)∵要使函数f(x)有意义，
∴sin x·tan x≥0，
∴sin x与tan x同号或sin x·tan x＝0，
故x是第一、四象限的角或终边在x轴上的角．
∴函数的定义域为{x|2kπ－x＝(2k＋1)π，k∈Z}．
(2)由题意，要使f(x)有意义，则
由sin x>0得2kπ由9－x2≥0得－3≤x≤3， ②
由①②得：f(x)的定义域为{x|0＜x≤3}．
规律方法 求三角函数定义域的方法
(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．
(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．
【训练3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝lg(3－4sin2x)．
解 (1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥．
如图，
∴x∈(k∈Z)．
∴函数的定义域为
．
(2)∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，
∴－∴x∈∪(k∈Z)．
即x∈(k∈Z)．
∴函数的定义域为(k∈Z)．
课堂达标
1．下列四个命题中：
①α一定时 ，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．
不正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 由三角函数线的定义①③④正确，②不正确．
答案 B
2．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos αC．sin α解析 方法一 (特值法)令α＝，则cos α＝，tan α＝，sin α＝，故cos αtan α．
方法二 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，则OM答案 A
3．比较大小：sin 1________sin(填“>”或“<”)．
解析 因为0<1<<，结合单位圆中的三角函数线，知sin 1答案 <
4．当x∈[0,2π]时，不等式sin x≥的解集为________．
解析 如图所示，不等式的解集为{x|≤x≤}．
答案
5．比较sin与tan的大小．
解 的正弦线MP与正切线AT如图所示．
由图易知sin>0，tan<0，∴sin>tan．
基础过关
1．下列说法不正确的是( )
A．当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点
B．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在
C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化
D．余弦线和正切线的始点都是原点
解析 根据三角函数线的概念，A，B，C是正确的，只有D不正确，因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的交点上．
答案 D
2．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A． B．
C． D．[0，π]
解析 如图所示，当x＝和x＝－时，sin x＝cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是[－，]．
答案 A
3．函数f(x)＝tan(2x－)的定义域为( )
A．{x|x≠＋kπ，k∈Z} B．{x|x≠＋kπ，k∈Z}
C．{x|x≠＋2kπ，k∈Z} D．{x|x≠＋kπ，k∈Z}
解析 易知2x－≠＋kπ，，k∈Z，即x≠＋kπ，k∈Z，故f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．
答案 A
4．若θ∈(，)，则sin θ的取值范围是________．
解析 如图所示，作出和的正弦线，
可得sin θ∈(－，1)．
答案 (－，1)
5．比较大小：sin 1.2________sin 1.5(填“>”或“<”)．
解析 ∵1.2∈(0，)，1.5∈(0，)，正弦线在(0，)内随角α的增大而增大，
∴sin 1.2答案 <
6．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝；(2)cos α＝－．
解 (1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP，OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM，ON为角α的终边，如图乙．
7．求函数f(x)＝＋ln的定义域．
解 由题意，得自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
即定义域为．
能力提升
8．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵π<3<π，作出单位圆如图所示．
设MP，OM分别为a，b．
sin 3＝a>0，cos 3＝b<0，
所以sin 3－cos 3>0．
因为|MP|<|OM|即|a|<|b|，
所以sin 3＋cos 3＝a＋b<0．
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．
答案 D
9．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，值域为[－5,1]，则函数g(x)＝abx＋7在[b，a]上( )
A．有最大值2 B．有最小值2
C．有最大值1 D．有最小值1
解析 易知2x＋∈[，]，a>0，∴由三角函数线易得f(x)∈[－a＋b,2a＋b]，即解得
∴g(x)＝2－3x＋7，x∈[－3,2]，故当x＝2时，g(x)有最小值2．
答案 B
10．函数f(x)＝的定义域为________．
解析 如图所示．
答案 { x |kπ－≤ x≤ kπ＋（k∈Z）]
11．sin 1，cos 1，tan 1的大小关系是________．
解析 由题意1>，在单位圆中作出锐角α＝1的正切线、正弦线、余弦线，可知正切线最长，余弦线最短，所以有cos 1答案 cos 112．设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．
解
θ是第二象限角，
即2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，
故kπ＋<作出所在范围如图所示．
当2kπ＋<<2kπ＋(k∈Z)时，
cos 当2kπ＋<<2kπ＋π(k∈Z)时，
sin 13．(选做题)利用三角函数线证明：若0<α<β<，则β－α>sin β－sin α．
证明 如图，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过P，Q分别作OA的垂线，设垂足分别为点M，N，则由三角函数线定义可知：
sin α＝NQ，sin β＝MP，过点Q作QH⊥MP于点H，于是MH＝NQ，则HP＝MP－MH＝sin β－sin α．
由图可知HP<＝－＝β－α，
即β－α>sin β－sin α．
1.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系(重点).2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明(难点)．
知识点 同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)．
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α．
(2)tan α＝的变形公式：
sin α＝cos_αtan_α；cos α＝．
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin2α＋cos2β＝1.( )
(2)sin2＋cos2＝1.( )
(3)对任意的角α，都有tan α＝成立．( )
提示 (1)× 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1．
(2)√ 在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1．
(3)× 当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立．
题型一 利用同角三角函数的基本关系求值
【例1】 (1)若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于( )
A． B．－
C． D．－
解析 ∵α为第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
∴tan α＝＝．
答案 C
(2)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________．
解析 ∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，
即2sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈(，π)，
故sin α－cos α＝＝，
可得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－．
答案 －
规律方法 求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口．
【训练1】 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解 ∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角，
(1)当α是第二象限角时，则
sin α＝ ＝ ＝，
tan α＝＝＝－．
(2)当α是第三象限角时，则
sin α＝－＝－，tan α＝.
互动
探究
题型二 齐次式的求值问题
【探究1】 已知tan α＝2，求的值．
解 ＝＝－．
【探究2】 已知tan α＝2，求．
解 ＝＝－．
【探究3】 已知tan α＝2，求的值．
解 ＝＝＝．
【探究4】 已知tan α＝2，求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值．
解 2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝
＝＝＝．
【探究5】 已知＝，求sin αcos α的值．
解 方法一 由＝得cos α＋2sin α＝15cos α－5sin α，即sin α＝2cos α，
∴sin αcos α＝＝＝．
方法二 由方法一中sin α＝2cos α可得tan α＝2，
∴sin αcos α＝＝＝．
规律方法 已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2 α＋cos2 α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．
题型三 三角函数式的化简与证明
【例2】 (1)化简：sin2αtan α＋＋2sin αcos α；
解 原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝＝
(2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1．
证明 因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2
所以＋1＝2(＋1)，
通分可得＝
即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，
即sin2β＝2sin2α－1．
规律方法 1.三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．含有条件的三角恒等式证明的常用方法
(1)直推法：从条件直推到结论；
(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；
(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明．
【训练2】 (1)化简：；
解 原式＝
＝
＝＝＝1．
(2)求证：＝．
证明 ∵右边＝
＝＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立．
课堂达标
1．若cos α＝－，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A． B．－
C． D．－
解析 由题意可得sin α＝＝，
∴tan α＝＝－．
答案 B
2．已知sin α＝，tan α＝－，则cos α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析 由sin α＝>0，tan α＝－<0，可知α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－．
答案 A
3．化简－的结果是________．
解析 原式＝＝
＝＝－．
答案 －
4．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝________．
解析 由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－，故原式＝＝
＝sin α(1＋sin α)＝(－)(1－)＝－．
答案 －
5．已知＝2，计算下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－2sin αcos α＋1．
解 由＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3．
(1)原式＝＝＝．
(2)原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝．
课堂小结
1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．
3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．
4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．
5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．
基础过关
1．化简的结果是( )
A．cos 160° B．±|cos 160°|
C．±cos 160° D．－cos 160°
解析 ＝＝|cos 160°|
＝－cos 160°．
答案 D
2．已知sin α－cos α＝－，则sin α·cos α等于( )
A． B．－
C．－ D．
解析 因为sin α－cos α＝－，平方可得1－2sin αcos α＝，所以2sin αcos α＝－，即sin αcos α＝－．
答案 C
3．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )
A．－ B．
C．－ D．
解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝．
答案 D
4．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________．
解析 由tan A＝>0且角A是△ABC的内角可得
0解得sin A＝．
答案
5．已知A为锐角，lg(1＋cos A)＝m，lg＝n，则lg sin A的值为________．
解析 由lg(1＋cos A)＝m，得1＋cos A＝10m，
由lg＝n，得1－cos A＝10－n，
故(1＋cos A)(1－cos A)＝10m－n，
即1－cos2A＝10m－n，即sin2A＝10m－n，
sin A＝10(m－n)，所以lg sin A＝(m－n)．
答案 (m－n)
6．已知tan α＝2，求下列代数式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α．
解 (1)原式＝＝．
(2)原式＝
＝
＝
＝．
7．求证：＝．
证明 方法一 ∵左边＝
＝＝
＝
＝＝＝右边．
∴原等式成立．
方法二 ∵右边＝＝；
左边＝＝
＝＝．
∴左边＝右边，原等式成立．
能力提升
8．已知＝－，那么的值是( )
A． B．－
C．2 D．－2
解析 因·＝＝－1，
故＝．
答案 A
9．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A． B．
C．1 D．
解析 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1．
答案 C
10．已知sin θ＝，cos θ＝，则tan θ＝________．
解析 由sin2θ＋cos2θ＝()2＋()2＝1，解得m＝0或m＝8．
当m＝0时，sin θ＝－，cos θ＝，故tan θ＝－；
当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－，
故tan θ＝－．
答案 －或－
11．已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦，则实数m的值为________．
解析 由题意知Δ＝4(m＋1)2－16m≥0，
解得m∈R．
不妨设sin A＝x1，cos A＝x2，
则x1＋x2＝(m＋1)，x1·x2＝m，
即sin A＋cos A＝(m＋1)，sin Acos A＝m，
所以1＋2×m＝(m＋1)2，
解得m＝或m＝－．
当m＝－时，sin Acos A＝－<0，不合题意，舍去，故m＝．
答案
12．已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根．求：
(1)sin3θ＋cos3θ；
(2)tan θ＋．
解 根据题意，方程判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，所以a≤0或a≥4，
且
因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，
即a2－2a－1＝0，
所以a＝1－(1＋舍去)．
所以sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－．
(1)sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(1－)[1－(1－)]＝－2．
(2)因为tan θ＋＝＋＝＝＝－－1．
13．(选做题)化简下列各式：
(1)；
(2)．
解 (1)原式＝
＝＝
＝－1．
(2)方法一 原式＝
＝＝．
方法二 原式＝
＝
＝
＝＝．
方法三 原式＝
＝
＝＝＝．
§1.3 三角函数的诱导公式(一)
学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程(难点).3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题(重点、难点)．
知识点 诱导公式二、三、四
1．诱导公式二
终边关系
图示
角π＋α与角α的终边关于原点对称
公式
sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_α
tan(π＋α)＝tan_α
2．诱导公式三
终边关系
图示
角－α与角α的终边关于x轴对称
公式
sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，
tan(－α)＝－tan α
3．诱导公式四
终边关系
图示
角π－α与角α的终边关于y轴对称
公式
sin(π－α)＝sin_αcos(π－α)＝－cos_α
tan(π－α)＝－tan_α
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角．( )
(2)sin(α－π)＝sin α.( )
(3)cosπ＝－.( )
提示 (1)×，正、余弦函数的诱导公式中，α为任意角，但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中角的正切值有意义．
(2)×，sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α．
(3)√，cos＝cos(π＋)＝－cos＝－．
题型一 给角求值问题
【例1】 (1)sin 750°＝________；cos(－2 040°)＝________.；
解析 sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝；
cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(5×360°＋240°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－．
答案 －
(2)计算：sin(－)－cos(－)＝________．
解析 原式＝－sin－cos＝－sin(4π＋π＋)－cos(2π＋π＋)＝sin＋cos＝＋＝1．
答案 1
规律方法 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
【训练1】 求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－．
方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－．
(2)方法一 cos＝cos＝cos
＝cos(π＋)＝－cos＝－．
方法二 cos＝cos
＝cos＝－cos＝－．
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1．
题型二 化简求值问题
【例2】 (1)计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________；
解析 原式＝cos＋cos＋cos＋cos(π－)＋cos(π－)＋cos(π－)＝cos＋cos＋cos－cos－cos－cos＝0．
答案 0
(2)化简：．
解 原式＝＝·＝1．
规律方法 三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式．
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
【训练2】 化简下列各式：
(1)；
(2)．
解 (1)原式＝
＝＝－＝－tan α．
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
典例
迁移
题型三 给值或式求值问题
【例3】 (1) 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝，则sin β＝________．
解析 α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝.
答案
(2)已知cos(－α)＝，求cos(＋α)－sin2(α－)的值．
解 因为cos(＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－，
sin2(α－)＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝1－()2＝，
所以cos(＋α)－sin2(α－)＝－－＝－．
【迁移1】 将例3(2)题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？
解 由题意知cos(＋α)＝，求cos(－α)＋sin2(α＋)的值．
因为cos(－α)＝cos[π－(＋α)]＝－cos(＋α)＝－，
sin2(α＋)＝1－cos2(＋α)＝1－()2＝，
所以，cos(－α)＋sin2(α＋)＝－＋＝．
【迁移2】 例3(2)题中的条件不变，求cos(－α)－sin2(α－)的值．
解 cos(－α)－sin2(α－)＝cos[π＋(－α)]－sin2[(α－)－2π]
＝－cos(－α)－sin2(－α)＝－－＝－．
规律方法 解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
课堂达标
1．tan 300°＋sin 450°的值是( )
A．－1＋ B．1＋
C．－1－ D．1－
解析 原式＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)
＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋1＝－＋1．
答案 D
2．已知sin＝m，则cos的值等于( )
A．m B．－m
C． D．－
解析 cos＝cos(π－)＝－cos＝－(－)＝．
答案 C
3．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为________．
解析 tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°)
＝tan 60°＝－＝，
即a＝－．
答案 －
4．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝________．
解析 cos(212°＋α)＝cos[2×360°－(508°－α)]
＝cos(508°－α)＝．
答案
5．化简：．
解 原式＝
＝
＝＝1．
课堂小结
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～之间的角求值
2．诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
基础过关
1．已知sin(π－α)＝，则sin(α－2 017π)的值为( )
A． B．
C． D．－
解析 由sin(π－α)＝sin α得sin α＝，所以sin(α－2 017π)
＝sin[(α－π)－2 016π]＝sin(α－π)＝－sin(π－α)＝－sin α＝－．
答案 D
2．若sin(－110°)＝a，则tan 70°等于( )
A． B．
C． D．
解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)
＝－sin 70°＝a，∴sin 70°＝－a，
∴cos 70°＝＝，
∴tan 70°＝＝．
答案 B
3．tan(5π＋α)＝m(m≠±1)，则的值为( )
A． B．
C．－1 D．1
解析 ∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，
∴原式＝＝＝．
答案 A
4．若P(－4,3)是角α终边上一点，则的值为________．
解析 由题意知sin α＝，原式＝＝－＝－＝－．
答案 －
5.的值是________________．
解析 原式＝
＝
＝
＝＝＝－2．
答案 －2
6．化简下列各式：
(1)sin(－π)cos π；
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．
解 (1)sin(－π)cos π
＝－sin(6π＋)cos(π＋)＝sin cos ＝．
(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos（-240°）sin(－210°)
＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)
＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1．
7．已知tan(π＋α)＝－，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．
解 由tan(π＋α)＝－，
得tan α＝－，
(1)原式＝
＝＝
＝＝－．
(2)原式＝sin(－6π＋α－π)·cos(4π＋α＋π)
＝sin(α－π)·cos(α＋π)
＝－sin α(－cos α)
＝sin αcos α＝
＝＝－．
能力提升
8．已知n为整数，化简所得的结果是( )
A．tan(nα) B．－tan(nα)
C．tan α D．－tan α
解析 当n为偶数时，原式＝＝tan α；
当n为奇数时，原式＝＝tan α.故选C．
答案 C
9．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2 009)＝5，则f(2 017)等于( )
A．4 B．3
C．－5 D．5
解析 f(2 009)＝－(asin α＋bcos β)＋4＝5，
f(2 017)＝－(asin α＋bcos β)＋4＝5．
答案 D
10．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－2π)＝________．
解析 由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
故sin(α－2π)＝sin α＝－＝－
＝－(α为第四象限角)．
答案 －
11．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系是________．
解析 a＝－tan＝－tan＝－，
b＝cos＝cos＝，
c＝－sin＝－sin＝－，
∴b>a>c．
答案 b>a>c
12．若cos(α－π)＝－，求
的值．
解 原式＝
＝＝＝－tan α．
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，
∴tan α＝＝，
∴原式＝－．
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，∴原式＝．
综上，原式＝±．
13．(选做题)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
解 由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又∵A∈(0，π)，
∴A＝或π．
当A＝π时，cos B＝－<0，
∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，
∴B＝，∴C＝π．
综上所述，A＝，B＝，C＝π．
§1.3 三角函数的诱导公式(二)
学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导(难点).2.能够应用三角函数的诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题(重点)．
知识点 诱导公式五、六
1．诱导公式五、六
2．公式五和公式六的语言概括
(1)函数名称：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值．
(2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
(3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( )
(2)诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变．( )
(3)sin(－α)＝±cos α.( )
提示 (1)×，诱导公式五、六中的角α是任意角．
(2)√，由诱导公式一～六可知其正确．
(3)×，当k＝2时，sin(－α)＝sin(π－α)＝sin α．
题型一 利用诱导公式化简、求值
【例1】 (1)已知cos＝，≤α≤，求sin的值；
解 ∵α＋＝＋，
∴sin(α＋)＝sin＝cos＝．
(2)化简：．
解 原式＝＝tan α．
规律方法 求值问题中角的转化方法
【训练1】 已知cos(－α)＝，求下列各式的值：
(1)sin(＋α)；(2)sin(α－)．
解 (1)sin(＋α)＝sin[－(－α)]＝cos(－α)＝．
(2)sin(α－)＝sin[－－(－α)]＝－sin[＋(－α)]
＝－cos(－α)＝－．
题型二 利用诱导公式证明恒等式
【例2】 求证：＝－tan α．
证明 左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
规律方法 证明等式的常用方法
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．
【训练2】 求证：＝．
证明 左边＝
＝
＝＝
＝＝．
右边＝＝．
∴左边＝右边，故原等式成立.
典例
迁移
题型三 诱导公式的综合应用
【例3】 已知cos α＝－，且α为第三象限角．
(1)求sin α的值；
(2)求f(α)＝的值．
解 (1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－＝－．
(2)f(α)＝＝tan α·sin α
＝·sin α
＝＝(－)2×(－)＝－．
【迁移1】 本例条件不变，求f(α)
＝的值．
解 f(α)＝＝sin α＝－．
【迁移2】 本例条件中“cos α＝－”改为“α的终边与单位圆交于点P(m，)”，“第三象限”改为“第二象限”，试求的值．
解 由题意知m2＋()2＝1，
解得m2＝，
因为α为第二象限角，故m<0，
所以m＝－，
所以sin α＝，cos α＝－．
原式＝＝＝－．
规律方法 用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
课堂达标
1．sin 165°等于( )
A．－sin 15° B．cos 15°
C．sin 75° D．cos 75°
解析 sin 165°＝sin(90°＋75°)＝cos 75°．
答案 D
2．已知sin(α＋)＝，则cos(－α)的值为( )
A． B．
C． D．－
解析 cos(－α)＝cos[－(α＋)]＝sin(α＋)＝．
答案 C
3．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．
解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)
＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1．
答案 1
4．若cos α＝，且α是第四象限角，则cos(α＋)＝________．
解析 由题意得sin α＝－＝－，
所以cos(α＋)＝－sin α＝．
答案
5．已知sin(5π－θ)＋sin＝，求sin4＋cos4的值．
解 ∵sin(5π－θ)＋sin
＝sin(π－θ)＋sin
＝sin θ＋cos θ＝，
∴sin θcos θ＝[(sin θ＋cos θ)2－1]
＝＝，
∴sin4＋cos4＝cos4θ＋sin4θ
＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2×2＝．
课堂小结
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．
3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．
基础过关
1．已知sin α＝，则cos(α＋)＝( )
A． B．－
C． D．－
解析 cos(α＋)＝－sin α＝－．
答案 B
2．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )
A．－a B．－a
C．a D．a
解析 由条件得－sin α－sin α＝－a，故sin α＝，
原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a．
答案 B
3．已知cos(＋φ)＝，且|φ|<，则tan φ等于( )
A．－ B．
C．－ D．
解析 由cos(＋φ)＝－sin φ＝，得sin φ＝－，
又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－．
答案 C
4．若sin(α＋)＝，则cos(α＋)＝________．
解析 cos(α＋)＝cos[＋(α＋)]
＝－sin(α＋)＝－．
答案 －
5．化简＝________．
解析 原式＝
＝＝－1．
答案 －1
6．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，求
的值．
解 因为5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，
所以sin α＝－，
又因为α为第三象限角，
所以cos α＝－＝－.所以tan α＝．
故原式＝
＝tan α＝．
7．设tan＝m．
求证：＝．
证明 左边＝
＝
＝
＝＝右边．
∴原等式成立．
能力提升
8．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于( )
A．3－cos 2x B．3－sin 2x
C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x
解析 f(cos x)＝f(sin(－x))＝3－cos 2(－x)＝3－cos(π－2x)＝3＋cos 2x．
答案 C
9．α为锐角，2tan(π－α)－3cos＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝( )
A． B．
C． D．
解析 由条件可知－2tan α＋3sin β＝－5①，tan α－6sin β＝1②，
①式×2＋②式可得tan α＝3，
即sin α＝3cos α，
又sin2α＋cos2α＝1，α为锐角，
故可解得sin α＝．
答案 C
10．已知tan(3π＋α)＝2，则
＝________．
解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2，
∴原式＝＝
＝＝2．
答案 2
11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是________(填上所有符合的序号)．
①sin β＝；②cos(π＋β)＝；③tan β＝；
④tan β＝．
解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α，
∴sin α＝，若α＋β＝90°，
则β＝90°－α，
故sin β＝sin(90°－α)＝cos α＝±，故①满足；
③中tan β＝，
即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，
故sin β＝±，即③满足，而②④不满足．
答案 ①③
12．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式
同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
解 由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， ③
又因为sin2α＋cos2α＝1， ④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－．
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．
13．(选做题)已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
解 sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α．
∴sin α·cos α＝，
即2sin α·cos α＝. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝．
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝， ③
sin α－cos α＝， ④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝．
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法(难点).2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线(重点).3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系(难点)．
知识点 正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
图象画法
“五点法”
“五点法”
关键
五点
(0,0)，(，1)，
(π，0)，(，－1)，
(2π，0)
(0,1)，(，0)，
(π，－1)，(，0)，
(2π，1)
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin x的图象向左右和上下无限伸展．( )
(2)函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同．( )
(3)函数y＝cos x的图象关于(0,0)对称．( )
提示 (1)×，正弦函数y＝sin x的图象向左右无限伸展，但上下限定在直线y＝1和y＝－1之间．
(2)×，二者图象不同，而是关于x轴对称．
(3)×，函数y＝cos x的图象关于y轴对称．
题型一 “五点法”作图的应用
【例1】 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解 (1)取值列表：
X
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
(2)描点连线，如图所示：
规律方法 用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
(或cos x)
0(或1)
1(或0)
0(或－1)
－1
(或0)
0(或1)
y
b
(或A＋b)
A＋b
(或b)
b(或
－A＋b)
－A＋b
(或b)
b
(或A＋b)
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接．
【训练1】 利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
解 (1)取值列表如下：
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
－1－cos x
－2
－1
0
－1
－2
(2)描点连线，如图所示．
题型二 利用正弦、余弦函数图象解不等式
【例2】 利用正弦曲线，求满足解 首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象．如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和．
观察图象可知，在[0,2π]上，当所以规律方法 用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出不等式的解集．
【训练2】 求函数f(x)＝lg cos x＋的定义域．
解 由题意，得x满足不等式组
即作出y＝cos x的图象，如图所示．
结合图象可得：
x∈∪∪.
互动
探究
题型三 正弦、余弦曲线与其他曲线的交点问题
【探究1】 当x∈[0,4π]时，解不等式sin x≥0．
解 由函数y＝sin x，x∈[0,4π]的图象可知，不等式sin x≥0的解集为[0，π]∪[2π，3π]．
【探究2】 作出函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,4π]的图象．
解 易知f(x)＝
则f(x)的图象如图所示：
【探究3】 求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0解的个数．
解 在同一坐标系内作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图象如图所示，易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故所给方程有四个根．
规律方法 判断方程解的个数的关注点
(1)确定方程解的个数问题，常借助函数图象用数形结合的方法求解．
(2)当在同一坐标系中作两个函数的图象时，要注意其相对位置，常借助于函数值的大小来确定．
【训练3】 方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________．
解析 作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解．
答案 2
课堂达标
1．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
解析 函数y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D．
答案 D
2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
解析 根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．
答案 B
3．不等式cos x<0，x∈[0,2π]的解集为________．
解析 由函数y＝cos x的图象可知，不等式cos x<0[0,2π]的解集为(，)．
答案 (，)
4．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有________个．
解析 作y＝cos x，x∈[0,2π]的图象及直线y＝－(图略)，知两函数图象有两个交点．
答案 两
5．利用“五点法”作出下列函数的图象：
(1)y＝2－sin x(0≤x≤2π)；(2)y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)．
解 利用“五点法”作图
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
2－sin x
2
1
2
3
2
描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示．
(2)列表：
X
0
π
2π
－2cos x
－2
0
2
0
－2
－2cos x＋3
1
3
5
3
1
描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3(0≤x≤2π)的图象：
课堂小结
1．对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．
2．作函数y＝asin x＋b的图象的步骤
基础过关
1．用“五点法”作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析 由“五点法”可知选A．
答案 A
2．方程sin x＝的根的个数是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析 在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示：
根据图象可知方程有7个根．
答案 A
3．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为( )
解析 由题意得
y＝
显然只有D合适．
答案 D
4．若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．
解析 ∵sin x∈[－1,1]，∴－1≤2m＋1≤1，故－1≤m≤0．
答案 [－1,0]
5．不等式sin x<－，x∈[0,2π]的解集为________．
解析 如图所示，不等式sin x<－的解集为．
答案
6．用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝2sin x，x∈[0,2π]；(2)y＝sin(x＋)，x∈[－，]．
解 (1)列表：
x
0
π
π
2π
2sin x
0
2
0
－2
0
描点、连线、绘图，如图所示．
(2)①列表：
x＋
0
π
π
2π
x
－
π
π
π
sin
0
1
0
－1
0
②描点连线如图．
7．根据y＝cos x的图象解不等式：
－≤cos x≤，x∈[0,2π]．
解 函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为
{x|≤x≤或≤x≤}．
能力提升
8．如图所示，函数y＝cos x|tan x|(0≤x<且x≠)的图象是( )
解析 当0≤x<时，y＝cos x·|tan x|＝sin x；
当当π故其图象为C．
答案 C
9．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A．4 B．8
C．2π D．4π
解析 作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，
∴S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π．
答案 D
10．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________________．
解析 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝图象，由图象易得：－答案
11．函数y＝cos x＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________.
解析 由得cos x＝0，
当x∈[0,2π]时，x＝或．
∴交点为，.
答案 ，
12．用“五点法”作出函数y＝1－cos x的简图．
解 (1)列表
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－cos x
1
1
(2)描点，连线可得函数在[0,2π]上的图象，将函数图象向左，向右平移(每次2π个单位长度)，就可以得到函数y＝1－cos x的图象，如图所示．
13．(选做题)若方程sin x＝在x∈[，π]上有两个实数根，求a的取值范围．
解 在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图象，y＝的图象，由图象可知，当≤<1，即－11.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义(重点).2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期(重点).3.掌握函数y＝sin x、y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性(重点)．
知识点1 周期函数
1．周期函数
条件
①对于函数f(x)，存在一个非零常数T
②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)
结论
函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
2．最小正周期
条件
周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R)．( )
(2)任何周期函数都有最小正周期．( )
(3)若存在正数T，使f(x＋T)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2T.( )
提示 (1)×，周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．
(2)×，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期．
(3)√，f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝－f(x＋T)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的周期为2T．
知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
【预习评价】
函数y＝sin(x＋)是( )
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
解析 因为y＝sin(x＋)＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数．
答案 D
题型一 求三角函数的周期
【例1】 求下列函数的周期：
(1)y＝2sin(x＋)，x∈R；
(2)y＝1－2cos(x)，x∈R；
(3)y＝|sin x|，x∈R．
解 (1)∵2sin
＝2sin＝2sin，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，
函数y＝2sin，x∈R的值才能重复出现，
∴函数y＝2sin，x∈R的周期是4π．
(2)∵1－2cos[(x＋4)]＝1－2cos(x＋2π)＝1－2cos(x)，
∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos(x)，x∈R的值才能重复出现，
∴函数y＝1－2cos(x)，x∈R的周期是4．
(3)作图如下：
观察图象可知最小正周期为π．
规律方法 求三角函数周期的方法
(1)定义法,即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝．
(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．
三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．
【训练1】 (1)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )
解析 对于D，x∈(－1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数．
答案 D
(2)下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
解析 选项A，周期T＝＝4π；选项B，周期T＝＝π；选项C，周期T＝＝8π；选项D，周期T＝＝．
答案 D
题型二 三角函数的奇偶性
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝．
解 (1)显然x∈R，f(x)＝cos x，
f(－x)＝cos＝cos x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1解得定义域为．
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．
规律方法 判断函数奇偶性的两个关键点
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(－x)与f(x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
【训练2】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin x|＋cos x；
(2)f(x)＝＋．
解 (1)函数的定义域为R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)由1－cos x≥0且cos x－1≥0，得cos x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.
典例
迁移
题型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin x|
C．y＝sin D．y＝cos
解析 y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin＝cos 2x是偶函数，y＝cos＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π．
答案 D
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f等于( )
A．－ B．
C．－ D．
解析 f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝f()＝sin＝．
答案 D
【迁移1】 若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
解 f()＝f(－π)＝f()＝f(－π)＝f(－)＝－f()＝－sin＝－．
【迁移2】 若将例3(2)题条件不变，求f＋f的值．
解 f()＝f(672π＋)＝f()＝sin＝，
f()＝f(672π＋)＝f()＝f(－)＝f()＝sin＝，
所以f()＋f()＝＋＝．
规律方法 三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个．
【训练3】 若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，则f＝________．
解析 f(－)＝f(－＋3π)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1．
答案 1
课堂达标
1．函数f(x)＝sin的最小正周期为( )
A．4π B．2π C．π D.
解析 由题意T＝＝π，故选C.
答案 C
2．函数f(x)＝cos(x－)的周期是( )
A．3 B．3π
C．6 D．6π
解析 T＝＝6．
答案 C
3．函数y＝sin(ωx＋)的最小正周期为2，则ω的值为________．
解析 T＝＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π．
答案 ±π
4．函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝，则f(22)＝________．
解析 f(22)＝f(22－20)＝f(2)＝．
答案
5．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin (2)f(x)＝x·cos x．
解 (1)f(x)的定义域是R，且f(x)＝sin＝－cosx，
所以f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数．
(2)f(x)的定义域是R，又f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
课堂小结
1．求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T．
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|．
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝．
2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性．
基础过关
1．函数f(x)＝x＋sin x，x∈R( )
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
解析 由f(－x)＝－x－sin x＝－(x＋sin x)＝－f(x)可知f(x)是奇函数．
答案 A
2．下列函数中，周期为2π的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝|sin | D．y＝|sin 2x|
解析 y＝sin 的周期为T＝＝4π；
y＝sin 2x的周期为T＝＝π；
y＝|sin |的周期为T＝2π；
y＝|sin 2x|的周期为T＝．
故选C．
答案 C
3．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
解析 f＝f＝f＝－f＝－1．
答案 B
4．若函数f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，则φ＝________．
解析 由诱导公式得若f(x)是偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z．
答案 ＋kπ，k∈Z
5．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式为________．
解析 当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，
又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－sin x，
即f(x)＝
答案 f(x)＝
6．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝．
解 (1)x∈R，f(x)＝cos(＋2x)cos(π＋x)
＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x．
∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x
＝－f(x)．
∴y＝f(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，
∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0．
∴f(x)＝＋的定义域是R．
∵f(－x)＝＋，
＝＋＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数．
(3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x≠0，
∴x∈R且x≠kπ，k∈Z．
∴定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴该函数是奇函数．
7．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．
解 x∈时，3π－x∈，
∵x∈时，f(x)＝1－sin x，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x．
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈．
能力提升
8．函数y＝的奇偶性为( )
A．奇函数
B．既是奇函数也是偶函数
C．偶函数
D．非奇非偶函数
解析 由题意知，当1－sin x≠0，
即sin x≠1时，
y＝＝|sin x|，
所以函数的定义域为，
由于定义域不关于原点对称，
所以该函数是非奇非偶函数．
答案 D
9．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于( )
A．1 B．
C．0 D．－
解析 f＝f(－＋×3)＝f＝sin＝．
答案 B
10．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②存在φ，使f(x)是偶函数；
③存在φ，使f(x)是奇函数；
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中错误的是________(填序号)．
解析 φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数．
φ＝时，f(x)＝cos x是偶函数．
答案 ①④
11．设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝________．
解析 ∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6．
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)
＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)
＝336
＋f(336×6＋1)＝336×0＋f(1)＝sin ＝．
答案
12．判断函数f(x)＝ln(sin x＋)的奇偶性．
解 ∵sin x＋≥sin x＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，
∴对x∈R都有sin x＋>0．
∵f(－x)＝ln(－sin x＋)
＝ln(－sin x)＝ln(＋sin x)－1
＝－ln(sin x＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
13．(选做题)已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．
解 当x∈时，
g(x)＝f＝cos．
因为x＋∈，
所以由g(x)＝解得x＋＝－或，
即x＝－或－．
又因为g(x)的最小正周期为π．
所以g(x)＝的解集为
．
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
学习目标 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(重点).2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小(重、难点).3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间(重点)．
知识点 正弦函数、余弦函数的图象和性质(表中k∈Z))
正弦函数
余弦函数
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ]上递增，在[＋2kπ，＋2kπ]上递减
在[－π＋2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，π＋2kπ]上递减
最值
x＝＋2kπ时ymax＝1；x＝－＋2kπ时，ymin＝－1
x＝2kπ时，ymax＝1；x＝π＋2kπ时，ymin＝－1
【预习评价】
1．在下列区间中，使y＝sin x为增函数的是( )
A．[0，π] B．[，]
C．[－，] D．[π，2π]
解析 因为函数y＝sin x的单增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，故当k＝0时，即为[－，]，故选C．
答案 C
2．函数y＝2－sin x取得最大值时x的值为________．
解析 当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，函数y＝2－sin x的最大值为3．
答案 －＋2kπ(k∈Z)
题型一 正弦函数、余弦函数的单调性
【例1】 (1)下列函数，在[，π]上是增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x
解析 对于函数y＝cos 2x，令π＋2kπ≤2x≤2π＋2kπ，(k∈Z)，
即＋kπ≤x≤π＋kπ (k∈Z)，
故y＝cos 2x的单增区间是[＋kπ，π＋kπ](k∈Z)，则当k＝0时单增区间为[，π]，故选D．
答案 D
(2)求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
解 y＝1＋sin＝－sin＋1．
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．
解得4kπ－≤x≤4kπ＋π(k∈Z)．
又∵x∈[－4π，4π]，
∴函数y＝1＋sin(－x＋)的单调减区间为
[－4π，－]，[－，]，[，4π]．
规律方法 单调区间的求法
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数，
(1)当A>0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；放入y＝sin x或y＝cos x的单调减区间内，可求得函数的减区间．
(2)当A<0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的减区间；放入y＝sin x或y＝cos x的单调减区间内，可求得函数的增区间．
提醒 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，把ωx＋φ看作一个整体，借助y＝sin x的单调区间来解决．当A<0或ω<0时，要注意原函数的单调性与y＝sin x的单调性的关系．
【训练1】 求函数f(x)＝2cos(2x－)的单调增区间．
解 令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
题型二 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小
【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 与cos ；
(2)cos与cos.
解 (1)sin ＝sin(π＋)＝－sin ，
cos ＝cos(π－)＝－cos ＝－sin ，
∵0＜＜＜，且y＝sin x在[0，]上是增函数
∴sin 从而－sin >－sin ，即sin >cos .
(2)cos＝cos π＝cos(4π＋π)＝cos π，
cos＝cos π＝cos＝cos ．
∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos π规律方法 比较三角函数值的大小的步骤
(1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数．
(2)依据诱导公式把角化到属于同一个单调增(减)区间．
(3)依据三角函数的单调性比较大小后写出结论．
【训练2】 比较下列各组数的大小：
(1)sin与sin；
(2)cos 870°与sin 980°．
解 (1)sin＝sin＝sin，
sin＝sin＝sin ，
∵y＝sin x在上是增函数，
∴sin(2)cos ＝cos(4π＋)＝cos ，sin ＝sin(4π＋)＝sin ＝sin(＋)＝cos ，
∵0＜＜＜π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos >cos ，即cos >sin .
考查
方向
题型三 正弦函数、余弦函数的最值问题
方向1 正弦函数、余弦函数的值域问题
【例3-1】 函数f(x)＝cos(2x＋)，x∈[－，0]的值域为________．
解析 ∵－≤x≤0，
∴－≤2x＋≤，
∴－≤cos(2x＋)≤1，
故－1≤cos(2x＋)≤，
即f(x)的值域是[－1，]．
答案 [－1，]
方向2 与正、余弦函数有关的复合函数的值域问题
【例3-2】 函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
解析 f(x)＝sin2x＋cos x－，
f(x)＝1－cos2x＋cos x－，
令cos x＝t且t∈[0，1]，
则y＝－t2＋t＋
＝－＋1，
则当t＝时，f(x)取最大值1.
答案 1
方向3 含参数的最值问题
若函数y＝a－bcos x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝
－4acos bx的最值和最小正周期．
解 ∵y＝a－bcos x(b>0)，
∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－．
由解得
∴y＝－4acos bx＝－2cos x，
所以函数y=－4acos bx的最大值为2，最小值为-2,最小正周期为2π.
规律方法 求三角函数值域或最值的常用方法
(1)可化为单一函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k，其最大值为|A|＋k，最小值－|A|＋k(其中A，ω，k，φ为常数，A≠0，ω≠0)．
(2)可化为y＝Asin2x＋Bsin x＋C或y＝Acos2x＋Bcos x＋C(A≠0)，最大值、最小值可利用二次函数在定义域上的最大值、最小值的求法来求(换元法)．
课堂达标
1．y＝2sin(3x＋)的值域是( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．[－1,1]
解析 因为sin(3x＋)∈[－1,1]，所以y∈[－2,2]．
答案 A
2．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°C．sin 11°解析 因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，又因为函数y＝sin x在[0，]上单调递增，所以sin 11°答案 C
3．函数f(x)＝cos(2x－)的单减区间是________．
解析 令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
即f(x)的单减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
答案 [＋kπ，＋kπ](k∈Z)
4．函数y＝cos(x＋)，x∈[0，]的值域是________．
解析 ∵0≤x≤，
∴≤x＋≤，
∴cos≤cos(x＋)≤cos．
∴－≤y≤，即值域为[－，]．
答案 [－，]
5．求函数y＝3－2sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解 ∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sin x＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
课堂小结
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋
≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数值域或最值的常用方法：
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围．
基础过关
1．函数y＝sin 2x的单调减区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
解析 令＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
则y＝sin 2x的单减区间是[＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
答案 B
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析 因为函数周期为π，所以排除C，D．又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合．故选A．
答案 A
3．函数f(x)＝sin＋cos的最大值为( )
A. B．1
C. D.
解析 cos ＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.
答案 A
4．函数y＝sin(－)取最大值时自变量的取值集合是________．
解析 当－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋4kπ，k∈Z时，函数取最大值．
答案 {x|x＝＋4kπ，k∈Z}
5．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________________________．
解析 ∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3．
y＝sin x在上递增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)即sin 3答案 sin 36．已知函数f(x)＝2cos．
(1)求f(x)的单调递增区间(k∈Z)；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值(k∈Z)．
解 (1)令－π＋2kπ≤3x＋≤2kπ，
可得－＋kπ≤x≤－＋kπ，
故f(x)的单调递增区间是
[－＋kπ，－＋kπ](k∈Z)．
(2)当3x＋＝－π＋2kπ，
即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为－2．
7．求函数y＝cos2x－sin x的值域．
解 y＝cos2x－sin x
＝－sin2x－sin x＋1
＝－2＋．
∵sin x∈[－1,1]，
∴当sin x＝－时，ymax＝；
当sin x＝1时，ymin＝－1．
∴函数y＝cos2x－sin x的值域为．
能力提升
8．若函数y＝sin(π＋x)，y＝cos(2π－x)都是减函数，则x的集合是( )
A．
B．
C．
D．
解析 y＝sin(π＋x)＝－sin x，
y＝cos(2π－x)＝cos x，
对y＝－sin x在(k∈Z)上单调递减．
对y＝cos x在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减．
取两集合的交集，故选A．
答案 A
9．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于( )
A． B．
C．2π D．4π
解析 作出y＝sin x的一个简图，
如图所示，∵函数的值域为[－1，]，
且sin＝sin＝，sin＝－1，
∴定义域[a，b]中b－a的最小值为－＝，
定义域[a，b]中b－a的最大值为2π＋－＝，
故可得，最大值与最小值之和为2π．
答案 C
10．已知α，β为锐角三角形的两个内角，则cos α与sin β的大小关系是________．
解析 因为α，β是锐角三角形的两个内角，故α＋β>，∴α>－β，α∈(0，)，－β∈(0，)，
所以cos α答案 cos α11．若f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________．
解析 ∵x∈，即0≤x≤，且0<ω<1，
∴0≤ωx≤<．
∵f(x)max＝2sin＝，
∴sin＝，＝，
即ω＝．
答案
12．求下列函数的单调增区间：
(1)y＝1－sin ；(2)y＝logcos(－)．
解 (1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z．
∴y＝1－sin 的增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π] (k∈Z)．
(2)要求函数y＝logcos的增区间，即求使y＝cos>0且单调递减的区间．为此，x满足：2kπ≤－<2kπ＋，k∈Z．
整理得4kπ＋≤x<4kπ＋，k∈Z．
∴函数y＝logcos的增区间为
，k∈Z．
13．(选做题)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f(x)≤|f|对x∈R恒成立．且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间．
解 由f(x)≤|f|对x∈R恒成立知，
2·＋φ＝2kπ±(k∈Z)．
∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|<π，得φ＝或φ＝－，
又∵f>f(π)，
∴φ＝－，故f (x)=2sin(2x－)
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．
得f(x)的单调递增区间是[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
1.4.3 正切函数的性质与图象
学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质(重点).2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题(重点、难点)．
知识点 函数y＝tan x的图象和性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域
{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)都是增函数
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝tan x在其定义域上是增函数．( )
(2)函数y＝tan x的图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．( )
(3)函数y＝tan 2x的周期为π.( )
提示 (1)×，y＝tan x在区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函数．
(2)×，y＝tan x图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．
(3)×，y＝tan 2x的周期为．
题型一 正切函数的定义域、值域问题
【例1】 (1)函数y＝3tan(－)的定义域为________；
解析 由－≠＋kπ，得x≠－－4kπ，k∈Z，
即函数的定义域为{x|x≠－－4kπ，k∈Z}．
答案 {x|x≠－－4kπ，k∈Z}
(2)函数y＝tan(2x－)，x∈(－，)的值域是________．
解析 ∵－∴tan(2x－)<1，即函数的值域为(－∞，1)．
答案 (－∞，1)
规律方法 求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z．
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x．
【训练1】 函数y＝tan(sin x)的定义域为______________，值域为______________．
解析 因为－1≤sin x≤1，
所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1，
所以y＝tan(sin x)的定义域为R，
值域为[－tan 1，tan 1]．
答案 R [－tan 1，tan 1]
考查
方向
题型二 正切函数的单调性及应用
方向1 求正切函数的单调区间
【例2-1】 求函数y＝tan(－x＋)的单调区间．
解 y＝tan(－x＋)＝－tan(x－)，
由－＋kπ方向2 比较大小
【例2-2】 比较大小：tan(－)和tan(－)．
解 ∵tan(－)＝－tan(2π－)＝tan，
tan(－)＝－tan(2π－)＝tan．
又0<<<，y＝tan x在(0，)内单调递增，
∴tantan(－)．
规律方法 1.运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
2．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝
－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
【训练2】 比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
解 ∵1<<2<3<π，根据y＝tan x的性质可得：y＝tan x在(0，)上单调递增且大于0，在(，π)上单调递增且小于0，∴tan 20，
∴tan 2题型三 正切函数图象性质的应用
【例3】 (1)函数y＝tan(2x＋)的最小正周期是( )
A．π B．2π
C． D．
解析 最小正周期为T＝＝．
答案 C
(2)画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
解 由y＝|tan x|得，
y＝
其图象如图：
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数．
函数y＝|tan x|的周期T＝π，
函数y＝|tan x|的单调递增区间[kπ，kπ＋)(k∈Z)，
单调递减区间为(kπ－，kπ)(k∈Z)．
规律方法 1.作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
(1)保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；
(2)将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
2．若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
【训练3】 (1)下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是(0，)上的增函数的是( )
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝tan D．y＝|sin x|
解析 由于y＝tan x与y＝tan 是奇函数，但是只有y＝tan x的周期为π，y＝cos x与y＝|sin x|是偶函数．
答案 A
(2)画出f(x)＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．
解 f(x)＝tan|x|化为
f(x)＝
根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan|x|的图象，如图所示，
由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，)，(kπ＋，kπ＋π)(k∈N)；单调减区间为(－，0]，(kπ－π，kπ－)(k＝0，－1，－2，…)．
课堂达标
1．函数f(x)＝tan(x＋)的单调增区间是( )
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
解析 由－＋kπ答案 C
2．函数y＝2tan(－3x＋)的最小正周期是( )
A． B．
C． D．π
解析 T＝＝．
答案 B
3．比较大小：tan________tan．
解析 因为tan>0，tan<0，所以tan>tan．
答案 >
4．函数y＝tan x(≤x≤，且x≠)的值域是________．
解析 函数y＝tan x在[，)上单调递增，在(，]上也是单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)
5．求函数y＝tan 2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．
解 由2x≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋kπ，k∈Z，
即函数的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}，
值域为(－∞，＋∞)，周期为T＝，对应图象如图所示：
课堂小结
1．正切函数的图象
正切函数y=tan x有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质
(1)正切函数y＝tan x的定义域是，
值域是R．
(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0)的周期为T＝．
(3)正切函数在(k∈Z)上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．
基础过关
1．函数y＝2tan(2x＋)的定义域为( )
A．{x|x≠} B．{x|x≠－}
C．{x|x≠＋kπ，k∈Z} D．{x|x≠＋kπ，k∈Z}
解析 由2x＋≠＋kπ，k∈Z,得x≠＋kπ，k∈Z,故函数的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．
答案 D
2．函数y＝tan x＋是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
解析 函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z}，且tan(－x)＋＝－tan x－＝－(tan x＋)，所以函数y＝tan x＋是奇函数．
答案 A
3．函数y＝lg tan x的增区间是( )
A．(k∈Z) B．(k∈Z)
C．(k∈Z) D．(kπ，kπ＋π)(k∈Z)
解析 由tan x>0，得kπ答案 B
4．函数y＝3tan的对称中心的坐标是________．
解析 由x＋＝ (k∈Z)，得x＝－ (k∈Z)．
∴对称中心坐标为 (k∈Z)．
答案 (k∈Z)
5．比较大小：tan(－)________tan(－)．
解析 tan(－)＝tan，tan(－)＝tan，
又y＝tan x在(，π)内单增，
所以tan即tan(－)答案 <
6．求函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域．
解 ∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1．
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5．
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4．
故所求函数的值域为[－4,4]．
7．设函数f(x)＝tan，
(1)求函数f(x)的周期、对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
解 (1)∵ω＝，
∴周期T＝＝＝2π．
令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝．
令－＝，则x＝．
令－＝－，则x＝－．
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
能力提升
8．已知函数y＝tan ωx在(－，)内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
解析 ∵y＝tan ωx在(－，)内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π．
∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0．
答案 B
9．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是( )
解析 当当x＝π时，y＝0；当πsin x，y＝2sin x．故选D．
答案 D
10．函数y＝tan(＋)，x∈[0，)∪(，π]的值域为________．
解析 ∵x∈[0，)∪(，π]，
∴＋∈[，)∪(，]，
令t＝＋，
由y＝tan t，t∈[，)∪(，]的图象(如图所示)．
可得，所求函数的值域为(－∞，－]∪[，＋∞)．
答案 (－∞，－]∪[，＋∞)
11．若tan(2x－)≤1，则x的取值范围是________．
解析 由题意可得－＋kπ<2x－≤＋kπ，k∈Z，解之得－＋kπ答案 { x|－＋kπ12．有两个函数f(x)＝asin，g(x)＝btan(k>0)，它们的周期之和为，且f＝g，f＝－·g＋1.求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间．
解 根据题意，可得：
解得
故f(x)＝sin，g(x)＝tan．
当kπ－<2x－即－所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
13．(选做题)函数y＝sin x与y＝tan x的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？
解 因为当x∈时，tan x>x>sin x，
所以当x∈时，y＝sin x与y＝tan x没有公共点，因此函数y＝sin x与y＝tan x在区间[0,2π]内的图象如图所示：
观察图象可知，函数y＝tan x与y＝sin x在区间[0,2π]上有3个交点．
§1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
学习目标 1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(重点).2.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对其图象的影响(重点).3.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤(重点、易错点)．
知识点1 φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把函数y＝sin x的图象向右平移2个单位得到函数y＝sin(x＋2)的图象．( )
(2)函数y＝cos(x－)的图象是由函数y＝cos x的图象向右平移个单位得到的．( )
(3)把函数y＝sin x的图象向左平移2π个单位后得到的图象与原图象重合．( )
提示 (1)×，应得到y＝sin(x－2)的图象．
(2)√，由平移的规律可知其正确．
(3)√，因为y＝sin(x＋2π)＝sin x，故两图象重合．
知识点2 ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin(2x＋)的图象．( )
(2)要得到函数y＝sin(－x＋)的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向左平移个单位得到．( )
(3)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin 2x的图象．( )
提示 (1)×，得到y＝sin 2(x＋)＝sin(2x＋)的图象．
(2)×，y＝sin[－(x－)]，故要得到y＝sin(－x＋)的图象，可把函数y＝sin(－x)的图象向右平移个单位．
(3)×，应得到y＝sinx的图象．
知识点3 A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
【预习评价】
把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到________的图象．
答案 y＝6sinx
题型一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象
【例1】 (1)已知函数y＝sin利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)说明该函数的图象是由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的．
解 (1)先列表，后描点并画图.
x＋
0
π
2π
X
－
Y
0
1
0
－1
0
(2)把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x＋)的图象．
或把y＝sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin x的图象，再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin [(x＋)]，即y＝
sin(x＋)的图象．
规律方法 1.“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
2．用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表.
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
f(x)
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
【训练1】 请用“五点法”画出函数y＝sin(2x－)的图象．
解 令X＝2x－，则x变化时，y的值如下表：
X
0
π
2π
x
y
0
0
－
0
描点画图：
将函数在上的图象向左、向右平移即得y＝sin(2x－)的图象．
题型二 三角函数的图象的平移变换
【例2】 (1)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
(2)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析 (1)函数y＝2sin的周期为T＝＝π，向右平移个周期，即向右平移后，得到图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D．
(2)y＝sin 2x＝cos＝cos
＝cos＝cos．
若设f(x)＝sin 2x＝cos ，
则f＝cos，∴向左平移个单位．
答案 (1)D (2)A
规律方法 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：
(1)将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A，ω及名称相同的结构．
(2)找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为．
(3)明确平移的方向．
【训练2】 将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．
解析 将函数y＝cos(2x＋)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝cos[2(x＋)＋]＝cos(2x＋π)＝－cos 2x，再向下平移3个单位，所得图象对应的函数为y＝－cos 2x－3．
答案 y＝－cos 2x－3
题型三 三角函数图象的伸缩变换
【例3】 (1)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析 C1：y＝cos x，C2：y＝sin，首先曲线C1，C2统一三角函数名，可将C1：y＝cos x用诱导公式处理．y＝cos x＝sin.
即y＝sin
y＝sin＝sin 2
y＝sin 2＝sin 2
答案 D
(2)将函数f(x)＝cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g＝________．
解析 将函数f(x)＝cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的解析式为y＝2cos 2x，则g(x)＝2cos 2(x＋)＝2cos(2x＋)，故g()＝2cos(2×＋)＝－2．
答案 －2
规律方法 三角函数图象伸缩变换的方法
方法一：y＝A1sin ω1x
y＝A2sin ω1xy＝A2sin ω2x．
方法二：y＝A1sin ω1x
y＝A1sin ω2xy＝A2sin ω2x．
【训练3】 说明y＝2sin(2x＋)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．
解 方法一 把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．
方法二 将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象．
课堂达标
1．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为( )
A．2 B．
C．4 D．
解析 由题意可知得到图象的解析式为y＝cosx，所以ω＝．
答案 B
2．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析 y＝cos＝sin
＝sin＝sin．
由题意知，要得到y＝sin的图象，
只需将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度．
答案 A
3．将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的解析式为________．
解析 由题意得所得图象对应的解析式为y＝cos 2(x－)＝cos(2x－)．
答案 y＝cos(2x－)
4．利用“五点法”作函数y＝2sin(2x－)的图象时，所取的五个点的坐标为________________．
解析 令2x－＝0，，π，，2π得x＝，，，，，故五个点的坐标是(，0)，(，2)，(，0)，(，－2)，(，0)．
答案 (，0)，(，2)，(，0)，(，－2)，(，0)
5．已知函数f(x)＝3sin(＋)＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的简图．
解 (1)列表：
＋
0
π
2π
X
－
f(x)
3
6
3
0
3
(2)描点画图：
课堂小结
1．由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很容易出错的地方，应特别注意．
2．类似地，y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到．
基础过关
1．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
解析 ∵y＝sin＝sin 2，
∴需要将y＝sin 2x的图象向右平移个单位得到y＝sin的图象．
答案 D
2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是( )
A．非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数 D．偶函数
解析 y＝sin图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象，y＝－cos 2x是偶函数．
答案 D
3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析 对B选项，f(x)＝sin(6x＋φ)，
图象向左平移个单位得：y＝sin
＝sin(6x＋φ＋π)＝－sin(6x＋φ)图象．
答案 B
4．定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．
解析 作出函数y＝sin 2x与y＝cos x的图象(如图所示)，由图可知，二者有7个交点．
答案 7
5．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，则φ＝________．
解析 将函数y＝sin x的图象向左平移φ个单位后，得y＝sin(x＋φ)的图象，而y＝sin(x－)＝sin(x＋)，所以φ＝．
答案
6．函数f(x)＝5sin－3的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
解 先把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得y＝sin的图象；再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图象；然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y＝5sin的图象，最后将所得函数图象向下平移3个单位长度，得函数y＝5sin－3的图象(答案不唯一)．
7．已知函数f(x)＝3sin，x∈R．
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图．
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
解 (1)函数f(x)的周期T＝＝4π.
由x－＝0，，π，，2π，解得x＝，，，，．
列表如下：
x
x－
0
π
2π
3sin
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．图象如下：
(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位长度，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，得到f(x)的图象．
能力提升
8．给出几种变换：
①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
②横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变；
③向左平移个单位长度；
④向右平移个单位长度；
⑤向左平移个单位长度；
⑥向右平移个单位长度．
则由函数y＝sin x的图象得到y＝sin的图象，可以实施的方案是( )
A．①→③ B．②→③
C．②→④ D．②→⑤
解析 y＝sin x的图象y＝sin 2x的图象y＝sin的图象．
答案 D
9．将函数y＝sin图象上的点P向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则( )
A．t＝，s的最小值为 B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为 D．t＝，s的最小值为
解析 将x＝代入得，t＝sin＝，将函数y＝sin(2x－)图象上的点P向左平移s个单位，得到P′(－s，)，若P′位于函数y＝sin 2x的图象上，则sin(－2s)＝cos 2s＝，则2s＝±＋2kπ，k∈Z，解得s＝±＋kπ，k∈Z，由s>0得：当k＝0时，s的最小值为．
答案 A
10．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________．
解析 y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin图象，再对每一点横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin的图象即为f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象，∴f(x)＝sin(x＋)，f()＝．
答案
11．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为________．
解析 平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，图象关于x＝对称，∴2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－π－(k∈Z)，又∵φ>0，
∴当k＝－1时，φ的最小值为．
答案
12．作图并求值：利用五点作图法画出函数y＝2sin，x∈的图象，并写出图象在直线y＝1上方所对应的x的取值范围．
解 因为x∈，
所以0≤2x－≤2π，
列表如下：
2x－
0
π
2π
x
2sin
0
2
0
－2
0
描点作图如下：
由y＝2sin(2x－)>1得：
sin>，又2x－∈[0,2π]，所以<2x－<，解得：13．(选做题)已知函数f(x)＝sin (x∈R).
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．
解 (1)由已知函数化为y＝－sin.欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π (k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为 (k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos 2．
∵y＝cos 2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位即可．
§1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
学习目标 1.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式(重点、难点).2.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．
知识点1 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
【预习评价】
函数y＝sin(3x－)的振幅为________，周期为________，频率为________．
答案
知识点2 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
对称性
对称中心(k∈Z)
对称轴
x＝＋(k∈Z)
奇偶性
当φ＝kπ (k∈Z)时是奇函数;
当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数
单调性
由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间;
由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间
【预习评价】
函数f(x)＝sin(x－)的图象的对称轴方程是________．
解析 令x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，
即f(x)的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z．
答案 x＝＋kπ，k∈Z
题型一 由图象求三角函数的解析式
例1 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．
解 方法一 (逐一定参法)：
由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，
∴y＝3sin(2x＋φ)．
∵点在函数图象上，∴0＝3sin.
∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
∵|φ|＜，∴φ＝.∴y＝3sin.
方法二 (待定系数法)：
由图象知A＝3.∵图象过点和，
∴解得
∴y＝3sin.
方法三 (图象变换法)：
由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin 2，即y＝3sin.
规律方法 已知图象求y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
方法一：如果从图象直接确定A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ.
方法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
方法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数．
【训练1】 若函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
解析 由所给图象可知，＝2，∴T＝8．
又∵T＝，∴ω＝．
∵图象在x＝1处取得最高点，∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∵0≤φ<2π，∴φ＝．
答案 C
题型二 三角函数图象的对称性
【例2】 (1)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
解析 将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应函数的解析式为y＝2sin 2(x＋)＝2sin(2x＋)，由2x＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z．
答案 B
(2)在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．
解析 由4x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋kπ，k∈Z，所以当k＝1时，x＝－＝，即(，0)离原点最近．
答案 (，0)
规律方法 三角函数对称轴、对称中心的求法
对称轴
对称中心
y＝Asin(ωx＋φ)
令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)
令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Acos(ωx＋φ)
令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)
令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标
y＝Atan(ωx＋φ)
无
令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标
【训练2】 函数f(x)＝2cos(2x－)的对称中心的坐标是________．
解析 令2x－＝＋kπ，k∈Z，可解得x＝＋kπ，k∈Z．
即所求函数的对称中心的坐标是(＋kπ，0)(k∈Z)．
答案 (＋kπ，0)(k∈Z)
考查
方向
题型三 三角函数性质的综合应用
方向1 三角函数的奇偶性
【例3-1】 将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A． B．
C．0 D．－
解析 将函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到y＝sin(2x＋φ＋)的图象，因为它是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝．
答案 B
方向2 三角函数的单调性
【例3-2】 若f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在区间上为增函数，则ω的最大值为________.
解析 ∵f(x)＝sin 2ωx＋1(ω>0)在区间[－，]上为增函数，可得－·2ω≥2kπ－，k∈Z，且·2ω≤2kπ＋，k∈Z，求得ω≤，故ω的最大值为．
答案
方向3 三角函数的最大(小)值问题
【例3-3】 已知方程2sin(2x＋)－1＝a，x∈[－，]有两解，求a的取值范围．
解 由题意2sin(2x＋)＝a＋1．
令y＝2sin(2x＋)，y＝a＋1，
作出函数y＝2sin(2x＋)在[－，]上的图象如图．
显然要使y＝a＋1与图象有两个交点，
只须－2即－3∴a的取值范围是{a|－3规律方法 1.正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数．
2．与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦型函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
课堂达标
1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是( )
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
解析 由题意得振幅为，周期为T＝＝6π，初相是．
答案 B
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是( )
A．A＝3，T＝ B．A＝3，T＝
C．A＝，T＝ D．A＝，T＝
解析 由题图可知A＝(3－0)＝，设周期为T，则T＝－(－)＝，得T＝．
答案 D
3．简谐运动y＝sin(x－2)的频率f＝________．
解析 f＝＝．
答案
4．若f(x)＝cos(2x＋＋φ)(|φ|<)是奇函数，则φ＝________．
解析 由题意可知＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z．
又|φ|<，故当k＝0时，得φ＝．
答案
5．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤)上最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6,0)．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在x∈[－6,0]上的值域．
解 (1)由题意可知A＝，＝6－2＝4，
∴T＝16.即＝16，∴ω＝，∴y＝sin(x＋φ)．
又图象过最高点(2，)，∴sin(×2＋φ)＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，
由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin(x＋)．
(2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin(x＋)≤1．
即函数在x∈[－6,0]上的值域为[－，1]．
课堂小结
1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|．
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的水平距离为T．
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
基础过关
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析 由题意知f(0)＝2sin φ＝1，又|φ|<，所以φ＝，T＝＝6.故选A．
答案 A
2．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
解析 由图知T＝4×＝π，
∴ω＝＝2.又x＝时，
y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．
答案 D
3．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析 函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误．
答案 D
4．把函数y＝2sin(x＋)的图象向左平移m个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小正值是________．
解析 把y＝2sin(x＋)的图象向左平移m个单位，
则y＝2sin(x＋m＋)，其图象关于y轴对称，
∴m＋＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ－，k∈Z．
∴取k＝1，m的最小正值为．
答案
5．已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________．
解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为
2＝，∴＝，∴ω＝．
∵当x＝时，y有最小值－1，
∴×＋φ＝2kπ－ (k∈Z)．
∵－π≤φ<π，∴φ＝．
答案
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；
(2)求函数f(x)的解析式及单调递增区间．
解 (1)由题图知T＝－(－)＝，∴T＝π，最大值为1，最小值为－1．
(2)由(1)知ω＝＝2.又2×(－)＋φ＝2kπ，∴k∈Z,解得φ=2kπ+，k∈Z又-＜φ＜，φ＝，A＝1.则f(x)＝sin(2x＋)，由图知f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
7．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1．
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调递增区间．
解 (1)当x∈时，2x＋∈，
sin∈．
再由函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，可得b≤f(x)≤3a＋b．
再根据－5≤f(x)≤1，可得b＝－5，且3a＋b＝1，所以a＝2，b＝－5．
(2)由(1)可得，
f(x)＝－4sin－1，故g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1．
由lg g(x)>0，可得g(x)>1，
所以sin>，
所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，解得kπ再根据2kπ－<2x＋<2kπ＋，k∈Z，可得kπ－综合①②可得，函数g(x)的增区间为，k∈Z．
能力提升
8．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a等于( )
A． B．－
C．1 D．－1
解析 方法一 ∵函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于x＝－对称，
设f(x)＝sin 2x＋acos 2x，则f(－)＝f(0)，
∴sin(－)＋acos(－)＝sin 0＋acos 0．
∴a＝－1．
方法二 由题意得f(－－x)＝f(－＋x)，
令x＝，有f(－)＝f(0)，即a＝－1．
答案 D
9．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析 由题意其中k1，k2∈Z，所以ω＝(k2－2k1)－，又T＝>2π，
所以0<ω<1，所以ω＝，φ＝2k1π＋π，由|φ|<π得φ＝，故选A.
答案 A
10．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f()＝－，则f(0)＝________．
解析 由题图可知＝－＝，T＝，
则可补全函数图象可得f=0，
故f为函数的一个中心对称点，?
所以得f(0)＝－f()＝．
答案
11．关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图象关于中心对称；
④y＝f(x)图象关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为________．
解析 对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ (k∈Z)，
∴x＝π－ (k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin利用诱导公式得：
f(x)＝4cos＝4cos.∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝π－，k∈Z．
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，∴④错．
答案 ②③
12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
解 (1)由题意作出f(x)的简图如图．
由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，
∴4π＝，即ω＝，
∴f(x)＝2sin(x＋φ)，
∴f(0)＝2sin φ＝1，
又∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin．
∵f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z．
∴x0＝4kπ＋，k∈Z，
又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，
∴x0＝．
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(3)∵－π≤x≤π，
∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴－≤f(x)≤2，
故f(x)的值域为[－，2]．
13．(选做题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求方程f(x)－lg x＝0的解的个数．
解 (1)由题图，知A＝2，
由函数图象过点(0,1)，得f(0)＝1，即sin φ＝，
又|φ|<，所以φ＝．
易知点是五点作图法中的第五点，所以ω＋＝2π，所以ω＝2．
因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin．
(2)在同一平面直角坐标系中作函数y＝f(x)和函数y＝lg x的图象如图所示．
因为f(x)的最大值为2，
令lg x＝2，得x＝100，
令＋kπ<100(k∈Z)，
得k≤30(k∈Z)．
而＋31π>100，
且＋30π＋<100，
所以在区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间．
在每个区间上y＝f(x)与y＝lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31＝62(个)交点．
另外，两函数的图象在上还有一个交点，
所以方程f(x)－lg x＝0共有63个实数解．
§1.6 三角函数模型的简单应用
学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题(重点、难点).2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型(重点)．
知识点 三角函数的应用
1．根据实际问题的图象求出函数解析式．
2．三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型，因此可将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
3．利用搜集的数据，作出散点图，通过观察散点图进行函数拟合而得到函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
【预习评价】
一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm．
解析 T＝＝1，
∴ ＝2π，
∴l＝．
答案
题型一 三角函数图象与解析式的对应问题
【例1】 (1)已知函数y＝sin ax＋b(a>0)的图象如图所示，则函数y＝loga(x＋b)的图象可能是( )
解析 由函数的图象可得02π－π，
∴0答案 C
(2)如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为( )
解析 通过分析可知当t＝0时，点P到x轴的距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当t＝时，可知点P在x轴上，此时点P到x轴的距离d为0，排除答案B，故选C．
答案 C
规律方法 解决函数图象与解析式对应问题的策略
(1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．
(2)利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般要求|φ|中最小的φ．
【训练1】 函数y＝ln(cos x)的大致图象是( )
解析 设f(x)＝ln(cos x)，由f(－x)＝f(x)知y＝ln(cos x)是偶函数，其图象关于y轴对称，可排除B，D，又当－答案 A
题型二 三角函数在物理学中的应用
【例2】 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解 (1)由题图知A＝300，设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝．
∴ω＝＝150π．
又当t＝时，I＝0，即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝．
故所求的解析式为I＝300sin．
(2)依题意，周期T≤，
即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943．
规律方法 处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
【训练2】 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：厘米)与时间t(单位：秒)的函数关系是：S＝6sin(2πt＋)．
(1)画出它一个周期的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)周期T＝＝1(秒)．
列表：
T
0
1
2πt＋
π
2π
2π＋
6sin(2πt＋)
3
6
0
－6
0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 厘米．
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6厘米．
③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期)．
题型三 三角函数在实际生活中的应用
【例3】 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解 (1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝，所以y＝40.5－40cost(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米．由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8，所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
规律方法 解三角函数应用问题的基本步骤
【训练3】 一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
解析 设y＝Asin(ωx＋φ)，则从表中可以得到 A＝4，T＝0.8，ω＝＝，又由4sin φ＝－4.0，可得sin φ＝－1，即φ＝－，故y＝4sin(t－)，即y＝－4cost．
答案 y＝－4cost
课堂达标
1．函数y＝|sin(x＋)|的最小正周期为( )
A．2π B．π
C．4π D．
解析 易知函数y＝sin(x＋)的周期为4π，故y＝|sin(x＋)|的最小正周期为×4π＝2π．
答案 A
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析 由题意可知当sin(x＋φ)取最小值－1时，
函数取最小值ymin＝－3＋k＝2，得k＝5，
∴y＝3sin(x＋φ)＋5，当sin(x＋φ)取最大值1时，
函数取最大值ymax＝3＋5＝8．
答案 C
3．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为( )
A．5 A B．2.5 A
C．2 A D．－5 A
解析 当t＝时，I＝5sin(100π×＋)＝5sin(＋)＝5cos＝＝2.5 A．
答案 B
4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos (x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃．
解析 由题意得
∴
∴y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5．
答案 20.5
5．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m．
解 (1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0)．
(2)由10sint＋12≥17，
得sint≥，
则≤t≤.
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m．
课堂小结
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
基础过关
1．函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝
C．f(x)＝x cos x D．f(x)＝x··
解析 由题图象可知f(x)是奇函数，可排除选项D，又f()＝0，可排除A，f(0)＝0，可排除B，故选C．
答案 C
2．如图所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为β＝1°，当θ很小时，可取sin θ≈θ，试估算气球的高BC的值约为( )
A．70 m B．86 m
C．102 m D．118 m
解析 AC＝＝≈×180≈172(m)，又∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝86 m．
答案 B
3．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
解析 设所对的圆心角为α，则α＝l，
弦AP的长d＝2·|OA|·sin，
即有d＝f(l)＝2sin ．
答案 C
4．已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动________次．
解析 据I＝5sin(100πt－)知ω＝100π rad/s，
该电流的周期为T＝＝＝0.02 s，
则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次数为
n＝2·＝2× s＝50(次)．
答案 50
5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60]．
解析 将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，
可得ω＝，所以d＝10sin ．
答案 10sin
6．如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(0<φ<)．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解 (1)最大用电量为50万kW·h，
最小用电量为30万kW·h．
(2)观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40．
∵×＝14－8，
∴ω＝.∴y＝10sin＋40．
将x＝8，y＝30代入上式，
又∵0<φ<，∴解得φ＝．
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
7．已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b．
(1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解 (1)由表中数据知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5．
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0．
∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1．
(2)由题意知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴cos t＋1>1，
∴cos t>0，∴2kπ－即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，
得0≤t<3或9∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00．
能力提升
8．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
解析 设动点A与x轴正方向夹角为α，则t＝0时，α＝，每秒钟旋转，在t∈[0,1]上，α∈[，]，在[7,12]上α∈[，]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的，故选D．
答案 D
9．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
解析 由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故选C．
答案 C
10．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
解析 由T＝＝4可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x≤1时函数单调递减，1答案 7
11．设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则f()的值为________．
解析 取K，L中点N，则MN＝，
因此A＝.由T＝2得ω＝π．
∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝cos πx，∴f()＝cos ＝．
答案
12．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
解 (1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0,0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500．
根据上述分析可得，＝12，
故ω＝，且解得
根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，
当x＝8时，f(x)最大，
故sin＝－1，且sin＝1．
又因为0<|φ|<π，故φ＝－．
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sin＋300．
(2)由条件可知，200sin＋300≥400，化简得
sin≥?2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z．
因为x∈N*，且1≤x≤12，所以x＝6,7,8,9,10．
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．
13．(选做题)下表是某地某年月平均气温(华氏)：
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴．
(1)用正弦曲线去拟合这些数据；
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；
(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？
①＝cos；②＝cos；③＝cos．
解 (1)如图．
(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，
故＝7－1＝6，所以T＝12．
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，
即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8．
(3)因为x＝月份－1，
所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0．
代入①，得＝>1≠cos，故①不适合；代入②，得＝<0≠cos，故②不适合．所以应选③．
