新课标2010高考物理二轮复习：专题八《数学方法在物理问题中的应用》

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【专题八】数学方法在物理问题中的应用
【考情分析】
数学知识不仅是解决物理问题的工具，同时也是物理学的一种重要方法，所以近几年来的高考物理试题对应用数学知识处理物理问题的能力的要求一直居高不下。高考物理考试大纲对应用数学处理物理问题的能力的要求是：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。因此，高考物理复习必须注意应用数学知识处理物理问题能力的培养。
【知识交汇】
“应用数学处理物理问题的能力”这一要求的主要表现有：①从物理现象与过程出发，经过概括、抽象，把物理问题转化为数学问题；②综合运用数学知识，正确、简洁地进行有关问题的求解。③较繁的字母运算或数字运算；④对于图象的要求和题目中涉及几何关系问题等。如力学多用三角函数和方程，磁场问题和光学多涉及到几何知识，而热学及原子物理则多用繁杂的数字运算,特别是指数运算等。具体来说，主要体现在如下几个方面：
1、图象在物理问题中的体现：物理学中经常用图象描述物理量之间的关系，比较直观形象地展示物理规律，是研究物理问题常用的数学工具，也是解决问题的一种重要方法。如波动图线、感应电流随时间的变化图像等。而用图象法处理实验数据是物理实验中最常用的方法，对提高学生解决实际问题的能力有着极其重要的意义。
2、几何知识在物理中的运用：几何知识是物理中应用最广泛的数学知识之一，在力学问题中即经常出现。而在光的反射和折射问题中更是需要用到大量的几何知识，而在带电粒子在磁场中的运动中几何知识也是不可或缺的。
3、极限法：极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。恰当应用极限法能提高解题效率，从而得到事半功倍的效果。
4、函数的极值：求函数的极值一般有两种方法，即借助均值不等式或者二次函数的顶点坐标来处理。
5、微元法：所谓微元法是指选取研究对象中具有代表性的一个微小部分(或过程)进行分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量．有时间微元△t、位移微元△x、质量微元△m等等。微元法是分析、解决物理问题中的常用方法,也是从部分到整体的思维方法。
除此之外，不等式的运用、三角函数的运用、数列和数学归纳法的运用、导数的运用等等数学知识也经常在物理问题中涉及，希望能够灵活运用。
【思想方法】
【例1】如图所示，一根轻弹簧竖直放在水平地面上，一个物块从高处自由下落到弹簧上端O，将弹簧压缩，弹簧被压缩x0时物块的速度变为零．从物块与弹簧接触开始，物块的速度υ，的大小随下降的位移x变化情况与下列四个图象中的哪一个比较一致？
【解析】物块与弹簧接触后，压缩弹簧，同时弹簧对物块有向上的弹力，故物块做加速度减小的加速运动。当物块加速度减小到零时，速度达到最大，而后物块做加速度变大的减速运动。这时有 ①
在弹簧被压缩的整个过程中，根据动能定理，有 ，
即，亦即 ②
由①②，则故本题正确答案为。
【点评】本题主要考查不等式和图像在力学问题中的应用.
【例2】一矩形线圈位于一随时间t变化的匀强磁场内，磁场方向垂直线圈所在的平面（纸面）向里，如图甲所示。磁感应强度B随t的变化规律如图乙所示。以I表示线圈中的感应电流，以图甲中线圈上箭头所示方向的电流为正，则以下的I—t图中正确的是（ ）
【解析】本题利用图象考查电磁感应以及交流电相关知识，解题关键是识别挖掘出图乙中磁场B的变化规律，进而由楞次定律判断出感应电流的变化规律。由图乙知，在0~1S的时间内，磁感应强度均匀增大，则由楞次定律判断出感应电流的方向为逆时针方向，和图甲中所示电流相反，所以为负值，故B项与C项都错误。根据法拉第电磁感应定律，其大小为一定值，则电流也为定值。而在2~3S和4~5S内，磁感应强度不变，磁通量没变化，无感应电流生成，D项错，所以只有A选项正确。
【点评】本题主要考查电磁感应中的图像问题，关键在于感应电流的大小和方向判定。
【例3】如图所示，在半径为R=45m的圆心O和圆周A处，有两个功率差不多的喇叭，同时发出两列完全相同的声波，且波长=10m。若人站在B处，正好听不到声音；若逆时针方向从B走到A，则时而听到时而听不到声音。试问在到达A点之前，还有几处听不到声音？
【解析】因为波源A、O到B点的波程差为r=r1—r2=R=45m=，所以B点发生干涉相消现象。在圆周任一点C上听不到声音的条件为：
r = r1—r2 =（2k+1）=5（2k+1）
将r2=R=45m代入上式得：r1=5（2k+1）+ r2
所以：r1=10k+50 或 r1= —10k+40
而0 < r1 < 90m，所以有：0 <（10k+50） < 90m 和 0 <（—10k+40）< 90m
求得 :—5 < k < 4
即k = —4、—3、—2、—1、0、1、2、3，所以在到达A点之前有八处听不到声音。
【点评】本题主要考查不等式在求解物理问题中的运用.
【例4】半径为R的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有一质量为m，带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场。如图所示，珠子所受电场力是其重力的倍。将珠子从环上最低位置A点静止释放，则珠子所能获得的最大动能_____________。
【解析】设珠子的带电量为q，电场强度为E．珠子在运动过程中受到三个力作用，即重力mg、竖直向下，电场力、水平向右，环的弹力N、垂直圆环方向．其中只有电场力和重力能对珠子做功．珠子从A点释放后沿着圆环向右运动，设它与电场线的夹角为θ时，珠子所能获得的动能最大，如图所示，则由动能定理得珠子动能的表达式为，
利用三角变换可得：=
=.
令，则，故上式又变换为
=
显然，当时，有最大值，且.
【点评】本题主要考查三角知识在电场中的运用，对于三角函数的极值求解注意采用合适的和差化积进行变换.
【例5】如图所示，在y > 0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y < 0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外．一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y = h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向，然后经过x轴上x = 2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y = – 2h处的P3点．不计粒子的重力，求：（1）电场强度的大小；（2）粒子到达P2时速度的大小和方向；（3）磁感应强度的大小．
【解析】（1）设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，则有
qE ＝ ma v0t ＝ 2h 故得
（2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1表示速度沿y方向分量的大小，v表示速度的大小，θ表示速度和x轴的夹角，则有
v1＝v0 因此，.
（3）粒子进入磁场后，有，因为OP2＝OP3，θ＝45°， P2P3为圆轨道的直径，即r＝
所以有.
【点评】本题主要考查勾股定理等几何知识以及三角函数在磁场问题中的运用，正确建立有关物理量的关系是求解的核心.
【例6】如图所示，在光滑水平面上有一质量为M，长为L的长木板，另一小物块质量为m，它与长木板间的动摩擦因数为μ，开始时，木板与小物块均靠在与水平面垂直的固定挡板处，以共同的速度v0向右运动，当长板与右边固定竖直挡板碰撞后，速度反向，大小不变，且左右挡板之间距离足够长。
(1)试求物块不从长木板上落下的条件。
(2)若上述条件满足，且M=2kg，m=1kg,v0=10m/s　，试计算整个系统在第五次碰撞前损失的所有机械能。
【解析】(1)设第一次碰撞后速度为v1，第n次碰撞后速度为vn，每次碰撞后，由于两挡板距离足够长，物块与长木板都能达到相对静止，第一次若不能掉下，往后每次滑动距离越来越短，更不可能掉下。由动量守恒定律和能量守恒定律知
(M-m)v0=(M+m)v1 ①
mgμL= (m+M)-(M+m) ②
由①②解得当木板长大于L即可，即L≥
(2)第二次碰撞前，有(M-m)v0=(M+m)v1，第三次碰撞前，(M-m)v1=(M+m)v2，……
则 第n次碰撞前 (M-m)vn-2?=(M+m)vn-1 即 vn-1?=
可见第五次碰撞前
故第五次碰撞前损失的总机械能为?
代入数据J?
【点评】本题主要考查数列在物理问题中的应用，找出数列的通项公式是求解的重点。
【例7】如图所示是测定光电效应产生的光电子比荷的简要实验原理图，两块平行板相距为d，其中N为金属板，受紫外线照射后，将发射沿不同方向运动的光电子，形成电流，从而引起电流计G的指针偏转，若调节R0逐渐增大极板间电压，可以发现电流逐渐减小，当电压表示数为U时，电流恰好为零。切断开关，在MN间加垂直于纸面的匀强磁场，逐渐增大磁感强度，也能使电流为零，当磁感强度为B时，电流恰为零。试求光电子的比荷e／m= 。
【解析】设光电子受紫外线照射后射出的速度为，在MN间加电场，当电压表示数为U时，由动能定理得： ①
在MN间加垂直于纸面的匀强磁场，当磁感强度为B时，光电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径： ②
光电子在磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，所以有： ③
由①②③解得：
【点评】本题主要考查极限法在物理问题中的应用，此处光电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径容易出现错误，最为常见的是，这是以竖直向上运动的光电子而言的，实际上水平运动的光电子此时将达到M板，从而使得电流不为零.
【例8】一轻绳一端固定在O点，另一端拴着一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到垂直位置过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值。
【解析】设绳达到与水平方向为角a时，重力的功率取得最大值，则
速度v和重力mg之间的夹角也为a，对小球从A到C由动能定理，则有：
mgRsina=mv2，其中R为轻绳长。
由功率定义式P=mgvcosa=
对功率 P求导：P′=mg==0
容易解得P′=0时，sina=，即此时P具有极值，考虑到始末两个状态重力的瞬时功率均为0，故在a=arc sin时，重力的瞬时功率具有最大值。
【点评】本题主要考查导数知识的应用.
【例9】均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，且OP=L，试求P点的场强。
【解析】电场强度是静电学中极其重要的概念，也是高考中考点分布的重点区域之一．求电场强度的方法一般有：定义式法，点电荷场强公式法，匀强电场公式法，矢量叠加法等．本题是通过“微元法”将非点电荷电场问题转化为点电荷电场问题求解．
设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看做点电荷。其所带电荷量为，由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为：

由对称性可知，各小段带电环在P处的场强E的垂直于轴向的分量相互抵消，而E的轴向分量之和即为带电环在P处的场强。

【点评】本题主要考查微元法在物理问题中的应用.
【专题演练】
1．如图所示质量相同的木块A、B用轻弹簧相连，静止在光滑水平面上。弹簧处于自然状态。现用水平力F向右推A。则从开始推A到弹簧第一次被压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是（　　　）
A．两物块速度相同时，加速度aA=aB B．两物块速度相同时，加速度aA＞aB
C．两物块加速度相同时，速度 D．两物块加速度相同时，速度
2.一质量为m的物体在水平恒力F的作用下沿水平面运动，在t0时刻撤去力F，其υ - t图象如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，则力F的大小为（ ）
A．F = μmg B．F = 2μmg C．F = 3μmg D．F = 4μmg
3. 用伏安法测量电阻阻值R，给定电压表（内阻约为50kΩ）、电流表（内阻约为40Ω）、滑线变阻器、电源、电键、待测电阻（约为250Ω）及导线若干。图中的6个点表示实验中测得的6组电流I、电压U的值，求出的电阻值R=______。（保留3位有效数字）
4.如图所示，将电动势E=1.5V、内阻r=0.5Ω的电源，与一粗细均匀的电阻丝相连，电阻丝的长度L=0.3m，电阻R=100Ω，当滑动片以v=5×10－3m·s-1的速度向右滑动时，电流表G的读数为多少？并指出电流表的正负极，已知电容器的电容C=2μF.
5．如图所示，一根质量为 m、长为L的匀质链条，一端位于光滑的水平桌面上，另一端少许下垂于桌子边缘，并绕过光滑的定滑轮从静止开始下滑．设桌面足够高，则链条在下滑的过程中，对滑轮产生的最大压力是 （ ）21世纪教育网
A．mg B．mg C．mg D．mg
6．如图所示电路中电源电动势为定值，固定电阻的阻值小于可变电阻，a、b两固定端之间的总电阻，但不等于零.干路中串联另一个固定电阻，它的阻值也不等于零.在可变电阻的滑片P从a向b滑动的整个过程中，电压表的示数，的示数的变化情况是 ( )
A.变大，也变大 B.变大，变小
C.先变大后变小，也是先变大后变小
D.先变大后变小，总是在增大
7.某人乘船渡过一条河流，船相对水的速度与水流速度大小恒定，此人过河的最短时间为，若此船用最短的位移过河，则所需时间为。已知船相对水的速度大于水流速度，则.
8.如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0=0.10Ω/m，导轨的端点P、Q用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间的距离l=0.20m。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt，比例系数k=0.020T/s。一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=6.0s时金属杆所受的安培力。
【参考答案】
1．BD； 2．C；
3.【解析】 ①作U—I直线，舍去左起第2点，其余5个点尽量靠近直线且均匀分布在直线两侧，如图所示。②求该直线的斜率，即为其电阻，则R=（221~237均认为正确）。
4.【解析】据欧姆定律，电阻丝两端的电压表示数为，由于电阻丝粗细均匀，设单位长度上所加的电压为△U，则
在△t时间内，滑动头在电阻丝上向右滑动的距离为x=/v△t
故 在△t时间内，电容器两端电压的减少量为
相应电量的减少量为
故 流过电流表G的电流强度为
代入数据得I=5×10-8A，方向是通过电流表由右向左。
5. B； 6.D；
7．【解析】船头垂直指向对岸划行过河时间最短，设河宽为，则过河最短时间 ①
因为船速大于水速，船垂直河岸（即合速度垂直河岸）渡河，位移最小且为，此时船的合速度为，过河时间 ②
由①②解得：
8. 【解析】 因为金属杆从导轨的一端P、Q开始作匀加速直线运动，设经时间t时，金属杆的运动位移为，回路的磁通量φ=BS，式中的B=kt ,
而回路所围面积，代入磁通量表达式中得 ，则由法拉第电磁感应定律得感应电动势
,
　　又回路总电阻；
　　根据欧姆定律，回路电流 ，
故 安培力=1.44×10N.www.
GA
V
P
E r
S
N
M
b
a
R0
v
mg
O
B
A
C
a
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