浙教版2019年中考数学专题复习之变式训练（共19专题）
文档属性
| 名称 | 浙教版2019年中考数学专题复习之变式训练（共19专题） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-08-24 00:00:00 | ||
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文档简介
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2019中考专题复习之变式训练（共19专题）
变式训练1 与圆的切线有关的计算
例题：（选自浙教版九年级数学教科书P42例5）
木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB=8，BC=16，求⊙O的半径．
变式1：上题中条件BC=16改为BC=4cm，其它条件均不改变，求⊙O的半径．
变式2：若将例题条件BC=16改为BC=acm，其它条件均不改变，求⊙O的半径．
变式3：如图，直线AB交圆于A，B两点，CD切⊙O于点D，且AC⊥CD，BC=2cm，AC=8cm， 求⊙O的半径．
变式4：如图，直线AB交圆于A，B两点，CD切⊙O于点D，且AC⊥CD，CA=8， CD=4，求⊙O的半径．
变式5：如图，△ACD中，AC交圆于A，B两点，CE切⊙O于点D，且AC⊥CE，AC=8， CE=4，求⊙O的半径．
变式6：如图，Rt△ABC的两边AC切⊙O于点E，BC切⊙O于点D，且AC⊥CE，AC=8， BC=16，斜边AB经过圆心，求⊙O的半径．
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=16．要从△ABC中截一个半圆，半圆的直径在三角形的一条边上，且与另两条边相切．求半圆的半径．
变式：如图，在△ABC中，AC=8，BC=16，以边AB的中点O为圆心，作半圆与BC相切，点P，Q分别是边AC和半圆上的动点，连结PQ，求PQ长的最大值与最小值的和．
例题：连结OA，OC，作AD⊥OC，垂足为D．设⊙O的半径为R．
∵ BC切⊙O于点C，
∴OC⊥BC．
∵AB⊥BC，AD⊥OC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
在△ADO中，OA2=AD2+OD2，
即R2=（R-8）2+162，解得R=20．
所以⊙O的半径为20．
变式1：如图，当BC=4＜AB时，r＜AB，此时r=BC=4．
变式2：当0变式3：连结OD，过O作OE⊥AB于E，
∵CD与⊙O相切，
∴OD⊥CD．
∵AC⊥CD，
∴四边形OECD是矩形．
∴OD=EC=5cm．
变式4：连结OD，过O作OF⊥AC于点F，易得矩形OFCD，
设OD=OF=r，AF=8-r，在Rt△AFO中，
r 2=（8-r）2+162，解得=20．
方法2：连结OD，DE
∵OD⊥CD，AC⊥CD
∴AC∥OD
∴∠1=∠2=∠3
易得△ACD∽△ADE，由对应边成比例可得AE=20．
变式5：连结OD，设OD=r，AE=4，
易得△ODE∽△ACE， = EQ \F(8－r, 8)
r=10－2．
变式6：连结OD，OE，设OD=OE=r，
易得△AOE∽△ACB， = ，r=．
问鼎巅峰：
1 直径在AB上时，如上题，r=．
2 直径落在AC上时，r=16－32．
3 当直径在BC边上时，r=4－4．
变式：∵O是AB的中点，
∴r=4 PQ最大值= 4+4．PQ最小值=4
∴最大值+最小值= 4+8．
本课题主要研究直角三角形中一直角边与圆相切，另一直角边分别与圆相交、相切、相离时，相关量的计算。计算中涉及到常规的勾股定理，三角形相似，直径所对的圆周角90°等重要性质。例如例1的解题方法主要利用矩形将圆外的线段转化成圆内的弦心距、弦长等相关线段从而用圆的基本知识求解。若将例题中AB延长，作直径，又可以用相似的基本性质求半径，如变式4．同时，变式3和问鼎巅峰都涉到分类讨论的数学思想。该课题内容是直线与圆的位置关系一章的重点难点。
变式训练2 相似三角形的应用
例题 把长为2.4米的标杆CD直立在地面上，量出旗杆AB影长EB为2.8米，标杆影长FD为1.4米 ，求旗杆的高度．
变式一 在旗杆前面的地面上平放一面镜子（E），观测者沿着直线BE后退到点D，调整位置使恰好在镜子里看到旗杆顶点A.测量出：BE=8m，DE=2.4m，CD=1.6m．求旗杆的高度．
变式二 标杆EF垂直于水平地面，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆顶点E 、旗杆顶点A在同一直线上.测量：人与标杆的距离DF为1米，人与旗杆的距离DB为5米，人的目高（眼睛离开地面的高度）CD为1.6米， 标杆EF为2.4米．求旗杆的高度．
变式三 用手举一根标尺EF，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或眼睛与标尺的距离，使标尺刚好挡住树的高度.测量：人与标尺的距离CG为1米， 人与旗杆的距离CH为5米，确认标尺的长度EF为0.9米．求旗杆的高度．
变式四 小聪想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
小晨想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，影子不全落在地面上，有一部分落在第一级台阶上，测得此影长为0.2米，一级台阶高0.3米，此时落在地面上影长为4.3米，求旗杆的高度．
例题： ∵△CDF∽△ABE， ∴ = ，∴ = ， ∴AB=4.8米．
变式一：∵△CDE∽△ABE， ∴ = ，∴ = ， ∴ AB=米．
变式二：∵△CEG∽△CAH， ∴ = ，∴ = ， ∴ AH=4米，∴ AB=5.6米．
变式三：∵△CEF∽△CAB， ∴ = ，∴ = ， ∴ AB=4.5米．
变式四：连接AC，过点C作CH⊥AB
∴ = ，∴ = ，AH=14，∴AB=14+2=16
问鼎巅峰：
∴ = ，∴ = ，∴AH=3米， ∴ AH=3+0.3=3.3米．
通过此小专题的学习，你有没有感受到数学的奇妙呢？
在生活中，我们经常利用相似三角形的原理来测量不能到达顶部的物体的高度，解决这类的关键时找到一对相似的三角形，然后利用相似三角形的性质来解决.
变式训练3 相似三角形的面积问题
例题 [舟山]如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E
在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，
则DF的长是__ __．
变式一：如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E是
CB延长线一点，DE∥AB交直线AC于点F，AB＝12，EF＝16，
则DF的长是__ __．
变式二：如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E是射线
CB边上的动点，DE∥AB交直线AC于点F，AB＝12，DF＝7，
则EF的长是__ __．
变式三：如图，在BC同侧作△ABC和△DEC，点E是射线
CB边上的动点，DE∥AB交直线AC于点F， =，若要使
△ABC和△DEC的面积相等，则 =__ __．
变式四：如图，在BC同侧作△ABC和△DEC，点E是射线
CB边上的动点，DE∥AB交直线AC于点F， = ，若要使
△ABC和△DEC的面积相等，则 =__ __．
如图，在BC同侧作△ABC和△DEC，点E是射线CB
边上的动点，DE∥AB交直线AC于点F， =k(k≠1)，若要使
△ABC和△DEC的面积相等，则 =__ __
(用含k的代数式表示) ．
例题 解： ∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，
∵EF＝9，AB＝12，∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，
∴S△CEF∶S△CBA＝9∶16，
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k.
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF＝7k，
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF∶EF＝7k∶9k，
∴DF＝7.
变式一 DF＝7
变式二 EF= 9或16
变式三 =
变式四 =
问鼎巅峰 点E在BC边上，即k >1 ， = k2－1
点E是CB延长线一点，即k<1， =1－ k2
通过此小专题的学习，对三角形的面积比与相关线段比的关系有了比较全面的理解。
三角形的面积比与相关线段比的关系一般有如下两种情况：
（1）相似的两个三角形面积比等于相似比平方，
（2）等底不等高的三角形的面积比等于对应高的比；等高不等底的三角形的面积比等于对应底的比。
在计算过程中还需注意等量代换的应用。在审题过程中，还需注意点的位置（直线或射线或线段）
变式训练4 线段和差问题
例1.如图，⊙O的半径OA=5cm,弦AB=8cm,P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是 .
变式一:在△ABC中，AB＝6，AC ( http: / / www.21cnjy.com )＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ______．
变式二:已知抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1） 求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标．
1.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，
点M，N分别在边BC，CD上，连结AM，AN，MN，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）．
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
2．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A，E两点，与x轴交于B，C两点，且B点坐标为 (1，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，
求出点M的坐标．
例1：3cm
变式一：2.4 变式二：（1）；（2）P（1,2）
问鼎巅峰：
1.B 2.（1）；（2）
线段和差的问题，往往是借助图形变换转移线段达到共线的目的。
主要方法：①正确合理的添加辅助线，寻找解决问题的方法；②通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法。
线段的和差最值问题因其问法多样化、条件隐含化、解法多元化，学生往往不易发现问题的本质，难以找到有效的解题方法，教师在教学时能结合题意，借助相关的概念、图形的性质将最值问题化归与转化为相应的数学模型（线段公理、垂线段最短、三角形三边关系等）进行分析与突破，注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维。
变式训练5 直角三角形
例题： 如图1，已知△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6，求△ABC的面积.
图1
变式1：如图2，已知△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6，点D是AB边上的任意一点，则线段CD的取值范围是多少？
图2
变式2：如图2，已知△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6，点D是AB边上中点，则线段CD的长为多少？
变式3：如图2，已知△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6，CD平分∠ACB，则线段CD的长为多少？
变式4：如图3，已知△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6， BD平分∠ABC时，求BD的长.
图3
如图4，已知△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6， 点D是AC边上的一个动点，以BD为折痕将△ABD折叠得到△A’BD，A’B与AC交于点E，当△A’ED为直角三角形时，求BD的长.
图4
例题：24
变式1：4.8≤CD≤8
变式2：CD=5
变式3：CD=
变式4：BD=3√5
问鼎巅峰
BD=3√5或6√2
通过一个图形贯穿整个变式，按照逐层递进的思维进行变式设计，意在通过知识的梳理理解方法形成能力。
变式训练6 HOLD住三角板
例．利用一副三角板，可以拼出哪些度数的锐角，哪些度数的钝角？
变式一.若将一副三角板如图1放置，若∠BOC与∠AOD的
度数之比为2:7，你能求出∠AOD的度数吗？
变式二．.若将一副三角板如图2放置．
（1）若，则________．
（2）若，则___________．
变式三．将一副三角板的两三角板如图3放置，平分，平分．
（1）求的大小．
（2）将三角板绕点旋转（角的三角板不动），则的大小是否变化？若变化，求出的度数；若不变，说明理由．
变式四．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图5放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
（1）试说明：；
（2）如图6，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度，平分，平分，求；
变式四条件不变，如图7，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角形旋转过程中（转到与重合时，两三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．
例．15 ， 30 ， 45 ， 60 ， 75 ， 105 ， 120 ， 135 ， 150 ．
变式一. ∠AOD=140
变式二．（1）；（2）
变式三．
（1）
（2）在旋转的过程中，这一关系不变，从而．
变式四．
(1)略
（2），设，．
问鼎巅峰：设运动时间为秒，则，，，，．
，为定值．
一副三角板中蕴涵着丰富的思维宝藏，玩转三角板就是以三角板为道具，以常见的、熟悉的几何图形为载体，并辅之以平移、旋转、翻折等变换手段衍生的一系列问题，在操作中思考，有利于培养手脑和谐一致的实践能力、发散思维能力和探索创新能力。
变式训练7 旋转变换的运用
例：如图，苗圃（Rt△ABC）由正方形花坛（正方形BEDF）和两块直角三角形(Rt△CDF,Rt△ADE)的草皮组成，如果AD=3米，CD=6米，你能求出草皮的面积是多少？
变式一：如图，△ABC中，AB＝3，AC＝7，则BC边上的中线AD的取值范围是 ________
变式二：AD是△ABC的中线，CF交AB于F，交AD于G,且 AF=FG.．试说明AB=CG
变式三：如图在四边形ABCD中，CD=AD, ∠CDA=60°，∠CBA=120°．证明：BC+BA=BD
变式四：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，BD＝4，则四边形ABCD的面积是多少？
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交边AC，CB于点D，E。
在图①、②的过程中，线段PD和PE之间有怎样的大小关系，以图②为例，说明理由。
例 解：∵四边形BEDF是正方形，
∴DF=DE，∠FDE=90°，
将△ADE顺时针旋转90°得到△A’DF
易知，∠ADA’=∠GDA/=90°，
△ADE≌△A’DF，
∴A’D= AD=3，
又∵DG=6，
∴（平方米）
变式一： 解： 延长AD至E，使得AD=DE，连结CE，
根据旋转的特征易知，△ABD≌△ECD，
∴AD=DE，CE=AB=3，
又∵AC=7，根据三角形任意两边之和大于第三边，
三角形任意两边之差小于第三边，
∴7－3又∵AD=DE，
∴2变式二： 解： ∵延长AD至E，使得AD=DE，连结CE，
根据旋转的特征易知，△ABD≌△ECD，
∴∠E=∠BAD，AB=CE，
∵AF=FG.
∴∠FAG=∠FGA
∴∠FGA=∠E，
又∵∠FGA=∠EGC，
∴∠E=∠EGC，
∴CG=CE
∴AB= CG
变式三： 解：∵CD=AD，∠CDA=60°，将△BCD绕点D
逆时针旋转60°得到△EAD
∴△BCD≌△EAD
∴∠C=∠DAE，AE=CB
∵ ∠CBA=120°，根据四边形内角和等于360°
∴∠BAD+∠C=180°，
又∵∠BAD+∠DAE=180°，
∴B、A、E三点共线，
∴BA+AE=BE
又∵AE=BC
∴BC +BA=BE
∵∠BDE=∠CDA=60°
又∵BD=ED
∴△BDE是等边三角形．
∴BD=BE
∴BC +BA=BD
变式四： 解：∵CD=AD，∠CDA=90°，将△BCD绕点
D逆时针旋转90°得到△B’AD
∴△BCD≌△B’AD，
∴∠C=∠DAB’，AB’=CB
∵ ∠CBA=90°，根据四边形内角和等于360°
∴∠BAD+∠C=180°，
又∵∠BAD+∠DAB’=180°，
∴B、A、B’三点共线，
∴
问鼎巅峰
解：如图，连结CP，
∵P为等腰Rt△ABC的斜边AB边上的中点，
∴BP=CP，且∠BPC=∠EPD=90°，
∴∠DPC=∠EPB
又∵∠DCP=∠EBP=45°
∴△DCP≌△EBP（ASA）
∴PD=PE
通过这个专题的学习，你们有没有感受到数学图形的魅力呢？复杂的图形通过探寻各边之间的等量关系，将线段的旋转问题转化成三角形的旋转问题，通过旋转，得出不共边线段之间的数量关系，把不规则图形转化成为规则图形，从而问题迎刃而解。
精题精练的例题与变式让我们充分透析图形本质，使我们在复杂的图形中寻找旋转所具备的基本特征，建立模型思想。这就是我们学习数学知识，探寻数学规律，学会“以不变应万变”的一种途径。
变式训练8 最短路径问题
例题 在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，
点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是_____________.
变式1 如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 ．
变式2 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是 ．
变式3如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是 ．
变式4如图，抛物线y=－x2+4x+5与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），
点P是第一象限内的抛物线上的动点．△PCM是以CM为底
的等腰三角形，则点P的坐标为__________；
当a=__________时，四边形PMEF周长最小．
如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；
（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR
①求证：PG=RQ；
②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．
例题：
变式1：
变式2：4
变式3：10
变式4：
问鼎巅峰：解：（1）b=﹣2，c=3．
（2）点M坐标（﹣，）．
（3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形，
∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，
∴∠QAR=∠GAP，
在△QAR和△GAP中，
，
∴△QAR≌△GAP，
∴QR=PG．
②点P的坐标（﹣，）．
通过此小专题的学习，你对利用轴对称解决最短路线问题有较为深刻的理解了吗？
利用轴对称解决最短路线问题的主要思想是将两点在某条直线同侧的问题转化为异侧的问题，然后应用基本事实“两点之间，线段最短”。两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”．
变式训练9 钟表上的数学问题
知识准备：普通钟表相当于圆，其时针或分针走一圈均相当于走过360°角；钟表上的每一个大格（时针的一小时或分针的5分钟）对应的角度是30°角.时针每走过1分钟对应的角度应为0.5°角.分针每走过1分钟对应的角度应为6°角.
例题1(1) :如图1所示，当时间为7：55时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）.（提示：我们以时针、分针均在12点时为起始点进行计算.由于分针在时针前面，我们可以先算出分针走过的角度，再减去时针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数.）
变式一：如图2所示，当时间为7：15时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。
变式二：当时间为m时n分时，其时针与分针夹角的度数为：
（1）分针在时针前面： _______________________________
（2）分针在时针后面：_________________________________
综上所述，当时间为m点n分时，其时针与分针夹角的度数为：
变式三: 在下午2点到3点之间，时钟的时针和分针何时重叠？
变式四 ：钟面上，如果把时针和分针看做是同一平面内的两条线段，在7：30~8：00之间，时针与分针互相垂直的时刻是多少？
钟面角是指时钟的时针与分针所成的角.从上午8点整到上午11点整，钟面角为90°的情况出现了 ________次
例题1(1) ：解：分针走过的角度为：55×6°＝330°，时针走过的角度为：，则时针与分针夹角的度数为：
变式一：解：分针走过的角度为：15×6°＝90°，时针走过的角度为：，则时针与分针夹角的度数为：
变式二：（1）
（2）
变式三：
变式四：
问题巅峰：4次
在初中数学学习中，钟表问题经常出现，计算起来也比较难，其中计算时针与分针夹角度数的问题就困扰着我们中学生。其计算方法很多，但如何计算更便捷在实际学习过程中似乎缺少总结。根据上述例题我们可以总结出规律：当时间为m时n分时，其时针与分针夹角的度数为： .通过本小专题的学习，在遇到时针分针夹角计算的问题，我们就可运用此规律便捷计算.
变式训练10 线段和差（最值）问题
例1.如图，⊙O的半径OA=5cm,弦AB=8cm,P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是 .
变式一:在△ABC中，AB＝6，AC ( http: / / www.21cnjy.com )＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ______．
变式二:已知抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1） 求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标．
1.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，
点M，N分别在边BC，CD上，连结AM，AN，MN，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）．
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
2．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A，E两点，与x轴交于B，C两点，且B点坐标为 (1，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，
求出点M的坐标．
例1：3cm
变式一：2.4 变式二：（1）；（2）P（1,2）
问鼎巅峰：
1.B 2.（1）；（2）
线段和差的问题，往往是借助图形变换转移线段达到共线的目的。
主要方法：①正确合理的添加辅助线，寻找解决问题的方法；②通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法。
线段的和差最值问题因其问法多样化、条件隐含化、解法多元化，学生往往不易发现问题的本质，难以找到有效的解题方法，教师在教学时能结合题意，借助相关的概念、图形的性质将最值问题化归与转化为相应的数学模型（线段公理、垂线段最短、三角形三边关系等）进行分析与突破，注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维。
变式训练11 平行线间的折线问题
例．如图1，m∥n ，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α、β，则α+β=_____ ．
变式一 如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是_____ ．
变式二 如图3，已知MA∥NB，CA平分∠BAE，CB平分∠ABN，点D是射线AM上一动点，连DC，当D点在射线AM(不包括A点)上滑动时，∠ADC+∠ACD+∠ABC的度数是否发生变化 若不变，说明理由，并求出度数．
变式三 如图4，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过P点作PM、PE交CD于点M，交AB于点E．当点E、M在AB、CD上运动时，则∠3+∠4 ∠1 ∠2不变，请说明理由．
变式四 小学四年级我们已经知道三角形三个内角和是180°，对于如图1中，AC、BD交于O点，形成的两个三角形中的角存在以下关系：(1)∠DOC=∠AOB，(2)∠D+∠C=∠A+∠B.试探究下面问题：
已知∠BAD 的平分线AE与∠BCD 的平分线CE交于点E，
(1)如图2，若AB∥CD，∠D =30°，∠B =40°，则∠E= ；
(2)如图3，若AB不平行CD，∠D =30°，∠B =50°，则∠E= ；
(3)在总结前两问的基础上，借助图3，探究∠D =30°，∠B =40°，则∠E= ；∠E与∠D、∠B之间是否存在某种等量关系 若存在，请说明理由；若不存在，请举例说明.
如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上.
(1)填空：∠1= °，∠2= ° ；
(2)现把三角板绕B点逆时针旋转n°.
①如图2，当0= 2 \* GB3 ②当0例．90°
变式一 15°
变式二 解：不变. ∠ADC+∠ACD+∠ABC=90°
∵MA // NB，∴∠EAB+∠ABN=180°，
∵CA平分∠BAE，CB平分∠ABN，
∴2∠EAC=∠EAB，2∠ABC=∠ABN，
∴∠EAC+∠ABC=90°，
∵∠EAC=∠ADC+∠ACD，
∴∠ADC+∠ACD+∠ABC=90°
变式三 解：作PQ//AB，如图.
∵AB // CD，∴PQ//CD，
由PQ//AB得∠APQ+∠3+∠4=180°，
由PQ// CD得∠5=∠2，
∵∠APQ+∠5+∠1=90°，
∴180° ∠3 ∠4+∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4 ∠1 ∠2=90°
变式四 (1)35°；(2) 40° ；
(3) 2∠E=∠D+∠B
问鼎巅峰：(1)∠1=120°，∠2=90° ；
(2) ①∠1=120° n°，∠2=90°+ n° ；
②当n=30°时，AB⊥DG；
当n=90°时，BC⊥DG，AC⊥DE；
当n=120°时，AB⊥DE；
当n=180°时，AC⊥DG，BC⊥DE；
当n=210°时，AB⊥DG；
当n=270°时，BC⊥DG，AC⊥DE；
当n=300°时，AB⊥DE；
我们通常把平行线间的相关问题转化到找角的相互关系上来，通过添加适当的辅助线，结合三角形的内角和，灵活运用数形结合、分类讨论。通过对问题的深度学习，有利于思维的延伸与拓展。
变式训练12 巧用面积法解决数学问题
【例题】如图所示，已知△ABC中，AB=AC=8，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，若△ABC的面积为14。问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由。
变式一：已知等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，BH⊥AC于点H。试猜想PD、PE、BH之间的关系，并说明理由。
变式二：在上题中，如果P在BC或CB的延长线上，结论还成立吗？
变式三：如图，P是边长为2的等边△ABC内任意一点，过P 分别作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF的值为多少？
变式四：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PE⊥BD于点E，PF⊥AD于点F。
⑴当∠A=30°时，求证：PE+PF=BC
试猜想PD、PE、BH之间的关系，并说明理由。
⑵当∠A≠30°（∠A＜∠ABC)时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明；如果不正确，请说明理由。
变式五：G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD=5，求FG的值。
例：解：∵△ABC的面积为14
∴PD+PE的值为定值
连AP
∵AB=AC=8
∴
∴
变式一：如图添加辅助线，同理可证PD+PE=BH
变式二：PD+BH=PE或 PE+BH=PD，
变式三：PD+PE+PF=
变式四：(1)可利用在直角三角形 ( http: / / www. / s q=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "_blank )中30°的角所对的直角 ( http: / / www. / s q=%E7%9B%B4%E8%A7%92&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "_blank )边等于斜边 ( http: / / www. / s q=%E6%96%9C%E8%BE%B9&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "_blank )的一半
由∠A=30° ，PF⊥AD， 可证得PF=
∵AD=BD ，∴∠PBE=30° ，∵PE⊥BD ，∴PE=
∴PE+PF=+==BC
(2)当∠A≠30°时结论依然成立，过点P作PG⊥BC交BC于点G ，可知PE=CG
由AD=BD可知∠A=∠PBD
由PG⊥BC 和AC⊥BC 可知AC∥PG， ∴∠A=∠BPG
∴∠PBD =∠BPG
∴△BPE≌△PBG
∴PE=BG
∴PE+PF= BG + CG =BC
变式五：如图，连接AG，则SABCD=2S△ADG，
SDEFG=2S△ADG，
∴SABCD=SDEFG，即42=5×FG
∴FG=
在证明与高有关的线段相等的问题时，可以结合三角形的面积计算，会达到事半功倍的效果。
变式训练13 一元一次方程应用——列代数式分段讨论
例1. 为了加强公民的节约意识，我市出台阶梯电价计算方案：居民生活用电将月用电量分为三档，第一档为月用电量200度（含）以内，第二档为月用电量200～320度（含），第三档为月用电量320度以上．这三个档次的电价分别为：第一档0.52元/度，第二档0.57元/度，第三档0.82元/度．
若某户居民1月份用电250度，则应收电费：0.52×200+0.57×（250﹣200）=132.5元．
（1）若某户居民10月份电费78元，则该户居民10月份用电 度；
（2）若该户居民2月份用电340度，则应缴电费 元；
（3）用x（度）来表示月用电量，请根据x的不同取值范围，用含x的代数式表示出月用电费用．
及时变式：某市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米）：
价目表
每月用水量 单价
不超出6m3的部分 2元/m3
超出6m3不超出10m3的部分 4元/m3
超出10m3的部分 8元/m3
注：水费按月结算
请根据上表的内容解答下列问题：
（1）填空：若该户居民2月份用水4m3，则应收水费 元；
（2）若该户居民3月份用水am3（其中6m3＜a＜10m3），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简）
上题条件不变，若该户居民4，5两个月共用水15m3（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水xm3，求该户居民4，5两个月共交水费多少元？（用含x的代数式表示，并化简）
例1：解（1）∵0.52×200=104＞78，∴该户居民10月份用电少于200度，设该户居民10月份用电x度，依题意有0.52x=78，解得x=150．故该户居民10月份用电150度；
（2）若该户居民2月份用电340度，则应缴电费：
200×0.52+（320﹣200）×0.57+（340﹣320）×0.82=104+68.4+16.4=188.8（元）．
答：应缴电费188.8元；
（3）含x的代数式表示出月用电费用为．
及时变式：解：（1）根据题意得：2×4=8（元）；
（2）根据题意得：4（a﹣6）+6×2=4a﹣12（元）；
问鼎巅峰：（3）由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于7.5m3，
当4月份的用水量少于5m3时，5月份用水量超过10m3，
则4，5月份共交水费为2x+8（15﹣x﹣10）+4×4+6×2=﹣6x+68（元）；
当4月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，5月份用水量不少于9m3，但不超过10m3，
则4，5月份交的水费为2x+4（15﹣x﹣6）+6×2=﹣2x+48（元）；
当4月份用水量超过6m3，但少于7.5m3时，5月份用水量超过7.5m3但少于9m3，
则4，5月份交的水费为4（x﹣6）+6×2+4（15﹣x﹣6）+6×2=36（元）；或者6×2×2+3×4=36（元）
例1考查了一元一次方程的应用和列代数式，读懂题目信息是首要，理解阶梯电价的收费方法和电费的计算方法是解题的关键，用代数式分段表示阶梯电费，并兼顾自变量的取值范围是规范保证．
变式练习同样考查在理解分段意义上列代数式表示，而问鼎巅峰难在并没有限定4、5月份的具体用水量，因此本题的答案要分析具体情况才能得出，需注意分类讨论思想的应用．
如果没有限制5月份用水量超过了4月份，或者把水量提高到22 m3，各位不妨一试，也还是很有意思的。
变式训练14 韦达定理
例：已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根．
求：m+n= ，m n= ；
变式一： 已知方程4x2﹣2x﹣1=0的两个根为x1，x2，求下列代数式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
变式二：设a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b﹣1=0，且a≠b，则a+b=
变式三：设a2+1=3a，b2+1=3b．则代数式的值为
变式四：若一元二次方程2x2+mx﹣3=0的一根大于1，另一根小于1，求m的取值范围．
已知x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，则x＋14x2＋55＝______．
【例题】直接根据根与系数的关系求解；
得m+n=﹣=3，mn=；
变式一：解：∵方程4x2﹣2x﹣1=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=，x1 x2=﹣；
（1）原式===﹣2；
（2）原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×（﹣）=；
（3）原式===﹣3；
（4）原式=（x1+x2）2﹣4x1x2=﹣4×（﹣）=．
变式二：对于a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b﹣1=0两个方程．
我们可以把a，b看作是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0两个根，
由韦达定理可得：a+b=2；
变式三：当a≠b，对于a2+1=3a，b2+1=3b两个方程．我们可以把a，b看作是一元二次方程x2﹣3x+1=0两个根，由韦达定理可得：a+b=3，ab=1
所以：+===3
当a=b，则原式=2
∴答案为2或者3
变式四： ，解得m＜1．
问鼎巅峰
【解析】 ∵x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，
∴x＋4x1＋2＝0，x1＋x2＝－4，x1·x2＝2，
∴x＝－4x1－2，
而x＝x·x1，∴x＋14x2＋55
＝x·x1＋14x2＋55
＝(－4x1－2)·x1＋14x2＋55
＝－4x－2x1＋14x2＋55
＝－4(－4x1－2)－2x1＋14x2＋55
＝14(x1＋x2)＋8＋55
＝14×(－4)＋63＝7.
本类题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
变式训练15 一次函数面积问题
例题：求直线y=-2x+4与坐标轴围成的面积.
变式1：求直线y=kx+4与坐标轴围成的面积为4，求k的值.
变式2：已知直线y=kx+b经过点(2，0)， 此直线和坐标轴所围成的面积为4，
求k，b的值.
变式3：已知直线y=-2x+4和y=x+1，求它们x轴围成的三角形的面积.
变式4：已知直线y=-2x+4、y=kx+4及x轴围成的面积为3，求k的值.
已知直线y=-2x+4交y轴于点A，与直线y=x+1交于点B，在直线y=x+1上有点C，若△ABC的面积为3，求点C的坐标
变式：已知直线y=-2x+4上与直线y=x+1交于点B，直线y=-2x+4上点A的横坐标为-1，在直线y=x+1上有点C，若△ABC的面积为3，求点C的坐标
例题：4
变式1：k=2或-2
变式2：k=2时b=-4； k=-2时b=4
变式3：3
变式4：k=-8或-8/7
问鼎答案：C1（-1，0）C2（3，4）
变式：C1（0，1）C2（2，3）
由图象很快可求得直线与坐标轴围成的面积，关键在于先求出直线与坐标轴的交点坐标。再通过变式，解决已知面积求直线解析式的问题，关键还是在于先表示出直线与坐标轴的交点坐标。分类讨论显得很自然。从一条非坐标轴直线到两条直线，由易到难；从已知直线求面积到已经面积求直线方程问题，让学生充分体验知识的发生发展过程，有利于知识的构建。
变式训练16 动线问题 ——平移
例题 如图，已知直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点．x轴上一动点M(m，0)，
MN∥y轴，与直线AB交于点N，求MN的长（用含m的代数式表示）．
变式1．如图，已知直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线BC过点C(3，0)．x轴上一动点M(m，0)，MN∥y轴，与直线AB，直线BC分别交于点N，P．
(1) 求NP的长（用含m的代数式表示）；
(2) 若NP=OB，求m的值；
(3) 若存在M，N，P三点，其中一点是另两点的连线段的中点，
请直接写出满足条件m的值．
变式2．如图，已知直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线BC过点C(3，0)．抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．x轴上一动点M(m，0)，MP∥y轴，与直线BC，抛物线分别交于点P，Q．
(1) 抛物线的解析式为 ；
(2若3PQ=OB，直接写出m的值；
(3)在直线MP的运动过程中，是否存在△CMQ与△AOB相似，若存在，
请求出m的值．若不存在，请说明理由．
如图，已知直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线BC过点C(3，0)．抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．x轴上一动点M(m，0)，MQ∥y轴，与抛物线交于点Q．将直线AB向下平移，记平移后的直线与x轴，y轴分别交于A′，B′，问在平移的过程中在y轴右侧抛物线上是否存在一点E，使得△A′B′E是以A′B′为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
例题 方法1：m<－1，MN=－3m－3；m>－1，MN=3m+3．
方法2：MN=|3m+3|．
变式一 (1) 方法1： m<0， NP=－4m； m>0，NP=4m．
方法2：NP=|4m|．
(2) m=±
(3) m<－1，m=－3； －103，不存在．
变式二 (1) y=－x2+2x+3．
(2) PQ=|－m2+3m|=1
∴m= EQ \F(3±,2)，m= EQ \F(3±,2)
(3) m<－1，如图1
CM=3－m，MQ=m2－2m－3
∴=或=3
∴m1=－4，m2=3(舍去)，
m3=－，m4=3(舍去)．
－1CM=3－m，MQ=－m2+2m+3
∴=或=3
∴m1=2，m2=3(舍去)，
m3=－，m4=3(舍去)．
m>3，如图3
CM= m－3，MQ=m2－2m－3
∴=或=3
∴∴m1=2(舍去)，m2=3(舍去)，
m3=－(舍去)，m4=3(舍去)．
综上所述，当m=－4，－， 2，－ 时，△CMQ与△AOB相似
勇攀高峰
Ⅰ．B′在A′上方
以B′为直角顶点．如图4，
方法1：设GB′=EF=n，则GA′=BF=3n，则E(3n，2n)，
∴－(3n)2+2×(3n)+3=2n
∴n1= EQ \F(2+,9)，n2= EQ \F(2－,9)(舍去)
∴m=3n=EQ \F(2+,3)
方法2：设E(m，－m2+2m+3)
∴GB′=EF=m，则GA′=BF=－m2+2m+3，
∴m－m2+2m+3= m
∴m1=EQ \F(2+,3) ，m2=EQ \F(2－,3)(舍去)
以A′为直角顶点，显然不存在．
Ⅱ．A′在B′上方
以A′为直角顶点，如图5，m=EQ \F(9+,8)
以B′为直角顶点，如图6，m=EQ \F(5+2,3)
综上所述，当m=EQ \F(2+,3)，EQ \F(9+,8)，EQ \F(5+2,3)时，△A′B′E是以A′B′为直角边的等腰直角三角形．
通过此小专题的学习，对动态问题中的平移动线问题应有一个较为清晰的基本思路：
（1）因动线而得的动点的坐标表示通常不变，需表示的线段长的表通常会发生变化；
（2）线段长的表示发生变化一般由需表示线段端点的相对位置发生变化；
（3）画出需表示线段端点的相对位置不变时的状态图，化动为静；
（4）计算时，通常采用两种方法：
方法1：设点的坐标→线段长
→列方程
几何关系
方法2：设线段长
→表示点的坐标→代入解析式列方程
几何关系
变式训练17 三角形裁剪问题
例题：如图（a）是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=80cm，
(1)将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条（阴影部分），
①EF= ；
②若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边
（纸条不重叠），如图（b） 正方形美术作品
的面积最大不能超过 cm2
(2) 将斜边上的高CD五等分，然 后裁出4张宽度相等的长方形纸条．则这4张纸条的面积和是 cm2．
(3) 若将斜边上的高CD n等分，然后裁出（n－1）张宽度相等的长方形纸条．则这
（n－1）张纸条的面积和是 cm2．
变式△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，
(1) 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由。
(2) 图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2 (如图2)，则S2 ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S3，继续操作下去……，则第10次剪取时，S10= ；
(3) 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和。
若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．
（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．
（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．
①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？
②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．
（1）答案不唯一，根据已知举出即可；（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出==，==，==，==，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，根据已知判断即可；②设AM=h，根据△ABC∽△AB3C3，得出==，求出MN=GN=GH=HE=h，分为两种情况：当B3C3=2×h，时，当B3C3=×h时，代入求出即可．
解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；（2）①以B1C1为一边的矩形不是方形．理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，∴=，==，==，==，∵AM=20，BC=25，∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，∴MN=GN=GH=HE=4，∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4，即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，∴以B1C1为一边的矩形不是方形；②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h，∴△ABC∽△AB3C3，∴==，则AG=h，∴MN=GN=GH=HE=h，当B3C3=2×h，时，=；当B3C3=×h时，=．综合上述：BC与BC边上的高之比是或．
本专题考查相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应高的比等于相似比．
变式训练18 三角形中的矩形问题
例1.如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点,若AO=5cm，则AB的长为 .
变式一:如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至
△EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 ．
变式二:如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为 ．
变式三:如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 ．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为(3,15)，且过点(-2,10)，对称轴AB交x轴于点B，点E是线段AB上一动点，以EB为边在对称轴右侧作矩形EBCD，使得点D恰好落在抛物线上，点D’是点D关于直线EC的轴对称点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D恰好落在y轴上的点(0,6)时，求此时D点的坐标；
（3）直线CD交对称轴AB于点F；
①当点D在对称轴AB的左侧时，且△ED’F∽△CDE，求出DE:DC的值；
②连结BD，是否存在点E，使△ED’B为等腰三角形？若存在，请直接写出BE:BC的值，若不存在请说明理由。
例1.8
变式一.;变式二：；变式三：或
问鼎巅峰：
（1）
（2）D(8，10)
（3）①；②或
矩形中的折叠问题，需要抓折叠后的组合图形中，能够形成全等三角形，等腰三角形，抓住相等的线段和相等角。
主要方法：①正确合理的添加辅助线，寻找解决问题的方法；②通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法。
利用勾股定理，寻找特殊位置，注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维。
变式训练19 矩形中的折叠问题
例1.如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点,若AO=5cm，则AB的长为 .
变式一:如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至
△EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 ．
变式二:如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为 ．
变式三:如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 ．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为(3,15)，且过点(-2,10)，对称轴AB交x轴于点B，点E是线段AB上一动点，以EB为边在对称轴右侧作矩形EBCD，使得点D恰好落在抛物线上，点D’是点D关于直线EC的轴对称点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D恰好落在y轴上的点(0,6)时，求此时D点的坐标；
（3）直线CD交对称轴AB于点F；
①当点D在对称轴AB的左侧时，且△ED’F∽△CDE，求出DE:DC的值；
②连结BD，是否存在点E，使△ED’B为等腰三角形？若存在，请直接写出BE:BC的值，若不存在请说明理由。
例1.8
变式一.;变式二：；变式三：或
问鼎巅峰：
（4）
（5）D(8，10)
（6）①；②或
矩形中的折叠问题，需要抓折叠后的组合图形中，能够形成全等三角形，等腰三角形，抓住相等的线段和相等角。
主要方法：①正确合理的添加辅助线，寻找解决问题的方法；②通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法。
利用勾股定理，寻找特殊位置，注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维。
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
A
B
C
E
F
D
A
B
C
E
F
D
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
变式二图
例1图
变式一图
二、勇攀高峰峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
B
C
O
D
A
B
C
O
D
A
图1
图2
图4
图3
图6
图5
二、勇攀高峰
图7
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
①
②
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
变式二图
例1图
二、勇攀高峰峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
图1
图2
图3
3
图4
图3
图2
图1
二、勇攀高峰
图1
图2
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
A
B
x
y
M
N
O
A
B
x
y
M
N
C
P
O
A
B
x
y
C
O
备用图
A
B
x
y
C
O
备用图
A
B
x
y
M
Q
C
P
O
二、勇攀高峰
A
B
x
C
O
y
三、参考答案
A
B
x
y
M
Q
C
O
图1
A
B
x
y
M
Q
C
O
A
B
x
y
M
Q
C
O
图3
A′
B′
x
y
E
C
O
F
G
图4
A′
B′
x
y
E
C
O
图5
A′
B′
x
y
E
C
O
图6
四、回顾小结
一、精讲精练
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
图2
图3
A
B
C
D
E
F
A
B
C
M
N
P
Q
乙
图1
甲
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
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2019中考专题复习之变式训练（共19专题）
变式训练1 与圆的切线有关的计算
例题：（选自浙教版九年级数学教科书P42例5）
木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB=8，BC=16，求⊙O的半径．
变式1：上题中条件BC=16改为BC=4cm，其它条件均不改变，求⊙O的半径．
变式2：若将例题条件BC=16改为BC=acm，其它条件均不改变，求⊙O的半径．
变式3：如图，直线AB交圆于A，B两点，CD切⊙O于点D，且AC⊥CD，BC=2cm，AC=8cm， 求⊙O的半径．
变式4：如图，直线AB交圆于A，B两点，CD切⊙O于点D，且AC⊥CD，CA=8， CD=4，求⊙O的半径．
变式5：如图，△ACD中，AC交圆于A，B两点，CE切⊙O于点D，且AC⊥CE，AC=8， CE=4，求⊙O的半径．
变式6：如图，Rt△ABC的两边AC切⊙O于点E，BC切⊙O于点D，且AC⊥CE，AC=8， BC=16，斜边AB经过圆心，求⊙O的半径．
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=16．要从△ABC中截一个半圆，半圆的直径在三角形的一条边上，且与另两条边相切．求半圆的半径．
变式：如图，在△ABC中，AC=8，BC=16，以边AB的中点O为圆心，作半圆与BC相切，点P，Q分别是边AC和半圆上的动点，连结PQ，求PQ长的最大值与最小值的和．
例题：连结OA，OC，作AD⊥OC，垂足为D．设⊙O的半径为R．
∵ BC切⊙O于点C，
∴OC⊥BC．
∵AB⊥BC，AD⊥OC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
在△ADO中，OA2=AD2+OD2，
即R2=（R-8）2+162，解得R=20．
所以⊙O的半径为20．
变式1：如图，当BC=4＜AB时，r＜AB，此时r=BC=4．
变式2：当0
∵CD与⊙O相切，
∴OD⊥CD．
∵AC⊥CD，
∴四边形OECD是矩形．
∴OD=EC=5cm．
变式4：连结OD，过O作OF⊥AC于点F，易得矩形OFCD，
设OD=OF=r，AF=8-r，在Rt△AFO中，
r 2=（8-r）2+162，解得=20．
方法2：连结OD，DE
∵OD⊥CD，AC⊥CD
∴AC∥OD
∴∠1=∠2=∠3
易得△ACD∽△ADE，由对应边成比例可得AE=20．
变式5：连结OD，设OD=r，AE=4，
易得△ODE∽△ACE， = EQ \F(8－r, 8)
r=10－2．
变式6：连结OD，OE，设OD=OE=r，
易得△AOE∽△ACB， = ，r=．
问鼎巅峰：
1 直径在AB上时，如上题，r=．
2 直径落在AC上时，r=16－32．
3 当直径在BC边上时，r=4－4．
变式：∵O是AB的中点，
∴r=4 PQ最大值= 4+4．PQ最小值=4
∴最大值+最小值= 4+8．
本课题主要研究直角三角形中一直角边与圆相切，另一直角边分别与圆相交、相切、相离时，相关量的计算。计算中涉及到常规的勾股定理，三角形相似，直径所对的圆周角90°等重要性质。例如例1的解题方法主要利用矩形将圆外的线段转化成圆内的弦心距、弦长等相关线段从而用圆的基本知识求解。若将例题中AB延长，作直径，又可以用相似的基本性质求半径，如变式4．同时，变式3和问鼎巅峰都涉到分类讨论的数学思想。该课题内容是直线与圆的位置关系一章的重点难点。
变式训练2 相似三角形的应用
例题 把长为2.4米的标杆CD直立在地面上，量出旗杆AB影长EB为2.8米，标杆影长FD为1.4米 ，求旗杆的高度．
变式一 在旗杆前面的地面上平放一面镜子（E），观测者沿着直线BE后退到点D，调整位置使恰好在镜子里看到旗杆顶点A.测量出：BE=8m，DE=2.4m，CD=1.6m．求旗杆的高度．
变式二 标杆EF垂直于水平地面，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆顶点E 、旗杆顶点A在同一直线上.测量：人与标杆的距离DF为1米，人与旗杆的距离DB为5米，人的目高（眼睛离开地面的高度）CD为1.6米， 标杆EF为2.4米．求旗杆的高度．
变式三 用手举一根标尺EF，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或眼睛与标尺的距离，使标尺刚好挡住树的高度.测量：人与标尺的距离CG为1米， 人与旗杆的距离CH为5米，确认标尺的长度EF为0.9米．求旗杆的高度．
变式四 小聪想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
小晨想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，影子不全落在地面上，有一部分落在第一级台阶上，测得此影长为0.2米，一级台阶高0.3米，此时落在地面上影长为4.3米，求旗杆的高度．
例题： ∵△CDF∽△ABE， ∴ = ，∴ = ， ∴AB=4.8米．
变式一：∵△CDE∽△ABE， ∴ = ，∴ = ， ∴ AB=米．
变式二：∵△CEG∽△CAH， ∴ = ，∴ = ， ∴ AH=4米，∴ AB=5.6米．
变式三：∵△CEF∽△CAB， ∴ = ，∴ = ， ∴ AB=4.5米．
变式四：连接AC，过点C作CH⊥AB
∴ = ，∴ = ，AH=14，∴AB=14+2=16
问鼎巅峰：
∴ = ，∴ = ，∴AH=3米， ∴ AH=3+0.3=3.3米．
通过此小专题的学习，你有没有感受到数学的奇妙呢？
在生活中，我们经常利用相似三角形的原理来测量不能到达顶部的物体的高度，解决这类的关键时找到一对相似的三角形，然后利用相似三角形的性质来解决.
变式训练3 相似三角形的面积问题
例题 [舟山]如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E
在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，
则DF的长是__ __．
变式一：如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E是
CB延长线一点，DE∥AB交直线AC于点F，AB＝12，EF＝16，
则DF的长是__ __．
变式二：如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E是射线
CB边上的动点，DE∥AB交直线AC于点F，AB＝12，DF＝7，
则EF的长是__ __．
变式三：如图，在BC同侧作△ABC和△DEC，点E是射线
CB边上的动点，DE∥AB交直线AC于点F， =，若要使
△ABC和△DEC的面积相等，则 =__ __．
变式四：如图，在BC同侧作△ABC和△DEC，点E是射线
CB边上的动点，DE∥AB交直线AC于点F， = ，若要使
△ABC和△DEC的面积相等，则 =__ __．
如图，在BC同侧作△ABC和△DEC，点E是射线CB
边上的动点，DE∥AB交直线AC于点F， =k(k≠1)，若要使
△ABC和△DEC的面积相等，则 =__ __
(用含k的代数式表示) ．
例题 解： ∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，
∵EF＝9，AB＝12，∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，
∴S△CEF∶S△CBA＝9∶16，
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k.
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF＝7k，
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF∶EF＝7k∶9k，
∴DF＝7.
变式一 DF＝7
变式二 EF= 9或16
变式三 =
变式四 =
问鼎巅峰 点E在BC边上，即k >1 ， = k2－1
点E是CB延长线一点，即k<1， =1－ k2
通过此小专题的学习，对三角形的面积比与相关线段比的关系有了比较全面的理解。
三角形的面积比与相关线段比的关系一般有如下两种情况：
（1）相似的两个三角形面积比等于相似比平方，
（2）等底不等高的三角形的面积比等于对应高的比；等高不等底的三角形的面积比等于对应底的比。
在计算过程中还需注意等量代换的应用。在审题过程中，还需注意点的位置（直线或射线或线段）
变式训练4 线段和差问题
例1.如图，⊙O的半径OA=5cm,弦AB=8cm,P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是 .
变式一:在△ABC中，AB＝6，AC ( http: / / www.21cnjy.com )＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ______．
变式二:已知抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1） 求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标．
1.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，
点M，N分别在边BC，CD上，连结AM，AN，MN，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）．
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
2．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A，E两点，与x轴交于B，C两点，且B点坐标为 (1，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，
求出点M的坐标．
例1：3cm
变式一：2.4 变式二：（1）；（2）P（1,2）
问鼎巅峰：
1.B 2.（1）；（2）
线段和差的问题，往往是借助图形变换转移线段达到共线的目的。
主要方法：①正确合理的添加辅助线，寻找解决问题的方法；②通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法。
线段的和差最值问题因其问法多样化、条件隐含化、解法多元化，学生往往不易发现问题的本质，难以找到有效的解题方法，教师在教学时能结合题意，借助相关的概念、图形的性质将最值问题化归与转化为相应的数学模型（线段公理、垂线段最短、三角形三边关系等）进行分析与突破，注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维。
变式训练5 直角三角形
例题： 如图1，已知△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6，求△ABC的面积.
图1
变式1：如图2，已知△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6，点D是AB边上的任意一点，则线段CD的取值范围是多少？
图2
变式2：如图2，已知△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6，点D是AB边上中点，则线段CD的长为多少？
变式3：如图2，已知△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6，CD平分∠ACB，则线段CD的长为多少？
变式4：如图3，已知△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6， BD平分∠ABC时，求BD的长.
图3
如图4，已知△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6， 点D是AC边上的一个动点，以BD为折痕将△ABD折叠得到△A’BD，A’B与AC交于点E，当△A’ED为直角三角形时，求BD的长.
图4
例题：24
变式1：4.8≤CD≤8
变式2：CD=5
变式3：CD=
变式4：BD=3√5
问鼎巅峰
BD=3√5或6√2
通过一个图形贯穿整个变式，按照逐层递进的思维进行变式设计，意在通过知识的梳理理解方法形成能力。
变式训练6 HOLD住三角板
例．利用一副三角板，可以拼出哪些度数的锐角，哪些度数的钝角？
变式一.若将一副三角板如图1放置，若∠BOC与∠AOD的
度数之比为2:7，你能求出∠AOD的度数吗？
变式二．.若将一副三角板如图2放置．
（1）若，则________．
（2）若，则___________．
变式三．将一副三角板的两三角板如图3放置，平分，平分．
（1）求的大小．
（2）将三角板绕点旋转（角的三角板不动），则的大小是否变化？若变化，求出的度数；若不变，说明理由．
变式四．如图，两个形状、大小完全相同的含有、的三角板如图5放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
（1）试说明：；
（2）如图6，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定角度，平分，平分，求；
变式四条件不变，如图7，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为，在两个三角形旋转过程中（转到与重合时，两三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．
例．15 ， 30 ， 45 ， 60 ， 75 ， 105 ， 120 ， 135 ， 150 ．
变式一. ∠AOD=140
变式二．（1）；（2）
变式三．
（1）
（2）在旋转的过程中，这一关系不变，从而．
变式四．
(1)略
（2），设，．
问鼎巅峰：设运动时间为秒，则，，，，．
，为定值．
一副三角板中蕴涵着丰富的思维宝藏，玩转三角板就是以三角板为道具，以常见的、熟悉的几何图形为载体，并辅之以平移、旋转、翻折等变换手段衍生的一系列问题，在操作中思考，有利于培养手脑和谐一致的实践能力、发散思维能力和探索创新能力。
变式训练7 旋转变换的运用
例：如图，苗圃（Rt△ABC）由正方形花坛（正方形BEDF）和两块直角三角形(Rt△CDF,Rt△ADE)的草皮组成，如果AD=3米，CD=6米，你能求出草皮的面积是多少？
变式一：如图，△ABC中，AB＝3，AC＝7，则BC边上的中线AD的取值范围是 ________
变式二：AD是△ABC的中线，CF交AB于F，交AD于G,且 AF=FG.．试说明AB=CG
变式三：如图在四边形ABCD中，CD=AD, ∠CDA=60°，∠CBA=120°．证明：BC+BA=BD
变式四：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，BD＝4，则四边形ABCD的面积是多少？
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交边AC，CB于点D，E。
在图①、②的过程中，线段PD和PE之间有怎样的大小关系，以图②为例，说明理由。
例 解：∵四边形BEDF是正方形，
∴DF=DE，∠FDE=90°，
将△ADE顺时针旋转90°得到△A’DF
易知，∠ADA’=∠GDA/=90°，
△ADE≌△A’DF，
∴A’D= AD=3，
又∵DG=6，
∴（平方米）
变式一： 解： 延长AD至E，使得AD=DE，连结CE，
根据旋转的特征易知，△ABD≌△ECD，
∴AD=DE，CE=AB=3，
又∵AC=7，根据三角形任意两边之和大于第三边，
三角形任意两边之差小于第三边，
∴7－3
∴2
根据旋转的特征易知，△ABD≌△ECD，
∴∠E=∠BAD，AB=CE，
∵AF=FG.
∴∠FAG=∠FGA
∴∠FGA=∠E，
又∵∠FGA=∠EGC，
∴∠E=∠EGC，
∴CG=CE
∴AB= CG
变式三： 解：∵CD=AD，∠CDA=60°，将△BCD绕点D
逆时针旋转60°得到△EAD
∴△BCD≌△EAD
∴∠C=∠DAE，AE=CB
∵ ∠CBA=120°，根据四边形内角和等于360°
∴∠BAD+∠C=180°，
又∵∠BAD+∠DAE=180°，
∴B、A、E三点共线，
∴BA+AE=BE
又∵AE=BC
∴BC +BA=BE
∵∠BDE=∠CDA=60°
又∵BD=ED
∴△BDE是等边三角形．
∴BD=BE
∴BC +BA=BD
变式四： 解：∵CD=AD，∠CDA=90°，将△BCD绕点
D逆时针旋转90°得到△B’AD
∴△BCD≌△B’AD，
∴∠C=∠DAB’，AB’=CB
∵ ∠CBA=90°，根据四边形内角和等于360°
∴∠BAD+∠C=180°，
又∵∠BAD+∠DAB’=180°，
∴B、A、B’三点共线，
∴
问鼎巅峰
解：如图，连结CP，
∵P为等腰Rt△ABC的斜边AB边上的中点，
∴BP=CP，且∠BPC=∠EPD=90°，
∴∠DPC=∠EPB
又∵∠DCP=∠EBP=45°
∴△DCP≌△EBP（ASA）
∴PD=PE
通过这个专题的学习，你们有没有感受到数学图形的魅力呢？复杂的图形通过探寻各边之间的等量关系，将线段的旋转问题转化成三角形的旋转问题，通过旋转，得出不共边线段之间的数量关系，把不规则图形转化成为规则图形，从而问题迎刃而解。
精题精练的例题与变式让我们充分透析图形本质，使我们在复杂的图形中寻找旋转所具备的基本特征，建立模型思想。这就是我们学习数学知识，探寻数学规律，学会“以不变应万变”的一种途径。
变式训练8 最短路径问题
例题 在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，
点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是_____________.
变式1 如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 ．
变式2 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是 ．
变式3如图所示，已知点C（1，0），直线y=﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是 ．
变式4如图，抛物线y=－x2+4x+5与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），
点P是第一象限内的抛物线上的动点．△PCM是以CM为底
的等腰三角形，则点P的坐标为__________；
当a=__________时，四边形PMEF周长最小．
如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；
（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR
①求证：PG=RQ；
②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．
例题：
变式1：
变式2：4
变式3：10
变式4：
问鼎巅峰：解：（1）b=﹣2，c=3．
（2）点M坐标（﹣，）．
（3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形，
∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，
∴∠QAR=∠GAP，
在△QAR和△GAP中，
，
∴△QAR≌△GAP，
∴QR=PG．
②点P的坐标（﹣，）．
通过此小专题的学习，你对利用轴对称解决最短路线问题有较为深刻的理解了吗？
利用轴对称解决最短路线问题的主要思想是将两点在某条直线同侧的问题转化为异侧的问题，然后应用基本事实“两点之间，线段最短”。两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”．
变式训练9 钟表上的数学问题
知识准备：普通钟表相当于圆，其时针或分针走一圈均相当于走过360°角；钟表上的每一个大格（时针的一小时或分针的5分钟）对应的角度是30°角.时针每走过1分钟对应的角度应为0.5°角.分针每走过1分钟对应的角度应为6°角.
例题1(1) :如图1所示，当时间为7：55时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）.（提示：我们以时针、分针均在12点时为起始点进行计算.由于分针在时针前面，我们可以先算出分针走过的角度，再减去时针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数.）
变式一：如图2所示，当时间为7：15时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。
变式二：当时间为m时n分时，其时针与分针夹角的度数为：
（1）分针在时针前面： _______________________________
（2）分针在时针后面：_________________________________
综上所述，当时间为m点n分时，其时针与分针夹角的度数为：
变式三: 在下午2点到3点之间，时钟的时针和分针何时重叠？
变式四 ：钟面上，如果把时针和分针看做是同一平面内的两条线段，在7：30~8：00之间，时针与分针互相垂直的时刻是多少？
钟面角是指时钟的时针与分针所成的角.从上午8点整到上午11点整，钟面角为90°的情况出现了 ________次
例题1(1) ：解：分针走过的角度为：55×6°＝330°，时针走过的角度为：，则时针与分针夹角的度数为：
变式一：解：分针走过的角度为：15×6°＝90°，时针走过的角度为：，则时针与分针夹角的度数为：
变式二：（1）
（2）
变式三：
变式四：
问题巅峰：4次
在初中数学学习中，钟表问题经常出现，计算起来也比较难，其中计算时针与分针夹角度数的问题就困扰着我们中学生。其计算方法很多，但如何计算更便捷在实际学习过程中似乎缺少总结。根据上述例题我们可以总结出规律：当时间为m时n分时，其时针与分针夹角的度数为： .通过本小专题的学习，在遇到时针分针夹角计算的问题，我们就可运用此规律便捷计算.
变式训练10 线段和差（最值）问题
例1.如图，⊙O的半径OA=5cm,弦AB=8cm,P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是 .
变式一:在△ABC中，AB＝6，AC ( http: / / www.21cnjy.com )＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ______．
变式二:已知抛物线经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1） 求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标．
1.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，
点M，N分别在边BC，CD上，连结AM，AN，MN，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）．
A. 130° B. 120° C. 110° D. 100°
2．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线与直线交于A，E两点，与x轴交于B，C两点，且B点坐标为 (1，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，
求出点M的坐标．
例1：3cm
变式一：2.4 变式二：（1）；（2）P（1,2）
问鼎巅峰：
1.B 2.（1）；（2）
线段和差的问题，往往是借助图形变换转移线段达到共线的目的。
主要方法：①正确合理的添加辅助线，寻找解决问题的方法；②通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法。
线段的和差最值问题因其问法多样化、条件隐含化、解法多元化，学生往往不易发现问题的本质，难以找到有效的解题方法，教师在教学时能结合题意，借助相关的概念、图形的性质将最值问题化归与转化为相应的数学模型（线段公理、垂线段最短、三角形三边关系等）进行分析与突破，注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维。
变式训练11 平行线间的折线问题
例．如图1，m∥n ，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α、β，则α+β=_____ ．
变式一 如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是_____ ．
变式二 如图3，已知MA∥NB，CA平分∠BAE，CB平分∠ABN，点D是射线AM上一动点，连DC，当D点在射线AM(不包括A点)上滑动时，∠ADC+∠ACD+∠ABC的度数是否发生变化 若不变，说明理由，并求出度数．
变式三 如图4，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过P点作PM、PE交CD于点M，交AB于点E．当点E、M在AB、CD上运动时，则∠3+∠4 ∠1 ∠2不变，请说明理由．
变式四 小学四年级我们已经知道三角形三个内角和是180°，对于如图1中，AC、BD交于O点，形成的两个三角形中的角存在以下关系：(1)∠DOC=∠AOB，(2)∠D+∠C=∠A+∠B.试探究下面问题：
已知∠BAD 的平分线AE与∠BCD 的平分线CE交于点E，
(1)如图2，若AB∥CD，∠D =30°，∠B =40°，则∠E= ；
(2)如图3，若AB不平行CD，∠D =30°，∠B =50°，则∠E= ；
(3)在总结前两问的基础上，借助图3，探究∠D =30°，∠B =40°，则∠E= ；∠E与∠D、∠B之间是否存在某种等量关系 若存在，请说明理由；若不存在，请举例说明.
如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上.
(1)填空：∠1= °，∠2= ° ；
(2)现把三角板绕B点逆时针旋转n°.
①如图2，当0
变式一 15°
变式二 解：不变. ∠ADC+∠ACD+∠ABC=90°
∵MA // NB，∴∠EAB+∠ABN=180°，
∵CA平分∠BAE，CB平分∠ABN，
∴2∠EAC=∠EAB，2∠ABC=∠ABN，
∴∠EAC+∠ABC=90°，
∵∠EAC=∠ADC+∠ACD，
∴∠ADC+∠ACD+∠ABC=90°
变式三 解：作PQ//AB，如图.
∵AB // CD，∴PQ//CD，
由PQ//AB得∠APQ+∠3+∠4=180°，
由PQ// CD得∠5=∠2，
∵∠APQ+∠5+∠1=90°，
∴180° ∠3 ∠4+∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4 ∠1 ∠2=90°
变式四 (1)35°；(2) 40° ；
(3) 2∠E=∠D+∠B
问鼎巅峰：(1)∠1=120°，∠2=90° ；
(2) ①∠1=120° n°，∠2=90°+ n° ；
②当n=30°时，AB⊥DG；
当n=90°时，BC⊥DG，AC⊥DE；
当n=120°时，AB⊥DE；
当n=180°时，AC⊥DG，BC⊥DE；
当n=210°时，AB⊥DG；
当n=270°时，BC⊥DG，AC⊥DE；
当n=300°时，AB⊥DE；
我们通常把平行线间的相关问题转化到找角的相互关系上来，通过添加适当的辅助线，结合三角形的内角和，灵活运用数形结合、分类讨论。通过对问题的深度学习，有利于思维的延伸与拓展。
变式训练12 巧用面积法解决数学问题
【例题】如图所示，已知△ABC中，AB=AC=8，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，若△ABC的面积为14。问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由。
变式一：已知等腰△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，BH⊥AC于点H。试猜想PD、PE、BH之间的关系，并说明理由。
变式二：在上题中，如果P在BC或CB的延长线上，结论还成立吗？
变式三：如图，P是边长为2的等边△ABC内任意一点，过P 分别作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF的值为多少？
变式四：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD=AD，PE⊥BD于点E，PF⊥AD于点F。
⑴当∠A=30°时，求证：PE+PF=BC
试猜想PD、PE、BH之间的关系，并说明理由。
⑵当∠A≠30°（∠A＜∠ABC)时，试问以上结论是否依然正确？如果正确，请加以证明；如果不正确，请说明理由。
变式五：G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD=5，求FG的值。
例：解：∵△ABC的面积为14
∴PD+PE的值为定值
连AP
∵AB=AC=8
∴
∴
变式一：如图添加辅助线，同理可证PD+PE=BH
变式二：PD+BH=PE或 PE+BH=PD，
变式三：PD+PE+PF=
变式四：(1)可利用在直角三角形 ( http: / / www. / s q=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "_blank )中30°的角所对的直角 ( http: / / www. / s q=%E7%9B%B4%E8%A7%92&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "_blank )边等于斜边 ( http: / / www. / s q=%E6%96%9C%E8%BE%B9&ie=utf-8&src=internal_wenda_recommend_textn" \t "_blank )的一半
由∠A=30° ，PF⊥AD， 可证得PF=
∵AD=BD ，∴∠PBE=30° ，∵PE⊥BD ，∴PE=
∴PE+PF=+==BC
(2)当∠A≠30°时结论依然成立，过点P作PG⊥BC交BC于点G ，可知PE=CG
由AD=BD可知∠A=∠PBD
由PG⊥BC 和AC⊥BC 可知AC∥PG， ∴∠A=∠BPG
∴∠PBD =∠BPG
∴△BPE≌△PBG
∴PE=BG
∴PE+PF= BG + CG =BC
变式五：如图，连接AG，则SABCD=2S△ADG，
SDEFG=2S△ADG，
∴SABCD=SDEFG，即42=5×FG
∴FG=
在证明与高有关的线段相等的问题时，可以结合三角形的面积计算，会达到事半功倍的效果。
变式训练13 一元一次方程应用——列代数式分段讨论
例1. 为了加强公民的节约意识，我市出台阶梯电价计算方案：居民生活用电将月用电量分为三档，第一档为月用电量200度（含）以内，第二档为月用电量200～320度（含），第三档为月用电量320度以上．这三个档次的电价分别为：第一档0.52元/度，第二档0.57元/度，第三档0.82元/度．
若某户居民1月份用电250度，则应收电费：0.52×200+0.57×（250﹣200）=132.5元．
（1）若某户居民10月份电费78元，则该户居民10月份用电 度；
（2）若该户居民2月份用电340度，则应缴电费 元；
（3）用x（度）来表示月用电量，请根据x的不同取值范围，用含x的代数式表示出月用电费用．
及时变式：某市自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算，m3表示立方米）：
价目表
每月用水量 单价
不超出6m3的部分 2元/m3
超出6m3不超出10m3的部分 4元/m3
超出10m3的部分 8元/m3
注：水费按月结算
请根据上表的内容解答下列问题：
（1）填空：若该户居民2月份用水4m3，则应收水费 元；
（2）若该户居民3月份用水am3（其中6m3＜a＜10m3），则应收水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简）
上题条件不变，若该户居民4，5两个月共用水15m3（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水xm3，求该户居民4，5两个月共交水费多少元？（用含x的代数式表示，并化简）
例1：解（1）∵0.52×200=104＞78，∴该户居民10月份用电少于200度，设该户居民10月份用电x度，依题意有0.52x=78，解得x=150．故该户居民10月份用电150度；
（2）若该户居民2月份用电340度，则应缴电费：
200×0.52+（320﹣200）×0.57+（340﹣320）×0.82=104+68.4+16.4=188.8（元）．
答：应缴电费188.8元；
（3）含x的代数式表示出月用电费用为．
及时变式：解：（1）根据题意得：2×4=8（元）；
（2）根据题意得：4（a﹣6）+6×2=4a﹣12（元）；
问鼎巅峰：（3）由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于7.5m3，
当4月份的用水量少于5m3时，5月份用水量超过10m3，
则4，5月份共交水费为2x+8（15﹣x﹣10）+4×4+6×2=﹣6x+68（元）；
当4月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，5月份用水量不少于9m3，但不超过10m3，
则4，5月份交的水费为2x+4（15﹣x﹣6）+6×2=﹣2x+48（元）；
当4月份用水量超过6m3，但少于7.5m3时，5月份用水量超过7.5m3但少于9m3，
则4，5月份交的水费为4（x﹣6）+6×2+4（15﹣x﹣6）+6×2=36（元）；或者6×2×2+3×4=36（元）
例1考查了一元一次方程的应用和列代数式，读懂题目信息是首要，理解阶梯电价的收费方法和电费的计算方法是解题的关键，用代数式分段表示阶梯电费，并兼顾自变量的取值范围是规范保证．
变式练习同样考查在理解分段意义上列代数式表示，而问鼎巅峰难在并没有限定4、5月份的具体用水量，因此本题的答案要分析具体情况才能得出，需注意分类讨论思想的应用．
如果没有限制5月份用水量超过了4月份，或者把水量提高到22 m3，各位不妨一试，也还是很有意思的。
变式训练14 韦达定理
例：已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根．
求：m+n= ，m n= ；
变式一： 已知方程4x2﹣2x﹣1=0的两个根为x1，x2，求下列代数式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
变式二：设a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b﹣1=0，且a≠b，则a+b=
变式三：设a2+1=3a，b2+1=3b．则代数式的值为
变式四：若一元二次方程2x2+mx﹣3=0的一根大于1，另一根小于1，求m的取值范围．
已知x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，则x＋14x2＋55＝______．
【例题】直接根据根与系数的关系求解；
得m+n=﹣=3，mn=；
变式一：解：∵方程4x2﹣2x﹣1=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=，x1 x2=﹣；
（1）原式===﹣2；
（2）原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×（﹣）=；
（3）原式===﹣3；
（4）原式=（x1+x2）2﹣4x1x2=﹣4×（﹣）=．
变式二：对于a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b﹣1=0两个方程．
我们可以把a，b看作是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0两个根，
由韦达定理可得：a+b=2；
变式三：当a≠b，对于a2+1=3a，b2+1=3b两个方程．我们可以把a，b看作是一元二次方程x2﹣3x+1=0两个根，由韦达定理可得：a+b=3，ab=1
所以：+===3
当a=b，则原式=2
∴答案为2或者3
变式四： ，解得m＜1．
问鼎巅峰
【解析】 ∵x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，
∴x＋4x1＋2＝0，x1＋x2＝－4，x1·x2＝2，
∴x＝－4x1－2，
而x＝x·x1，∴x＋14x2＋55
＝x·x1＋14x2＋55
＝(－4x1－2)·x1＋14x2＋55
＝－4x－2x1＋14x2＋55
＝－4(－4x1－2)－2x1＋14x2＋55
＝14(x1＋x2)＋8＋55
＝14×(－4)＋63＝7.
本类题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
变式训练15 一次函数面积问题
例题：求直线y=-2x+4与坐标轴围成的面积.
变式1：求直线y=kx+4与坐标轴围成的面积为4，求k的值.
变式2：已知直线y=kx+b经过点(2，0)， 此直线和坐标轴所围成的面积为4，
求k，b的值.
变式3：已知直线y=-2x+4和y=x+1，求它们x轴围成的三角形的面积.
变式4：已知直线y=-2x+4、y=kx+4及x轴围成的面积为3，求k的值.
已知直线y=-2x+4交y轴于点A，与直线y=x+1交于点B，在直线y=x+1上有点C，若△ABC的面积为3，求点C的坐标
变式：已知直线y=-2x+4上与直线y=x+1交于点B，直线y=-2x+4上点A的横坐标为-1，在直线y=x+1上有点C，若△ABC的面积为3，求点C的坐标
例题：4
变式1：k=2或-2
变式2：k=2时b=-4； k=-2时b=4
变式3：3
变式4：k=-8或-8/7
问鼎答案：C1（-1，0）C2（3，4）
变式：C1（0，1）C2（2，3）
由图象很快可求得直线与坐标轴围成的面积，关键在于先求出直线与坐标轴的交点坐标。再通过变式，解决已知面积求直线解析式的问题，关键还是在于先表示出直线与坐标轴的交点坐标。分类讨论显得很自然。从一条非坐标轴直线到两条直线，由易到难；从已知直线求面积到已经面积求直线方程问题，让学生充分体验知识的发生发展过程，有利于知识的构建。
变式训练16 动线问题 ——平移
例题 如图，已知直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点．x轴上一动点M(m，0)，
MN∥y轴，与直线AB交于点N，求MN的长（用含m的代数式表示）．
变式1．如图，已知直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线BC过点C(3，0)．x轴上一动点M(m，0)，MN∥y轴，与直线AB，直线BC分别交于点N，P．
(1) 求NP的长（用含m的代数式表示）；
(2) 若NP=OB，求m的值；
(3) 若存在M，N，P三点，其中一点是另两点的连线段的中点，
请直接写出满足条件m的值．
变式2．如图，已知直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线BC过点C(3，0)．抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．x轴上一动点M(m，0)，MP∥y轴，与直线BC，抛物线分别交于点P，Q．
(1) 抛物线的解析式为 ；
(2若3PQ=OB，直接写出m的值；
(3)在直线MP的运动过程中，是否存在△CMQ与△AOB相似，若存在，
请求出m的值．若不存在，请说明理由．
如图，已知直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线BC过点C(3，0)．抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．x轴上一动点M(m，0)，MQ∥y轴，与抛物线交于点Q．将直线AB向下平移，记平移后的直线与x轴，y轴分别交于A′，B′，问在平移的过程中在y轴右侧抛物线上是否存在一点E，使得△A′B′E是以A′B′为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
例题 方法1：m<－1，MN=－3m－3；m>－1，MN=3m+3．
方法2：MN=|3m+3|．
变式一 (1) 方法1： m<0， NP=－4m； m>0，NP=4m．
方法2：NP=|4m|．
(2) m=±
(3) m<－1，m=－3； －1
变式二 (1) y=－x2+2x+3．
(2) PQ=|－m2+3m|=1
∴m= EQ \F(3±,2)，m= EQ \F(3±,2)
(3) m<－1，如图1
CM=3－m，MQ=m2－2m－3
∴=或=3
∴m1=－4，m2=3(舍去)，
m3=－，m4=3(舍去)．
－1
∴=或=3
∴m1=2，m2=3(舍去)，
m3=－，m4=3(舍去)．
m>3，如图3
CM= m－3，MQ=m2－2m－3
∴=或=3
∴∴m1=2(舍去)，m2=3(舍去)，
m3=－(舍去)，m4=3(舍去)．
综上所述，当m=－4，－， 2，－ 时，△CMQ与△AOB相似
勇攀高峰
Ⅰ．B′在A′上方
以B′为直角顶点．如图4，
方法1：设GB′=EF=n，则GA′=BF=3n，则E(3n，2n)，
∴－(3n)2+2×(3n)+3=2n
∴n1= EQ \F(2+,9)，n2= EQ \F(2－,9)(舍去)
∴m=3n=EQ \F(2+,3)
方法2：设E(m，－m2+2m+3)
∴GB′=EF=m，则GA′=BF=－m2+2m+3，
∴m－m2+2m+3= m
∴m1=EQ \F(2+,3) ，m2=EQ \F(2－,3)(舍去)
以A′为直角顶点，显然不存在．
Ⅱ．A′在B′上方
以A′为直角顶点，如图5，m=EQ \F(9+,8)
以B′为直角顶点，如图6，m=EQ \F(5+2,3)
综上所述，当m=EQ \F(2+,3)，EQ \F(9+,8)，EQ \F(5+2,3)时，△A′B′E是以A′B′为直角边的等腰直角三角形．
通过此小专题的学习，对动态问题中的平移动线问题应有一个较为清晰的基本思路：
（1）因动线而得的动点的坐标表示通常不变，需表示的线段长的表通常会发生变化；
（2）线段长的表示发生变化一般由需表示线段端点的相对位置发生变化；
（3）画出需表示线段端点的相对位置不变时的状态图，化动为静；
（4）计算时，通常采用两种方法：
方法1：设点的坐标→线段长
→列方程
几何关系
方法2：设线段长
→表示点的坐标→代入解析式列方程
几何关系
变式训练17 三角形裁剪问题
例题：如图（a）是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=80cm，
(1)将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条（阴影部分），
①EF= ；
②若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边
（纸条不重叠），如图（b） 正方形美术作品
的面积最大不能超过 cm2
(2) 将斜边上的高CD五等分，然 后裁出4张宽度相等的长方形纸条．则这4张纸条的面积和是 cm2．
(3) 若将斜边上的高CD n等分，然后裁出（n－1）张宽度相等的长方形纸条．则这
（n－1）张纸条的面积和是 cm2．
变式△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，
(1) 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由。
(2) 图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2 (如图2)，则S2 ；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S3，继续操作下去……，则第10次剪取时，S10= ；
(3) 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和。
若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．
（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．
（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．
①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？
②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．
（1）答案不唯一，根据已知举出即可；（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出==，==，==，==，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，MN=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，根据已知判断即可；②设AM=h，根据△ABC∽△AB3C3，得出==，求出MN=GN=GH=HE=h，分为两种情况：当B3C3=2×h，时，当B3C3=×h时，代入求出即可．
解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；（2）①以B1C1为一边的矩形不是方形．理由是：过A作AM⊥BC于M，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，则AM⊥B4C4，AM⊥B3C3，AM⊥B2C2，AM⊥B1C1，∵由矩形的性质得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，∴=，==，==，==，∵AM=20，BC=25，∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，∴MN=GN=GH=HE=4，∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4，即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，∴以B1C1为一边的矩形不是方形；②∵以B3C3为一边的矩形为方形，设AM=h，∴△ABC∽△AB3C3，∴==，则AG=h，∴MN=GN=GH=HE=h，当B3C3=2×h，时，=；当B3C3=×h时，=．综合上述：BC与BC边上的高之比是或．
本专题考查相似三角形的性质和判定和矩形的性质的应用，注意：相似三角形的对应高的比等于相似比．
变式训练18 三角形中的矩形问题
例1.如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点,若AO=5cm，则AB的长为 .
变式一:如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至
△EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 ．
变式二:如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为 ．
变式三:如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 ．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为(3,15)，且过点(-2,10)，对称轴AB交x轴于点B，点E是线段AB上一动点，以EB为边在对称轴右侧作矩形EBCD，使得点D恰好落在抛物线上，点D’是点D关于直线EC的轴对称点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D恰好落在y轴上的点(0,6)时，求此时D点的坐标；
（3）直线CD交对称轴AB于点F；
①当点D在对称轴AB的左侧时，且△ED’F∽△CDE，求出DE:DC的值；
②连结BD，是否存在点E，使△ED’B为等腰三角形？若存在，请直接写出BE:BC的值，若不存在请说明理由。
例1.8
变式一.;变式二：；变式三：或
问鼎巅峰：
（1）
（2）D(8，10)
（3）①；②或
矩形中的折叠问题，需要抓折叠后的组合图形中，能够形成全等三角形，等腰三角形，抓住相等的线段和相等角。
主要方法：①正确合理的添加辅助线，寻找解决问题的方法；②通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法。
利用勾股定理，寻找特殊位置，注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维。
变式训练19 矩形中的折叠问题
例1.如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点,若AO=5cm，则AB的长为 .
变式一:如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至
△EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 ．
变式二:如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为 ．
变式三:如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 ．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为(3,15)，且过点(-2,10)，对称轴AB交x轴于点B，点E是线段AB上一动点，以EB为边在对称轴右侧作矩形EBCD，使得点D恰好落在抛物线上，点D’是点D关于直线EC的轴对称点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D恰好落在y轴上的点(0,6)时，求此时D点的坐标；
（3）直线CD交对称轴AB于点F；
①当点D在对称轴AB的左侧时，且△ED’F∽△CDE，求出DE:DC的值；
②连结BD，是否存在点E，使△ED’B为等腰三角形？若存在，请直接写出BE:BC的值，若不存在请说明理由。
例1.8
变式一.;变式二：；变式三：或
问鼎巅峰：
（4）
（5）D(8，10)
（6）①；②或
矩形中的折叠问题，需要抓折叠后的组合图形中，能够形成全等三角形，等腰三角形，抓住相等的线段和相等角。
主要方法：①正确合理的添加辅助线，寻找解决问题的方法；②通过探索解决问题的过程，进行方法的归纳和建模，形成解决问题的通法。
利用勾股定理，寻找特殊位置，注重分析条件与结论的联系，渗透解题思想的类比，解题方法的迁移，从而启发学生的思维。
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
A
B
C
E
F
D
A
B
C
E
F
D
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
变式二图
例1图
变式一图
二、勇攀高峰峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
B
C
O
D
A
B
C
O
D
A
图1
图2
图4
图3
图6
图5
二、勇攀高峰
图7
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
①
②
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
变式二图
例1图
二、勇攀高峰峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
图1
图2
图3
3
图4
图3
图2
图1
二、勇攀高峰
图1
图2
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
A
B
x
y
M
N
O
A
B
x
y
M
N
C
P
O
A
B
x
y
C
O
备用图
A
B
x
y
C
O
备用图
A
B
x
y
M
Q
C
P
O
二、勇攀高峰
A
B
x
C
O
y
三、参考答案
A
B
x
y
M
Q
C
O
图1
A
B
x
y
M
Q
C
O
A
B
x
y
M
Q
C
O
图3
A′
B′
x
y
E
C
O
F
G
图4
A′
B′
x
y
E
C
O
图5
A′
B′
x
y
E
C
O
图6
四、回顾小结
一、精讲精练
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
图2
图3
A
B
C
D
E
F
A
B
C
M
N
P
Q
乙
图1
甲
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
一、精讲精练
二、勇攀高峰
三、参考答案
四、回顾小结
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