2.2 对函数的进一步认识
【教学目标】
知识目标：
(1) 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型；
(2) 理解函数的概念及其构成要素；
(3) 理解函数值的概念及表示.
能力目标：
(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；
(2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力.
【教学重点】
体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念.
【教学难点】
函数的概念及记号的理解.
【教学过程】
*复习旧知，为新课铺垫
问题
世界充满变化，函数无处不在，今天我们又开始接触函数了，你们还记得初中学习过哪些函数吗？函数的定义又是什么？
归纳
一次函数、反比例函数及二次函数；定义：在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其相对应，那么我们就说是自变量，是的函数.
通过对初中学过的函数模型的回忆，帮助学生回忆函数的“变量说”；此外注意变量与选取字母无关.
*创设情景 兴趣导入
我们在了解初中函数的概念之后，下面一起来看三个实例，分析其中的变量，说明它们之间能否构成函数关系？
（1）某水库的存水量与水深（指最深处的水深）如下表：
水深（米）
0
5
10
15
20
25
存水量（万立方）
0
20
40
90
160
275
（2）设时间为，温度为，自动测温仪测得杭州10月21日从凌晨0点到白天14点的温度曲线如下图：
（3）今年中国海军在东海进行实弹演习，通过数据监测，一枚炮弹发射后，炮弹距地面的高度（单位）随时间（单位）变化的规律是.
归纳
判断两个变量的对应关系能否构成函数的标准是“对一个变量的每一个取值，另一个变量都有唯一的值与之对应”，而表现这种“对应”的数学形式，除了大家熟悉的函数解析式外，还可以有列表法、图像法.
问题
在（3）中，请大家计算，当时，所对应的值是多少？，而经过计算，得到炮弹从发射到落到海面爆炸只经历.
归纳
由此看来，初中的函数定义，只强调了两个变量和的对应关系，而没有明确给出自变量的取值范围，所以我们说这个定义是不够严密的，事实上，例（3）中的变量时间的取值范围是[0，26]，例1、2中自变量也有取值范围，因此我们把初中函数的概念稍加修饰.
通过观察三个实例，使学生进一步认识函数的实质：对一个变量的每一个取值，另一个变量都有唯一的值与之对应.
从实例发现已有的函数定义没有明确指出自变量的取值范围，从而催生更严密的函数定义.
*动脑思考 探索新知
概念
在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值与它对应，那么，把叫做自变量，把叫做的函数．
表示
将上述函数记作，其中数集D叫做函数的定义域．
当时，在对应法则的作用下，相对应的值叫做函数在点处的函数值．记作.
函数值的集合叫做函数的值域．
实际上当去掉集合的外衣后，可发现两个概念的本质是一样的；高中函数概念明确了自变量的取值范围是数集，明确了对应法则，把就叫做函数.
*函数概念的初步应用
例1 五名同学的数学竞赛的成绩如下：
序号
1
2
3
4
5
成绩
92
70
80
85
71
（1）成绩能够看成序号的函数吗？
（2）若序号5对应的同学缺考，没有分数，并且我们在成绩单上也没有记录，还能看成函数吗？
例2 下列图形中可以作为函数的图像的是（ ）
辨析回味概念
1、请大家提炼下概念中的关键词有哪些？
定义域，对应法则，值域，而定义域和对应法则确定后，值域也就被确定了，所以确定函数只需确定定义域和对应法则，此处定义域、对应法则和值域叫做函数的三要素.
2、用函数的其中两要素重新解释初中学过的函数.
函数
一次函数
反比例函数
定义域
对应法则
充分讲解函数变量和法则之间的关系.
通过对例题的辨析，加深学生对高中函数概念的理解，培养学生运用概念思考问题的能力，特别是运用图像来观察数集之间的对应关系，对学生来说，更是全新的问题，但这是数形结合基础，应该培养这方面能力.
鉴于函数定义的重要和理解的困难，本环节分二个步骤来辨析新概念，促进学生理解新概念.
*例题演示
例3 已知函数，求和函数的定义域.
解：，，.
为使分式有意义，必须，即，所以原函数的定义域为，即.
例3是求函数值和定义域，这些都是基础而需要掌握的.
*归纳小结 强化思想
1、本节课主要是函数的概念及其三要素，毫无疑问，函数是中学数学最重要的概念之一，由于其重要性和难理解，因此对函数的概念再怎么强调都不过份.
2、辨析概念的三个步骤及图形理解都是精华，对函数的理解非一日之功，需要学生课后及将来学习中去慢慢体会.
*继续探索 活动探究
(1)举出生活中两个函数的例子，并用函数的概念进行描述，并且写出它们的定义域、对应法则和值域.
(2)思考是函数吗？若是，写出它的定义域、对应法则和值域；若不是，请说明理由.
通过此例，不难发现，用本节课所学函数概念来解释更方便.
2.2 函数的表示法
【教材分析】
学生继在初中用运动变化的观点对函数进行定义的基础上，将初中定义中自变量的取值集合与函数值所在的集合抽象出来，上升为高中数学对函数的定义，此定义运用集合与对应的观点来认识函数，更强调两个集合之间的对应关系，实际上是一种微观考查，是对初中定义进行了抽象化、精细化的处理，更加突出了函数概念的本质。比起初中的学习显得更加抽象，而为了研究函数的性质，我们就要从不同的角度、用不同的方法来表述函数以对其进行探究，帮助我们更深刻地理解函数的性质。实际上用不同的方法表示函数是研究函数性质的重要手段。因此，本节内容是上节
相关内容的进一步深化。
【学情分析】
1.学生的认知起点：本节课的教学对象是高一年级的学生，在本课之前，学生已经在初中用运动变化的观点对函数进行定义的基础上，抽象为高中数学对函数的定义；为了今后进一步探究具体函数的性质，需要从数和形等方面以不同的角度、用不同的方法进行研究，来认识函数的本质。本节学习的函数的三种表示方法就是为今后研究函数性质作必要的准备，对于学生来说，要真正弄懂它们之间的关系，并能够灵活运用还需要较长一段的时间。
2.学习障碍：对于刚升入高中的高一年级学生来说，函数概念是学生学习的一个难点，由于函数的概念本身就较为抽象，而要想进一步了解函数的性质就更加困难，所以教材在编排上采取了初中、高中逐步深入，适当反复的方法，但这种反复不完全是简单的重复，而是采用从不同的角度、用不同的方法来表示函数以达到在相应层面上逐步深化、提高，从而更好地掌握函数的性质和特征。学生要想真正掌握这部分内容需要一个较长的过程才能不断完善。
3.心理上：一方面要运用学生身边生活中的实例、直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创设条件，让学生自主探究、合作交流，学会提出问题、分析问题、解决问题，充分发挥学生的主观能动性和创造性。
【教学目标】
（一）知识与技能：
掌握函数的三种表示方法；
（二）过程与方法
1.会根据不同的实际问题情境选择恰当的方法表示函数；
2.了解函数三种表示方法的优缺点，尝试用三种不同的形式表示同一个函数。
3.通过具体实例，了解分段函数含义及其表示；
4.会求某些函数的解析式。
（三）情感、态度与价值观
培养学生重要的数学思想方法----数形结合与分类讨论的思想方法，激发学生学习的热情，提高数学学习能力。
【教学重点】函数的三种表示方法
【教学难点】根据不同的实际问题情境选择恰当的方法表示函数；分段函数以及求函数解析式的方法
【教学方法】
启发式讲练结合法
【学法】
引导学生自主学习、合作探究，在初中学习函数三种表示法的基础上进一
步深化和提升。
【课前准备】
教师课前准备好授课内容及多媒体课件。学生做好复习和预习。
【教具和学具】
多媒体
【教学过程预设】
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
温故知新
教师复习提问
1.函数的定义
2.函数的三种表示方法
学生回答
通过复习，为后续运用作铺垫
创设情境，
引入新课
在初中，我们已经学过函数的三种表示方法。在研究函数的过程中，采用不同的方法表示函数，是研究函数的一种重要手段，它可以帮助我们从不同的角度理解函数的性质，认识函数的本质。这节课我们继续研究这一问题。
指导学生阅读教材第28-29页文本，深刻理解三种表示方法的概念，让学生初步体会三种表示方法的优缺点，（幻灯片展示）并尝试进行归纳。体会数形结合的数学思想方法。
认真阅读文本并积极思考、讨论交流。
学生在认真阅读文本并积极思考、讨论交流的过程中，有可能会产生这样的疑问，如认为只有用解析式表示的才是函数，图像法和列表法都不是函数的表达形式。
探究新知
探究一：
教师针对学生的疑问，作适当的点拨，引导学生结合函数的定义，来分析验证教材第28页中的实例（1）、（2），让学生深刻领会图像法和列表法都满足函数的定义，同样能够表示函数定义中的对应关系，因此，它们也可以作为函数的表达形式。
自主探究：
对照函数的定义，来分析验证教材第28页中的实例（1）、（2），指出定义中的两个非空数集、对应关系分别是什么，从而确信它们都满足函数的定义，同样能够表示函数定义中的对应关系，因此，它们也可以作为函数的表示方法。
重温函数的定义，理解函数定义的本质，不要被表面现象及错觉所迷惑，
探究二：
（学生展示，教师点评）
归纳函数三种表示方法的优缺点，体会数形结合的数学思想方法。
（学生展示，教师点评）
归纳函数三种表示方法的优缺点，初步体会数形结合的数学思想方法。
解析法：
优点：①函数关系简明、精确；
②可以求任一函数值；
③便于研究函数性质
缺点：①不够形象、直观；
②不是所有函数都能写出其解析式。
图像法：
优点：①能形象直观的表示出函数的变化趋势，使人一目了然；
②是利用数形结合法解题的基础。
缺点：①有时只能近似求出自变量的值所对应的函数值；
②有时误差较大。
列表法：
优点：①不需要计算，从表中就可以直接看出与自变量所对应的函数值；
②特别当自变量个数较少时，应用更加广泛。
缺点：仅仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。
1.培养学生的参与意识，积极参与到教学活动中来。
2.加深对本节重点内容的理解，以便达到教学目标。
3.培养学生的观察、分析、比较、归纳、抽象概括能力以及语言表达能力。
典例精析
1. 判断一个图像所表示的是不是关于的函数图像
要检验一个图像是否为函数的图像，其法则为：任作垂直于轴的直线，若此直线与图像至多有一个交点，则图像即为在定义域内的函数的图像.
例1 在下列选项中，表示函数y=f(x)的图像的只能是（ ）
2.能独立解决第29页例2吗？
教师提示，点拨：
在学生的基础上，教师引导，先将绝对值函数转化为分段函数（暂时不提此名），再利用基本函数的图像作出其图像，最后写出规范解答。
3.思考并独立解答第29页例3
4.思考并独立解答第30页例4
分小组
讨论、
合作探究
1. 如何判断一个图像所表示的是关于函数的图像
复习函数的定义，把握函数定义的本质，会根据定义来分析，对于一个给定的图像，在满足什么条件时，才能成为函数的图像.
让学生初步认识转化的思想，将未知转化为已知， 学会利用已知条件作出函数的图同时体会数形结合思想在理解函数中的重要作用。
感悟：
①画函数图像时首先要考虑函数的定义域；②要标出关键点，并注意分清在这些关键点处是实心还是虚心；③要注重积累一些常见函数图像的特征；④函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等.
教师适时点拨，引导学生分析、探究
解析：判断一个图像表示的是不是函数的图像，关键是看图像中一个对应几个. 如果由一个对应两个或两个以上的，那么这个图像表示的就不是函数的图像. 具体做法是可以画一条垂直于轴的直线，若直线与图像有两个或两个以上的交点，则图像不表示y=f(x)的图像.
2.独立解决第29页例2
学生自主探究，画出函数
的图像.
3.思考并独立解答第29页例3
4.独立解答第30页例4
引导学生归纳例2、例3、例4中的函数所具有的共同特点,必要时教师点评并加以修正.
学生归纳例2、例3、例4中的函数所具有的共同特点：
在定义域的不同部分上，对于自变量的不同取值范围有不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.
分段函数是一个函数而不是几个函数，求分段函数解析式时，可分段求解，但最后一定要“合并”，其一般形式为：
在处理分段函数的求值问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，从而选取相应的解析式；（简言之为：对号入座）；
画分段函数图像时，应根据不同定义区间上的不同解析式分别作出.
即学即练
触类旁通
(随堂练习)
教师展示题目：
1.已知
则的值为（ ）
2.已知函数
若，则实数的值等于（ ）
或
3.已知函数的图像如下图所示，则的解析式是
.
1.适时点拨；
2.教师通过点评，给出正确解答.
反馈性练习：
(1)三个学生板演；
(2)在学生板演的基础上，教师通过点评，给出正确解答.
在讲解完要点知识后，通过做题来加深学生对知识的理解，培养学生转化的意识和举一反三解决问题的能力。
课外延展
拓展提升
1.化简
，并作图求值域.
认真思考，独立完成。
1.夯实基础，扩展提高;
2. 培养学生思维的深刻性和探索精神.
2. 已知
（1）画出的图像；
（2）求的定义域和.值域
1.分小组思考讨论;
2.课后合作完成.
3.当为怎样的实数时，方程有四个互不相等的实数根？
课堂小结
在学生自行总结的基础上，教师适当补充:
1.本节课所学的知识点；
2.本节课学到的数学思想方法
学生自行总结；
认真听讲，做好笔记。
系统梳理本节内容，加深记忆，更好地理解和记忆函数的表示方法及分段函数的相关内容.
布置作业
课本 练习第1,2,4题,
要求独立完成
在复习的基础上独立完成作业
【教学反思】
利用“自主探究、合作学习”教学模式组织教学，达到了通过问题辨析加深了对函数表示法的深层次的认知与理解，从而培养了学生的辩证思维能力，学会了思考问题的方法。
通过例题教学，教材上的例题先有学生自主学习，提出疑点，然后用实物投影仪展示学生的学习成果，同时教师利用多媒体课件点评解法，让学生直观感受函数的三种表示方法，克服了“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，引起学生的足够重视；另外，三种表示方法间的转化是：通过图像求函数解析式，通过列表求函数解析式，由解析式画出图像等，体现了“数形结合”的数学思想方法，也体现了函数关系的本质，进一步树立运动变化的观点和相互联系、相互制约的函数思想，为函数思想方法的广泛应用打好坚实的基础。
补充例题的第一题是为了加深对函数概念及图像法的理解，是一道与课后练习题相匹配的题型，它是教材文本的必要补充；通过前期对例题分析与求解，学生有了一定的基础，此时，补充不同类型例题，恰逢学生的学习活动、思维活动再次达到高潮，学生学习积极性非常强、注意力高度集中、思维聚焦明显，抓住这个教学契机，采用诱导、点拨、启发、学生自主探究、合作交流、分组讨论等形式截距问题，尽力发展学生的想象力和发散思维的空间，让学生从中体会到思考、解决数学问题的思想方法.
在课堂教学中，多媒体课件以及其他现代教育技术的合理运用，也体现了新课程与现代教育技术整合的一个侧面，展示了多媒体课件在课堂教学中独特的教育教学，对提高课堂教学效果增色不少，可谓是“锦上添花”吧.
板书设计
复习导入
探究新知
典例精析
1. 例1 例2 例3
2. 分段函数 例3 例4
四．即学即练，触类旁通
五．拓展提升
六．课堂小结
七．布置作业
