《11.1.2三角形的中线、高线、角平分线》同步测试（含答案解析）

三角形的中线、高线、角平分线
时间：60分钟 总分： 100
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列说法错误的是　　
A. 三角形三条高交于三角形内一点B. 三角形三条中线交于三角形内一点C. 三角形三条角平分线交于三角形内一点D. 三角形的中线、角平分线、高都是线段
下面四个图形中，线段BD是的高的是　　
A. B. C. D.
如图，在中，若，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，则AD是几个三角形的高线　　
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个
如图，于D，以AD为高的三角形有　　个．
A. 3B. 4C. 5D. 6
如图，在中，，G为AD的中点，延长BG交AC于为AB上一点，于H，下面判断正确的有　　 是的角平分线；是边AD上的中线；是边AD上的高；是的角平分线和高．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图，兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在　　
A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点
如图，AD是的中线，DE是的高线，，，，那么点D到AB的距离是　　
A. B. C. D. 2
已知：三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是　　
A. B. C. D. 无法确定
如图，AD是的角平分线，点O在AD上，且于点E，，，则的度数为　　
A. B. C. D.
一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在　　
A. 三角形内部 B. 三角形的一边上C. 三角形外部 D. 三角形的某个顶点上
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，DB是的高，AE是角平分线，，则______．?
平行四边形ABCD中，的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．
如图，在中，和的平分线交于点O，若，则 ______ ．
如图所示，D是BC的中点，E是AC的中点，若，则 ______ ．
如图，已知AE是的边BC上的中线，若，的周长比的周长多2cm，则______cm．
在画三角形的三条重要线段角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是______ ．
如图，已知中，，，AD是的高线，AE是的平分线，则 ______ ．?
如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；?；与的平分线相交于点，得，则 ______ ．
如图，在中，，，AD为中线，则与的周长之差 ______ ．
如图，在中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点G，AD与BF相交于点H，，，则 ______ ．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
如图，中，，AE平分，，，求的度数．

如图所示，在中，，，BC边上的中线，求BC的长．
如图所示：中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，，，求，的度数是多少？

如图中，，CD是的平分线，中，DE是CA边上的高，又有，求的大小．

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
如图，在中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则：是的中线， ______ ______ ；是的角平分线， ______ ______ ；是的高， ______ ；是的中线，，又 ______ ， ______ ， ______ ．

已知，如图，AE是的平分线，．求证：．

答案和解析
【答案】
1. A 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A 7. A8. A 9. A 10. A
11. ??
12. 32或34??
13. ??
14. 4??
15. 10??
16. 高线??
17. ??
18. ??
19. 3??
20. ??
21. 解：，，，平分，，，，，．答：的度数是．??
22. 解：延长AD到E使，连接CE， 在和中，≌，，，，在中，，，，，，由勾股定理得：，，答：BC的长是．??
23. 解：，，，；，，，，是的角平分线，，．故，的度数分别是，．??
24. 解：是CA边上的高，，，，，，在中，，是的平分线，，在中，．故答案为：．??
25. CE；BC；；；；；；??
26. 证明：，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，是的平分线，，．??
【解析】
1. 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线以及三角形的面积和外角性质，熟记概念与性质是解题的关键根据三角形的高线、外角的性质、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故本选项说法不正确；B.三角形的三条中线交于三角形内一点，故本选项说法正确；C.三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，故本选项说法正确；D.三角形的中线，角平分线，高都是线段，因为它们都有两个端点，故本选项说法正确．故选A．
2. 解：线段BD是的高，则过点B作对边AC的垂线，则垂线段BD为的高．故选A．根据三角形高的定义进行判断．本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
3. 解：在中，，点E是BC边上一点，且不与点B、C、D重合，是，，，，，的高．故选C．根据三角形高的定义可知，三角形的高可以在三角形内部，可以是三角形的边，还可以在三角形外部，结合图形即可求解．本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
4. 解：于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，以AD为高的三角形有6个．故选：D．由于于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
5. 解：根据三角形的角平分线的概念，知AG是的角平分线，故此说法错误；根据三角形的中线的概念，知BG是的边AD上的中线，故此说法错误；根据三角形的高的概念，知CH为的边AD上的高，故此说法正确；根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段透彻理解定义是解题的关键．
6. 解：猎狗到三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在的三条边垂直平分线的交点．故选：A．用线段垂直平分线性质判断即可．此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键．
7. 解：，，的面积为，是的中线，的面积为5，点D到AB的距离是．故选A．根据三角形的面积得出的面积为5，再利用中线的性质得出的面积为5，进而解答即可．此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出的面积为5．
8. 解：，即．故选A．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边倍长中线，构造一个新的三角形根据三角形的三边关系就可以求解．本题主要考查了三角形的三边关系，注意此题构造了一条常见的辅助线：倍长中线．
9. 解：，，．又是的角平分线，，，又，．故选A．首先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．此类题要首先明确思路，考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义．
10. 解：一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．故选A．根据三角形的高的性质即可判断．本题考查了三角形的高线，锐角三角形的三高线交于三角形内部一点，直角三角形三高线的交点是直角三角形的直角顶点，钝角的三条高所在的直线一定交于一点，这交点一定在三角形的内部．
11. 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形的高以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角平分线的定义和直角三角形的性质求解由角平分线的定义可得，，而与互余，与是对顶角，故可求得的度数．【解答】解：是角平分线，，，是的高，，．故答案为．
12. 解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，平分，，，，当时，，平行四边形ABCD的周长是；当时，，平行四边形ABCD的周长是；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出，由已知得到，推出，分两种情况当时，求出AB的长；当时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出用的数学思想是分类讨论思想．
13. 解；，，和的平分线交于点O，，，，，故答案为：．求出，根据角平分线定义得出，，求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可．本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线等知识点，关键是求出的度数．
14. 解：是BC的中点，E是AC的中点，的面积等于的面积的一半，的面积等于的面积的一半，的面积等于的面积的四分之一，又，．故答案为：4．先根据D是BC的中点，E是AC的中点，得出的面积等于的面积的四分之一，再根据，得到．本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
15. 解：是的边BC上的中线，，又，的周长比的周长多2cm，，即，，故答案为：10；依据AE是的边BC上的中线，可得，再根据，的周长比的周长多2cm，即可得到AC的长．本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
16. 解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部，而锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故答案为：高线．根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解．考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
17. 解：在中，，是的平分线，．又是BC边上的高，，在中，．由三角形的内角和定理，可求，又由AE是的平分线，可求，再由AD是BC边上的高，可知，可求，所以．本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键．
18. 解：与的平分线交于点，，，根据三角形的外角性质，，，，整理得，，同理可得，，，．故答案为：．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后整理即可得到与的关系，同理得到与的关系并依次找出变化规律，从而得解．本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．
19. 解：是中BC边上的中线，，与的周长之差 ．则与的周长之差．故答案为3．根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是AB与AC的差．本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．
20. 解：在中，，，，在中，AD是高，AE，BF是角平线，，，．故答案为：．根据三角形的内角和得出，再利用角平分线的定义和高的定义解答即可．此题考查三角形的内角和问题，关键是根据三角形的内角和得出．
21. 根据三角形的内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据三角形的外角性质得到的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
22. 延长AD到E使，连接CE，证≌，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出，根据勾股定理求出CD即可．本题综合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和判定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把已知条件转化成一个直角三角形，题型较好．
23. 因为AD是高，所以，又因为，所以度数可求；因为，，所以，，BF是的角平分线，则，故的度数可求．本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义关键是利用角平分线的性质解出、，再运用三角形内角和定理求出．
24. 根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据平角的定义求出的度数，再次利用直角三角形两锐角互余求出的度数，从而得到的度数，最后利用三角形内角和等于计算即可．本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形的高以及三角形的内角和定理，稍微复杂，但仔细分析图形也不难解决．
25. 解：根据AE是的中线，可得；根据AD是的角平分线，可得；根据AF是的高，可得；根据AE是的中线，可得，所以，，即．故答案为：，BC；，；；，，．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．本题主要考查了三角形的中线、高线以及角平分线的概念的运用，解题时注意：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
26. 由，根据同位角相等，两直线平行可证，根据两直线平行，内错角相等可证，再根据角平分线的性质即可求解．本题考查了平行线的判定与性质和三角形的角平分线的性质，有一定的综合性，但难度不大．