人教版八年级上册各章节压轴题解析：全等三角形

全等三角形
【知识脉络】

【基础知识】
（一）、基本概念
1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；
3、全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
（二）灵活运用定理
1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：
①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)
（2）已知条件中有两边对应相等，可找
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)
（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找
①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
【典例解析】
例题1：如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
例题2：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD=5cm，DE=3cm，求BE的长度．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS推知：△ADC≌△CEB；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到：AD=CE=5cm，CD=BE．则根据图中相关线段的和差关系得到BE=AD﹣DE．
【解答】（1）证明：如图，∵AD⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠CAD（同角的余角相等）．
在△ADC与△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）由（1）知，△ADC≌△CEB，则AD=CE=5cm，CD=BE．
如图，∵CD=CE﹣DE，
∴BE=AD﹣DE=5﹣3=2（cm），即BE的长度是2cm．
例题3：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10cm，OC=6cm．F是线段OA上的动点，从点O出发，以1cm/s的速度沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上．已知A、Q两点间的距离是O、F两点间距离的a倍．若用（a，t）表示经过时间t（s）时，△OCF、△FAQ、△CBQ中有两个三角形全等．请写出（a，t）的所有可能情况　（1，4），（，5），（0，10）　．
【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
【分析】分类讨论：①当△COF和△FAQ全等时，得到OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，代入即可求出a、t的值；②同理可求当△FAQ和△CBQ全等时a、t的值，③△COF和△BCQ不全等，④F，Q，A三点重合，此时（0，10）
综合上述即可得到答案．
【解答】解：①当△COF和△FAQ全等时，
OC=AF，OF=AQ或OC=AQ，OF=AF，
∵OC=6，OF=t，AF=10﹣t，AQ=at，代入得：或，
解得：t=4，a=1，或t=5，a=，
∴（1，4），（，5）；
②同理当△FAQ和△CBQ全等时，必须BC=AF，BQ=AQ，
10=10﹣t，6﹣at=at，
此时不存在；
③因为△CBQ最长直角边BC=10，而△COF的最长直角边不能等于10，所以△COF和△BCQ不全等，
④F，Q，A三点重合，此时△COF和△CBQ全等，此时为（0，10）
故答案为：（1，4），（，5），（0，10）．
例题4：已知Rt△ABC≌Rt△ADE，其中∠ACB=∠AED=90°．
（1）将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在AB上，DE的延长线交BC于点F．求证：BF+EF=DE；
（2）改变△ADE的位置，使DE交BC的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时BF、EF与DE之间的等量关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由Rt△ABC≌Rt△ADE得AC=AE，根据HL可证得Rt△ACF≌Rt△AEF，由BC=BF+CF代入可得结论；
（2）如图②，（1）中的结论不成立，有DE=BF﹣EF，同（1）：证明Rt△ACF≌Rt△AEF，再由BC=BF﹣FC得出结论．
【解答】证明：（1）如图①，连接AF，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
∵∠ACB=∠AEF=90°，AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF，
∴CF=EF，
∴BF+EF=BF+CF=BC，
∴BF+EF=DE；
（2）如图②，（1）中的结论不成立，有DE=BF﹣EF，理由是：
连接AF，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，BC=DE，
∵∠E=∠ACF=90°，AF=AF，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF，
∴CF=EF，
∴DE=BC=BF﹣FC=BF﹣EF，
即DE=BF﹣EF．

【跟踪训练】
1. 如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AB∥DE．
2. 已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC．求证：BC=EF．
3. 如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，△ABE≌△ACD．
（1）求证：△BEC≌△CDB；
（2）若∠A=50°，BE⊥AC，求∠BCD的度数．
4. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E在同一直线上，连结BD．
（1）求证：BD=EC；
（2）BD与CE有何位置关系？请证你的猜想．
5. （1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
参考答案：
1. 如图，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AB∥DE．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．
【分析】求出BC=EF，根据SSS证△ABC≌△DEF，推出∠B=∠DEF，根据平行线判定推出即可．
【解答】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
2. 已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC．求证：BC=EF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由已知AB∥ED，AF=DC可以得出∠A=∠D，AC=DF，又因为AB=DE，则我们可以运用SAS来判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出BC=EF．
【解答】证明：∵AB∥ED，
∴∠A=∠D，
又∵AF=DC，
∴AC=DF．
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF．
∴BC=EF．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3. 如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，△ABE≌△ACD．
（1）求证：△BEC≌△CDB；
（2）若∠A=50°，BE⊥AC，求∠BCD的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，BE=CD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB=∠ABC=65°，根据垂直的定义得到∠BEC=∠AEB=90°，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC，AD=AE，BE=CD，
∴BD=CE，
在△BEC与△CDB中，，
∴△BEC≌△CDB；
（2）解：∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠ACB=∠ABC=65°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠ACD=40°，
∴∠BCD=15°．
4. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E在同一直线上，连结BD．
（1）求证：BD=EC；
（2）BD与CE有何位置关系？请证你的猜想．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）求出∠BAD=∠CAE，根据SAS推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BDA=∠E，根据∠E+∠ADE=90°求出∠BDA+∠ADE=90°即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=EC；
（2）BD⊥CE，
证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠BDA=∠E，
又∵∠E+∠ADE=90°，
∴∠BDA+∠ADE=90°，即∠BDE=90°，
∴BD⊥DE．
5. （1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF=GE了．
（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．
（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．
【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD
（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．
（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．
证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF
∵EG=BE﹣BG
∴EF=BE﹣FD．