第1课时 集合的含义与表示
【双向目标】
课程目标
学科素养
A理解集合的概念及其三要素，理解用描述法表示集合的特点
B判断元素与集合间的“属于”与“不属于”关系，利用互异性判断元素的值
C. 能用集合语言表示一些实际生活中的集体性问题，会利用集合对实际生活的问题进行分类
a数学抽象：数学集合概念的理解、描述法表示集合的方法
b逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用
c数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算
d 直观想象：利用数轴表示数集、集合的图形表示
e 数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识1：元素与集合的概念
1.元素：一般地，我们把研究的对象称为元素.
2.集合：把一些元素组成的总体统叫作集合（简称为集）
3.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性。
知识2：元素与集合的关系
集合通常用大写字母表示，如A,B,C,…,元素用小写字母表示，如a,b,c,…,元素和集合之间的专用符号是属于（∈）或不属于（）,
知识3．常用数集及表示符号
自然数集（或非负整数集），记作：N；
（注意：0是自然数）
正整数集，记作：N+或N*。
整数集，记作：Z；
理数集，记作：Q；
称实数集，记作：R。
知识4：集合常用的表示法有
(1) 列举法:在大括号内把集合的元素一一列举出来，特点是适用于元素的个数较少的集合；
（2）描述法：用集合元素的属性表示集合，其一般形式是{x|x所具有的属性}；
（3）图形法：用韦恩图或数轴表示集合，?
如
1下列对象能组成集合的是( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
2.?若且
,则???????
3.?若一个集合中的三个元素a,b，c是△ABC的三边长， 则此三角形一定不是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.下列说法中:①集合N与集合N＋是同一个集合 ②集合N中的元素都是集合Z中的元素 ③集合Q中的元素都是集合Z中的元素 ④集合Q中的元素都是集合R中的元素
其中正确的有________．
5.已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值 ．
6.已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________．
基础过关参考答案：
1. 【解析】对A，“著名”无明确标准；对B，“快”的标准不确定；对D，“高”的标准不确定，因而A、B、D均不能组成集合．而对C，上海市的中学生是确定的，能组成集合．
【答案】C
2.【解析】 ：因为，所以，又，所以
【答案】1
3.【解析】：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．
【答案】D
【答案】{1}
【能力素养】
探究一 集合含义的考查
集合是由元素构成的，因而分析集合问题，常常从元素入手。
例1．判断下列表述是否正确，并说明理由．
（1）某个班级中年龄较小的男生组成一个集合；
（2）Z={全体整数}；
（3）集合{1，2}与{2，1}相等；
（4）集合{（1，2）}与{1，2}相等.
【分析】根据集合的有关概念进行判断.
【解析】（1）不正确，年龄较小的标准不明确，所以某个班级中年龄较小的男生不能组成一个集合.
（2）不正确，“{}”就包含了所有的含义，应写成Z={整数}.
（3）正确，根据集合中元素的无序性，可知集合{1，2}与{2，1}相等.
（4）不正确，集合{（1，2）}表示直角坐标平面上的一个点（1，2），而{1，2}是1，2的集合，它们是不可能相等的.
【点评】（1）确定性是判断一组对象能否组成集合的标准.
（2）判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性.
（3）集合符号“{}”已包含“所有”的意思，因而大括号内的文字描述不应再用“全体”“所有”“全部”或“集”等词语.
【变式训练】
1.下列所给的对象能构成集合的是
①所有的正三角形；
②比较接近1的数的全体；
③某校高一年级所有16岁以下的学生；
④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；
⑤所有参加2012年伦敦奥运会的年轻运动员；
⑥的近似值的全体.
【答案】①③④
2.下列各组对象能组成一个集合吗？请判断并说明理由.
（1）所有很大的实数；
（2）好心的人；
（3）方程在实数范围内的解；
（4）中国古代的四大发明；
（5）小于18的既是奇数又是质数的正实数；
（6）高一新生中数学成绩较好的同学；
（7）立方接近零的正数；
（8）2012年伦敦奥运会的所有比赛项目.
【解析】一组对象能否组成集合主要看这组对象是否能确定，只要研究对象是确定的，就可以构成集合，否则就不能组成集合.
探究二 元素与集合之间的关系的应用
元素与集合间的关系有两种关系即；属于“”和不属于“”，分析时需准确把握集合中所含的元素。
例2：设集合．
（1）试判断元素1和2与集合的关系；
（2）用列举法表示集合
【分析】（1）令，，判断是否成立，从而判断，是否成立．（2）令分别取自然数，代入逐一确定的值，得集合．
【解析】（1）当时，，当时，，∴，．
（2）令，1，2，3，4，代入检验，可得．
【点评】（1）判断所给元素是否属于给定集合时，若在集合内，则用符号“”；若不在集合内，则用符号“”．（2）对于所给集合是常见的数集时，要注意符号的书写规范．
【变式训练】
1.设集合，．若,，试判断与A，B的关系．
【解析】∵，∴．
∵，∴．
∴．
又∵，∴．
从而．
【答案】，
2.若，则实数的取值范围是 ．
【解析】因为，所以2不满足不等式，即2满足不等式，所以，．所以实数的取值范围是．
【答案】
探究三 元素互异性的应用
集合中元素的互异性（即集合中的元素各不相同），它是分析集合问题的一个重要切入口。
例3：为集合的四个元素，那么以为边长构成的四边形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
【分析】欲判断四边形的形状，需判断四边形的四条边之间的关系．
【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．
【答案】D
【点评】解答本题应抓住集合的元素具有“互异性”这一特征，由互异转化为四边形的四条边互不相等．
【变式训练】
1．给出下列说法，其中正确的个数为（ ）
（1）由1，，，，这些数组成的集合有5个元素；
（2）方程的解组成的集合有3个元素；
（3）由一条边为2，一个内角为的等腰三角形组成的集合中含有4个元素；
（4）由，，组成的三元素集合中含有，则的值是0或．
A．1 B． 2 C．3 D． 4
合中有4个元素．
（4）不正确．当时，三个数分别为，0，，组成的集合中只有两个元素，不合题意；当时，三个数分别为，，，符合题意，即只能取．
【答案】A
2．含有两个元素的集合A可以表示为，求实数的取值范围．
【解析】根据题意可知，由集合中元素的互异性，可得，所以．即实数 的取值范围为．
【答案】
探究四 集合的表示方法
集合作为一种数学语言，需要对它的三种表示方法充分熟悉，特别是描述法应能准确解读。
例4：用适当的方法表示下列集合：
（1）方程组的解集；
（2）1000以内被3除余2的正整数组成的集合；
（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
（4）所有的正方形组成的集合．
【分析】
【点评】所谓适当的表示方法，就是较简单、较明了的表示方法，用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性，可选用“且”与“或”等词连接；若描述部分出现代表元素以外的字母，要说明新字母的含义或指出其取值范围．
【变式训练】
1．判断：（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）任何一个集合都可以用列举法表示．（ ）
（2）由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．（ ）
（3）{0,1}和{(0,1)}是相同的集合．（ ）
【答案】× × ×
2．用另一种方法表示下列集合：
（1）{绝对值不大于2的整数}；
（2）{能被3整除且小于10的正数}；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）{自然数中六个最小数的平方}；
（7）；
（8）．
（6）；
（7）；
（8）．集合为．
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
1
1,5,7,
10,13
5
1
B
2,3,6，8
9,11,14,15
C
4
12
一、选择题
1.下列对象能构成集合的是（ ）
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员
②所有的钝角三角形
③2005年诺贝尔经济学奖得主
④大于等于0的整数
⑤北京师范大学的所有聪明学生
A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④
2.已知集合A中只有一个元素1，若|b|∈A，则b等于（ ）
A．1 B．－1 C．±1 D．0
【解析】由题意可知|b|＝1，∴b＝±1.
【答案】C
3.给出下列5个关系：∈R，∈Q，0∈{0}，0∈N，π∈Q，其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】∈Q，π∈Q不正确．
【答案】B
4.集合{x∈Z|－1＜x＜5}的另一种表示形式是（ ）
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
【解析】集合{x∈Z|－1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}．
【答案】A
5.直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为（ ）
A．{0,1} B．{（0,1）}
C．{，0} D．{（，0）}
【解析】把x＝0代入y＝2x＋1得y＝1，∴交点为（0,1），选B.
【答案】B
6.已知集合M中的元素a、b、c是△ABC的三边，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【解析】因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.
【答案】D
7.集合M＝{(x，y)|xy>0，x∈R，y∈R}是指（ ）
A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集
C．第一、三象限内的点集 D．第二、四象限内的点集
【解析】∵xy>0，∴x、y同号，∴M表示第一、三象限内的点集，选C.
【答案】C
8.集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）
A．2∈A，且2∈B B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B D．(3,10)∈A，且2∈B
【答案】C
9.已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【解析】用列举法把集合中的元素一一列举出来．
根据集合中元素的互异性知，中元素有0，-1，-2，1，2，共5个.
【答案】C
二、填空题
10.已知1∈{m，m2},则实数m= .
【解析】当m=1时，m2=1，与元素的互异性矛盾；当m2=1时，m=-1或m=1（舍）.
【答案】-1
11.设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}中所有元素之和为 ．
【答案】4
12.集合可用列举法表示为 ．
【解析】首先依据题意确定的值，则对分类讨论．
由，得，
则有，，，，．
故用列举法表示为．
【答案】
13.若集合A中有三个元素，x，x＋1,1，集合B中也有三个元素x，x＋x2，x2，且A＝B，则实数x的值为________．
【解析】∵A＝B，
∴或
解得x＝±1.经检验，x＝1不适合集合元素的互异性，而x＝－1适合．
∴x＝－1.
【答案】－1
14.若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．
【解析】(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．
(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．
(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；当a＝－1时，
由(2)知不合题意．
综上可知：a＝0或a＝1.
【答案】0或1
三、解答题
15.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}，
(1)若1∈A，求a的值；
(2)若A为单元素集合，求a的值；
(3)若A为双元素集合，求a的范围．
第2课时 集合间的基本关系
【双向目标】
课程目标
学科素养
A了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
B理解子集.真子集的概念
C.能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
a数学抽象：对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解
b逻辑推理：集合的子集的辨析与应用
c数学运算：对给出的集合会计算子集与真子集
d直观想象：利用图表示集合相等以及集合间的关系
e数学建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识1：子集有关的概念
（1）定义:对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集.
（2）记法:(或),读作“A包含与B”(或“B包含A”).
（3）韦恩图表示，图1所示:
知识2：集合相等
（1）定义:如果集合A是集合B的子集(A?B),且集合B是集合A的子集(B?A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等.
（2）记法:A=B.
（3）韦恩图表示，图2所示:
知识3：真子集有关的概念
定义:如果集合,但存在元
素x∈B,且x?A，我们称集合A是集合B的真子集.
（2）记法:(或).
（3）韦恩图表示，图3所示:
知识4：空集有关的概念
（1）定义:不含任何元素的集合叫做空集.
（2）记法:.
（3）规定：空集是任何集合的子集
知识5：集合间关系具有的性质
（1）规定:空集是任何集合的子集.
（2）任何一个集合是它本身的子集,即?A?A.
（3）对于集合A,B,C,若A?B,且B?C,则A?C.
（4）对于集合A,B,C,若A B,且B C,则AC.
（5）A?B,且A≠B,则AB.
1.已知集合A={1,2,3},试写出A的所有子集
2.同时满足：①M?{1,2,3,4,5}；②a∈M，则6－a∈M的非空集合M有( )
A．6个 B．7个
C．15个 D．16个
3.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，
若集合A有且仅有2个子集，则a的取值
是( )
A．1 B．－1
C．0,1 D．－1,0,1
4.设集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=2k-1,k∈Z},则集合A,B间的关系为( )
A.A=B B.A?B
C.B?A D.以上都不对
5.，，若，则的取值集合为（ ）
A. B.[Z
C. ????? D.
6.已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求实数a的取值范围.
7.下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若A，则A≠，
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 ? D．3
8.下列关系正确的是( )
A.3∈{y|y=x2+π,x∈R}
B.{(a,b)}={(b,a)}
C.{(x,y)|x2-y2=1}{(x,y)|(x2-y2)2=1}
D.{x∈R|x2-2=0}=
基础过关参考答案：
3.【解析】因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈)仅有一个根或两个相等的根．
(1)当a＝0时,方程为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
(2)当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，
∴a＝±1.
此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．
∴a＝0或a＝±1.
4.【解析】选A.因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B
5. 【解析】 （1）
（2）
（3）
∴ 的取值集合为
【能力素养】
探究一 子集与真子集的求法
例1：写出集合{a，b，c}的所有不同的子集
【分析】根据子集的含义进行求解
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.
【点评】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.
【变式训练】
已知，则这样的集合有 个.
【解析】集合A可以为{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}
【答案】7个
2.已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【解析】∵ 集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，
∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}∴B的子集个数为：23=8个．
【答案】D
探究二 集合间的关系
例2. 集合，集合，那么间的关系是（ ）.
A. B. C. = D.以上都不对
【分析】根据集合间的关系进行判断.
【点评】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
【变式训练】
1.若集合，则（ ）.
A. B. C. = D.
【解析】因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B
【答案】C
2.设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M≠ N
【解析】 当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
【答案】B
探究三 集合间关系具有的性质
例3：已知若M=N，
则= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【分析】解答本题应从集合的概念、表示及关系入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|，∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立
若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1
当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【答案】0
【点评】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
【变式训练】
1．设a，bR，集合，则b-a=( )
【答案】2
2．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？
【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；
集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；
集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．
【答案】都不相同
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
3,10
8
B
9
2,5,7,11
3,4,6,12,13,14,15
C
1
一、选择题
1.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）
2.已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M≠ N
4.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有( )
A．1?A B．0?A C．??A D．{0}?A
5.集合的所有真子集个数为( )．
A．3 B． 7 C．15 D．31
6.同时满足：①M?{1,2,3,4,5}；②a∈M，则6－a∈M的非空集合M有( )
A．6个 B．7个 C．15个 D．16个
7.已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0,1或－1
8.设，，若则的取值范围是（ ）A B C D.9.已知集合A＝{x|1＜x－1≤4}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
10.用适当的符号填空：
（1） ；（2） ；（3） .
11.已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若BA，则实数m＝________.
12.设A是非空集合，对于k∈A，如果，那么称集合A为“和谐集”，在集合的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为
13.已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．
(1)若B?A，求a的取值范围；
(2)若A?B，求a的取值范围．
14.若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且NM，求实数a的值．
15.已知全集,集合R，
；若时，存在集合M使得，求出这样的集合M；
1.【解析】由，得，则,选B．
【答案】B
【答案】D
3.【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
【答案】B
4.【解析】由已知，A＝{1，－1}，所以选项A，B，D都错误，因为?是任何非空集合的真子集，所以C正确．
【答案】C
5.【解析】，所以，真子集的个数为15个
【答案】C
6.【解析】a＝3时，6－a＝3；a＝1时，6－a＝5；
a＝2时，6－a＝4；a＝4时，6－a＝2；a＝5时，6－a＝1，
∴非空集合M可能是：{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，
{1,2,3,4,5}共7个．.故选B
【答案】B
【答案】5
10.【解析】（1） ；（2） ；（3） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
11.【解析】，即，当时，，满足
【答案】1
12.【解析】由和谐集的定义知，该集合中可以含有元素-1，1，和3，和2，所以共有和谐集的集合的个数为15个
【答案】15
13.【解析】(1)因为B?A，B是A的子集，由图(1)得a≤3.
(1)
(2)因为A?B，A是B的子集，由图 (2)得a≥3.
(2)
【答案】（1）a≤3（2）a≥3
14.【解析】由得或，因此
若a=2时，则，此时
若a=-3时，则，此时
若，则，此时N不是M的子集
1.1.3 集合的基本运算
【双向目标】
课程目标
学科素养
A.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
B.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
C.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
a数学抽象：数学集合概念的理解、描述法表示集合的方法
b逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用
c数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算
d 直观想象：利用数轴表示数集、集合的图形表示
e 数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识1：两个集合A与B之间的运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合
A的补集
记为?UA
Venn图表示(阴影部分)
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x?A}
知识2：集合运算中常用的结论
(1)?①A∩B?A；A∩B?B；
②A∩?＝?；③A∩B=B∩A.
(2)①A∪B?A; A∪B?B；
②A∪?＝A；⑤A∪B=B∪A.
(3)①?U(?UA)＝A； ②A∩(?UA)＝?；
③A∪(?UA)＝A
(4)①A∩B＝A?A?B ?A∪B＝B；
②A∩B＝A∪B?A＝B
1.设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2.已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则( )
A．A∩B＝{x|x＜0}
B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x＞1}
D．A∩B＝?
3.设集合Α＝{1，2，4}，Β＝{x|x2－4x＋m＝0}．若Α∩Β＝{1}，则Β＝( )
A．{1，－3}
B．{1，0}
C．{1，3}
D．{1，5}
4.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}, 则A∩B＝________.
5．已知全集R，集合A＝{x|(x－1)(x
＋2)(x－2)＝0}，B＝{y|y≥0}，
则A∩(?RB)为________.
6.设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，
则(A∪B)∩C＝________.
基础过关参考答案：
1. 【解析】由题意，A∩Z＝{－2，－1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C.
【答案】C
【答案】{－2}
6.【解析】A∪B＝{1，2，4，6}，
所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．
【答案】{1，2，4}
【能力素养】
探究一 求集合的交集与并集
交集与并集是集合的两种基本运算，明确定义，厘清它们的区别是正确运算的关键。
例1．已知集合,则（ ）
A. B. C. D.
【分析】需明确集合的表示与含义及交集运算的概念；同时要掌握绝对值不等式的解法；
【解析】解法一：由，解得，又，
则.故选A
解法二：求，可将集合中的元素，代入集合中检验，
可得.故选A
【点评】集合是一种基本的数学语言，也是高考的必考题和基础题。需要考生熟悉集合的表示与含义，理解集合的关系，掌握三种集合间的运算。在解题中集合只是一种数学语言，常常与方程，不等式和函数相联系，有一定的综合性。
【变式训练】
1. (2015全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】 集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.
【答案】 D
2.已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
探究二 集合的交、并、补的混合运算
明确集合交、并、补运的概念，精确解读集合的含义，正确把握它们的运算顺序。
例2：已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1
A．[0,1) B．(0,2]
C．(1,2) D．[1,2]
【分析】（1）首先要明确集合P的含义，正确解出一元二次不等式的解集；（2）明确集合的运算顺序，先算括号内；（3）最后运用集合运算的概念，进行计算（可借助数轴）。
【解析】由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以?RP＝{x|0＝(0,2)．又Q＝{x|1【点评】（1）求集合的交集和并集时首先明确集合中元素的属性，然后利用交集和并集的定义求解．（2）如果集合中的元素是连续的，可结合数轴来求集合的运算．（3）求集合的交、并、补的混合运算时，一般先算括号里面的，然后按运算顺序求解．
【变式训练】
1.设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(?UB)＝( )
A．{1,2,5,6} B．{1}
C．{2} D．{1,2,3,4}
【解析】∵U＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,3,4}，∴?UB＝{1,5,6}，∴A∩(?UB)＝{1}．
【答案】 B
2.设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(?RQ)＝( )
A．[2，3] B．(－2，3]
C．[1，2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)
【解析】易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}．所以?RQ＝{x|－2故P∪(?RQ)＝{x|－2【答案】 B
探究三 集合运算中的含参数问题
集合中含参数问题，通常已知集合的运算结果，运用集合运算的定义，逆向推算出参数的取值。
例3：集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝( )
A．{0,1,2} B．{0,1,3}
C．{0,2,3} D．{1,2,3}
【答案】 D
【点评】解答本题应抓住交集的定义，即1时两个集合的公共元素，进而推出参数的值；从概念出发进行思考，是分析数学问题的基本出发点。
【变式训练】
1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________.
【解析】 A∪B＝{1,3，m}∪{3,4}＝{1,2,3,4}，∴2∈{1,3，m}，∴m＝2.
【答案】 2
2.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
【解析】 因为P∪M＝P，所以M?P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，
所以a的取值范围是[－1,1]．
【答案】 C
3.已知集合，集合，若，则实数的值为 .
【答案】1或-1或0.
【解析】∵，∵，，
对集合B。∵当时，则，
时， 可得；；
综上可得；
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
1,3
2,5,8,9
1,4,5,9,12
3
B
13,
10,11,12
6,7,8
10,11
C
14,15,16
14,15,16
16
13,16
一、选择题
1．（2018年全国卷Ⅲ理）已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由集合A得,所以，故答案选C.
【答案】C
2．（2018年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则（ ）
A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}
3. 若集合，则（ ）
A.{x|–2C.{x|–1【解析】利用数轴可知，故选A.
【答案】A
4．（2018年理新课标I卷）已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
5.（2017课标1）已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由可得，则，即，所以
，，
【答案】A
6.设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)等于( )
A．{1,4} B．{1,5}
C．{2,5} D．{2,4}
【解析】 由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，
∴?U(A∪B)＝{2,4}．
【答案】 D
7．（2018年理数天津卷）设全集为R，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.
【答案】B
8.设集合，则（ ）
A. B. C. D.【答案】
【解析】 ,选B.
9.已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为( )
A．－ B．0 C．1 D．2
【解析】a2＋3＞1，故只能有a＝1.故选C.
【答案】C
10．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{0,1} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}
【解析】 因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为A去掉A∩B，
所以阴影部分所表示的集合为{1}．
【答案】 B
11.设集合,,全集,若,则有( )
A. B. C. D.
【解析】由，解得，又，
如图
则，满足条件.
【答案】C
12．集合P＝{1，4，9，16，…}，若a∈P，b∈P，则a⊕b∈P，则运算⊕可能是( )
A．除法 B．加法 C．乘法 D．减法
【答案】A
二、填空题
13. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．
【解析】A表示圆x2＋y2＝1上所有点的集合，B表示直线y＝x上所有点的集合，故A∩B表示直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A∩B中元素的个数为2.故填2.
【答案】2
14．设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，则A∪B＝________.
【答案】 {－8，－7，－4,4,9}
15．已知集合A，B与集合A@B的对应关系如下表：
A
{1，2，3，4，5}
{－1，0，1}
{－4，8}
B
{2，4，6，8}
{－2，－1，0，1}
{－4，－2，0，2}
A@B
{1，3，5，6，8}
{－2}
{－2，0，2，8}
若A＝{－2 019，0，2 018}，B＝{－2 019，0，2 017}，试根据图表中的规律写出
A@B＝________.
【解析】由规律知，A@B是由A∪B中元素去掉A∩B中元素构成的集合，
故A@B＝{2017，2018}．故填{2017，2018}．
【答案】{2017，2018}．
三、解答题
16.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
(1)当m＝－1时，求A∪B；
(2)若A?B，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝，求实数m的取值范围．
【解析】 (1)当m＝－1时，B＝{x|－2(2)由A?B知解得m≤－2，即实数m的取值范围为(－∞，－2]．
1.2.1 函数的概念
【双向目标】
课程目标
学科素养
A.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
B.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
C.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
a数学抽象：数学集合概念的理解、描述法表示集合的方法
b逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用
c数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算
d 直观想象：利用数轴表示数集、集合的图形表示
e 数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识1：函数的概念
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
知识2:函数的表示方法
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法．
(2)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系的方法．
(3)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法．
知识3：构成函数的三要素
(1)函数的三要素是：定义域、对应关系、值域；
(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等．
知识4：分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．
知识5：映射的概念
一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
知识6：复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．
?
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(2)函数y＝()2与y＝是同一个函数．( )
(3)定义域与值域均相同的两个函数是相等函数．( )
(4)分段函数不是一个函数，而是多个函数．( )
(5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )
2.函数f(x)＝ln＋x的定义域为 ( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)
3.设f(x)＝?则f(f(－2))等于( )
A．－1 B.???????
C.?????????????????D.
4.(2015全国卷Ⅱ)设函数
f(x)＝
则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
5.(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________.
6.设函数f(x)＝x3＋3x2＋1.已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，
则实数a＝________，b＝________.
?
基础过关参考答案：
1. 【解析】 (1)错误．值域是集合B的子集．
【答案】B
3.【解析】因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，所以f(f(－2))＝f＝1－＝1－＝.
故选C.
【答案】C
4.【解析】解：由条件得f(－2)＝1＋log24＝3，因为log212>1，所以f(log212)＝2(log212)－1＝2log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9.故选C.
【答案】C
5.【解析】由题意知点(－1，4)在函数f(x)＝ax3－2x的图象上，所以4＝－a＋2，则a＝－2.故填－2.
【答案】－2．
6.【解析】因为f(x)－f(a)＝x3＋3x2－a3－3a2，(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝
x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b，
所以
解得a＝－2，b＝1.
【答案】－2；1.
【能力素养】
探究一 求函数的定义域
函数定义域即自变量的取值范围，是研究函数的首要考虑因素。
例1．函数f(x)＝＋lg的定义域为( )
A．(2，3) B．(2，4]
C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]
【分析】确定函数的定义域首先根据所给的函数解析式特点（即包含的运算）来建立不等式，求解；
【答案】 C
【点评】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等．若已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，则函数y＝f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出．
【变式训练】
1．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】 要使函数有意义，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.故函数的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
【答案】 D
2.若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
【解析】因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2+2ax - a－1≥0对x∈R恒成立，则x2＋2ax－a≥0恒成立．
因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.故填[－1，0]．
【答案】[－1，0]
3.若函数y＝f(x)的定义域是[1，2 019]，则函数g(x)＝的定义域是________．
【解析】因为y＝f(x)的定义域为[1，2 019]，所以g(x)有意义，应满足
所以0≤x≤2 018，且x≠1.因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．故填{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．
【答案】{x|0≤x≤2 018，且x≠1}．
探究二 求函数的值域
求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
例2：求下列函数的值域：
(1)y＝； (2)y＝2x＋； (3)y＝2x＋；
(4)y＝； (5)若x，y满足3x2＋2y2＝6x，求函数z＝x2＋y2的值域；
(6)f(x)＝－.
(2)(代数换元法) 令t＝(t≥0)，所以x＝1－t2，
所以y＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋.
因为t≥0，所以y≤，故函数的值域为.
(3)(三角换元法) 令x＝cost(0≤t≤π)，所以y＝2cost＋sint＝sin(t＋φ).
因为0≤t≤π，所以φ≤t＋φ≤π＋φ，所以sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1,故函数的值域为[－2，]．
(4)解法一：(不等式法) 因为y＝＝＝(x－1)＋，
又因为x＞1时，x－1＞0，x＜1时，x－1＜0，
所以当x>1时，y＝(x－1)＋≥2＝4，且当x＝3，等号成立；
当x<1时，y＝－≤－4，且当x＝－1，等号成立．
所以函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
解法二：(判别式法) 因为y＝，所以x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0，
所以当x＝0时，z有最小值0，当x＝2时，z有最大值4，
故所求函数的值域为[0，4]．
(6)(图象法) f(x)＝
作出其图象，可知函数f(x)的值域是.
【点评】求函数值域的常用方法：①单调性法，如(5)；②配方法，如(2)；③分离常数法，如(1)；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如(2)，(3)；⑥判别式法，如(4)；⑦不等式法，如(4)，(5)；⑧导数法，主要是针对在某区间内可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如(6)；对于二元函数的值域问题，如(5)，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．
【变式训练】
1.函数y＝的值域为________．
【解析】y＝＝＝1－，因为≠0，且可取除0外的一切实数，所以1－≠1，
且可取除1外的一切实数．故函数的值域是{y|y∈R且y≠1}．故填{y|y∈R且y≠1}．
【答案】{y|y∈R且y≠1}
2.函数f(x)＝x＋的值域为________．
【解析】(代数换元法)函数的定义域为，
令t＝(t≥0)，则x＝.
所以y＝＋t＝－(t－1)2＋1(t≥0)，
故当t＝1(即x＝0)时，y有最大值1，故函数f(x)的值域为(－∞，1]．故填(－∞，1]．
【答案】(－∞，1]．
3.函数y＝的值域是________．
【答案】[1，5]．
探究三 求函数解析式
求函数解析式是根据条件求解函数的对应关系，方法众多，技巧性强，体现较强的方程思想。
例3：(1)已知f＝lg x，则f(x)＝________.
(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2·f·－1，则f(x)＝________.
【解析】 (1)令＋1＝t，得x＝，代入得f(t)＝lg ，又x>0，所以t>1.
(3)在f(x)＝2f·－1中，用代替x，得f＝2f(x)·－1，
由得f(x)＝＋.
【答案】 (1)lg(x>1) (2)x2＋x(x∈R) (3)＋
【点评】求函数解析式的四种常见方法
1．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．
2．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
3．配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的
解析式．
4.消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
【变式训练】
1．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
【解析】(换元法)令＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．故填x2－1(x≥1)．
【答案】x2－1(x≥1)
2.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
【解析】(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，所以 解得 所以f(x)＝2x＋7.故填2x＋7.
【答案】2x＋7.
3.已知f＝x2＋，则f(x)＝________.
【解析】(配凑法)f＝x2＋＝－2＝－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2)．
故填x2－2(|x|≥2)．
【答案】x2－2(|x|≥2)．
4．已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
【解析】 以代替x得2f＋f(x)＝，由得f(x)＝2x－(x≠0)．
【答案】 2x－(x≠0)
探究四 分段函数
分段函数是高考的热点，考查方向主要是：（1）．根据分段函数的解析式求函数值；（2）．已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)。
例4：（1）(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】 C
（2）设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1 B.
C. D.
【解析】 f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×－b＝－4b＝4，解得b＝，
不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.
【答案】 D
【点评】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如f(f(x0))的求值问题时，应从内到外依次求值．(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
【变式训练】
1.设f(x)＝则f(f(－2))＝( )
A．－1 B. C. D.
【解析】 因为－2<0，所以f(－2)＝2－2＝>0，所以f＝1－＝1－＝.
【答案】 C
2．设函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝________.
【解析】 若a＞0，则f(a)＝－a2＜0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝.
若a≤0，则f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1＞0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．
【答案】
3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
【答案】 (－∞，8]
4．设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
【解析】 f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤.
【答案】 (－∞，]
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
2,6
1,2,3,4,
2,4
3
B
7,8,9,10
5,6,7,8
5,6,7,8,13
10,
9,13
C
11,14,15,
16
10,12,14,
15,16
10,11,12,14,
15,16
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lgx C．y＝2x D．y＝
【解析】函数y＝10lgx的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lgx的值域为R，排除B.故选D.
【答案】D
2．有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数； ②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数； ④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
系均相同，所以是同一函数，③正确；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1，④错误．
综上可知，正确的判断是②③.故选B.
【答案】B
3．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，则y＝f(x)的图象可以是( )
【解析】A项定义域为[－2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对定义域中除2以外的任一x均有两个y与之对应，故A，C，D均不符合条件．故选B.
【答案】B
4．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)
【解析】 由题意知即故C正确．
【答案】 C
5．设全集为R，函数f(x)＝ln 的定义域为M，则?RM＝( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]
【答案】 C
6．已知函数f(x)＝－x＋log2＋1，则f＋f的值为( )
A．2 B．－2 C．0 D．2log2
【解析】 f＝＋log2，f＝＋log23，所以f＋f＝2.
【答案】 A
7．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】 因为f(1)＝21＝2，且f(a)＋f(1)＝0，所以f(a)＝－2.因为x>0时，f(x)>1，
所以a≤0，所以f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.
【答案】 A
8.已知函数f(x)＝ 若f(a)＝5，则a的取值集合为( )
A．{－2，3，5} B．{－2，3} C．{－2，5} D．{3，5}
【解析】令3＋log2(a－1)＝5，得a＝5，令a2－a－1＝5，得a＝3(舍)或a＝－2，故a∈{－2，5}．或由f(－2)＝(－2)2－(－2)－1＝5，f(3)＝3＋log22＝4，f(5)＝3＋log24＝5，所以排除A，B，D.故选C.
【答案】 C
9．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16
【解析】 因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15， ① 所以必有4且＝＝30， ②联立①②得c＝60，A＝16.
【答案】 D
10．已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)＞－1的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.∪(0,1)
此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1，
∴f(x)－f(－x)＞－1化为－2x＋2＞－1. 解得x＜，所以0＜x≤1.
综上，x∈∪(0,1]．
【答案】 B
11．若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
【解析】 由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，所以0≤x<1，即g(x)的定义域为[0,1)
【答案】 [0,1)
12.已知函数f(x)＝ 则不等式f(x)≥－1的解集是________．
【解析】当x≤0时，由题意得＋1≥－1，解得－4≤x≤0.
当x>0时，由题意得－(x－1)2≥－1，解得0综上，f(x)≥－1的解集为{x|－4≤x≤2}．故填{x|－4≤x≤2}．
【答案】{x|－4≤x≤2}．
13.设O为坐标原点，给定一个定点A(4，3)，点B(x，0)在x轴的正半轴上移动．l(x)表示的长，则函数y＝的值域为________．
【答案】
14．若一系列函数的解析式、值域相同但定义域不同，则称它们为同族函数，则f(x)＝x2，值域为{1,4}的同族函数共有________个．
【解析】 由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}时，它的定义域可以是{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{1,2，－2}，{－1,2，－2}，{1，－1,2，－2}共有9种不同的情况．
【答案】 9
15．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x2－2)的值域．
【解析】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0，所以c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.
因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1. 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.
所以(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，
所以 解得 所以f(x)＝x2＋x.
(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝(x2－2)2＋(x2－2)＝(x4－3x2＋2)＝－，
当x2＝时，y取最小值－.
所以函数y＝f(x2－2)的值域为.
16．已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为[0，＋∞)，求实数a的取值范围．
综合①②得a的取值范围是.
(2)因为函数f(x)的值域为[0，＋∞)，
所以函数g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6取一切非负实数，
所以??－1＜a≤－.
当a＝－1时，f(x)＝的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．
2.1.1 指数与指数幂的运算
【双向目标】
课程目标
学科素养
A.了解根式的概念，方根的概念及二者的关系
B.理解分数指数幂的概念
C.掌握有理数指数幂的运算性质
a数学抽象：根式的概念，分数指数幂的概念的掌握
b逻辑推理：根式概念与方根概念二者之间的关系
c数学运算：掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简
d 直观想象：让学生感受由特殊到一般的数学思想方法
e 数学建模：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识点1：n次方根、根式的概念及性质
1.n次方根：如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*..
2.a的n次方根的个数：
（1）正数a：偶次方根--有两个，它们互为相反数分别表示为和-
奇次方根--有一个，是正数，表示为
负数a：偶次方根--在实数范围内不存在
奇次方根--有一个，是负数，表
示为
a=0： 有
根式的定义：式子叫做根式,其中根指数是n,被开方数是a
根式的性质：
知识点2：分数指数幂的运算公式
正分数指数幂运算：
负分数指数幂运算：
（3）0的分数指数幂运算：
正分数指数幂等于0
负分数指数幂没有意义
知识点3：有理数指数幂的运算性质
(a>0,r,s∈Q).
((a>0,r,s∈Q).
(a>0,b>0,r∈Q)
知识点4：无理数指数幂的运算性质
(1)无理数指数幂(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.
(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
奇次
1.下列各式中正确的是( )
A.=a
B.=
C.=3 D.=
2.已知a∈R,n∈N*,给出四个式子:
①;
②;
③;
④,
其中没有意义的是 .(只填式子的序号即可)
3.把根式改写成分数指数幂的形式 （ ）
A、 B、?
C、 D、
4.若，，则的值为（ ）
（A） ??（B）2或-2
（C）2 （D）-2
5.?若有意义，则的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
6.计算
=________.
基础过关参考答案：
1.【解析】对于A,=a考查了n次方根的运算性质,当n为偶数时,=,故A项错.对于B,本质上与选项A相同,是一个正数的偶次方根,结论应为=,故B项错.对于C,=-3,故C项也错.对于D,它是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故D项正确.
【答案】D
2.【解析】①③是偶次方根,被开方数必须大于等于0,故③没有意义;②④是奇次方根,被开方数可为任意实数.
【答案】③
【答案】D
6.【解析】指数式运算，先将负指数化为正指数，小数化为分数，再将分数化为指数形式，即
【答案】19
【能力素养】
探究一 根式化简与求值
计算下列各式
【分析】根据根式的运算公式进行运算.
【解析】（1）当n为奇数时，，当n为偶数时，；
（2），当时，，当时，；
【点评】1.根式化简或求值的两个注意点
(1)分清根式为奇次根式还是偶次根式，再运用根式的性质进行化简.
(2)注意正确区分
2.带有限制条件的根式的运算步骤
(1)去根号——化为含有绝对值的形式.(2)分类讨论——去掉绝对值号.(3)化简——得出结果.
【变式训练】
1.已知a1,n∈N*,化简+.
2.计算：
【解析】
【答案】0
探究二 根式与分数指数幂互化
例2：化成分数指数幂为 .
【分析】灵活应用分数指数幂的运算公式
【解析】原式=(
【点评】根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子.
(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
【变式训练】
1.化简(a、b>0)的结果是( )
A. B．ab C. D．a2b
【解析】原式＝
【答案】C
2. 等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【答案】C
探究三 指数幂运算综合应用
例3：计算:÷·(a>0,b>0).
【分析】灵活应用指数幂运算的公式与性质
【解析】
【答案】a
【点评】指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
【变式训练】
1．计算：
【答案】100
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
4
5,6,10
B
3
1,2，8,11
C
7，9
12,13,14,15
一、选择题
1.计算（ ）．
A. B. C. D.
【解析】
【答案】D
2.计算： （ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【解析】原式.
【答案】D
3.下列各式中错误的是（ ）．
A. B. C. D.
【解析】 ，故A项错误，故选A.
【答案】A
4.下列说法：
（1）的运算结果是；
（2）16的4次方根是2；
（3）当为大于1的偶数时， 只有当时才有意义；
（4）当为大于1的奇数时， 对任意有意义．
其中正确的个数为 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
5.若，则等于
A. B.
C. D.
【解析】因为
，故选A.
【答案】A
6.>0)可以化简为
A. B. C. D.
【解析】因为>0，所以．选B。
【答案】B
7.下列各式运算错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
【解析】选项． ， ，∴，故选．
【答案】C
8.化简：__________．
【解析】由实数指数幂的运算可得．
【答案】
9.已知则的值为__________．
【答案】
10.化简式子的结果是 __________．
【解析】因为，，所以又因为结果一定非负，所以，故答案为．
【答案】
11.化简： = ______．（用分数指数幂表示）
【解析】
【答案】
13.
【解析】
【答案】
14.
【解析】化简 ，故答案为 .
【答案】
15.已知求
【解析】因为
，因为，所以
所以
又因为，所以
所以
【答案】
2.1.2 指数函数及其性质
【双向目标】
课程目标
学科素养
A掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数
B)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质
C. 能根据指数函数的性质解决和指数函数有关的问题
a数学抽象：指数函数概念的理解，会根据定义判断一个函数是否为指数函数
b逻辑推理：通过观察图象，总结出指数函数当底分别是，?的性质
c数学运算：根据单调性等性质计算参数的值
d 直观想象：做出指数函数图像并能识别图像
e 数学建模：能用指数函数的思想解决生活中的实际问题
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识点1：.指数函数定义
形如?y=ax?（且1）叫指数函数，定义域为 （0，+∞） ，值域 R .
知识点2：指数函数图像及其性质
函数
图
象
定义域
值域
定点
单调性
在上是减函数
在上是增函数
取值
情况
若，则
若，则
若，则
若，则
对称性
函数与的图象关于轴对称
1已知指数函数的图象经过点，求的值。
2.下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（ ）
A．y＝(－4)x B．
C．y＝－4x D．?(a>0且a≠1)
3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝( )
A．()x B.????C.???D.
4.函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
5.函数的大致图象为（ ??）
6.若，则 （ ）
A． B． C． D．
基础过关参考答案：
1.【解析】因为的图象经过点
，所以
即，解得，于是。
所以。
【答案】见解析
【答案】A
5.【解析】，把的图象向右平移的单位.
【答案】A
6.【解析】
，所以
【答案】A
【能力素养】
探究一 指数函数的图象
例1． 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( )
A．a【分析】利用指数函数的性质求解．.
【答案】B
【点评】对指数函数图像问题常作直线x=1，利用该直线在第一象限内分别与各曲线交点的纵坐标就是指数函数的底数这一特征来判断底数的大小.
【变式训练】
1.【辽宁省大连市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题】在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】根据指数函数可知a，b同号且不相等，则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B,D，C选项中，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确．
【答案】A
【四川省眉山第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题】已知函数
()的图象如图所示，则函数的图象是 ( )
A. B. C. D.
【解析】由已知中函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可得： 0＜a＜1，b＜-1，故g（x）=ax+b的图象如下图所示：，选A.
【答案】A
探究二 利用指数函数单调性比较大小 或解指数不等式
例2：比较下列各题中两个值的大小：
(1)3π与33.14； (2) 1.40.1与0.90.3.
【分析】解答本题应注意底数是否相同，若不能化为同底，可借助各值与“1”的大小关系来确定它们的大小.
【点评】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果；若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较，从而得出结果．总之，比较时要尽量转化成同底数的形式，根据指数函数的单调性进行判断．
【变式训练】
已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
【解析】因为a＝∈(0,1)，所以函数f(x)＝ax在R上是减函数．由f(m)>f(n)得m【答案】m2.（2016新课标全国III理科）已知，，，则
A. B.
C. D.
【解析】因为，，所以，故选A．
【答案】A
3.设， ， ，则， ， 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
探究三 与指数函数有关的定义域、值域问题、单调性问题
例3：求函数y＝2x－x2的值域与单调区间.
【分析】用换元法将其化为指数函数，利用指数函数的图像与性质及复合函数的单调性与值域求法求解．
【解析】定义域为R，，在上是增函数，在上是减函数，又为减函数，在上是减函数，在上是增函数，因此的值域为，上是减函数，在上是增函数
【答案】值域为，上是减函数，在上是增函数
【点评】1.对复合函数的值域问题，先求出函数的定义域，根据定义域求出内函数的值域，将内函数的值域作为外函数的定义域，利用外函数的图像与性质求出外函数的值域，即为复合函数的值域.
2.与指数函数有关的单调性问题，求出内函数的单调区间结合外函数的单调性，结合复合函数的单调性确定其单调性.
【变式训练】
1． 函数的单调递减区间是________；单调递增区间是________．
【解析】，因此它的减区间为．
【答案】A
2．已知函数，则
A． 是奇函数，且在R上是增函数 B． 是偶函数，且在R上是增函数
C． 是奇函数，且在R上是减函数 D． 是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
探究四 指数函数的综合运用
例4： 已知f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明f(x)是定义域内的增函数；
(3)求f(x)的值域．
【分析】
(1)直接利用奇偶性定义进行判断．
(2)欲直接利用单调性定义进行证明，则变形时较为复杂，故可先将f(x)化简，然后用定义判断．
(3)将f(x)化简可变为f(x)＝1－，故把102x看成一个整体，进行换元再求值域．
【答案】（1）奇函数（2）见解析（3）值域为
【点评】指数函数是一种基本的初等函数，常与第一章学习的函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，此时按照函数的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题
【变式训练】
1．已知函数
（1）判断在上的增减性，并证明你的结论
（2）解关于的不等式
（3）若在上恒成立，求的取值范围
【解析】（1）f(x)在上为减函数
证明方法一：设
在上为减函数
方法二：利用导数证明:f′(x)= <0
∴f(x)在上为减函数
（2）不等式即即
当，不等式的解当a<0,
∵x>0 ∴恒成立
不等式的解
综上所述当a>0时 不等式的解{x|}
当a<0时，不等式的解{x|x>0}，
（3）若 在恒成立即
2．已知函数，其中，且.
(1)若，求满足的的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集.
【解析】（1），
而，故，得：.
（2），
当时，；当时，.
故当时，解集为；当时，解集为.
【答案】（1）；（2）
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
1
2
B
11,12
6,10
3
C
4,7,8,13
5,15
9
14
一、选择题
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是
A．y=(?5)x B．y=ex(e≈2.718 28)
C．y=?5x D．y=πx＋2
【解析】由指数函数的概念可知B正确.
【答案】B
2．函数f(x)=的定义域为
A．(?3,0] B．(?3,1]
C．(?∞，?3)∪(?3,0] D．(?∞，?3)∪(?3,1]
3．函数的大致图象为
【解析】当时函数为增函数，当时函数为减函数，当时，所以B项正确.
【答案】B
4．已知，，，则
A． B．
C． D．
【解析】由，，并结合指数函数的图象可知，即；因为，，所以．综上，，故选A．
【答案】A
5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是
A． B．
C． D．
6．已知函数f(x)=(2a?1)x，若x＞0时总有f(x)＞1，则实数a的取值范围是
A．1＜a＜2 B．a＜2
C．a＞1 D．0【解析】∵x>0时，f(x)>1，所以此时函数为指数函数且底数大于1，因此由图象知2a?1>1，∴a>1，故选C.
【答案】C
7．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是
A．(?2,1) B．(?4,3)
C．(?1,2) D．(?3,4)
【解析】原不等式变形为，∵ 函数在上是减函数，，
当时，恒成立等价于，解得，所以的取值范围是，故选C．
【答案】C
8．若函数(a＞0，且a≠1)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是
A．(0，) B．(，1)
C．(0，] D．[，1)
【答案】D
二、填空题
9．函数的图象必经过定点 .
【解析】的图象恒过点，则的图象是由的图象向右平移1个单位，且恒过点，的图象是由的图象向下平移3个单位，且恒过点．
【答案】
10．的值域是 ．
【解析】函数由复合而成，其中是减函数，在上单调递减，在上单调递增，所以原函数在上单调递增，在上单调递减，从而函数在处取得最大值，最大值为，则值域为.
【答案】
11．已知函数，若，则 .
【解析】因为，所以，又，所以，解得.【答案】
12．定义区间的长度为，已知函数 的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为________，最小值为________．
【解析】由得x=0，由得，故满足题意的定义域可以为或，故区间[a，b] 的最大长度为4，最小长度为2．
【答案】4，2
三、解答题
13．已知函数．
（Ⅰ）若，求的值．
（Ⅱ）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数的值．
故．
（Ⅱ）当时，在上单调递增，
∴，化简得，
解得：（舍去）或．
当时，在上单调递减，
∴，化简得．
解得：（舍去）或．
综上，实数的值为或．
【答案】（1）；（2）实数的值为或.
14．已知函数f(x)=ax?1(x≥0)的图象经过点(2，)，其中a＞0且a≠1.
（1）求a的值；
（2）求函数y=f(x)(x≥0)的值域．
【答案】（1）；（2）(0,2].
15．已知函数y=ax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记.
（1）求a的值；
（2）证明：f(x)＋f(1?x)=1；
（3）求的值．
【解析】（1）函数在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，
（2）由（1）知，，即
（3）由（2）知，
，
…
【答案】（1）4；（2）1；（3）1008.
2.2.1 对数与对数的运算
【双向目标】
课程目标
学科素养
理解对数概念，会进行对数式与指数式的互化
B.了解对数的换底公式及其推导，能应用对数换底公式进行化简、求值、证明
C.会利用对数运算性质进行化简计算；
a数学抽象：对数概念的理解
b逻辑推理：会进行对数式与指数式的互化
c数学运算：会利用对数的换底公式及相关运算性质化简求值
d 直观想象：让学生感受由特殊到一般的数学思想方法
e 数学建模：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识点1：对数的概念
若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. （2）负数和零没有对数. （3）对数式与指数式的互化：
指数式与对数式的互化规律：底数保持不变 知识点2：几个重要的对数恒等式 ，，
知识点3：常用对数与自然对数
常用对数：，即；
自然对数：，即
(其中) 知识点4：对数的运算性质
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
; ?
(2) ;
(3). ???(4)
知识点5：对数的换底公式
(,且,,且,)
推论 (,且,,且,,?).
??(＞0,且 ＞0).
知识点6：指数恒等式
知识点7：对数恒等式
1.设，则（ ???）
A.-2 C.-12.方程＝的解是( )
A．x＝??????B．x＝?????
C．x＝?????D．x＝8
的值为（ ?）
A.??????????B.-5 ?
C.?????????D.
4.已知3a＝5b＝A，若＋＝2，则A等于 ( )．
A．15 B.??
C．±?? D．225
5.如果方程(lg x)2＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2·lg 3＝0的两根为x1，x2，那么x1x2的值为 ( )．
A．lg 2·lg 3 B．lg 2＋lg 3
C.??????????D．－6
6.已知则等于 ( )．
A．a2－b B．2a－b
C.???????????D.
7.已知，，则x＋2y的值为 ( )．
A．3 B．8
C．4 D．
基础过关参考答案：
1.【解析】由题可知，，
，故选A.
【答案】A
【解析】由题可知，， ，即，所以，故选B.
【答案】A
3.【解析】由题可知,由对数恒等式可得，，故选A.
【答案】A
【答案】B
7.【解析】由题可知，因为2x＝3，所以x＝log23＝log49，
即x＋2y＝log49＋2log4＝log4＝log464＝3.故选B.
【答案】A
【能力素养】
探究一 对数概念的应用
例1.若则( )
A． B．
C． D．
【分析】根据对数式与指数式互换公式进行运算.
【解析】由对数式和指数式的关系可得。选B。
【答案】B
【点评】指数式与对数式互化时的技巧及应注意的问题
(1)技巧:若是指数式化为对数式,只要将幂作为真数,指数当成对数值,而底数不变即可;若是对数式化为指数式,则正好相反.
(2)注意问题:①利用对数式与指数式间的互化公式互化时,要注意字母的位置改变;②对数式的书写要规范:底数a要写在符号“log”的右下角,真数正常表示.
【变式训练】
1.若(y>0，且y≠1)，则必有( )
A． B．
C． D．
【解析】由指数式和对数式的互化可得。选D。
【答案】D
2.2-3=化为对数式为( )
A. B. C. D.
【解析】根据对数的定义可知选C.
【答案】C
探究二 对数运算性质的应用
例2：【四川省成都市第七中学2018届高三下学期三诊模拟考试数学（文）试题】
__________．
【点评】本题主要考查对数的运算法则，意在考查计算能力，属于简单题，解答过程注意避免计算错误.
【变式训练】
1. 【山东省济宁市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题】__________．
【解析】 由。
【答案】7
2.若,则用含a的代数式可表示为 ( )
A.a-2 B.3a-(1+a)2 C.5a-2 D.3a-a2
【解析】选A.因为3a=2,所以a=log32,log38-2log36=log323-2log3(2×3)=3log32-2(log32+1)=a-2.
【答案】A
探究三 换底公式的应用
例3：已知，，则__________（用含，的代数式表示）．
【点评】利用换底公式化简求值时应注意的问题
(1)针对具体问题，选择恰当的底数 (2)注意换底公式与对数运算法则结合使用.
(3)换底公式的正用与逆用. (4)恰当应用换底公式的两个常用结论.
【变式训练】
1．【重庆市中山外国语学校2017-2018学年高二下学期期末数学（文）试题】设，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，.
故选：B.
【答案】B
2．【北京市西城13中2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题】已知， ，那么用含， 的代数式表示为
【解析】由换底公式可得： .
【答案】
探究四 对数运算的综合应用
例4：计算：________．
【分析】由题意结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果
【解析】由对数的运算法则有：.
【答案】
【点评】本题主要考查对数的运算法则，对数恒等式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【变式训练】
1.【黑龙江省大庆市2018届高三第二次教学质量检测理科数学试题】已知，若，则__________．
【解析】∵∴
∴故答案为.
【答案】2.
2.计算.
．
【答案】
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
1
B
2，13
10,14
C
4,5,15
3,6,7,8,9
1.若x·log3 2011＝1，则2 011x＋2 011－x＝ ( )．
A. B.
C．6 D.
【解析】由题可知，由x·log32 011＝log32 011x＝1，所以2 011x＝3，所以2 011－x＝.
即2 011x＋2 011－x＝；
【答案】D
2..若，则等于 ( )．
A．-3.7169 B．-3+0.7169
C．-3+0.2831 D．-2.7169
【解析】由题可知，.
【答案】B
3.若，则的值为（ ）
A.1 B. C. D.
4.奇函数满足，当时，，则
A． -2 B． C． D． 2
【答案】A
5．已知函数，若，则________．
【解析】根据题意有，可得，所以，故答案是.
【答案】-7
6.已知，，则的值等于_________.
【解析】由，可得，则，故答案为.
【答案】2
7.已知函数，则__________．
【解析】根据解析式，，故填1.
【答案】1
8.已知a＝log32则log38－2log36用a可表示为________．
【解析】由题可知，log38－2log36＝3log32－2log32－2log33＝log32－2＝a－2.
【答案】a-2
9.已知m>0，若10x＝lg(10m)＋lg ，则= .
【解析】由题可知，由10x＝lg(10m)＋lg ，可得10x＝lg 10＝1，∴x＝0.
【答案】0
10.计算= .
【解析】由题可知，原式＝＝＝－3.
【答案】-3
11.计算log43·log92－=
【解析】由题可知，log43·log92－＝·－＝log23·log32＋log22＝＋＝.
【答案】
12.计算lg－lg＋lg；
【解析】(1)法一 原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
法二 原式＝lg －lg 4＋lg 7＝lg ＝lg (×)＝lg ＝.
【答案】
13.已知， ，则用表示
【解析】，故选A
【答案】A
14.设，求的值．
【答案】1
15.若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋lobba)的值．
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
【答案】12
2.2.2 对数函数及其性质
【双向目标】
课程目标
学科素养
A掌握对数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为对数函数
B)能根据对数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出对数函数的性质
C. 能根据对数函数的性质解决和对数函数有关的问题
a数学抽象：对数函数概念的理解，会根据定义判断一个函数是否为对数函数
b逻辑推理：通过观察图象，总结出对数函数当底分别是，?的性质
c数学运算：根据单调性等性质计算参数的值
d 直观想象：做出对数函数图像并能识别图像
e 数学建模：能用对数函数的思想解决生活中的实际问题
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识点1：.对数函数定义
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.
知识点2：对数函数图像及其性质
函数
图
象
定义域
值域
R
R
定点
（1,0）
（1,0）
单调性
在上是减函数
在上是增函数
取值
情况
当x＞1时，
y＜0；
当0＜x＜1时,
y＞0
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，
y＜0
1.函数y＝log2x在[1，2]上的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
(－∞，1] D．[0，1]
2.已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝log3x
C．???D．
3.下列函数中，定义域相同的一组是( )
A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)
B．y＝x与y＝
C．y＝lg x与y＝lg
D．y＝x2与y＝lg x2
4.函数y＝的定义域是( )
A．R B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，－1)∪(－1，＋∞)
5.函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________．
6.已知函数y＝loga(x＋3)－(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________．
基础过关参考答案：
1.【解析】由题可知，因为1≤x≤2，所以log21≤log2x≤log22，即0≤y≤1，故选D.
【答案】D
2.【解析】由题可知，设函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，将M(9，2)代入，得2＝loga9，所以a2＝9，所以a＝3，即函数的解析式为y＝log3x，故选B.
【答案】B
【答案】C
4.【解析】由题可知,要使函数有意义，x的取值需满足解得x>－2，且x≠－1.故选D.
【答案】D
5.【解析】由题可知,a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.又a＋1>0，且a＋1≠1所以a＝1.
【答案】1
6.【解析】由题可知,当x＋3＝1，即x＝－2时，对任意的a>0，且a≠1都有y＝loga1－＝0－＝－，所以函数y＝loga(x＋3)－的图象恒过定点A(－2，－)，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则－＝3－2＋b，所以b＝－1
【答案】-1
【能力素养】
探究一 对数函数的图象
例1．函数与函数的图像关于直线对称，则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用对数函数的性质求解．.
综上，图象可能是A.
【答案】A
【点评】本题考查了函数图象的识别，解答中涉及到对数函数与二次函数的图象与性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
【变式训练】
1.已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
【答案】B
2.【山东省日照实验高级中学2017-2018学年高一上学期第二次阶段考试数学试题】当时，在同一坐标系中，函数与的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】当时，根据函数在R上是减函数，故排除A、B；
而在上是增函数，故排除D.
【答案】C
探究二 利用对数函数单调性比较大小 或解对数不等式
例2：【山东省临沂市沂水县第一中学2018届高三第三轮考试数学（文）试题】已知实数，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先比较a,b的大小，最后比较它们和c的大小.
【解析】因为,所以a＜b.因为,所以c>b，
【答案】D
【点评】对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．
本题主要考查对数函数的单调性和对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
【变式训练】
求不等式的解集.
【答案】
2.设，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】，，，，，的大小关系是：.
【答案】A
3.【内蒙古自治区北京八中乌兰察布分校2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题】已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若， ， ，则， ，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数为偶函数且在(?∞,0)上单调递减，所以函数在(0,+∞)上单调递增，由于，所以.
【答案】B
探究三 与对数函数有关的定义域、值域问题、单调性问题
例3：【四川省眉山第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题】函数的单调增区间是___________________.
【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数单调性的判断方法可求得答案．
【答案】
【点评】1.对复合函数的值域问题，先求出函数的定义域，根据定义域求出内函数的值域，将内函数的值域作为外函数的定义域，利用外函数的图像与性质求出外函数的值域，即为复合函数的值域.
2.与对数函数有关的单调性问题，求出内函数的单调区间结合外函数的单调性，结合复合函数的单调性确定其单调性.
【变式训练】
1.函数定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据对数函数的真数一定要大于0，可以得；又有偶次开方的被开方数非负且分式分母不为0，得到：，进而求出的取值范围．
【答案】C
2.【东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2018届高三第二次模拟考试数学（文）试题】函数的值域为_______.
【解析】由指数函数的性质可知：，
据此可知：，
函数的值域为.
【答案】.
3．【宁夏石嘴山市第三中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题】已知在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】﹣4＜a≤4
探究四 对数函数的综合运用
例4：【黑龙江省林口林业局中学2017-2018学年高二下学期期末考试理数试卷】函数
f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0(1)求方程f(x)=0的解.
(2)若函数f(x)的最小值为-1,求a的值.
【分析】（1）先求出函数定义域，利用对数的计算公式将函数式化简，令函数等于0，解对数方程，参考定义域得出结果；
（2）由对数函数与二次函数的单调性，结合定义域求出最小值点，令最小值为-1，代入求解.
【解析】（1）由对数函数的性质可知：，解得定义域为，解方程：，，解得或.
（2），
因为函数定义域为，所以，
因为，所以当，即时，函数取最小值，
所以，解得.
【答案】(1) .（2）
【点评】本题考查对数函数的有关性质，在解不等式或解方程时要注意定义域的限制，
要注意区分的不同对函数单调性的影响，必要时要对其进行分类讨论求解.
【变式训练】
1．【北京市西城区北京师范大学第二附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题】已知设函数．
（）求的定义域．
（）判断的奇偶性并予以证明．
（）求使的的取值范围．
【解析】（）要使函数（且）有意义，
当时，原不等式等价为，解得．
当，原不等式等价为，记得．
又∵的定义域为，
∴当时，使的的取值范围是．
当时，使的的取值范围是．
【答案】(1) .(2) 为奇函数；证明见解析.(3) .
2．已知函数f(x)＝lg|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)求函数f(x)的单调减区间．
【解析】(1)要使函数f(x)有意义，x的取值需满足|x|＞0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lgx的图象对称到y轴的左侧，与函数y＝lgx的图象合起来可得函数f(x)的图象，如下图所示．
(3)解法一：由图象得函数f(x)的单调减区间是(－∞，0)．
设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
∵f(x1)－f(x2)＝lg|x1|－lg|x2|＝lg＝lg||，
【答案】(1)函数f(x)是偶函数；（2）如下图；（3）单调减区间是(－∞，0)；
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
1,9
2
B
3,7
11
8,10
C
4
5,6，14
12,13，15
一、选择题
1.若，则x的值为 （ ）
A、 B、
C、 D、
【解析】由题可知，由于，所以，故；
【答案】B
如果方程的两根为，那么的值为（ ）
A、 B、
C、 D、-6
【答案】C
3.当时，在同一个坐标系中，函数与的图象是（ ）
【解析】由题可知，由于底数，故对数函数为单调递增的，又因为，因此此函数为单调递减，故选A；
【答案】A
4. 函数的定义域是（ ）
A B C D
【解析】由题可知，，解得；
【答案】D
5.设，函数在区间上的最大值与最小值之和为4，则a等于（ ）
A B C D
【解析】由题可知，当底数时，对数函数为单调递增的，因此最小值为，最大值为，即，解得；
【答案】A
6.设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg ，则( )．
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
【答案】B
7.如图所示是对数函数C1：y＝logax，C2：y＝logbx，C3：y＝logcx，C4：y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )．
A．a>b>1>c>d B．b>a>1>d>c
C．1>a>b>c>d D．a>b>1>d>c
【解析】由题可知，作直线y＝1，依次与C3，C4，C1，C2的交点，横坐标为c，d，a，b，故c【答案】B
8.函数y＝|log2x|的图象是图中的( )．
【解析】由题可知，函数定义域为(0，＋∞)，排除B.|log2x|≥0排除C，结合y＝log2x的图象知D错．
【答案】A
9.已知对数函数f(x)的反函数的图象过(2，9)，且f(b)＝，则b的值为________．
【解析】由题可知，设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则它的反函数为y＝ax，由条件有a2＝9＝32，从而a＝3.于是f(x)＝log3x，则f(b)＝log3b＝，解得b＝3＝.
【答案】
10.函数与的图像有两个公共点，则的取值范围是
【解析】由题可知，若想要两个函数有两个交点，则指数函数一定是单调递增的，因此；
【答案】
11.函数y＝logax当x>2时恒有|y|>1，则a的取值范围是________．
【解析】由题可知，a>1时，y＝logax在(2，＋∞)上是增函数，由loga2≥1，得1当0【答案】[，1)∪(1,2]
12.若，则满足的的值为
【答案】3
13.已知函数f(x)＝，那么f(ln 2)的值是________．
【解析】由题可知，ln 2【答案】1
14.已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)>f(2)，利用图象求a的取值范围．
【解析】(1)作出函数f(x)＝log3x的图象如下图，
(2)观察函数f(x)＝log3x的图象可知：若f(a)>f(2)，则a>2，所以a的取值范围是(2，＋∞)．
【答案】(1)如图；（2）a的取值范围是(2，＋∞)；
15.求函数y＝－lg2x＋6lg x的定义域和值域．
【答案】定义域是(0，＋∞)，值域是(－∞，9]．
2.3幂函数
【双向目标】
课程目标
学科素养
A掌握幂函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为幂函数
B)能根据幂函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出幂函数的性质
C. 能根据幂函数的性质解决和幂函数有关的问题
a数学抽象：幂函数概念的理解，会根据定义判断一个函数是否为幂函数
b逻辑推理：通过观察图象，总结出幂函数的相关性质
c数学运算：根据单调性等性质计算参数的值
d 直观想象：做出幂函数图像并能识别图像
e 数学建模：能用幂函数的思想解决生活中的实际问题
【课标知识】
知识提炼
基础过关
知识点1：.幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是实常数
知识点2：幂函数图像及其性质
幂函数，，，，1的图象如图所示：
(1)所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点．
(2)＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数，
(3)＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
(4)当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数．
1．若集合,则（ ）
A. B. C. D.?
2.幂函数的图象经过点，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3.给出下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是幂函数的序号为（ ）
A．（2）（3） B．（1）（2）
C．（2）（3）（5） D．（1）（2）（3）
4.函数的大致图象是（ ）
5.，则、、的大小关系为__________．
基础过关参考答案：
【答案】A
4.【解析】根据幂函数的图像和性质，知函数的定义域为，函数在其定义域内单调递减.故选A.
【答案】A
5.【解析】根据幂函数的性质，因为是上的增函数，所以，因为指数函数是上的减函数，所以，综上知，故填
【答案】
【能力素养】
探究一 幂函数的图象
如图,函数y=,y=x,y=1的图象和直线x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),则函数y=的图象经过的部分是( )
A.(4)(7) B.(4)(8)
C.(3)(7) D.(3)(8)
【分析】利用幂函数的图像性质求解．.
【答案】B
【点评】幂函数在第一象限内的图象特征(如右图）：
(1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸).
(2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点).
(3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸).
(4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点).
(5)指数小于0,在第一象限为双曲线型.
五个幂函数在第一象限内的图象大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖小横”即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型(α>1时的图象是竖直抛物线型,0<α<1时的图象是横卧抛物线型);α<0时的图象是双曲线型.
【变式训练】
1.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是 ( )
A.nm>0 D.m>n>0
【解析】由图象可知,两函数在第一象限内递减,故m<0,n<0,且2m>2n,则m>n.
【答案】A
2.【安徽省示范高中（皖江八校）2018届高三第八次（5月）联考数学文试题】已知函数的图象如图所示,则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由图像可知，，得，故选A.
【答案】A
探究二 求解幂函数的解析式
例2：如图,幂函数y=x3m-7(m∈N)的图象关于y轴对称,且与x轴,y轴均无交点,求此函数的解析式.
【分析】利用幂函数图像的特点来求解
【答案】y=x-4
【点评】求幂函数解析式的依据和常用方法(1)依据.若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.(2)常用方法.设幂函数解析式为,根据条件求出.
【变式训练】
1.如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,则m取值是 .
【解析】由题意知,m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,故m=1或m=2.经检验m=1或m=2均符合题意,即m=1或2.
【答案】1或2
2.【江西省南昌市第二中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题】幂函数过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由幂函数的定义得k=1.所以，因为幂函数经过点（4,2），所以，即
【答案】B
3.【江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题】已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
探究三 利用幂函数的单调性比较大小
例3：【新疆维吾尔自治区2018届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题】已知点在幂函数的图象上，设， ， ，则， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用幂函数的单调性，利用图像来进行比较大小
【解析】 由题意点在幂函数的图象上，即，
则，即，则在上是单调递增函数，
又，所以，所以
【答案】A
【点评】比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同,还是指数相同,若底数相同,利用指数函数的性质;若指数相同,利用幂函数的性质;若底数、指数皆不相同,考虑用中间值法,常用0和1“搭桥”进行分组.
【变式训练】
1.【宿州市十三所重点中学2017—2018学年度第二学期期中质量检测高一数学】已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2.三个数的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【解析】,,,故.
【答案】B
【课时作业】
课标 素养
数学
抽象
逻辑
推理
数学
运算
直观
想象
数学
建模
数据
分析
A
1
B
9，
2,6，11,
3,4
C
10,13
5,7，12,14,15
8
一、选择题
1．幂函数的图象经过点（2，4），则 （ ）
A. 1 B. 3 C. 9 D. 81
【解析】幂函数的图象经过点（2，4），所以，.
【答案】D
2．已知，令，，，那么之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵，∴，，，即，故选C．
【答案】C．
3．如图所示，C1，C2，C3为三个幂函数y＝xk在第一象限内的图像，则解析式中指数k的值依次可以是（ ）
A．－1，，3 B．－1，3，
C．，－1，3 D．，3，－1
【答案】A
4. 已知函数，，（其中且），在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像，其中正确的是（ ）
【解析】若a>1则三个函数在第一象限都是增函数且过（0,1），过原点，过（1,0）故此时C符合要求,故选C．
【答案】C
5．已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ）
A. B. C. D. 大小不能确定
【解析】，因为为奇数且大于零，所以，选A.
【答案】A
6．设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的值的个数为（ ）
A． 6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
7. 设，则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】由题意得，当时，，因此，故选B.
【答案】B
8. 在同一坐标系中，函数，的图象可能是（ ）
【解析】对A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对B,中，中，不符合题意；对C，中，中，不符合题意；对D，中，中，符合题意；故选D.
【答案】D
填空题
9.已知幂函数的图象与轴， 轴均无交点且关于原点对称，则__________．
【解析】由关于原点对称是奇函数 是奇数 .
【答案】2
10. 若幂函数在上为减函数，则实数的值是______．
【答案】
11. 已知函数在区间上的最大值是，则的取值范围是 ．
【解析】，作出函数图象，如图所示，因为函数在上的最大值为，又所以，即．
【答案】
12. 若函数是幂函数，则函数（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为 ．
三、解答题
13.已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求的值；
（2）当时，记的值域分别为集合，若，求实数的取值范围．
【解析】（1）依题意得：，解得或
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去．∴．
由（1）可知，当时，单调递增，∴，∵，∴，∴．故实数的取值范围是．
【答案】（1）（2）
14.已知幂函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）若，求实数的值.
【解析】（1）由，得或3，当时，是奇函数，∴不满足.
当时，∴，满足题意，
∴函数的解析式，∴.
（2）由和可得，∴或.
【答案】（1）；（2）或.
15. 已知函数是幂函数，且当时为减函数，
（1）求实数m的值；
（2）判断函数奇偶性并说明理由。
（2）由（1）知，其定义域是关于原点对称，
且满足
所以函数是奇函数
【答案】（1）;（2）为奇函数
