人教版八年级上册各章节压轴题解析：三角形
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三角形
【知识脉络】
【基础知识】
1、三角形的定义：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点
三角形的表示
三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。
注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个封闭的图形；
（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．
3、三角形的分类：
(1)按边分类：
（2）按角分类
4、三角形的主要线段的定义：
（1）三角形的中线（在中文中，中有中间的意思而在这里就是边上的中线）
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．
表示法：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC=BC.
注意：①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点 （注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃）
③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
（2）三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段
表示法：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线. （2）∠1=∠2=∠BAC.
注意：①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）
③用量角器画三角形的角平分线．
（3）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
表示法①AD是△ABC的BC上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°.
注意：①三角形的高是线段；
②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）
③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）
5、三角形的主要线段的表示法：
三角形的角平分线的表示法：
如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：
AD是ABC的角平分线；
AD平分BAC，交BC于D；
③ 如果AD是ABC的角平分线，那么BAD=DAC=BAC.
(2)三角形的中线表示法：
如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：
①AE是ABC的中线；
②AE是ABC中BC边上的中线；
③如果AE是ABC的中线，那么BE=EC=BC.
(3)三角线的高的表示法：
如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：
AM是ABC的高；
AM是ABC中BC边上的高；
如果AM是ABC中BC边上高，那么AMBC，垂足是E；
如果AM是ABC中BC边上的高，那么AMB=AMC=90.
⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：
(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.
(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.
如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.
6、三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；
（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
7、三角形的角与角之间的关系：
(1)三角形三个内角的和等于180;
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.
8、三角形的内角和定理
定理：三角形的内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余。
推理过程：
一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800，
即∠A+∠B+∠ACB=1800．
二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800，
即∠BAC+∠B+∠C=1800．
注意：
（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．
（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．
9、三角形的外角的定义
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.
所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处
只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.
10、三角形外角的性质
（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．
（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．
注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；
（2）作CM∥AB由于B、C、D共线
∴∠A=∠1，∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
11、三角形的稳定性：
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．
注意：（1）三角形具有稳定性；
（2）四边形没有稳定性.
关于三角形会经常遇到的题型：适当添加辅助线，寻找基本图形
(1)基本图形一，如图8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则DAC=2B=2C或B=C=DAC.
(2)基本图形二，如图9，如果CO是AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.
基本图形三，如图10，如果BD是ABC的角平分线，M是AB上一点，MNBD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即BMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.
当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.
图11
12、多边形
在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。
（1）多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
正多边形
各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形
多边形的内角和为 （n-2）*180度
多边形的外角和为 360度
注：当求角度时应该想起 内角和 或者 外角和 或者 一个角的外角
13、密铺
所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上，这种铺法就叫做“密铺”。
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。
（1）可单独密铺的图形
1、所有三角形与四边形均可以单独密铺。
2、正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。
3、对边平行的六边形可以单独密铺。
平面上有：完全相同的三角形、四边形能密铺（或三角形与四边形组合）、正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺。
（利用内角和的知识来计算，如：任意三角形内角180，则三个相同的任意三角形即可形成∠180，六个就可以密铺；同理，四边形内角360，四个就可以密铺；正多边形的顶角的整数倍等于180或360）
曲面像12个正五边形和20个正六边形可以铺成个球（足球就是）。
【典例解析】
例题1：如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】首先根据四边形内角和为360度计算出∠DAB+∠ABC=360°﹣220°=140°，再根据∠1=∠2，∠3=∠4计算出∠2+∠3=70°，然后利用三角形内角和为180度计算出∠AOB的度数．
【解答】解：∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC=360°，∠D+∠C=220°，
∴∠DAB+∠ABC=360°﹣220°=140°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=70°，
∴∠AOB=180°﹣70°=110°．
【点评】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握四边形内角和为360°，三角形内角和为180°．
例题2：图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，
∴∠AED=85°，
∵∠B=50°，
∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=70°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
例题3：如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
【考点】三角形三边关系；平行线的性质．
【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；
（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，
∴1＜DC＜9；
（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，
∴∠AEC=55°，
又∵∠A=55°，
∴∠C=70°．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．
例题4：如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
【解答】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°；
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．
【跟踪训练】
1. 如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．
2已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．
3. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
4. 如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
5. 如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
6. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
参考答案：
1. 如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】要证EP⊥FP，即证∠PEF+∠EFP=90°，由角平分线的性质和平行线的性质可知，∠PEF+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
又EP、FP分别是∠BEF、∠EFD的平分线，
∴∠PEF=∠BEF，∠EFP=∠EFD，
∴∠PEF+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°，
即EP⊥FP．
【点评】本题的关键就是找到∠PEF+∠EFP与∠BEF+∠EFD之间的关系，考查了整体代换思想．
2已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】证明题．
【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．
【解答】证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
即∠CFE=∠CEF．
【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．
3. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB=5cm；又AC+AB=11cm．易求AC的长度．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．
∴AC﹣AB=5cm．
又∵AB+AC=11cm，
∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
4. 如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．
【解答】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．
又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，
∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．
同理，∠ACF=30°，
∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
5. 如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．
故∠DAE=5°，∠BOA=120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．
6. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；
（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°﹣∠A，得出∠BIC的度数即可；
（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案．
【解答】解：（1）∠1+∠2=2∠A；
（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=130°，∴∠A=65°
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）
=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，
∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB），
=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+×65°=122.5°；
（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，
∠FHG+∠A=180°，∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，
∴∠A=（∠1+∠2），
∴∠BHC=180°﹣（∠1+∠2）．
【点评】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．
_
C
_
B
_
A
三角形
等腰三角形
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形 （）（）
等边三角形
三角形
直角三象形
斜三角形
锐角三角形大于0度
钝角三角形
A
B
C
D
E
图1
图2
图4
图3
图6
图5
图7
图8
图9
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三角形
【知识脉络】
【基础知识】
1、三角形的定义：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点
三角形的表示
三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。
注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个封闭的图形；
（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．
3、三角形的分类：
(1)按边分类：
（2）按角分类
4、三角形的主要线段的定义：
（1）三角形的中线（在中文中，中有中间的意思而在这里就是边上的中线）
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．
表示法：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC=BC.
注意：①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点 （注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃）
③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
（2）三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段
表示法：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线. （2）∠1=∠2=∠BAC.
注意：①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）
③用量角器画三角形的角平分线．
（3）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
表示法①AD是△ABC的BC上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°.
注意：①三角形的高是线段；
②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）
③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）
5、三角形的主要线段的表示法：
三角形的角平分线的表示法：
如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：
AD是ABC的角平分线；
AD平分BAC，交BC于D；
③ 如果AD是ABC的角平分线，那么BAD=DAC=BAC.
(2)三角形的中线表示法：
如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：
①AE是ABC的中线；
②AE是ABC中BC边上的中线；
③如果AE是ABC的中线，那么BE=EC=BC.
(3)三角线的高的表示法：
如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：
AM是ABC的高；
AM是ABC中BC边上的高；
如果AM是ABC中BC边上高，那么AMBC，垂足是E；
如果AM是ABC中BC边上的高，那么AMB=AMC=90.
⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：
(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.
(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.
如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.
6、三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；
（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
7、三角形的角与角之间的关系：
(1)三角形三个内角的和等于180;
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(4)直角三角形的两个锐角互余.
8、三角形的内角和定理
定理：三角形的内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余。
推理过程：
一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800，
即∠A+∠B+∠ACB=1800．
二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=1800，
即∠BAC+∠B+∠C=1800．
注意：
（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．
（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．
9、三角形的外角的定义
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个）
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.
所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处
只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.
10、三角形外角的性质
（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．
（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．
注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；
（2）作CM∥AB由于B、C、D共线
∴∠A=∠1，∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
11、三角形的稳定性：
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．
注意：（1）三角形具有稳定性；
（2）四边形没有稳定性.
关于三角形会经常遇到的题型：适当添加辅助线，寻找基本图形
(1)基本图形一，如图8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则DAC=2B=2C或B=C=DAC.
(2)基本图形二，如图9，如果CO是AOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.
基本图形三，如图10，如果BD是ABC的角平分线，M是AB上一点，MNBD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即BMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.
当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.
图11
12、多边形
在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。
（1）多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
正多边形
各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形
多边形的内角和为 （n-2）*180度
多边形的外角和为 360度
注：当求角度时应该想起 内角和 或者 外角和 或者 一个角的外角
13、密铺
所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平面上，这种铺法就叫做“密铺”。
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。
（1）可单独密铺的图形
1、所有三角形与四边形均可以单独密铺。
2、正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。
3、对边平行的六边形可以单独密铺。
平面上有：完全相同的三角形、四边形能密铺（或三角形与四边形组合）、正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺。
（利用内角和的知识来计算，如：任意三角形内角180，则三个相同的任意三角形即可形成∠180，六个就可以密铺；同理，四边形内角360，四个就可以密铺；正多边形的顶角的整数倍等于180或360）
曲面像12个正五边形和20个正六边形可以铺成个球（足球就是）。
【典例解析】
例题1：如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】首先根据四边形内角和为360度计算出∠DAB+∠ABC=360°﹣220°=140°，再根据∠1=∠2，∠3=∠4计算出∠2+∠3=70°，然后利用三角形内角和为180度计算出∠AOB的度数．
【解答】解：∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC=360°，∠D+∠C=220°，
∴∠DAB+∠ABC=360°﹣220°=140°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=70°，
∴∠AOB=180°﹣70°=110°．
【点评】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握四边形内角和为360°，三角形内角和为180°．
例题2：图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，
∴∠AED=85°，
∵∠B=50°，
∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=70°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
例题3：如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
【考点】三角形三边关系；平行线的性质．
【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；
（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC=4，BD=5，
∴1＜DC＜9；
（2）∵AE∥BD，∠BDE=125°，
∴∠AEC=55°，
又∵∠A=55°，
∴∠C=70°．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．
例题4：如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
【解答】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°；
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．
【跟踪训练】
1. 如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．
2已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．
3. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
4. 如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
5. 如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
6. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
参考答案：
1. 如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】要证EP⊥FP，即证∠PEF+∠EFP=90°，由角平分线的性质和平行线的性质可知，∠PEF+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
又EP、FP分别是∠BEF、∠EFD的平分线，
∴∠PEF=∠BEF，∠EFP=∠EFD，
∴∠PEF+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°，
即EP⊥FP．
【点评】本题的关键就是找到∠PEF+∠EFP与∠BEF+∠EFD之间的关系，考查了整体代换思想．
2已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】证明题．
【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．
【解答】证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
即∠CFE=∠CEF．
【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．
3. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB=5cm；又AC+AB=11cm．易求AC的长度．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．
∴AC﹣AB=5cm．
又∵AB+AC=11cm，
∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
4. 如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
【分析】由三角形的内角和是180°，可求∠A=60°．又因为BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，所以∠ABE=30°．同理，∠ACF=30度，又因为∠BHC是△CEH的一个外角，所以∠BHC=120°．
【解答】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．
又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，
∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．
同理，∠ACF=30°，
∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
5. 如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．
故∠DAE=5°，∠BOA=120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．
6. （1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；
（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°﹣∠A，得出∠BIC的度数即可；
（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案．
【解答】解：（1）∠1+∠2=2∠A；
（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=130°，∴∠A=65°
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）
=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，
∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB），
=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+×65°=122.5°；
（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，
∠FHG+∠A=180°，∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，
∴∠A=（∠1+∠2），
∴∠BHC=180°﹣（∠1+∠2）．
【点评】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．
_
C
_
B
_
A
三角形
等腰三角形
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形 （）（）
等边三角形
三角形
直角三象形
斜三角形
锐角三角形大于0度
钝角三角形
A
B
C
D
E
图1
图2
图4
图3
图6
图5
图7
图8
图9
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