人教版七年级上册各章节压轴题解析：几何图形初步
文档属性
| 名称 | 人教版七年级上册各章节压轴题解析：几何图形初步 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-08-24 15:47:29 | ||
图片预览
文档简介
几何图形初步
【知识脉络】
【基础知识】
第一节几何图形
认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
点、线、面、体
1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
欧拉公式
（1）简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F-E=2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． （2）V+F-E=X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X（P）是多面体P的欧拉示性数．
几何体的表面积
几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）
常见的几种几何体的表面积的计算公式? ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） ③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ④正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长
认识平面图形
（1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内．
几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
展开图折叠成几何提体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形
正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
截一个几何体
截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形
第二节直线 射线 线段
直线 射线 线段 的表示
直线、射线、线段的表示方法 （1）①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB．
（2）②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
(3点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外
直线的性质
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
线段的性质
线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成： 两点之间，线段最短．
两点间的距离
(1两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
(2)平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离
比较线段的长短
（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC=BC，C为AB中点，AC=12AB，AB=2AC，D 为CB中点，则CD=DB=12CB=14AB，AB=4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
第三节 角
一：角
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走112格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．
方向角
（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方位角 以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
二：角的比较与运算
度分秒的换 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
角平分线的定义
（1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC=∠BOC=12∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
计算器---角的换算
科学型计算器 计算器上面的函数区，三行二列的键（．，，，）就是度分秒转换的键． 输入数值，如输入30.5，先按=，再按（．，，，）键，就显示出30°30′0″． 如果要输入30°30′0″，先输入30在“度”的位置按一下，再输入30在“分”的位置再按一下，最后输入0，在“秒”的位置再按一下就可以得到30°30′0″．若要转化为度，则按=，再按（．，，，）键，就显示出30.5°．
三：余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
【典例解析】
例题1：如图，已知C、D两点将线段AB分为三部分，且AC：CD：DB=2：3：4，若AB的中点为M，BD的中点为N，且MN=5cm，求AB的长．
【考点】两点间的距离．
【分析】设AC=2x，则CD=3x，DB=4x，再根据AB的中点为M，BD的中点为N用x表示出BM与BN的长，根据MN=5cm求出x的值即可．
【解答】解：∵C、D两点将线段AB分为三部分，且AC：CD：DB=2：3：4，
∴设AC=2x，则CD=3x，DB=4x，
∴AB=AC+CD+BD=2x+3x+4x=9x．
∵AB的中点为M，BD的中点，
∴BM=AB=x，BN=BD=2x，
∴MN=BM﹣BN=x﹣2x=5，
∴x=2（cm），
∴AB=9x=9×2=18（cm）．
答：AB的长为18cm．
例题2：我们已学习了角平分线的概念，那么你会用他们解决有关问题吗？
（1）如图1所示，将长方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕．若∠ABC=55°，求∠A′BD的度数．
（2）在（1）条件下，如果又将它的另一个角也斜折过去，并使BD边与BA′重合，折痕为BE，如图2所示，求∠2和∠CBE的度数．
（3）如果将图2中改变∠ABC的大小，则BA′的位置也随之改变，那么（2）中∠CBE的大小会不会改变？请说明．
【考点】角平分线的定义；角的计算；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠A′BC=∠ABC=55°，由平角的定义可得∠A′BD=180°﹣∠ABC﹣∠A′BC，可得结果；
（2）由（1）的结论可得∠DBD′=70°，由折叠的性质可得==35°，由角平分线的性质可得∠CBE=∠A′BC+∠D′BE=×180°=90°；
（3）由折叠的性质可得，，∠2=∠EBD=∠DBD′，可得结果．
【解答】解：（1）∵∠ABC=55°，
∴∠A′BC=∠ABC=55°，
∴∠A′BD=180°﹣∠ABC﹣∠A′BC
=180°﹣55﹣55°
=70°；
（2）由（1）的结论可得∠DBD′=70°，
∴==35°，
由折叠的性质可得，
∴∠CBE=∠A′BC+∠D′BE=×180°=90°；
（3）不变，
由折叠的性质可得，
，∠2=∠EBD=∠DBD′，
∴∠1+∠2===90°，
不变，永远是平角的一半．
例题3：已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．
（1）当D点与B点重合时，AC= 6 ；
（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB﹣2PC的值；
（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．
【考点】线段的和差．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）由（1）得AC=AB，CD=AB，根据线段的和差即可得到结论；
（3）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD﹣AM﹣DN；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．
【解答】解：（1）当D点与B点重合时，AC=AB﹣CD=6；
故答案为：6；
（2）由（1）得AC=AB，
∴CD=AB，
∵点P是线段AB延长线上任意一点，
∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=AB+PB，
∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2（AB+PB）=0；
（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=AC=（AB+BC）=8，
DN=BD=（CD+BC）=5，
∴MN=AD﹣AM﹣DN=9；
如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=AC=（AB﹣BC）=4，
DN=BD=（CD﹣BC）=1，
∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9．
【跟踪训练】
1. 如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=25°，求∠AOB的度数．
2. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOD，∠COE=20°，求∠BOD与∠DOF的度数．
3. 如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起．
（1）若∠AOD=25°，则∠AOC= ，∠BOD= ，∠BOC= ；
（2）比较∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；
（3）猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由．
4. 如图，直线AB、CD相交于O，∠BOC=80°，OE是∠BOC的角平分线，OF是OE的反向延长线，
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）说明OF平分∠AOD．
5. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB= ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ=AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
6. 如图①，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，则DE= cm；
（2）若AC=4cm，求DE的长；
（3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；
（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．
7. 如图，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AC=c，按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（1）作一条线段EF，使EF的长等于a+b，并比较线段EF与线段AB的长短；
（2）在（1）的基础上，若线段AB与EF在同一条直线上，且点A与点E重合，点B和点F在点E的同侧，若EF=14cm，BF=2cm，M是EF的中点，N是BM的中点，求线段EN的长度．
8. 在学习了角的相关知识后，老师给张萌留了道作业题，请你帮助张萌做完这道题．
作业题
已知∠MON=100°，在∠MON的外部画∠AON，OB，BO分别是∠MOA和∠BON的平分线．（题中所有的角都是小于平角的角）
（1）如图1，若∠AON=40°，求∠COA的度数；
（2）如图2，若∠AON=120°，求∠COA的度数．
参考答案;
1. 如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=25°，求∠AOB的度数．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【分析】先设∠AOC=x，则∠COB=2∠AOC=2x，再根据角平分线定义得出∠AOD=∠BOD=1.5x，进而根据∠COD=25°列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：设∠AOC=x，则∠COB=2∠AOC=2x．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠BOD=1.5x．
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=1.5x﹣x=0.5x．
∵∠COD=25°，
∴0.5x=25°，
∴x=50°，
∴∠AOB=3×50°=150°．
2. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOD，∠COE=20°，求∠BOD与∠DOF的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【分析】根据角的和差得到∠AOD=180°﹣∠BOD=180°﹣70°=110°，根据角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵∠BOE=90°，∠COE=20°，
∴∠BOD=180°﹣∠BOE﹣∠COE=180°﹣90°﹣20°=70°，
∴∠AOD=180°﹣∠BOD=180°﹣70°=110°，
又∵OF平分∠AOD，
∴∠DOF=∠AOD=110°=55°．
3. 如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起．
（1）若∠AOD=25°，则∠AOC= 65° ，∠BOD= 65° ，∠BOC= 155° ；
（2）比较∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；
（3）猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由．
【考点】余角和补角．
【分析】（1）依据∠AOC+∠AOD=90°，可求得∠AOC的度数，同理可求得∠BOD的度数，然后依据∠BOC=∠COD+∠DOB求解即可；
（2）依据同角的余角相等进行证明即可；
（3）依据∠BOC=∠AOD+∠AOB﹣∠AOD求解即可．
【解答】解：（1）∠AOC=∠COD﹣∠AOD=90°﹣25°=65°，
∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=90°﹣25°=65°，
∠BOC=∠COD+∠DOB=90°+65°=155°
故答案为：65°；65°；155°．
（2）∠AOC=∠BOD．
理由如下：∵∠AOC+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠AOC=∠BOD．
（3）∠AOD+∠BOC=180°．
理由如下：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
又∵∠AOB=∠AOD+∠BOD，
∴∠AOD+BOD+∠COD=180°．
又∵∠BOD+∠COD=∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC=180°．
4. 如图，直线AB、CD相交于O，∠BOC=80°，OE是∠BOC的角平分线，OF是OE的反向延长线，
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）说明OF平分∠AOD．
【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【分析】（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；
（2）根据OF分∠AOD的两部分角的度数即可说明．
【解答】解：（1）∵∠BOC+∠2=180°，∠BOC=80°，
∴∠2=180°﹣80°=100°；
∵OE是∠BOC的角平分线，
∴∠1=40°．
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠3=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣40°﹣100°=40°．
（2）∵∠2+∠3+∠AOF=180°，
∴∠AOF=180°﹣∠2﹣∠3=180°﹣100°﹣40°=40°．
∴∠AOF=∠3=40°，
∴OF平分∠AOD．
5. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB= 10 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣2+3t ；点Q表示的数为 8﹣2t ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ=AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【考点】两点间的距离；数轴；绝对值；一元一次方程的应用．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t=2，于是得到当t=2时，P、Q相遇，即可得到结论；
（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（4）由点M表示的数为 =﹣2，点N表示的数为 =+3，即可得到结论．
【解答】解：（1）①10，3；
②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t=8﹣2t，
解得：t=2，
∴当t=2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t=﹣2+3×2=4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，
又PQ=AB=×10=5，
∴|5t﹣10|=5，
解得：t=1或3，
∴当：t=1或3时，PQ=AB；
（4）∵点M表示的数为 =﹣2，
点N表示的数为 =+3，
∴MN=|（﹣2）﹣（+3）|=|﹣2﹣﹣3|=5．
6. 如图①，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，则DE= 6 cm；
（2）若AC=4cm，求DE的长；
（3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；
（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．
【考点】两点间的距离；角平分线的定义；角的计算．
【分析】（1）由AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE=（AC+BC）=AB=6cm，（2）由AC=4cm，AB=12cm，即可推出BC=8cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出AD=DC=2cm，BE=EC=4cm，即可推出DE的长度，（3）设AC=acm，然后通过点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE=（AC+BC）=AB=cm，即可推出结论，（4）由若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，即可推出∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB）=∠AOB=60°，即可推出∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
【解答】解：（1）∵AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的中点，
∴AC=BC=6cm，
∴CD=CE=3cm，
∴DE=6cm，
（2）∵AB=12cm，
∴AC=4cm，
∴BC=8cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴CD=2cm，CE=4cm，
∴DE=6cm，
（3）设AC=acm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DE=CD+CE=（AC+BC）=AB=6cm，
∴不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变，
（4）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB）=∠AOB，
∵∠AOB=120°，
∴∠DOE=60°，
∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
7. 如图，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AC=c，按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（1）作一条线段EF，使EF的长等于a+b，并比较线段EF与线段AB的长短；
（2）在（1）的基础上，若线段AB与EF在同一条直线上，且点A与点E重合，点B和点F在点E的同侧，若EF=14cm，BF=2cm，M是EF的中点，N是BM的中点，求线段EN的长度．
【考点】作图—复杂作图；两点间的距离．
【分析】（1）直接利用圆规连续截取两条线段分别等于a，b进而得出答案；
（2）直接利用线段中点的性质结合已知分别得出EM，MN的长进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：EF即为所求，
EF＞AB；
（2）∵EF=14cm，M是EF的中点，
∴MF=7cm，
∵BF=2cm，
∴BM=5cm，
∵N是BM的中点，
∴MN=BN=2.5cm，
∴EN=7+2.5=9.5cm．
8. 在学习了角的相关知识后，老师给张萌留了道作业题，请你帮助张萌做完这道题．
作业题
已知∠MON=100°，在∠MON的外部画∠AON，OB，BO分别是∠MOA和∠BON的平分线．（题中所有的角都是小于平角的角）
（1）如图1，若∠AON=40°，求∠COA的度数；
（2）如图2，若∠AON=120°，求∠COA的度数．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【分析】（1）根据已知条件得到∠AOM=140°，根据角平分线的定义得到∠AOB=∠BOM=，由角的和差即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠AOM=140°，根据角平分线的定义得到∠AOB=∠BOM=，由角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠MON=100°，∠AON=40°，
∴∠AOM=140°，
∵OB，CO分别是∠MOA和∠BON的平分线，
∴∠AOB=∠BOM=，
∴∠BON=∠AOB﹣∠AON=30°，
∴∠BOC==15°，
∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=55°；
（2）∵∠MON=100°，∠AON=120°，
∴∠AOM=360°﹣∠AON﹣∠MON=140°，
∵OB，CO分别是∠MOA和∠BON的平分线，
∴∠AOB=∠BOM=，
∴∠BON=∠BOM+∠MON=170°，
∴∠BOC==85°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=155°．
【知识脉络】
【基础知识】
第一节几何图形
认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
点、线、面、体
1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
欧拉公式
（1）简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F-E=2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． （2）V+F-E=X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X（P）是多面体P的欧拉示性数．
几何体的表面积
几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）
常见的几种几何体的表面积的计算公式? ①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高） ②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角） ③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高） ④正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长
认识平面图形
（1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内．
几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
展开图折叠成几何提体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形
正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
截一个几何体
截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形
第二节直线 射线 线段
直线 射线 线段 的表示
直线、射线、线段的表示方法 （1）①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB．
（2）②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边． ③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
(3点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外
直线的性质
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
线段的性质
线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成： 两点之间，线段最短．
两点间的距离
(1两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
(2)平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离
比较线段的长短
（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． 就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD． （2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点． （3）线段的和、差、倍、分及计算 做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 如图，AC=BC，C为AB中点，AC=12AB，AB=2AC，D 为CB中点，则CD=DB=12CB=14AB，AB=4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
第三节 角
一：角
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
钟面角
（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走112格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．
方向角
（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方位角 以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
二：角的比较与运算
度分秒的换 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
角平分线的定义
（1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC=∠BOC=12∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
计算器---角的换算
科学型计算器 计算器上面的函数区，三行二列的键（．，，，）就是度分秒转换的键． 输入数值，如输入30.5，先按=，再按（．，，，）键，就显示出30°30′0″． 如果要输入30°30′0″，先输入30在“度”的位置按一下，再输入30在“分”的位置再按一下，最后输入0，在“秒”的位置再按一下就可以得到30°30′0″．若要转化为度，则按=，再按（．，，，）键，就显示出30.5°．
三：余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
【典例解析】
例题1：如图，已知C、D两点将线段AB分为三部分，且AC：CD：DB=2：3：4，若AB的中点为M，BD的中点为N，且MN=5cm，求AB的长．
【考点】两点间的距离．
【分析】设AC=2x，则CD=3x，DB=4x，再根据AB的中点为M，BD的中点为N用x表示出BM与BN的长，根据MN=5cm求出x的值即可．
【解答】解：∵C、D两点将线段AB分为三部分，且AC：CD：DB=2：3：4，
∴设AC=2x，则CD=3x，DB=4x，
∴AB=AC+CD+BD=2x+3x+4x=9x．
∵AB的中点为M，BD的中点，
∴BM=AB=x，BN=BD=2x，
∴MN=BM﹣BN=x﹣2x=5，
∴x=2（cm），
∴AB=9x=9×2=18（cm）．
答：AB的长为18cm．
例题2：我们已学习了角平分线的概念，那么你会用他们解决有关问题吗？
（1）如图1所示，将长方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕．若∠ABC=55°，求∠A′BD的度数．
（2）在（1）条件下，如果又将它的另一个角也斜折过去，并使BD边与BA′重合，折痕为BE，如图2所示，求∠2和∠CBE的度数．
（3）如果将图2中改变∠ABC的大小，则BA′的位置也随之改变，那么（2）中∠CBE的大小会不会改变？请说明．
【考点】角平分线的定义；角的计算；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）由折叠的性质可得∠A′BC=∠ABC=55°，由平角的定义可得∠A′BD=180°﹣∠ABC﹣∠A′BC，可得结果；
（2）由（1）的结论可得∠DBD′=70°，由折叠的性质可得==35°，由角平分线的性质可得∠CBE=∠A′BC+∠D′BE=×180°=90°；
（3）由折叠的性质可得，，∠2=∠EBD=∠DBD′，可得结果．
【解答】解：（1）∵∠ABC=55°，
∴∠A′BC=∠ABC=55°，
∴∠A′BD=180°﹣∠ABC﹣∠A′BC
=180°﹣55﹣55°
=70°；
（2）由（1）的结论可得∠DBD′=70°，
∴==35°，
由折叠的性质可得，
∴∠CBE=∠A′BC+∠D′BE=×180°=90°；
（3）不变，
由折叠的性质可得，
，∠2=∠EBD=∠DBD′，
∴∠1+∠2===90°，
不变，永远是平角的一半．
例题3：已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．
（1）当D点与B点重合时，AC= 6 ；
（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB﹣2PC的值；
（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．
【考点】线段的和差．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）由（1）得AC=AB，CD=AB，根据线段的和差即可得到结论；
（3）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，先计算出AM、DN的长度，然后计算MN=AD﹣AM﹣DN；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN的长度．
【解答】解：（1）当D点与B点重合时，AC=AB﹣CD=6；
故答案为：6；
（2）由（1）得AC=AB，
∴CD=AB，
∵点P是线段AB延长线上任意一点，
∴PA+PB=AB+PB+PB，PC=CD+PB=AB+PB，
∴PA+PB﹣2PC=AB+PB+PB﹣2（AB+PB）=0；
（3）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=AC=（AB+BC）=8，
DN=BD=（CD+BC）=5，
∴MN=AD﹣AM﹣DN=9；
如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴AM=AC=（AB﹣BC）=4，
DN=BD=（CD﹣BC）=1，
∴MN=AD﹣AM﹣DN=12+6﹣4﹣4﹣1=9．
【跟踪训练】
1. 如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=25°，求∠AOB的度数．
2. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOD，∠COE=20°，求∠BOD与∠DOF的度数．
3. 如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起．
（1）若∠AOD=25°，则∠AOC= ，∠BOD= ，∠BOC= ；
（2）比较∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；
（3）猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由．
4. 如图，直线AB、CD相交于O，∠BOC=80°，OE是∠BOC的角平分线，OF是OE的反向延长线，
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）说明OF平分∠AOD．
5. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB= ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ=AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
6. 如图①，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，则DE= cm；
（2）若AC=4cm，求DE的长；
（3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；
（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．
7. 如图，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AC=c，按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（1）作一条线段EF，使EF的长等于a+b，并比较线段EF与线段AB的长短；
（2）在（1）的基础上，若线段AB与EF在同一条直线上，且点A与点E重合，点B和点F在点E的同侧，若EF=14cm，BF=2cm，M是EF的中点，N是BM的中点，求线段EN的长度．
8. 在学习了角的相关知识后，老师给张萌留了道作业题，请你帮助张萌做完这道题．
作业题
已知∠MON=100°，在∠MON的外部画∠AON，OB，BO分别是∠MOA和∠BON的平分线．（题中所有的角都是小于平角的角）
（1）如图1，若∠AON=40°，求∠COA的度数；
（2）如图2，若∠AON=120°，求∠COA的度数．
参考答案;
1. 如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=25°，求∠AOB的度数．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【分析】先设∠AOC=x，则∠COB=2∠AOC=2x，再根据角平分线定义得出∠AOD=∠BOD=1.5x，进而根据∠COD=25°列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：设∠AOC=x，则∠COB=2∠AOC=2x．
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=∠BOD=1.5x．
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=1.5x﹣x=0.5x．
∵∠COD=25°，
∴0.5x=25°，
∴x=50°，
∴∠AOB=3×50°=150°．
2. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOD，∠COE=20°，求∠BOD与∠DOF的度数．
【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．
【分析】根据角的和差得到∠AOD=180°﹣∠BOD=180°﹣70°=110°，根据角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵∠BOE=90°，∠COE=20°，
∴∠BOD=180°﹣∠BOE﹣∠COE=180°﹣90°﹣20°=70°，
∴∠AOD=180°﹣∠BOD=180°﹣70°=110°，
又∵OF平分∠AOD，
∴∠DOF=∠AOD=110°=55°．
3. 如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起．
（1）若∠AOD=25°，则∠AOC= 65° ，∠BOD= 65° ，∠BOC= 155° ；
（2）比较∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；
（3）猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由．
【考点】余角和补角．
【分析】（1）依据∠AOC+∠AOD=90°，可求得∠AOC的度数，同理可求得∠BOD的度数，然后依据∠BOC=∠COD+∠DOB求解即可；
（2）依据同角的余角相等进行证明即可；
（3）依据∠BOC=∠AOD+∠AOB﹣∠AOD求解即可．
【解答】解：（1）∠AOC=∠COD﹣∠AOD=90°﹣25°=65°，
∠BOD=∠AOB﹣∠AOD=90°﹣25°=65°，
∠BOC=∠COD+∠DOB=90°+65°=155°
故答案为：65°；65°；155°．
（2）∠AOC=∠BOD．
理由如下：∵∠AOC+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠AOC=∠BOD．
（3）∠AOD+∠BOC=180°．
理由如下：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
又∵∠AOB=∠AOD+∠BOD，
∴∠AOD+BOD+∠COD=180°．
又∵∠BOD+∠COD=∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC=180°．
4. 如图，直线AB、CD相交于O，∠BOC=80°，OE是∠BOC的角平分线，OF是OE的反向延长线，
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）说明OF平分∠AOD．
【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【分析】（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；
（2）根据OF分∠AOD的两部分角的度数即可说明．
【解答】解：（1）∵∠BOC+∠2=180°，∠BOC=80°，
∴∠2=180°﹣80°=100°；
∵OE是∠BOC的角平分线，
∴∠1=40°．
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠3=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣40°﹣100°=40°．
（2）∵∠2+∠3+∠AOF=180°，
∴∠AOF=180°﹣∠2﹣∠3=180°﹣100°﹣40°=40°．
∴∠AOF=∠3=40°，
∴OF平分∠AOD．
5. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．
设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB= 10 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣2+3t ；点Q表示的数为 8﹣2t ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ=AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【考点】两点间的距离；数轴；绝对值；一元一次方程的应用．
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t=2，于是得到当t=2时，P、Q相遇，即可得到结论；
（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（4）由点M表示的数为 =﹣2，点N表示的数为 =+3，即可得到结论．
【解答】解：（1）①10，3；
②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t=8﹣2t，
解得：t=2，
∴当t=2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t=﹣2+3×2=4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ=|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|=|5t﹣10|，
又PQ=AB=×10=5，
∴|5t﹣10|=5，
解得：t=1或3，
∴当：t=1或3时，PQ=AB；
（4）∵点M表示的数为 =﹣2，
点N表示的数为 =+3，
∴MN=|（﹣2）﹣（+3）|=|﹣2﹣﹣3|=5．
6. 如图①，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，则DE= 6 cm；
（2）若AC=4cm，求DE的长；
（3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；
（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关．
【考点】两点间的距离；角平分线的定义；角的计算．
【分析】（1）由AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE=（AC+BC）=AB=6cm，（2）由AC=4cm，AB=12cm，即可推出BC=8cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出AD=DC=2cm，BE=EC=4cm，即可推出DE的长度，（3）设AC=acm，然后通过点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE=（AC+BC）=AB=cm，即可推出结论，（4）由若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，即可推出∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB）=∠AOB=60°，即可推出∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
【解答】解：（1）∵AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的中点，
∴AC=BC=6cm，
∴CD=CE=3cm，
∴DE=6cm，
（2）∵AB=12cm，
∴AC=4cm，
∴BC=8cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴CD=2cm，CE=4cm，
∴DE=6cm，
（3）设AC=acm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DE=CD+CE=（AC+BC）=AB=6cm，
∴不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变，
（4）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB）=∠AOB，
∵∠AOB=120°，
∴∠DOE=60°，
∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
7. 如图，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AC=c，按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（1）作一条线段EF，使EF的长等于a+b，并比较线段EF与线段AB的长短；
（2）在（1）的基础上，若线段AB与EF在同一条直线上，且点A与点E重合，点B和点F在点E的同侧，若EF=14cm，BF=2cm，M是EF的中点，N是BM的中点，求线段EN的长度．
【考点】作图—复杂作图；两点间的距离．
【分析】（1）直接利用圆规连续截取两条线段分别等于a，b进而得出答案；
（2）直接利用线段中点的性质结合已知分别得出EM，MN的长进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：EF即为所求，
EF＞AB；
（2）∵EF=14cm，M是EF的中点，
∴MF=7cm，
∵BF=2cm，
∴BM=5cm，
∵N是BM的中点，
∴MN=BN=2.5cm，
∴EN=7+2.5=9.5cm．
8. 在学习了角的相关知识后，老师给张萌留了道作业题，请你帮助张萌做完这道题．
作业题
已知∠MON=100°，在∠MON的外部画∠AON，OB，BO分别是∠MOA和∠BON的平分线．（题中所有的角都是小于平角的角）
（1）如图1，若∠AON=40°，求∠COA的度数；
（2）如图2，若∠AON=120°，求∠COA的度数．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【分析】（1）根据已知条件得到∠AOM=140°，根据角平分线的定义得到∠AOB=∠BOM=，由角的和差即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠AOM=140°，根据角平分线的定义得到∠AOB=∠BOM=，由角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠MON=100°，∠AON=40°，
∴∠AOM=140°，
∵OB，CO分别是∠MOA和∠BON的平分线，
∴∠AOB=∠BOM=，
∴∠BON=∠AOB﹣∠AON=30°，
∴∠BOC==15°，
∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=55°；
（2）∵∠MON=100°，∠AON=120°，
∴∠AOM=360°﹣∠AON﹣∠MON=140°，
∵OB，CO分别是∠MOA和∠BON的平分线，
∴∠AOB=∠BOM=，
∴∠BON=∠BOM+∠MON=170°，
∴∠BOC==85°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=155°．