课件37张PPT。§1 简单几何体
1．1 简单旋转体学习目标 1.通过实物操作，增强直观感知(重点)；2.能根据几何体的结构特征对空间物体进行分类(重点)；3.会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征(重、难点)．知识点一 球的结构特征
1．定义：以半圆的 所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作 ．球面所围成的几何体叫作
，简称球．
2．相关概念(如图)．
3．表示法：球常用 的字母表示，图中的球表示为 .直径球面球体表示球心球O【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)球可以以圆的直径所在的直线为旋转轴旋转得到．( )
(2)球体内的点到球心的距离都不大于球的半径． ( )√√知识点二 旋转体
一条平面曲线绕着它所在的平面内的 旋转所形成的曲面叫作旋转面， 围成的几何体叫作旋转体．
知识点三 圆柱、圆锥、圆台
分别以 、 、
所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．一条定直线封闭的旋转面矩形的一边直角三角形的一条直角边直角梯形垂直于底边的腰【预习评价】
1．圆柱的母线有多少条？它们之间有什么关系？
提示 圆柱的母线有无数条；相互平行．
2．圆锥过轴的截面叫做轴截面，那么圆锥的轴截面是什么形状？
提示 等腰三角形．3．正确的打“√”，错误的打“×”
(1)圆台的母线只有一条． ( )
(2)过圆台的轴的截面叫轴截面，它是等腰梯形． ( )
(3)用平行于圆台底面的平面去截圆台，截面是圆面．( )×√√题型一 旋转体的结构特征
【例1】 判断下列各命题是否正确：
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解 (1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(3)正确．
(4)错．应为球面．规律方法 (1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．
(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．【训练1】 下列命题正确的是________(只填序号)．
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；
⑦球面上任意三点可能在一条直线上；
⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．解析 ①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确．
答案 ④⑥⑧题型二 简单组合体的结构特征
【例2】 如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解 旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．规律方法 (1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成．
(2)必要时作模型培养动手能力．【训练2】 已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的
腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直
线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．
解 (1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．
(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．
(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示． (4)以AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．【探究1】 边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________cm.【探究2】 圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．【探究3】 一个圆锥的底面半径为2，高为6，且有一个高为x的内接圆柱．
(1)用x表示出圆柱的轴截面面积S；
(2)当x为何值时，S取得最大值？【探究4】 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．【探究5】 圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． (2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，
则PQ为所求的最短距离．
∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm.
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.规律方法 (1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构建相关几何变量的方程组而得解．
(2)求旋转体侧面上两点间距离的最小值是一种常见的问题，常利用侧面展开图转化为平面上两点间线段最短问题．求解时，注意图形特征，常构造直角三角形，利用勾股定理等知识求解．这正是将空间几何问题转化为平面几何问题的体现．课堂达标
1．下图是由哪个平面图形旋转得到的 ( )
答案 D2．过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是 ( )
A．有且只有一个 B．一个或无穷多个
C．无数个 D．以上均不正确
解析 当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．
答案 B3．下列说法正确的是 ( )
A．圆锥的母线长等于底面圆直径
B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
解析 圆锥的母线长与底面直径无联系；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与轴不平行．
答案 D4．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．
解析 连接正方形的两条对角线知，对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥．
答案 两个圆锥课堂小结
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．
3．处理组合体问题常采用分割思想．
4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.课件39张PPT。1．2 简单多面体学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征(重点)；2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算(重、难点)．知识点一 多面体
我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作 ．其中棱柱、棱锥、棱台都是 ．多面体简单多面体【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)多面体至少四个面． ( )
(2)多面体的面都是平的，多面体没有曲面． ( )√√知识点二 棱柱的结构特征平行四边形平行平行其余各面公共边公共顶点【预习评价】
棱柱的侧面一定是平行四边形吗？
提示 根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形．知识点三 棱锥的结构特征多边形三角形多边形三角形面公共边公共顶点【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)五棱锥共有五个面． ( )
(2)三棱锥也叫四面体． ( )
(3)棱锥的侧棱长都相等． ( )×√×知识点四 棱台的结构特征平行于棱锥底面截面底面【预习评价】
棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？
提示 根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点．题型一 棱柱的结构特征
【例1】 下列说法中，正确的是 ( )
A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点
B．棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形解析 A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点．故选D.答案 D规律方法 棱柱的结构特征：
(1)两个面互相平行；
(2)其余各面都是四边形；
(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．【训练1】 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体．
(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形．
解 (1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)该几何体是六棱柱．题型二 棱锥、棱台的结构特征
【例2】 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确说法的序号是________．解析 ①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
答案 ①②规律方法 判断棱锥、棱台形状的两个方法：
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法：【训练2】 如图，三棱台A′B′C′－ABC
截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱柱
解析 剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C.
答案 B【探究1】 画出如图所示的几何体的表面展开图．解 表面展开图如图所示：【探究2】 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)．解 点F，G，H的位置如图所示．【探究3】 如图所示，已知三棱锥P－ABC的底面是正三角形且三条侧棱两两成30°角，侧棱长为18 cm，从点A引一条丝带绕侧面一周回到A点，设D，E分别为丝带经过PC，PB时的交点，则△ADE周长的最小值为多少？【探究4】 长方体中，a，b，c为棱长，且a>b>c，求沿长方体表面从P到Q的最小距离(其中P，Q是长方体对角线的两个端点)．
解 将长方体展开，有三种情况(如图)．规律方法 多面体表面展开图问题的解题策略：
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．课堂达标
1．下列说法错误的是 ( )
A．多面体至少有四个面
B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C．长方体、正方体都是棱柱
D．三棱柱的侧面为三角形
解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错．
答案 D2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 ( )
A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定解析 形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义．
答案 A3．下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
其中，正确的有 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个解析 ①中的平面不一定平行于底面，故①错；②中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长后无交点，故②错；③用反例验证(如图)，故③错．
答案 A4．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形．②所有的棱长都相等．③棱柱中至少有2个面的形状完全相同．④相邻两个面的交线叫作侧棱．
解析 ①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，即棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱．
答案 ①③5．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以(1)为五棱柱；(2)为五棱锥；(3)为三棱台．课堂小结
1．棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．②常见的几种四棱柱之间的转化关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：课件37张PPT。§2 直观图学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则(重点)；2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图(重、难点)．知识点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
1．画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝ ，它们确定的平面表示
．
2．画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 或 ．
3．取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．45°水平平面x′轴y′轴的线段【预习评价】
相等的角在直观图中还相等吗？
提示 不一定，例如正方形的直观图为平行四边形，则原相等的角，直观图中不相等．知识点二 空间几何体直观图的画法
1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个 轴，直观图中与之对应的是 轴．
2．画底面：平面 表示水平平面，平面 和
表示直立平面．
3．画侧棱：已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中
和 都不变．
4．成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．z′x′O′y′y′O′z′x′O′z′平行性长度z【预习评价】
空间几何体的直观图唯一吗？
提示 不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．题型一 画水平放置的平面图形的直观图
【例1】 画出如图所示水平放置的等腰梯
形的直观图．
解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.规律方法 (1)例1巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行．
(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成．【训练1】 用斜二测画法画边长为4 cm的水平
放置的正三角形的直观图．
解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．题型二 简单几何体的直观图
【例2】 用斜二测画法画长、宽、高分别为
4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′
B′C′D′的直观图．
解 画法步骤：(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm
长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，
并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分
改为虚线)，就得到长方体的直观图．【训练2】 画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图．
解 (1)画轴．画x轴、y轴、z轴，
∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
(2)画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm.
(3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm.(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.【探究1】 如图所示，△A′B′C′是水平
放置的平面图形的斜二测直观图，将其还
原成平面图形．解 ①画直角坐标系xOy，在x轴的正方
向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，
在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y
轴，且使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．【探究2】 如图所示，正方形O′A′B′C′
的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面
图形的直观图，求原图形的周长．解析 画△ABC直观图如图(1)所示：答案 C规律方法 (1)由直观图还原平面图形关键有两点：
①平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍；
②对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．
(2)由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点：课堂达标
1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的 ( )解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
答案 C2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是
( )
A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点
解析 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．
答案 B3．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC是________三角形．
解析 ∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，
∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，
故△ABC为直角三角形．
答案 直角5．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，
AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠A＝30°，
AD＝3 cm，试画出它的直观图．
解 (1)如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy，如图②所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°. (3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．课件36张PPT。§3 三视图学习目标 1.理解三视图的概念；能画出简单空间图形的三视图(重点)；2.了解简单组合体的组成方式，会画简单几何体的三视图(重点)；3.能识别三视图所表示的立体模型(重、难点)．知识点一 组合体
(1)定义：由 生成的几何体叫作组合体．
(2)基本形式：有两种，一种是将基本几何体 成组合体；另一种是从基本几何体中 或 部分构成组合体．基本几何体拼接切掉挖掉【预习评价】
描述下列几何体的结构特征．
提示 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．知识点二 三视图
(1)空间几何体的三视图是指 、 、 ．
(2)三视图的排列规则是 放在主视图的下方，长度与主视图一样， 放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．
(3)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从 、
、 观察同一个几何体，所画出的空间几何体的平面图形．主视图左视图俯视图俯视图左视图正前方正上方正左侧【预习评价】
(1)画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗？
提示 是．由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直．
(2)三视图中的三个图形一般怎样排列？对于一般的几何体，几何体的主视图、左视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？
提示 三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样．为了便于记忆，通常说：“长对正，高平齐，宽相等”或说“主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽”．题型一 画空间几何体的三视图
【例1】 如图是按不同方式放置的同一个圆柱，阴影面为正面，画出其三视图．解 三视图分别如图所示．规律方法 画三视图应遵循的原则和注意事项：
(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”．
(2)三视图的排列方法是主视图与左视图在同一水平位置，且主视图在左，左视图在右，俯视图在主视图的正下方．
(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法．
(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性．【训练1】 画出图中棱柱的三视图(不考虑尺寸)．解 此棱柱的上、下底面是全等的两个等腰梯形，各侧面均是矩形．从正前方看它的轮廓是一个矩形，有两条不可见侧棱，从正左侧看它的轮廓是一个矩形，从上向下看它的轮廓是一个梯形．可见轮廓线用实线，不可见侧棱用虚线画出，它的三视图如图所示．题型二 简单组合体的三视图
【例2】 如图是球放在圆筒上形成的组合体，画出它的三视图．解 它的三视图如图所示：规律方法 在绘制简单组合体的三视图时，首先要分析组合体是由哪几部分组成，各部分是怎样的简单几何体以及它们的相对位置；其次要注意实线、虚线的处理．【训练2】 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图．解 三视图如下：【探究1】 根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．解 此几何体上面可以为圆柱，下面可以为圆台，所以实物草图可以如图．【探究2】 如图，网格纸的各小格都是
正方形，粗实线画出的是一个几何体
的三视图，则这个几何体是
( )
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥 D．四棱柱解析 如图，几何体为三棱柱．
答案 B【探究3】 一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如图，则这个组合体包含的小正方体的个数是 ( )
A．7 B．6 C．5 D．4解析 由三视图可知，该几何体共两层，下层有四个小正方体，上层有一个小正体，共五个，其实物图如图所示．故选C.
答案 C【探究4】 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 ( )答案 C规律方法 由三视图还原空间几何体的步骤：课堂达标
1．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 解析 在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．
答案 D2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 ( )解析 从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的．
答案 D3．如图所示，桌面上放着一个半球，则它的三视图中，与其他两个视图不同的是________(填“主视图”“左视图”或“俯视图”)．解析 该半球的主视图与左视图均为半圆，而俯视图是一个圆，所以俯视图与其他两个视图不同．
答案 俯视图4．一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是________．解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此填②.
答案 ②5．画出下面的三视图表示的物体形状．解 几何体为三棱台，结构特征如图：课堂小结
1．三视图的主视图、左视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是主视图、左视图长对正，主视图、左视图高平齐，俯视图、左视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．
2．几何体的三视图的画法为：先画出的两条互相垂直的辅助坐标轴，在第二象限画出主视图；根据“主、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图；根据“主、左两图高平齐”的原则，在第一象限画出左视图．
3．看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线.课件33张PPT。§4 空间图形的基本关系与公理
4．1 空间图形基本关系的认识
4．2 空间图形的公理(一)学习目标 1.理解空间中点、线、面的位置关系(重点)；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念(重点)；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题(重、难点)．知识点一 点、线、面之间的位置关系
一些文字语言与数学符号的对应关系：a∩b＝Oa?αa∩α＝Aa∥αα∥βα∩β＝a任何一个平面内【预习评价】
(1)若A∈a，a?α，是否可以推出A∈α？
提示 根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a?α，则A∈α.
(2)长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪些位置关系？
提示 顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上,或不在棱上；顶点和6个面的关系是在面内，或在面外．
(3)长方体的棱所在直线与面之间有几种位置关系？
提示 棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交．知识点二 平面的基本性质及作用两点l?α有且只有通过这个点的
公共直线【预习评价】
(1)两个平面的交线可能是一条线段吗？
提示 不可能．由公理3知，两个平面的交线是一条直线．
(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？
提示 不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．题型一 三种语言间的相互转化
【例1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形．
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解 (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.规律方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．【训练1】 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
解 在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.
在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P.题型二 空间点、线、面的位置关系
【例2】 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于点M，则下列说法中正确的是 ( )
①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；②直线AC与BD相交,直线AC与A1D1相交；③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行;④直线AC与平面A1B1C1D1相交；⑤直线BC与A1B1异面．
A．①③④ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②③④⑤解析 ①中，点M是直线AC与BD的交点，点M在直线AC上，点B显然在直线A1B1外，故①正确；②中，直线AC与A1D1异面，故②错误；③中，两平面没有公共点，即互相平行，故③正确；④中，直线AC与平面A1B1C1D1平行，故④错误；⑤中，直线BC与A1B1既不平行也不相交，只能为异面，故⑤正确．
答案 C规律方法 (1)正确理解点、线、面之间的位置关系.(2)异面直线是一种特殊的关系，它们不同在任何一个平面内.(3)通过观察图形，能够更准确地判断点、线、面的位置关系.【训练2】 正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( )
A.3条 B.4条
C.6条 D.8条
解析 与AC1异面的棱是A1B1，DC，BC，A1D1，BB1，DD1.
答案 C方向1 共面问题
【例3-1】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，
l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、
l2、l3在同一平面内．
证明 方法一 (纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．方法二 (辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．方向2 点共线问题
【例3-2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、
DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，
求证：D、A、Q三点共线．证明 ∵MN∩EF＝Q，
∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又∵M∈直线CD，N∈直线AB，
CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.
∴M、N∈平面ABCD，
∴MN?平面ABCD,∴Q∈平面ABCD.
同理，可得EF?平面ADD1A1,∴Q∈平面ADD1A1.
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．方向3 线共点问题
【例3-3】 如图所示，在四面体A－BCD
中，E，G分别为BC，AB的中点，F
在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝
DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD
交于一点．证明 ∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC.
又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，
∴FH∥AC，从而FH∥GE.
故E，F，H，G四点共面．
∵FH∥AC，DH∶DA＝2∶5，
∴FH∶AC＝2∶5，即FH＝AC.
又∵E，G分别为BC，AB的中点，
∴GE＝AC，∴FH≠GE，
∴四边形EFHG是一个梯形，
GH和EF交于一点，设为O.∵O∈GH，GH?平面ABD，O∈EF，EF?平面BCD，
∴O在平面ABD内，又在平面BCD内，
∴O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条，
∴点O在直线BD上．
故EF，GH，BD交于一点．规律方法 (1)证明点、线共面问题：一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内．
(2)证明点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．
(3)证明三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．课堂达标
1．在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是( )
A．黑板面 B．乒乓球桌面
C．篮球的表面 D．平静的水面
解析 平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面和平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分．
答案 C2．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为 ( )
A．M∈a，a∈α B．M∈a，a?α
C．M?a，a?α D．M?a，a∈α
解析 点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“∈”，直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”．
答案 B3．设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
解析 因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案 ∈4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．
解析 因为P∈AB，AB?平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.
答案 P∈直线DE5．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．
证明 如图，
∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l?α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l?β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面．课堂小结
1．三个公理的作用：
公理1——判定直线在平面内的依据；
公理2——判定点共面、线共面的依据；
公理3——判定点共线、线共点的依据．
2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．3．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．
4．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线.课件37张PPT。4．2 空间图形的公理(二)学习目标 1.掌握公理4及等角定理(重点)；2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角(重、难点)．知识点一 公理4【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公理4在平面内和空间中均成立． ( )
(2)多条直线平行于同一条直线，则这些直线互相平行．( )√√知识点二 空间等角定理
1．定理2.推广
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行． ( )
(2)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等． ( )
(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角互补． ( )×√×知识点三 异面直线所成的角
1．概念：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角．
2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.
3．如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.4．异面直线所成的角的求法
方法一 在空间任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角．方法二 在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图)．【预习评价】
(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示 (1)不一定．可能相交、平行或异面．
(2)在长方体A1B1C1D1－ABCD中，
BC1∥AD1，则“直线BC1与直线
BC所成的角”，与“直线AD1与
直线BC所成的角”是否相等？
提示 相等．题型一 公理4与等角定理的应用
【例1】 E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．
证明 设Q是DD1的中点，
连接EQ，QC1.
因为E是AA1的中点，
所以EQ綊A1D1.又因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
所以EQ綊B1C1.
所以四边形EQC1B1为平行四边形．所以B1E綊C1Q.
又因为Q，F分别是矩形DD1C1C两边D1D，C1C的中点，
所以QD綊C1F.
所以四边形DQC1F为平行四边形．
所以C1Q綊FD.
又因为B1E綊C1Q，所以B1E綊FD.
所以四边形B1EDF为平行四边形．规律方法 (1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．答案 平行题型二 异面直线的判断
【例2】 如图，在正方体ABCD－
A′B′C′D′中．哪些棱所在
直线与直线BA′是异面直线？
解 由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．规律方法 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．【训练2】 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．解析 答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面【探究1】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45°.
答案 B【探究2】 如图所示，在空间四边形
ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F
分别为BC，AD的中点，求EF和AB所
成的角．
解 如图，取BD的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别为BC，AD的中点，
AB＝CD，
所以EG∥CD，GF∥AB，由AB＝CD，知EG＝FG，∴△EFG为等腰三角形．
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.规律方法 (1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．
(2)求异面直线所成的角的一般步骤：
①作角：平移成相交直线．
②证明：用定义证明前一步的角为所求．
③计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是 ( )
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、相交或异面
解析 可借助长方体来判断．如图，
在长方体ABCD－A′B′C′D′中，
A′D′所在直线为a，AB所在直线
为b，已知a和b是异面直线，b和c是
异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．
答案 D3．在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．
答案 84．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
异面直线A1B与AD1所成的角为________．
解析 连接BC1，A1C1，∵BC1∥AD1，
∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直
线A1B与BC1所成的角．
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，
∴∠A1BC1＝60°，
故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
答案 60°5．如图，已知E，F，G，H分别是空间四
边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.证明 (1)在△ABD中，
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD.
同理FG∥BD，则EH∥FG.
故E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH.故AC⊥BD.课堂小结
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).课件35张PPT。§5 平行关系
5．1 平行关系的判定学习目标 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义(重点)；2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用(重点)；3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题(重、难点)．平面外平面内平行【预习评价】
若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？
提示 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误,可能直线在平面内．两条相交直线a∩b＝A【预习评价】
如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？
提示 不一定．这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内．题型一 直线与平面平行的判定定理的应用
【例1】 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)EH∥平面BCD；
(2)BD∥平面EFGH.证明 (1)∵EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD.
∵EH 平面BCD，BD?平面BCD，
∴EH∥平面BCD.
(2)∵BD∥EH，BD 平面EFGH，
EH?平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.规律方法 (1)利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．
(2)证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．【训练1】 已知公共边为AB的两个全等的矩
形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分
别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ(如
图)．求证：PQ∥平面CBE.∴四边形PMNQ是平行四边形，
∴PQ∥MN.
又PQ 平面CBE，
MN?平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.题型二 面面平行判定定理的应用
【例2】 如图，在已知四棱锥P－ABCD
中，底面ABCD为平行四边形，点M，
N，Q分别在PA，BD，PD上，且
PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：
平面MNQ∥平面PBC.证明 因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
因为BP?平面PBC，NQ 平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
又因为底面ABCD为平行四边形，
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
因为BC?平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ＝Q，
所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.规律方法 (1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．
(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．【训练2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中
点，求证：平面MNP∥平面A1BD.证明 如图所示，连接B1D1，
∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，
∴PN∥BD，
又PN 平面A1BD，
BD?平面A1BD，
∴PN∥平面A1BD，
同理可得MN∥平面A1BD，
又∵MN∩PN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.【探究1】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点．问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？请说明理由．解 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：
连接PQ.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴PQ∥DC∥AB，PQ＝DC＝AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，∴QB∥PA.
又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.
又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO.解 在梯形ABCD中，AB与CD不平行，且BC的长小于AD的长.
如图所示，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M为所求的一个点．
理由如下：
由已知，得BC∥ED，且BC＝ED.
所以四边形BCDE是平行四边形．
从而CM∥EB.
又EB?平面PBE，CM 平面PBE，
所以CM∥平面PBE.
(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)【探究3】 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．解 存在．证明如下：
如图，取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD，设BD∩AC＝O.
∵底面ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点．连接BF，MF，BM，
OE.
∵PE∶ED＝2∶1，F为PC的中点，M为
PE的中点，E为MD的中点，O为BD的中点，
∴MF∥EC，BM∥OE.∵MF 平面AEC，CE?平面AEC，
BM 平面AEC，OE?平面AEC，
∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC.
∵MF∩BM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.
又BF?平面BMF，∴BF∥平面AEC.课堂达标
1．直线a，b为异面直线，过直线a 与直线b平行的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数多个
C．至多一个 D．不存在
解析 在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b，则b′是唯一的，因a∩b′＝A，所以a与b′确定一平面并且只有一个平面，故选A.
答案 A2．平面α与平面β平行的条件可以是 ( )
A．α内的一条直线与β平行
B．α内的两条直线与β平行
C．α内的无数条直线与β平行
D．α内的两条相交直线分别与β平行
解析 若两个平面α、β相交，设交线是l，则有α内的直线m与l平行，得到m与平面β平行，从而可得A是不正确的；而B中两条直线可能是平行于交线l的直线，也不能判定α与β平行；C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定α与β平行．由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的．
答案 D3．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的有________(填序号)．
①l?α，m?α，且l∥β，m∥β；②l?α，m?α，且l∥m，l∥β，m∥β；③l∥α，m∥β，且l∥m；④l∩m＝P，l?α，m?α，且l∥β，m∥β.
解析 ①错误，因为l，m不一定相交；②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；③错误，两个平面可能相交；④正确．
答案 ④4．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②PA∥平面BDG；
③EF∥平面PBC；
④FH∥平面BDG；
⑤EF∥平面BDG；
其中正确结论的序号是________．解析 把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可．
答案 ①②③④5．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.证明 如图，连接BC1，设BC1与B1C的交点为E，连接DE.
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1.
∵DE?平面CDB1，AC1 平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.2．用定理证明线面平行时，在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成．
3．证明面面平行的方法：
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.课件35张PPT。5.2 平行关系的性质学习目标 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理(重点)；2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题(重、难点)．【预习评价】
(1)如图，直线l∥平面α，直线a?平面
α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？
提示 不一定，因为还可能是异面直线．
(2)如图，直线a∥平面α，直线a?平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？
提示 无数个，a∥b.知识点二 平面与平面平行的性质定理【预习评价】
观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.
(1)平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？
提示 是的．
(2)若m?平面ABCD，n?平面A1B1C1D1，则m∥n吗？
提示 不一定，也可能异面．
(3)过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？
提示 平行．题型一 线面平行性质定理的应用
【例1】 如图所示，四面体A－BCD被一
平面所截，截面EFGH是一个矩形．
(1)求证：CD∥平面EFGH；
(2)求异面直线AB、CD所成的角．(1)证明 ∵截面EFGH是矩形，
∴EF∥GH.
又GH?平面BCD，EF 平面BCD，
∴EF∥平面BCD.
而EF?平面ACD.
平面ACD∩平面BCD＝CD，
∴EF∥CD.
又EF?平面EFGH，CD 平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.(2)解 由(1)知CD∥EF，
同理AB∥FG，
由异面直线所成角的定义知，∠EFG或其补角即为所求．
又因为∠EFG＝90°，
故AB、CD所成的角为90°.规律方法 利用线面平行的性质定理解题的步骤：
(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面．
(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面．
(3)确定交线．
(4)由性质定理得出结论．【训练1】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，
AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：
AC∥FG.
证明 ∵AC∥A1C1，A1C1?平面A1EC1，
AC 平面A1EC1，
∴AC∥平面A1EC1.
又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，
∴AC∥FG.题型二 面面平行性质定理的应用
【例2】 已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.
证明 ①若AB、CD在同一平面内，则平
面ABDC与α、β的交线为BD、AC.
∵α∥β，∴AC∥BD.
又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.
又BD?平面α，MN 平面α，∴MN∥平
面α.②若AB、CD异面，
如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP、PN、BE、ED.
∵AE∥CD.
∴AE、CD确定平面AEDC.
则平面AEDC与α、β的交线分别为ED、AC，∵α∥β，∴ED∥AC.
又P、N分别为AE、CD的中点，
∴PN∥ED，又ED?平面α，PN 平面α，
∴PN∥平面α.同理可证MP∥BE，∴MP∥平面α，
∵AB、CD异面，∴MP、NP相交．
∴平面MPN∥平面α.
又MN?平面MPN，∴MN∥平面α.规律方法 (1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．
(2)面面平行?线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．【例3】 如图，在矩形ABCD和矩形ABEF中，
AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意
翻折．
求证：当F、A、D不共线时，线段MN总平行
于平面FAD.证明 在平面图形中，连接MN，设MN与AB交于点G.
由于ABCD和ABEF都是矩形，且AD＝BE.
∴四边形ADBE是平行四边形．又AM＝DN，
∴四边形AMND为平行四边形，∴MN∥AD.
折叠之后，MG∥BE∥AF，NG∥AD，且MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，如图，
∴平面ADF∥平面GNM.
又MN?平面GNM，
∴MN∥平面ADF.
∴当F、A、D不共线时，MN总平行于平面ADF.【迁移】 上题条件不变，问“不管怎样翻折矩形ABEF，线段MN总和线段FD平行．”这个结论对吗？如果对请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立．解 这个结论不对．要使上述结论成立，M、N应为AE和DB的中点．由于平面MNG∥平面FDA，可知要使MN∥FD总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可．
若要使FD与MN共面，连接FM，只要FM与DN相交即可．
由图形知，若要DN和FM共面，应有DN与FM相交于点B，折叠后的图形如右图．
∵FM∩DN＝B，可知它们确定一个平面，
即F、D、N、M四点共面．
又平面FDNM∩平面MNG＝MN，
平面FDNM∩平面FDA＝FD，
∴MN∥FD.规律方法 (1)如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题，条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征．
(2)探索性问题一般都可以采取代入一些简单的数值去尝试观察、分析、归纳、猜想，然后再予以证明或解答．
(3)在立体几何平行关系问题中，随着点的移动，图形的形状和大小都要发生变化，探讨其中的规律是经常见到的问题．课堂达标
1．如图，已知平面α∩平面β＝a，平面
β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，
若a∥b，则c与a，b的位置关系是( )
A．c与a，b都异面
B．c与a，b都相交
C．c至少与a，b中的一条相交
D．c与a，b都平行解析 ∵a∥b，a γ，b?γ，∴a∥γ.
又∵a?α，α∩γ＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c.
答案 D2．如图，平面α∥平面β，过平面α、β
外一点P引直线l1分别交平面α、平面β
于A、B两点，PA＝6，AB＝2，引直线
l2分别交平面α、平面β于C、D两点，
已知BD＝12，则AC的长等于( )
A．10 B．9 C．8 D．7答案 B3．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．答案 平行4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.课堂小结
1．常用的面面平行的其他几个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图课件51张PPT。§6 垂直关系
6．1 垂直关系的判定学习目标 1.掌握直线与平面垂直的判定定理(重点)；2.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小(重、难点)；3.掌握两平面垂直的判定定理(重点)．知识点一 直线与平面垂直的判定定理两条相交直线a∩b＝P【预习评价】
(1)线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？
提示 用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的． (2)在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？
提示 不变，90°. (3)下列说法中正确的个数是 ( )
①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；
④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；
⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.
A．1 B．2 C．3 D．4解析 对①②⑤，由于缺少“相交”二字，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B.
答案 B知识点二 二面角半平面两个半平面棱面棱角平面角直角α－l－βP－l－Q【预习评价】
(1)二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
提示 无关．如图，OA⊥l，OB⊥l，
O′A′⊥l，O′B′⊥l，根据等角定
理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，
即二面角的平面角的大小与角的
顶点的位置无关，只与二面角的大小有关． (2)平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？
提示 二面角的平面角．知识点三 平面与平面垂直
1．定义：两个平面相交，如果所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作
.
2．画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的 垂直．如图所示．直二面角α⊥β横边3．平面与平面垂直的判定定理垂线【预习评价】
(1)建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？
提示 都是垂直．(2)两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？
提示 不一定．平行，相交，垂直都有可能．
(3)已知l⊥α，则过l与α垂直的平面 ( )
A．有1个 B．有2个
C．有无数个 D．不存在
解析 由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．
答案 C题型一 线面垂直的判定
【例1】 如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.证明 ∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC.规律方法 证明线面垂直的方法：
(1)由线线垂直证明线面垂直：①定义法；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α?b⊥α；
②α∥β，a⊥α?a⊥β.【训练1】 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明 (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，SD＝SD，
所以△ADS≌△BDS，所以∠ADS＝∠BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.题型二 面面垂直的判定
【例2】 如图，已知AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA⊥圆O所在的平面，AF⊥PC于F，求证：平面AEF⊥平面PBC.证明 因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC.
因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.
而AF?平面PAC，所以BC⊥AF.
又AF⊥PC，BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC.
又因为AF?平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.规律方法 1.由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平面经过另一个平面的垂线，本题中证明平面AEF经过平面PBC的垂线AF较容易些．
2．证明面面垂直的常用方法：(1)面面垂直的判定定理；(2)所成二面角是直二面角．(1)证明 连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
因为PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE.又PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.【探究2】 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A、B的一点，且AB＝2，PA＝BC＝1.
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)求二面角P－BC－A的大小． (1)证明 ∵A，B，C在⊙O上，
∴⊙O所在平面可记为平面ABC，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵C在圆周上，且异于A、B，AB是⊙O的直径，
∴BC⊥AC.
又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.【探究3】 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点．求二面角A－BD1－P的大小．
解 过点P作BD1、AD1的垂线，垂足分别是E、F，连接EF.∵AB⊥平面AA1D1D，PF?平面AA1D1D，
∴AB⊥PF.
∵PF⊥AD1，且AB∩AD1＝A，
∴PF⊥平面ABD1， BD1 ?平面ABD1，
∴PF⊥BD1，
又∵PE⊥BD1，且PE∩PF＝P，
∴BD1⊥平面PEF， EF?平面PEF.
∴EF⊥BD1，∴∠PEF为所求二面角的平面角．规律方法 (1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算．
(2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等．课堂达标
1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是
( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
解析 ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.
答案 C2．如图所示，定点A和B都在平面α内，
定点P?α，PB⊥α，C是平面α内
异于A和B的动点，且PC⊥AC，则
△ABC为 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
解析 易证AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.
答案 B3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
M，N分别是棱AA1和AB上的点，若
∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
解析 ∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.
答案 90°4．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．解析 当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或n?α.∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④?②.或当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或m?β.∴当n⊥β时m⊥n，即②③④?①.
答案 ①③④?②(或②③④?①)5．如右图所示，在四棱锥S－ABCD中，
底面四边形ABCD是平行四边形，
SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．
求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明 如右图所示，连接AC，与BD交于点F，连接EF
∵F为?ABCD的对角线AC与BD的交点，
∴F为AC的中点．
又E为SA的中点，
∴EF为△SAC的中位线，
∴EF∥SC.
∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.
又EF?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.课堂小结
1．直线和平面垂直的判定方法：
(1)利用线面垂直的定义；
(2)利用线面垂直的判定定理；
(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．证明两个平面垂直的主要途径：
(1)利用面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．
4．下面的结论，有助于判断面面垂直：
(1)m∥n，m⊥α，n?β?α⊥β；
(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n?α⊥β；
(3)α∥β，γ⊥α?γ⊥β.课件34张PPT。6.2 垂直关系的性质学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理(重点)；2.能运用性质定理解决一些简单问题(重点)；3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系(重、难点)．a∥b【预习评价】
(1)垂直于同一平面的两条直线一定共面吗？
提示 共面．由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面．
(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？
提示 有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线．一个平面内交线a?αa⊥l线面【预习评价】
(1)如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，对吗？
提示 正确．若设α∩β＝l，a?α，b?β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．
(2)如果α⊥β，过β外的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α，对吗？
提示 错误．垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直．题型一 直线与平面垂直的性质及应用
【例1】 如图，正方体A1B1C1D1－ABCD
中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交．
求证：EF∥BD1.证明 如图所示，
连接AB1、B1D1、B1C、BD，
∵DD1⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1?平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.规律方法 证明线线平行常有如下方法：
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．【训练1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，
AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别
在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.
证明 因为AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，
所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.
因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.
又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，
所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.证明 (1)∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB.
∵VB平面MOC，OM?平面MOC，
∴VB∥平面MOC.
(2)∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.
又∵平面VAB⊥平面ABC，
且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC ?平面ABC，
∴OC⊥平面VAB.
∵OC ?平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.规律方法 (1)证明或判定线面垂直的常用方法：
①线面垂直的判定定理；
②面面垂直的性质定理；
③若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；
④若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)；
(2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．【训练2】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.证明 (1)连接BD，
∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，又∵G是AD的中点，
∴BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD且两
平面交于AD，
∴BG⊥平面PAD.
(2)连接PG，由(1)可知BG⊥AD，∵△PAD是正三角形，G是AD中点，所以PG⊥AD，BG∩PG＝G，
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.方向1 证明直线和直线平行
【例3－1】 如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a?α，a⊥AB.求证：a∥l.证明 ∵PA⊥α，l?α，∴PA⊥l.
同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a ? α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.方向2 证明直线和直线垂直
【例3－2】 如图，在三棱锥P－ABC中，
PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明 如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，
∴BC⊥平面PAB.
又AB ?平面PAB，
∴BC⊥AB.方向4 证明平面和平面垂直
【例3－4】 如图，在四面体ABCD中，
平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，
DC⊥BC.求证：平面ABD⊥平面ACD.
证明 ∵平面ABC⊥平面BCD，平面
ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC内，
作AE⊥BC于点E，
如图，则AE⊥平面BCD.
又CD?平面BCD，∴AE⊥CD.又BC⊥CD，AE∩BC＝E，
AE，BC?平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，
又AB ?平面ABC，∴AB⊥CD.
又AB⊥AC，AC∩CD＝C，
AC、CD ?平面ACD.
∴AB⊥平面ACD.又AB ?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACD.规律方法 (1)无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”．
(2)在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性．课堂达标
1．已知平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )
A．l∥γ B．l?γ
C．l与γ斜交 D．l⊥γ解析 如图，
在γ内取一点O，
作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ ∩β＝m，
所以OE⊥β，因为l?β，
所以OE⊥l，
同理OF⊥l，OE∩OF＝O，
所以l⊥γ.
答案 D2．设平面α与平面β垂直，交线为l，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么 ( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行解析 由题意，当a∥l，l∥b时，a∥b，故A，D错；
若a⊥b，∵b与l不垂直，在b上取点A，过A作AB⊥l，由面面垂直的性质定理得AB⊥α，
∵a?α，∴AB⊥a，又a⊥b，AB∩b＝A，
∴a⊥β?a⊥l.这和a与l不垂直相矛盾．
∴不可能a⊥b.故B错，故选C.
答案 C3．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．
解析 若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α?a⊥b”，此命题为真命题．
答案 24．已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，正确的命题是________．
①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.
解析 由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假．
答案 ①③5．如图，在三棱锥S－ABC中，平面
SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，过点
A作AF⊥SB，垂足为F.求证：BC⊥SA.
证明 因为平面SAB⊥平面SBC，平面
SAB∩平面SBC＝SB，
AF?平面SAB，AF⊥SB，
所以AF⊥平面SBC.
又因为BC ?平面SBC，所以AF⊥BC.
因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以BC⊥平面SAB.
又因为SA ?平面SAB，所以BC⊥SA.课堂小结
1．垂直关系之间的相互转化2．平行关系与垂直关系之间的相互转化课件40张PPT。§7 简单几何体的面积和体积
7．1 简单几何体的侧面积学习目标 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法(重点)；2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题(重、难点)；3.培养空间想象能力和思维能力(难点)．知识点一 侧面积的概念
把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上， 的面积就是它们的侧面积．展开图【预习评价】
圆柱OO′及其侧面展开图如下，则其侧面积为多少？表面积为多少？
提示 S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．知识点二 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式【预习评价】
一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为 ( )
A．12π B．18π C．24π D．36π解析 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π.故选C.
答案 C知识点三 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积公式答案 A题型一 旋转体的表面积和侧面积
【例1】 设圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，且轴截面的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积．解 如图所示，作出轴截面A1ABB1，设上、下底面半径、母线长分别为r、R、l，作A1D⊥AB于D，
则A1D＝3，
∠A1AB＝60°.
∵∠BA1A＝90°，
∴∠BA1D＝60°，规律方法 (1)旋转体侧面积的计算一般通过轴截面寻找其中的数量关系．
(2)解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长．【训练1】 (1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )
A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4 (2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________cm2(结果中保留π)．
解析 (1)由三视图可知：
该几何体为：(2)如图所示，
设圆台的上底面周长为c，
因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2.
答案 (1)D (2)1 100π题型二 多面体的表面积
【例2】 如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF，
其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面
的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm，
侧棱长为3 cm.求六棱锥P-ABCDEF的表面积．规律方法 多面体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算，对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形．【训练2】 已知正四棱台(上、下底面是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．【探究1】 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是________cm2.答案 138【探究2】 如图△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积．【探究3】 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．规律方法 求解组合体表面积的解题思路：求解组合体的表面积问题首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体后，先求这些几何体的表面积，再通过求和或作差，得到所求组合体的表面积．若遇到与旋转体有关的问题，应根据条件确定各个旋转体的底面半径和母线长，再代入公式求解；若遇到与三视图有关的问题，要能够利用三视图的相关知识确定几何体的结构特征和相关数据，最后运用相应表面积公式求解.答案 A答案 B5．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．课堂小结
1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).课件40张PPT。7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、
圆台的体积
7．3 球的表面积和体积学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点)．【预习评价】
简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？
提示 表面积变大了，体积不变．【预习评价】
球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？
提示 球没有底面，球的表面不能展开成平面．题型一 柱体、锥体、台体的体积
【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.【训练1】 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )答案 A规律方法 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积．
(2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径． 【训练4】 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是_____．
(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________．答案 C规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法：
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解(其R为球的半径).3．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．答案 3π4．一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m3.答案 9π＋183．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
5．解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．课件55张PPT。章末复习课网络构建公理1、2、3、4核心归纳
1．多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都互相平行且相等，上下底面是全等的多边形．
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．2．旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由矩形绕一边所在的直线旋转一周得到．
(2)圆锥可以由绕直角三角形一条直角边所在的直线旋转一周得到．
(3)圆台可以由直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线或等腰梯形绕上、下底面中心连线旋转一周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．
(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转一周得到．3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．4．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是全等的，三视图包括主视图、左视图、俯视图．
5．平面的基本性质
公理1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．7．直线与平面的位置关系
(1)直线a与平面α的位置关系有平行、相交、在平面内，其中平行与相交统称直线在平面外．
(2)直线和平面平行的判定
①定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行平面；
②判定定理：aα，b?α，a∥b?a∥α；
③其他判定方法：α∥β，a ? α?a∥β.
(3)直线和平面平行的性质定理：a∥α，a ? β，α∩β＝l?a∥l.(4)直线和平面垂直
①定义
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说这条直线和平面α互相垂直．
②判定与性质
a．判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
b．性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．8．两平面的位置关系
(1)两个平面的位置关系有平行、相交．
(2)两个平面平行的判定
①定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
②判定定理：a?α，b ? α，a∩b＝M，a∥β，b∥β?α∥β；
(3)两个平面平行的性质定理
α∥β，a ? α?a∥β；α∥β，r∩α＝a，r∩β＝b?a∥b.(4)与垂直相关的平行的判定
①a⊥α，b⊥α?a∥b；
②a⊥α，a⊥β?α∥β.
(5)两个平面垂直
①二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．
②定义
如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．③判定和性质
a．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
b．性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．10．旋转体的表面积
(1)如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2，侧面积为2πrl.因此，圆柱的表面积
S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．
(2)如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么它的侧面积为πrl，表面积S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
(3)如果圆台的两底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积为π(r′＋r)l，表面积为
S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．
(4)球的表面积公式：S＝4πR2(其中R为球的半径)即球面面积等于它的大圆面积的四倍．要点一 三视图与直观图
由三视图确定几何体分三步：
第一步：通过主视图和左视图确定是柱体、锥体还是台体．若主视图和左视图为矩形，则原几何体为柱体；若主视图和左视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若主视图和左视图为等腰梯形，则原几何体为台体．
第二步：通过俯视图确定是多面体还是旋转体．若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．
第三步：由“长对正、高平齐、宽相等”的原则确定几何体的尺寸．答案 B【训练1】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A．12 B．18 C．24 D．30答案 C【训练2】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π答案 A要点二 空间中的平行关系
1．判断线面平行的两种常用方法：
面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：
(1)利用线面平行的判定定理；
(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．2．判断面面平行的常用方法：
(1)利用面面平行的判定定理；
(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ?α∥γ)；
(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β?α∥β)．【例2】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．∴PF綊MA，∴四边形AFPM是平行四边形，
∴AF∥PM.又AF平面PMD，PM ?平面PMD.
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF ?平面AFC.
∴平面AFC∥平面PMD.【训练3】 如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，
求证：(1)GE∥平面BB1D1D；
(2)平面BDF∥平面B1D1H.要点三 空间中的垂直关系
空间垂直关系的判定方法：
(1)判定线线垂直的方法：
①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；
②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b)．
(2)判定线面垂直的方法：
①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α)；
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ)．
(3)面面垂直的判定方法：
①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.
②当D不在平面ABC内时，取AB中点E，由(1)知AB⊥DE.
又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD.
综上所述，总有AB⊥CD.【训练4】 如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V－ABC的体积．要点四 几何体的表面积与体积
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体中的如何下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的使用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．答案 B【训练6】 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的主视图、左视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．答案 12π(3)如果求两个相交平面所成的二面角．除垂直外，均有两个答案，即θ或180°－θ.具体几何体中，由题意和图形确定．作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角．一般常用：①定义法；②垂面法．
(4)求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求角度的解题步骤：①找出这个角；②证该角符合题意；③构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角．(1)证明 P在平面BCD内的投影为O，
则PO⊥平面BCD，
∵BC?平面BCD，∴PO⊥BC.
∵BC⊥CD，CD∩PO＝O，∴BC⊥平面PCD.
∵DP ?平面PCD，∴BC⊥DP.
又∵DP⊥PB，PB∩BC＝B，∴DP⊥平面PBC.
而PC ?平面PBC，∴PD⊥PC.【训练7】 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于
( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析 由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.
答案 D
