人教版七年级上册各章节压轴题解析：有理数
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文档简介
有理数
【知识脉络】
【基础知识】
1.1正数和负数
一、概念
1、正数：大于零的数，有时根据需要在正数前面加“+”（正号）
2、负数：在正数前面加上“—”（负号）的数 说明：一个数前面的“+”“—”叫做它的号，其中“+”有时可以省略，但仍然表示正数，有时“+”是为了强调它是正数，但“—”号是绝对不能省略的。
3、0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。 说明：关于0的总结——实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数，相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界
二、实际应用
在解决 一些实际问题时，可以认为规定具有相反意义的量的正负。 例如：收入为正，支出为负，收支平衡为0 零上为正，零下为负，分界为0 向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0 加分为正，扣分为负，不加不扣为0 逆时针为正，顺时针为负 超标为正，低标为负，标准为0 地上为正，地下为负，地面基准为0 盈余为正，亏空为负，收支平衡为0 水位上升为正，水位下降为负，水平面为0 高于平均分为正，低于平均分为负 增加为正，减少为负，不增不减为0 海平面以上为正，以下为负，海平面记为0
三、易错易误点
1、-a一定是负数么？ 答案：不一定，需要分类分析 解析：当a大于0时，-a就是负数；当a等于0时，-a为0；当a小于0时，-a是正数 因此，a不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略0的存在。
海拔0米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为0米。 3、非正数：0和负数 非负数：0和正数
1.2 有理数
概念
有理数：正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。
无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。如无限不循环小数π=3.1415926… 它不能化成分数形式。
分类
1、按定义分类；有理数分为整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）
2、按性质符号分类；有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）
三、数轴
定义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线 规定三要素——原点，正方向，单位长度 注意“规定”二字，是说三要素是根据实际需要认为规定的。 2、画法：（必须用直尺！）
先画一条直线
（2）在直线上任取一点，作为原点，记为0
（3）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右（向左）每隔一个单位长度取一点。 3、与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，通常“正右负左，原点中间”； 但数轴上的点不都来表示有理数。
四、相反数（重点）
1、概念
（1）几何定义：在数轴上分别位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
（2）代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如，2和-2 ；0的相反数是0。
2、表示方法以及多重符号的简化 （1）a的相反数是-a，这里a是任意有理数(即正数、负数、0) 当a大于0时，-a小于0（正数的相反数是负数） 当a小于0时，-a大于0（负数的相反数是正数） 当a等于0时，-a等于0（0的相反数是0） （2）多重符号化简方法：正数前有偶数个“—”，可以把“—”一起去掉 ~ 2 / 5 ~ 正数前有奇数个“—”，最后只留一个“—” 0前无论有多少个“—”，化简后仍是0
五、绝对值
1、概念
（1）几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜，读作a的绝对值，绝对值不能是负数。
（2）代数定义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
2、做题时需要慎重考虑0的情况。
六、有理数大小比较
1、具体方法：将各数在同一条数轴上表示出来，那么从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即为——负数＜0＜正数。
2、两个负数，绝对值大的反而小。
3两数大小：同号——同正，绝对值大的数大 同负，绝对值大的反而小 异号——正数大于负数 一数为零——正数＞0，负数＜0 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法
一、法则
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
互为相反数的两个数相加得0； 4、一个数同0相加，仍得这个数。
二、运算律
1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=(a+c)+b
1.3.2有理数的减法 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b)
注意两变：减法变加法，减数变为它的相反数
1.4 有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
法则 1、两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘。 2、任何数同0相乘，都得0。
推广 1、几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
几个数相乘，有一个因数为0，则乘积为0。
运算律 1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。(ab)c=(ac)b
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a(b+c)=ab+ac
倒数 1、乘积是1的两个数互为倒数。当a≠0时，与1/a互为倒数；当m≠0，n≠0时n/m与m/n互为倒数
注意：0没有倒数，做题时应当注意分母不为0 3、-1的倒数是-1；0~ -1之间的数的倒数比本身小；
小于-1的数的倒数比本身大。
1.4.2 有理数的除法
法则 1、除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0，0不能做除数。
二、化简 1、分数可以理解为分子除以分母，分数线就是除号。 2、0除以任何一个不等于0的数，都得0。
三、混合运算
1、乘除混合运算
（1）如果一个带分数的整数部分和分数部分都能与某分数相乘时约分，则将这个带分数写成整数部分与分数部分的和，再利用分配律运算 （2）运算时应该从左至右，并将除法化成乘法再进行运算。
（3）除法化乘法，算式化连乘，小数化分数，带分数化假分数，负因数的个数确定符号的正负。
2、加减、乘除混合运算 遵循原则：先乘除，后加减；按小括号、中括号、大括号依次计算；灵活运用分配律。
1.5有理数的乘方
1.5.1乘方
乘方的意义 1、求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做幂。在an中，a 叫做底数，n 叫做指数。
2、一个数可以看做是这个数本身的一次方，指数1通常省略不写。 3、因为an就是n个a相乘，所以可以利用乘法运算计算乘方运算。
乘方运算的性质 1、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数， 2、正数的任何次幂都是正数，3、0的任何正整数次幂都是0。
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
1.5.2科学记数法。
一、概念 把一个大于10的数表示成ax10n的形式（其中a是整数位只有一位的数，n是原数的整数位减1.即1≤｜a｜＜10，n是正整数），这种计数方法叫做科学记数法。
1.5.3近似数
概念 四舍五入的近似数，从左边第一个非0的数字起，到精确到的数位止，所有的数都叫做这个数的有效数字。
二、说明 一个数只是接近实际数，但与实际数还有差别，它是一个近似数。 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。
【典例解析】
例题1：计算
①﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]
②（﹣2）3×（1﹣0.2÷）+（﹣1）2017．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】①首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算乘法和减法，求出算式的值是多少即可．
②首先计算乘方和小括号里面的除法和减法，然后计算乘法和加法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：①﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]
=﹣1﹣×[2﹣9]
=﹣1+
=
②（﹣2）3×（1﹣0.2÷）+（﹣1）2017
=（﹣8）×（1﹣0.25）﹣1
=（﹣8）×0.75﹣1
=﹣6﹣1
=﹣7
例题2：已知÷（﹣）4×（﹣3）﹣（﹣）=a+b，则a是大于﹣6的整数，b是大于﹣1的分数，则（ab）3的结果为 64 ．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】先根据有理数混合运算的法则计算出等式左边的值，再根据a是大于﹣6的整数，b是大于﹣1的分数求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：左边=÷×（﹣3）+
=×16×（﹣3）+
=2×（﹣3）+
=﹣6+
=﹣5﹣，
∵a是大于﹣6的整数，b是大于﹣1的分数，
∴a=﹣5，b=﹣，
∴（ab）3=[（﹣5）×（﹣）]3=43=64．
故答案为：64．
例题3：计算
①﹣32+1﹣（﹣2）3
②（﹣5）2÷[2﹣（﹣1+2）]×0.4．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】①原式先计算乘方运算，再计算加减运算即可得到结果；
②原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【解答】解：①原式=﹣9+1+8=0；
②原式=25÷（2+1﹣2）×0.4=25÷×=25××=8．
例题4：某自行车厂计划平均每天生产200辆，但是由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+6
﹣3
﹣8
+14
﹣10
+15
﹣4
（1）根据记录的数据可知该厂星期三生产自行车多少辆？
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？
（3）根据记录的数据可知该厂本周实际共生产自行车多少辆？
【考点】正数和负数．
【分析】（1）根据有理数的减法，可得答案；
（2）根据有理数的减法，可得答案；
（3）根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：（1）由题意，得
200﹣8=192（辆），
答：该厂星期三生产自行车192辆；
（2）由题意，得
最多的一天是周六，最少的一天是周五，
15﹣（﹣10）=25（辆）
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车25辆；
（3）由题意，得
200×7+（6﹣3﹣8+14﹣10+15﹣4）
=1400+10
=1410（辆）
答：该厂本周实际共生产自行车1410辆．
【跟踪训练】
1. 李先生在2017年11月第2周星期五股市收盘时，以每股9元的价格买进某公司的股票1000股，在11月第3周的星期一至星期五，该股票每天收盘时每股的涨跌（单位：元）情况如下表：
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
每股涨跌/元
0
﹣0.32
+0.47
﹣0.21
+0.56
注：表中记录的数据为每天收盘价格与前一天收盘价格的变化量，星期一的数据是与上星期五收盘价格的变化量．
（1）请你判断在11月的第3周内，该股票价格收盘时，价格最高的是哪一天？
（2）在11月第3周内，求李先生购买的股票每股每天平均的收盘价格．（结果精确到百分位）
2. 在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
3. 计算：
（1）|﹣3|×（﹣）×÷×（﹣3）2÷（﹣3）；
（2）3+50÷（﹣2）2×（﹣0.2）﹣1．
4. 若|a|=5，|b|=3，求a+b的值．
5. 一辆汽车沿着南北方向的公路来回行驶，某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北正方向（如：+7表示汽车向北行驶7千米），当天行驶记录如下：+18，﹣9，+7，﹣14，﹣6，12，﹣6，+8．（单位：千米）问：
（1）B地在A地的何方，相距多少千米？
（2）若汽车行驶1千米耗油0.35升，那么这一天共耗油多少升？
6. 一辆货车从超市出发，向东走了1千米，到达小明家，继续向东走了3千米到达小兵家，然后向西走了10千米，到达小华家，最后又向东走了6千米结束行程． （1）如果以超市为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在下面的数轴上表示出小明家、小兵家和小华家的具体位置．
（2）请你通过计算说明货车最后回到什么地方？
（3）如果货车行驶1千米的用油量为0.25升，请你计算货车从出发到结束行程共耗油多少升？
参考答案：
1. 李先生在2017年11月第2周星期五股市收盘时，以每股9元的价格买进某公司的股票1000股，在11月第3周的星期一至星期五，该股票每天收盘时每股的涨跌（单位：元）情况如下表：
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
每股涨跌/元
0
﹣0.32
+0.47
﹣0.21
+0.56
注：表中记录的数据为每天收盘价格与前一天收盘价格的变化量，星期一的数据是与上星期五收盘价格的变化量．
（1）请你判断在11月的第3周内，该股票价格收盘时，价格最高的是哪一天？
（2）在11月第3周内，求李先生购买的股票每股每天平均的收盘价格．（结果精确到百分位）
【考点】正数和负数．
【分析】（1）根据正负号的意义以及表格中的数据可知星期五价格最高；
（2）先求得一周内每股的价格之和，然后再求得平均值即可．
【解答】解：（1）根据正负数的意义可知：星期五的价格最高；
（2）9+（0﹣0.32+0.47﹣0.21+0.56）÷5=9.10．
2. 在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
【考点】正数和负数．
【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；
（2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案；
（3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远．
【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5=20，
答：B地在A地的东边20千米；
（2）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|=74千米，
应耗油74×0.5=37（升），
故还需补充的油量为：37﹣28=9（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；
（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14﹣9=5（千米）；14﹣9+8=13（千米）；14﹣9+8﹣7=6（千米）；
14﹣9+8﹣7+13=19（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6=13（千米）；
14﹣9+8﹣7+13﹣6+12=25（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5=20（千米），
25＞20＞19＞14＞13＞＞6＞5，
∴最远处离出发点25千米；（每小题2分）
3. 计算：
（1）|﹣3|×（﹣）×÷×（﹣3）2÷（﹣3）；
（2）3+50÷（﹣2）2×（﹣0.2）﹣1．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】（1）根据有理数的乘除法可以解答本题；
（2）根据有理数乘除法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）|﹣3|×（﹣）×÷×（﹣3）2÷（﹣3）
=
=﹣2；
（2）3+50÷（﹣2）2×（﹣0.2）﹣1
=3+50×
=3﹣﹣1
=．
4. 若|a|=5，|b|=3，求a+b的值．
【考点】有理数的加法；绝对值．
【分析】|a|=5，则a=±5，同理b=±3，则求a+b的值就应分几种情况讨论．
【解答】解：∵|a|=5，
∴a=±5，
同理b=±3．
当a=5，b=3时，a+b=8；
当a=5，b=﹣3时，a+b=2；
当a=﹣5，b=3时，a+b=﹣2；
当a=﹣5，b=﹣3时，a+b=﹣8．
【点评】正确地进行讨论是本题解决的关键．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
5. 一辆汽车沿着南北方向的公路来回行驶，某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北正方向（如：+7表示汽车向北行驶7千米），当天行驶记录如下：+18，﹣9，+7，﹣14，﹣6，12，﹣6，+8．（单位：千米）问：
（1）B地在A地的何方，相距多少千米？
（2）若汽车行驶1千米耗油0.35升，那么这一天共耗油多少升？
【考点】正数和负数．
【专题】应用题．
【分析】（1）把当天记录相加，然后根据正数和负数的规定解答即可；
（2）先求出行驶记录的绝对值的和，再乘以0.35计算即可得解．
【解答】解：（1）18﹣9+7﹣14﹣6+12﹣6+8
=45﹣35
=10，
所以，B地在A地北方10千米；
（2）18+9+7+14+6+12+6+8=80千米
80×0.35=28升．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
6. 一辆货车从超市出发，向东走了1千米，到达小明家，继续向东走了3千米到达小兵家，然后向西走了10千米，到达小华家，最后又向东走了6千米结束行程． （1）如果以超市为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在下面的数轴上表示出小明家、小兵家和小华家的具体位置．
（2）请你通过计算说明货车最后回到什么地方？
（3）如果货车行驶1千米的用油量为0.25升，请你计算货车从出发到结束行程共耗油多少升？
【解析】（1）根据已知，以超市为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米.一辆货车从超市出发，向东走了1千米，到达小明家，继续向东走了3千米到达小兵家，然后向西走了10千米，到达小华家，最后又向东走了6千米结束行程，则小明家、小兵家和小华家在数轴上的位置如图所示． （2）这辆货车一共行走的路程，实际上就是1+3+10+6=20（千米）， 货车从出发到结束行程共耗油量=货车行驶每千米耗油量×货车行驶所走的总路程．
【解答】：（1）小明家、小兵家和小华家在数轴上的位置如图所示．
（2）由题意得
（+1）+（+3）+（-10）+（+6）=0，
因而货车回到了超市．
（3）由题意得，
1+3+10+6=20，
货车从出发到结束行程共耗油0.25×20=5（升）．
答：（1）参见上图；（2）货车最后回到了超市；（3）货车从出发到结束行程共耗油5升.
【知识脉络】
【基础知识】
1.1正数和负数
一、概念
1、正数：大于零的数，有时根据需要在正数前面加“+”（正号）
2、负数：在正数前面加上“—”（负号）的数 说明：一个数前面的“+”“—”叫做它的号，其中“+”有时可以省略，但仍然表示正数，有时“+”是为了强调它是正数，但“—”号是绝对不能省略的。
3、0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。 说明：关于0的总结——实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数，相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界
二、实际应用
在解决 一些实际问题时，可以认为规定具有相反意义的量的正负。 例如：收入为正，支出为负，收支平衡为0 零上为正，零下为负，分界为0 向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为0 加分为正，扣分为负，不加不扣为0 逆时针为正，顺时针为负 超标为正，低标为负，标准为0 地上为正，地下为负，地面基准为0 盈余为正，亏空为负，收支平衡为0 水位上升为正，水位下降为负，水平面为0 高于平均分为正，低于平均分为负 增加为正，减少为负，不增不减为0 海平面以上为正，以下为负，海平面记为0
三、易错易误点
1、-a一定是负数么？ 答案：不一定，需要分类分析 解析：当a大于0时，-a就是负数；当a等于0时，-a为0；当a小于0时，-a是正数 因此，a不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略0的存在。
海拔0米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为0米。 3、非正数：0和负数 非负数：0和正数
1.2 有理数
概念
有理数：正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。
无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。如无限不循环小数π=3.1415926… 它不能化成分数形式。
分类
1、按定义分类；有理数分为整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数）
2、按性质符号分类；有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）
三、数轴
定义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线 规定三要素——原点，正方向，单位长度 注意“规定”二字，是说三要素是根据实际需要认为规定的。 2、画法：（必须用直尺！）
先画一条直线
（2）在直线上任取一点，作为原点，记为0
（3）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右（向左）每隔一个单位长度取一点。 3、与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，通常“正右负左，原点中间”； 但数轴上的点不都来表示有理数。
四、相反数（重点）
1、概念
（1）几何定义：在数轴上分别位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
（2）代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如，2和-2 ；0的相反数是0。
2、表示方法以及多重符号的简化 （1）a的相反数是-a，这里a是任意有理数(即正数、负数、0) 当a大于0时，-a小于0（正数的相反数是负数） 当a小于0时，-a大于0（负数的相反数是正数） 当a等于0时，-a等于0（0的相反数是0） （2）多重符号化简方法：正数前有偶数个“—”，可以把“—”一起去掉 ~ 2 / 5 ~ 正数前有奇数个“—”，最后只留一个“—” 0前无论有多少个“—”，化简后仍是0
五、绝对值
1、概念
（1）几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜，读作a的绝对值，绝对值不能是负数。
（2）代数定义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
2、做题时需要慎重考虑0的情况。
六、有理数大小比较
1、具体方法：将各数在同一条数轴上表示出来，那么从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即为——负数＜0＜正数。
2、两个负数，绝对值大的反而小。
3两数大小：同号——同正，绝对值大的数大 同负，绝对值大的反而小 异号——正数大于负数 一数为零——正数＞0，负数＜0 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法
一、法则
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
互为相反数的两个数相加得0； 4、一个数同0相加，仍得这个数。
二、运算律
1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=(a+c)+b
1.3.2有理数的减法 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b)
注意两变：减法变加法，减数变为它的相反数
1.4 有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
法则 1、两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘。 2、任何数同0相乘，都得0。
推广 1、几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
几个数相乘，有一个因数为0，则乘积为0。
运算律 1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。(ab)c=(ac)b
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a(b+c)=ab+ac
倒数 1、乘积是1的两个数互为倒数。当a≠0时，与1/a互为倒数；当m≠0，n≠0时n/m与m/n互为倒数
注意：0没有倒数，做题时应当注意分母不为0 3、-1的倒数是-1；0~ -1之间的数的倒数比本身小；
小于-1的数的倒数比本身大。
1.4.2 有理数的除法
法则 1、除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0，0不能做除数。
二、化简 1、分数可以理解为分子除以分母，分数线就是除号。 2、0除以任何一个不等于0的数，都得0。
三、混合运算
1、乘除混合运算
（1）如果一个带分数的整数部分和分数部分都能与某分数相乘时约分，则将这个带分数写成整数部分与分数部分的和，再利用分配律运算 （2）运算时应该从左至右，并将除法化成乘法再进行运算。
（3）除法化乘法，算式化连乘，小数化分数，带分数化假分数，负因数的个数确定符号的正负。
2、加减、乘除混合运算 遵循原则：先乘除，后加减；按小括号、中括号、大括号依次计算；灵活运用分配律。
1.5有理数的乘方
1.5.1乘方
乘方的意义 1、求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做幂。在an中，a 叫做底数，n 叫做指数。
2、一个数可以看做是这个数本身的一次方，指数1通常省略不写。 3、因为an就是n个a相乘，所以可以利用乘法运算计算乘方运算。
乘方运算的性质 1、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数， 2、正数的任何次幂都是正数，3、0的任何正整数次幂都是0。
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
1.5.2科学记数法。
一、概念 把一个大于10的数表示成ax10n的形式（其中a是整数位只有一位的数，n是原数的整数位减1.即1≤｜a｜＜10，n是正整数），这种计数方法叫做科学记数法。
1.5.3近似数
概念 四舍五入的近似数，从左边第一个非0的数字起，到精确到的数位止，所有的数都叫做这个数的有效数字。
二、说明 一个数只是接近实际数，但与实际数还有差别，它是一个近似数。 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。
【典例解析】
例题1：计算
①﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]
②（﹣2）3×（1﹣0.2÷）+（﹣1）2017．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】①首先计算乘方和括号里面的运算，然后计算乘法和减法，求出算式的值是多少即可．
②首先计算乘方和小括号里面的除法和减法，然后计算乘法和加法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：①﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]
=﹣1﹣×[2﹣9]
=﹣1+
=
②（﹣2）3×（1﹣0.2÷）+（﹣1）2017
=（﹣8）×（1﹣0.25）﹣1
=（﹣8）×0.75﹣1
=﹣6﹣1
=﹣7
例题2：已知÷（﹣）4×（﹣3）﹣（﹣）=a+b，则a是大于﹣6的整数，b是大于﹣1的分数，则（ab）3的结果为 64 ．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】先根据有理数混合运算的法则计算出等式左边的值，再根据a是大于﹣6的整数，b是大于﹣1的分数求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：左边=÷×（﹣3）+
=×16×（﹣3）+
=2×（﹣3）+
=﹣6+
=﹣5﹣，
∵a是大于﹣6的整数，b是大于﹣1的分数，
∴a=﹣5，b=﹣，
∴（ab）3=[（﹣5）×（﹣）]3=43=64．
故答案为：64．
例题3：计算
①﹣32+1﹣（﹣2）3
②（﹣5）2÷[2﹣（﹣1+2）]×0.4．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】①原式先计算乘方运算，再计算加减运算即可得到结果；
②原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
【解答】解：①原式=﹣9+1+8=0；
②原式=25÷（2+1﹣2）×0.4=25÷×=25××=8．
例题4：某自行车厂计划平均每天生产200辆，但是由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+6
﹣3
﹣8
+14
﹣10
+15
﹣4
（1）根据记录的数据可知该厂星期三生产自行车多少辆？
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？
（3）根据记录的数据可知该厂本周实际共生产自行车多少辆？
【考点】正数和负数．
【分析】（1）根据有理数的减法，可得答案；
（2）根据有理数的减法，可得答案；
（3）根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：（1）由题意，得
200﹣8=192（辆），
答：该厂星期三生产自行车192辆；
（2）由题意，得
最多的一天是周六，最少的一天是周五，
15﹣（﹣10）=25（辆）
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车25辆；
（3）由题意，得
200×7+（6﹣3﹣8+14﹣10+15﹣4）
=1400+10
=1410（辆）
答：该厂本周实际共生产自行车1410辆．
【跟踪训练】
1. 李先生在2017年11月第2周星期五股市收盘时，以每股9元的价格买进某公司的股票1000股，在11月第3周的星期一至星期五，该股票每天收盘时每股的涨跌（单位：元）情况如下表：
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
每股涨跌/元
0
﹣0.32
+0.47
﹣0.21
+0.56
注：表中记录的数据为每天收盘价格与前一天收盘价格的变化量，星期一的数据是与上星期五收盘价格的变化量．
（1）请你判断在11月的第3周内，该股票价格收盘时，价格最高的是哪一天？
（2）在11月第3周内，求李先生购买的股票每股每天平均的收盘价格．（结果精确到百分位）
2. 在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
3. 计算：
（1）|﹣3|×（﹣）×÷×（﹣3）2÷（﹣3）；
（2）3+50÷（﹣2）2×（﹣0.2）﹣1．
4. 若|a|=5，|b|=3，求a+b的值．
5. 一辆汽车沿着南北方向的公路来回行驶，某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北正方向（如：+7表示汽车向北行驶7千米），当天行驶记录如下：+18，﹣9，+7，﹣14，﹣6，12，﹣6，+8．（单位：千米）问：
（1）B地在A地的何方，相距多少千米？
（2）若汽车行驶1千米耗油0.35升，那么这一天共耗油多少升？
6. 一辆货车从超市出发，向东走了1千米，到达小明家，继续向东走了3千米到达小兵家，然后向西走了10千米，到达小华家，最后又向东走了6千米结束行程． （1）如果以超市为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在下面的数轴上表示出小明家、小兵家和小华家的具体位置．
（2）请你通过计算说明货车最后回到什么地方？
（3）如果货车行驶1千米的用油量为0.25升，请你计算货车从出发到结束行程共耗油多少升？
参考答案：
1. 李先生在2017年11月第2周星期五股市收盘时，以每股9元的价格买进某公司的股票1000股，在11月第3周的星期一至星期五，该股票每天收盘时每股的涨跌（单位：元）情况如下表：
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
每股涨跌/元
0
﹣0.32
+0.47
﹣0.21
+0.56
注：表中记录的数据为每天收盘价格与前一天收盘价格的变化量，星期一的数据是与上星期五收盘价格的变化量．
（1）请你判断在11月的第3周内，该股票价格收盘时，价格最高的是哪一天？
（2）在11月第3周内，求李先生购买的股票每股每天平均的收盘价格．（结果精确到百分位）
【考点】正数和负数．
【分析】（1）根据正负号的意义以及表格中的数据可知星期五价格最高；
（2）先求得一周内每股的价格之和，然后再求得平均值即可．
【解答】解：（1）根据正负数的意义可知：星期五的价格最高；
（2）9+（0﹣0.32+0.47﹣0.21+0.56）÷5=9.10．
2. 在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
【考点】正数和负数．
【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；
（2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案；
（3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远．
【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5=20，
答：B地在A地的东边20千米；
（2）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|=74千米，
应耗油74×0.5=37（升），
故还需补充的油量为：37﹣28=9（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；
（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14﹣9=5（千米）；14﹣9+8=13（千米）；14﹣9+8﹣7=6（千米）；
14﹣9+8﹣7+13=19（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6=13（千米）；
14﹣9+8﹣7+13﹣6+12=25（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5=20（千米），
25＞20＞19＞14＞13＞＞6＞5，
∴最远处离出发点25千米；（每小题2分）
3. 计算：
（1）|﹣3|×（﹣）×÷×（﹣3）2÷（﹣3）；
（2）3+50÷（﹣2）2×（﹣0.2）﹣1．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】（1）根据有理数的乘除法可以解答本题；
（2）根据有理数乘除法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）|﹣3|×（﹣）×÷×（﹣3）2÷（﹣3）
=
=﹣2；
（2）3+50÷（﹣2）2×（﹣0.2）﹣1
=3+50×
=3﹣﹣1
=．
4. 若|a|=5，|b|=3，求a+b的值．
【考点】有理数的加法；绝对值．
【分析】|a|=5，则a=±5，同理b=±3，则求a+b的值就应分几种情况讨论．
【解答】解：∵|a|=5，
∴a=±5，
同理b=±3．
当a=5，b=3时，a+b=8；
当a=5，b=﹣3时，a+b=2；
当a=﹣5，b=3时，a+b=﹣2；
当a=﹣5，b=﹣3时，a+b=﹣8．
【点评】正确地进行讨论是本题解决的关键．规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
5. 一辆汽车沿着南北方向的公路来回行驶，某天早晨从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北正方向（如：+7表示汽车向北行驶7千米），当天行驶记录如下：+18，﹣9，+7，﹣14，﹣6，12，﹣6，+8．（单位：千米）问：
（1）B地在A地的何方，相距多少千米？
（2）若汽车行驶1千米耗油0.35升，那么这一天共耗油多少升？
【考点】正数和负数．
【专题】应用题．
【分析】（1）把当天记录相加，然后根据正数和负数的规定解答即可；
（2）先求出行驶记录的绝对值的和，再乘以0.35计算即可得解．
【解答】解：（1）18﹣9+7﹣14﹣6+12﹣6+8
=45﹣35
=10，
所以，B地在A地北方10千米；
（2）18+9+7+14+6+12+6+8=80千米
80×0.35=28升．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
6. 一辆货车从超市出发，向东走了1千米，到达小明家，继续向东走了3千米到达小兵家，然后向西走了10千米，到达小华家，最后又向东走了6千米结束行程． （1）如果以超市为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请你在下面的数轴上表示出小明家、小兵家和小华家的具体位置．
（2）请你通过计算说明货车最后回到什么地方？
（3）如果货车行驶1千米的用油量为0.25升，请你计算货车从出发到结束行程共耗油多少升？
【解析】（1）根据已知，以超市为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米.一辆货车从超市出发，向东走了1千米，到达小明家，继续向东走了3千米到达小兵家，然后向西走了10千米，到达小华家，最后又向东走了6千米结束行程，则小明家、小兵家和小华家在数轴上的位置如图所示． （2）这辆货车一共行走的路程，实际上就是1+3+10+6=20（千米）， 货车从出发到结束行程共耗油量=货车行驶每千米耗油量×货车行驶所走的总路程．
【解答】：（1）小明家、小兵家和小华家在数轴上的位置如图所示．
（2）由题意得
（+1）+（+3）+（-10）+（+6）=0，
因而货车回到了超市．
（3）由题意得，
1+3+10+6=20，
货车从出发到结束行程共耗油0.25×20=5（升）．
答：（1）参见上图；（2）货车最后回到了超市；（3）货车从出发到结束行程共耗油5升.