《14.3因式分解-十字相乘法》同步测试题（含答案解析）

因式分解-十字相乘法测试
时间：90分钟 总分：100
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是(　　)
A. a2?1 B. a2+aC. a2+a?2 D. (a+2)2?2(a+2)+1
把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x?3)，则a，b的值分别是(　　)
A. a=?2，b=?3 B. a=2，b=3C. a=?2，b=3 D. a=2，b=?3
若x2+mx+n分解因式的结果是(x+2)(x?1)，则m+n=(　　)
A. 1 B. ?2 C. ?1 D. 2
若多项式x2+mx+36因式分解的结果是(x?2)(x?18)，则m的值是(　　)
A. ?20 B. ?16 C. 16 D. 20
多项式x2?3x+a可分解为(x?5)(x?b)，则a、b的值分别是(　　)
A. 10和?2 B. ?10和2 C. 10和2 D. ?10和?2
如果多项式x2+ax+b可因式分解为(x?1)(x+2)，则a、b的值为(　　)
A. a=1，b=2 B. a=1，b=?2C. a=?1，b=?2 D. a=?1，b=2
如果多项式mx2?nx?2能因式分解为(3x+2)(x+p)，那么下列结论正确的是(　　)
A. m=6 B. n=1 C. p=?2 D. mnp=3
下列因式分解结果正确的是(　　)
A. x2+3x+2=x(x+3)+2 B. 4x2?9=(4x+3)(4x?3)C. x2?5x+6=(x?2)(x?3) D. a2?2a+1=(a+1)2
若x2+mx?15=(x+3)(x+n)，则mn的值为(　　)
A. 5 B. ?5 C. 10 D. ?10
如果二次三项式x2+ax?1可分解为(x?2)?(x+b)，那么a+b的值为(　　)
A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
若关于x的二次三项式x2?kx?3因式分解为(x?1)(x+b)，则k+b的值为______ ．
若二次三项式x2?px+6在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值是______ ．
若x2+mx?n能分解成(x?1)(x+4)，则m=______，n=______．
已知多项式x2+px+q可分解为(x+3)(x?2)，则p= ______ ，q= ______ ．
因式分解x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是(x+6)(x?2)，乙看错了b的值，分解的结果为(x?8)(x+4)，那么x2+ax+b分解因式正确的结果为_____________．
已知x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，则二次三项式x2?2x?15可以因式分解为______ ．
x2?x?12分解因式得______ ．
若x2+mx+n分解因式的结果是(x+2)(x?1)，则m+n的值为______．
分解因式：(1)4x2?9= ______ ；(2)x2+3x+2= ______ ；(3)2x2?5x?3= ______ ．
分解因式a3?a2?2a= ______ ．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
分解因式：(1)5x2+10x+5 (2)(a+4)(a?4)+3(a+2)
因式分解：(1)2(x2+y2)2?8x2y2????????????????? (2)6x2?5x?4．
解方程：x(x?3)=4．
把下列各式因式分解(1)3x2?12y2 (2)(a+b)2?6c(a+b)+9c2 (3)x2?2x?8 (4)(m+n)2?4mn．

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
阅读：分解因式x2+2x?3．解：原式=x2+2x+1?1?3 =(x+2x+1)?4 =(x+1)2?4 =(x+1+2)(x+1?2) =(x+3)(x?1) 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此題为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：分解因式：4a2+4a?3．
仔细阅读下面例题，解答问题；例题，已知二次三项式x2?4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为(x+n)，得x2?4x+m=(x+3)(x+n) 则x2?4x+m=x2+(n+3)x+3n ∴m=3nn+3=?4 解得：n=?7，m=?21 ∴另一个因式为(x?7)，m的值为?21 问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x2+5x?m有一个因式是(3x?1)，求另一个因式以及m的值．
答案和解析
【答案】
1. C 2. A 3. C 4. A 5. D 6. B 7. B8. C 9. C 10. B
11. 1??
12. 5，?5，7，?7??
13. 3；4??
14. 1；?6??
15. (x?6)(x+2)??
16. (x?5)(x+3)??
17. (x?4)(x+3)??
18. ?1??
19. (2x+3)(2x?3)；(x+1)(x+2)；(2x+1)(x?3)??
20. a(a+1)(a?2)??
21. 解：(1)原式=5(x2+2x+1)=5(x+1)2；(2)原式=a2?16+3a+6=a2+3a?10=(a?2)(a+5)．??
22. 解：(1)原式=2[(x2+y2)2?4x2y2]=2(x2+y2+2xy)(x2+y2?2xy)=2(x+y)2(x?y)2；?????? (2)原式=(2x+1)(3x?4)．??
23. 解：x2?3x?4=0 (x?4)(x+1)=0 x?4=0或x+1=0 ∴x1=4，x2=?1．??
24. 解：(1)原式=3(x2?4y2)=3(x+2y)(x?2y)；(2)原式=(a+b?3c)2；(3)原式=(x?4)(x+2)；(4)原式=m2+2mn+n2?4mn=m2?2mn+n2=(m?n)2．??
25. 解：原式=4a2+4a+1?1?3 =(4a2+4a+1)?4 =(2a+1)2?4 =(2a+1+2)(2a+1?2) =(2a+3)(2a?1)??
26. 解：设另一个因式为(x+n)，得3x2+5x?m=(3x?1)(x+n)，则3x2+5x?m=3x2+(3n?1)x?n，∴?n=?m3n?1=5，解得：n=2，m=2，∴另一个因式为(x+2)，m的值为2．??
【解析】
1. 【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果.本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．【解答】解：A.∵a2?1=(a+1)(a?1)，B.a2+a=a(a+1)，C.a2+a?2=(a+2)(a?1)，D.(a+2)2?2(a+2)+1=(a+2?1)2=(a+1)2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C．故选C．
2. 解：根据题意得：x2+ax+b=(x+1)(x?3)=x2?2x?3，则a=?2，b=?3，故选A因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．此题考查了因式分解?十字相乘法，以及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3. 解：∵x2+mx+n=(x+2)(x?1)=x2+x?2，∴m=1，n=?2，则m+n=1?2=?1，故选C 根据因式分解的结果，利用多项式乘以多项式法则化简，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值．此题考查了因式分解?十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4. 解：x2+mx+36=(x?2)(x?18)=x2?20x+36，可得m=?20，故选A．把分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m的值即可．此题考查了因式分解?十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
5. 解：∵多项式x2?3x+a可分解为(x?5)(x?b)，∴x2?3x+a=(x?5)(x?b)=x2?(b+5)x+5b，故b+5=3，5b=a，解得：b=?2，a=?10．故选：D．利用多项式乘法整理多项式进而得出a，b的值．此题主要考查了整式的混合运算，得出同类项系数相等是解题关键．
6. 解：根据题意得：x2+ax+b=(x?1)(x+2)=x2+x?2，则a=1，b=?2，故选B已知分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．此题考查了因式分解?十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
7. 解：∵多项式mx2?nx?2能因式分解为(3x+2)(x+p)，∴(3x+2)(x+p)=3x2+(3p+2)x+2p=mx2?nx?2，∴p=?1，3p+2=?n，解得：n=1．故选：B．直接利用多项式乘法运算法则得出p的值，进而得出n的值．此题考查了因式分解的意义；关键是根据因式分解的意义求出p的值，是一道基础题．
8. 解：A、原式=(x+1)(x+2)，故本选项错误；B、原式=(2x+3)(2x?3)，故本选项错误；C、原式=(x?2)(x?3)，故本选项正确；D、原式=(a?1)2，故本选项错误；故选：C．将各自分解因式后即可做出判断．此题考查了因式分解?十字相乘法，提公因式法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9. 解：由x2+mx?15=(x+3)(x+n)=x2+(3+n)x+3n，比较系数，得m=3+n，?15=3n，解得m=?2，n=?5，则mn=(?2)×(?5)=10．故选：C．根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据对应项的系数相等列出方程，求解即可得到m、n的值，再代入计算即可．本题考查了多项式的乘法法则，根据对应项系数相等列式是解题的关键．
10. 解：(x?2)(x+b)=x2+(b?2)x?2b，∵二次三项式x2+ax?1可分解为(x?2)(x+b)，∴a=b?2，?2b=?1，解得a=?32，b=12，∴a+b=?32+12=?1．故选：B．利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解题的关键．
11. 解：由题意得：x2?kx?3=(x?1)(x+b)=x2+(b?1)x?b，∴?3=?b，? ?k=b?1，移项得：k+b=1．故答案为1．将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．本题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．
12. 解：若二次三项式x2?px+6在整数范围内能进行因式分解，那么整数p的取值为5，?5，7，?7，故答案为：5，?5，7，?7 原式利用十字相乘法变形，即可确定出整数p的值．此题考查了因式分解?十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
13. 解：由题意得：x2+mx?n=(x?1)(x+4)=x2+3x?4，则m=3，n=4，故答案为：3；4．利用十字相乘法判断即可确定出m与n的值．此题考查了因式分解?十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
14. 解：根据题意得：x2+px+q=(x+3)(x?2)=x2+x?6，则p=1，q=?6，故答案为：1；?6 因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．此题考查了因式分解?十字相乘法，多项式乘以多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
15. 解：甲看错了a的值：x2+ax+b=(x+6)(x?2)=x2+4x?12，∴b=?12乙看错了b的值：x2+ax+b=(x?8)(x+4)=x2?4x?32，∴a=?4∴x2+ax+b分解因式正确的结果：x2?4x?12=(x?6)(x+2)根据因式分解法的定义即可求出答案．本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型．
16. 解：原式=x2+(?5+3)x+(?5)×3=(x?5)(x+3)，故答案为：(x?5)(x+3)根据已知等式分解的方法，将原式分解即可．此题考查了因式分解?十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
17. 解：x2?x?12=(x?4)(x+3)．故答案是：(x?4)(x+3)．因为?4×3=?12，?4+3=?1，所以利用十字相乘法分解因式即可．本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
18. 解：∵x2+mx+n分解因式的结果是(x+2)(x?1)，∴x2+mx+n=x2+x?2，∴m=1，n=?2，∴m+n=1?2=?1，故答案为?1．先把(x+2)(x?1)展开，求得m，n的值，再求m+n的值即可．本题考查了因式分解?十字相乘法，求得m，n的值是解题的关键．
19. 解：(1)原式=(2x+3)(2x?3)；(2)原式=(x+1)(x+2)；(3)原式=(2x+1)(x?3)，故答案为：(1)(2x+3)(2x?3)；(2)(x+1)(x+2)；(3)(2x+1)(x?3) (1)原式利用平方差公式分解即可；(2)原式利用十字相乘法分解即可；(3)原式利用十字相乘法分解即可．此题考查了因式分解?十字相乘法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20. 解：原式=a(a2?a?2) =a(a+1)(a?2)．故答案为：a(a+1)(a?2)．原式提取公因式a后，利用十字相乘法分解即可得到结果．此题考查了因式分解?十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
21. (1)原式提取5，再利用完全平方公式分解即可；(2)原式整理后，利用十字相乘法分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解?十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22. (1)原式提取公因式，再利用平方差公式及完全平方公式分解即可；(2)原式利用十字相乘法分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及因式分解?十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23. 把方程化成一般形式，用十字相乘法因式分解求出方程的根．本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程化成一般形式，再用十字相乘法因式分解求出方程的根．
24. (1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；(2)原式利用完全平方公式分解即可；(3)原式利用十字相乘法分解即可；(4)原式整理后，利用完全平方公式分解即可．此题考查了因式分解?十字相乘法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
25. 根据配方法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．本题考查了因式分解，利用配方法得出平方差公式是解题关键，分解要彻底．
26. 首先设另一个因式为(x+n)，得3x2+5x?m=(3x?1)(x+n)，继而可得方程组?n=?m3n?1=5，解此方程即可求得答案．此题考查了十字相乘法分解因式的知识.注意理解题意，结合题意求解是关键．