课件21张PPT。§1 周期现象学习目标 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点 周期现象
(1)概念：相同间隔 出现的现象．
(2)特点：
①有一定的 ；
②不断 出现．重复 规律 重复 【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．( )
(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．( )
2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．
解析 观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2.
答案 2√ √ 题型一 周期现象的判断
【例1】 判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．
(1)地球的自转；
(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；
(3)钟表的秒针的转动；
(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解 (1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．
(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．
(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．
(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法 周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】 判断下列现象是否为周期现象：
(1)每届奥运会的举办时间；
(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；
(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．
解 (1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．
(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．
(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二 周期现象的应用
【例2】 一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在如图所示的给定的坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．
(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解 (1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．
(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法 收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】 受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
根据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？
解 由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】 2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？
解 按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】 试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？
解 由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．
【迁移2】 从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？
解 因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．
【迁移3】 试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？
解 每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法 应用周期性解决实际问题的两个要点
特别提醒 计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标
1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.
答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期 ( )
A．五 B．六
C．日 D．一
解析 每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．
答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．
解析 周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．
答案 直升机
4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．
解析 4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．
答案 105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？
解 共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结
1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．
2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.课件34张PPT。§2 角的概念的推广学习目标 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)．知识点1 角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内 绕着 O从一个位置 OA 到另一个位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的 和 ．一条射线 端点 旋转 始边 终边 (2)按照角的旋转方向，分为如下三类：逆时针 顺时针 零角 【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角( )
(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角( )
(3)没有作任何旋转就没有角对应( )
(4)终边和始边重合的角是零角( )
(5)经过1小时时针转过30°( )× × × √ √ 知识点2 象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么， (除端点外)在第几象限，就说这个角是 ．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个 ．角的终边 第几象限角 象限 【预习评价】
1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
提示 锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．
2．第二象限的角比第一象限的角大吗？
提示 不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 的整数倍的和．S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 周角 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角一定相等( )
(2)相等的角终边一定相同( )
(3)终边相同的角有无数多个( )
(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍( )× × √ √ 题型一 角的概念的推广
【例1】 写出下图中的角α，β，γ的度数．
解 要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点
(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．
(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】 (1)图中角α＝________，β＝________；
(2)经过10 min，分针转了________．
答案 (1)－150° 210° (2)－60°题型二 终边相同的角
【例2】 已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解 (1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，
即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
所以θ为－110°，－470°.规律方法 将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】 写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}，
所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为
{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与
－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．
答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．
解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．
所以表示为：
第一象限角的集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，0°＜α＜90°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}．
第二象限角的集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，90°＜α＜180°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}．规律方法 1.象限角的判定方法
(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标
1．－361°的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D.
答案 D2．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．
答案 D3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．
答案 195°＋(－3)×360°
4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．
解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°，
∴与108°终边相同的最大负角为－252°.
答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α∪{α|k·360°＋210°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．
2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.课件30张PPT。§3 弧度制学习目标 1.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．
知识点1 弧度制
(1)角度制与弧度制的定义度 半径长 圆心角 rad 弧度 弧度 √√××知识点2 角度制与弧度制的换算
常见角度与弧度互化公式如下：2π 360° π 180° 57.30° 【预习评价】
请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：知识点3 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则|α|·R 2．一个扇形的半径为2 cm，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm2.
答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角
在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．【预习评价】
1．与30°终边相同的角为( )
答案 B
2．终边在x轴上的角的集合用弧度制表示为________．
答案 {α|α＝kπ，k∈Z}(3)注意点：
①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；
②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．题型二 用弧度制表示终边相同的角
【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；
(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 015°是不是这个集合的元素．方向2 求圆心角
【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．方向3 求面积的最值
【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题. 答案 C 答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为______． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．课堂小结
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.课件31张PPT。§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性学习目标 1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系.2.掌握任意角的正弦、余弦的定义(重点).3.掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号(重点).4.了解周期函数的概念，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数(难点)．
知识点1 任意角的正弦、余弦函数
(1)单位圆
在直角坐标系中，以 为圆心，以 为半径的圆，称为单位圆．原点 单位长度 (2)正弦函数、余弦函数的定义
如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的 叫作角α的正弦函数，记作 ；点P的 叫作角α的余弦函数，记作 .纵坐标v v＝sin α 横坐标u u＝cosα (3)正弦函数、余弦函数的定义域和值域
正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的定义域为 ，值域为 ．全体实数 [－1,1] 答案 B知识点2 正弦函数、余弦函数值的符号【预习评价】
记住特殊角的正弦函数、余弦函数值非常重要，试完成下表：0 0 －1 0 1 知识点3 周期函数
(1)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值， 都成立．那么就把函数f(x)称为周期函数，T叫作这个函数的 ．
(2)y＝sin x的周期为 ，最小正周期为 .
y＝cos x的周期为 ，最小正周期为 .f(x＋T)＝f(x) 周期 2kπ，k∈Z 2π 2kπ，k∈Z 2π 【预习评价】
如果存在非零常数T，对于函数f(x)，若存在x值有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)是周期函数吗？
提示 不一定，如函数f(x)＝x2，存在非零常数T＝4，存在x＝－2，使得f(－2＋4)＝f(－2)，但是函数f(x)＝x2不是周期函数. 答案 －8规律方法 利用正弦函数、余弦函数的定义，求一个角的正弦函数、余弦函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y和点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．【训练1】 若点P(2m，－3m)(m＜0)在角α的终边上，则sin α＝________.题型二 有关三角函数值的符号问题
【例2】 (1)α是第二象限角，判断sin αcos α的正负；
(2)若sin αcos α＜0，判断α是第几象限角．规律方法 正余弦函数符号的确定
(1)终边在坐标轴上的角：
终边在坐标轴上的角可以利用单位圆，如终边在x轴非正半轴上的角与单位圆的交点为(－1,0)，故sin α＝0，cos α＝－1.
(2)终边在各个象限内的角：
利用定义记符号：正弦取决于终边上点的纵坐标，所以一、二象限为正；余弦取决于终边上点的横坐标，所以一、四象限为正． 解 ∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
又∵f(x＋π)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为π， 答案 2π答案 A 答案 A 答案 1课堂小结
1．利用定义求α的正弦函数值与余弦函数值时，注意结合图形求出α的终边与单位圆的交点坐标，即得值．
2．正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦．
3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的同一三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．课件27张PPT。4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质，并能初步运用性质解决相关问题(重点).2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用.3.理解诱导公式的推导过程(重点).4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题(难点)．
知识点1 单位圆与正弦函数、余弦函数的性质[－1,1] 【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R.( )
(2)函数y＝sin x在[0，π]上是单调减函数．( )
(3)函数y＝cos x在[0，π]上的值域是[0,1]．( )
(4)函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.( )√ √ × ×知识点2 2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式
对任意角α，有下列关系式成立：
sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α. (1.8)
sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. (1.9)
sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α. (1.10)
sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. (1.11)
sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α. (1.12)
这五组诱导公式的记忆口诀是“ ”．
其含义是诱导公式两边的函数名称 ，符号则是将α看成 时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号． 函数名不变，符号看象限 一致 锐角 【预习评价】
1．视α为锐角，则诱导公式中各角所在象限是什么？试完成下表.四 四 2.设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？试完成下表.原点 x轴 x轴 y轴 规律方法 利用单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质可求一些复合函数的定义域与单调区间，正弦函数、余弦函数的定义域是研究其他一切性质的前提，要树立定义域优先的意识．求正弦函数、余弦函数定义域实际上是解简单的三角不等式． 解析 (1)由2＋cos x≠0知cos x≠－2，
又由cos x∈[－1,1]，故定义域为R.
(2)由题意知sin x＞0.又y＝sin x在[0,2π]内sin x＞0满足0＜x＜π，∴定义域为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．
答案 (1)R (2)(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)题型二 正弦函数、余弦函数的值域问题
【例2】 求下列函数的值域：
(1)y＝(sin x－2)2＋1；(2)y＝msin x＋n(m≠0)．
解 (1)设t＝sin x，则有y＝(t－2)2＋1，t∈[－1,1]，
∴当t＝－1时 ，y＝(t－2)2＋1取得最大值10；
当t＝1时，y＝(t－2)2＋1取得最小值2，
∴y＝(sin x－2)2＋1的值域为[2,10]．
(2)∵sin x∈[－1,1]，且m≠0，
∴当m＞0时，y＝msin x＋n的值域是[n－m，n＋m]；
当m＜0时，y＝msin x＋n的值域是[n＋m，n－m]．
综上可知，函数y＝msin x＋n(m≠0)的值域是[n－|m|，n＋|m|]．规律方法 求与正弦函数与余弦函数有关的值域问题时要注意换元法与分类讨论思想的应用．规律方法 1.解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2．化简三角函数式的策略
(1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，特殊角的正弦、余弦函数要求出值．
(2)要认真观察有关角之间的关系，根据需要合理选择诱导公式变角.答案 A 答案 C课堂小结
1．求正弦函数、余弦函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用，同时注意周期性在求解时的作用．
2．明确各诱导公式的作用
(1)将角转化为0～2π之间的角求值；(2)将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值；(3)将负角转化为正角求值．3．诱导公式的记忆
诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.课件30张PPT。4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．余(正)弦 锐角时原函数值的符号 函数名改变，符号
看象限 －cos α －sin α －cos α sin α 知识点2 诱导公式的记忆方法
记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限．
(1)函数名不变，符号看象限
“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． 答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．答案 C 答案 D3．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______． (注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立)
解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)
＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.
答案 12．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.课件27张PPT。§5 正弦函数的图像与性质
5．1 正弦函数的图像
学习目标 1.能用“五点法”画正弦函数在[0,2π]上的图像(重点).2.理解正弦曲线的意义(难点)．知识点1 正弦线
如图所示，设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O相交于点P(x，y)，过P点作x轴的垂线，垂足为M.我们称 为角α的正弦线，P叫正弦线的终点．MP 【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在正弦线的定义中MP也可以写成PM的形式．( )
(2)正弦线是一条有方向的有向线段．( )× √ 知识点2 正弦函数图像的画法
(1)几何法
利用几何法作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像的过程如下：
①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示．(2)“五点法”
在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像上，起关键作用的点有以下五个： ， ， ， ， ．事实上，找出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就可以得到函数的简图．这种方法称为“ ”．(0,0) (π，0) (2π，0) 五点法 【预习评价】
1．函数y＝sin x在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．
2．利用五点法作函数y＝Asin x(A＞0)的图像时，选取的五个关键点是什么？题型一 “五点法”作函数的图像
【例1】 利用“五点法”作出y＝－1＋sin x (x∈[0,2π])的简图．解 按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图所示)．规律方法 “五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图像的最高点、最低点及图像与x轴的交点等五个关键点，由这五个点大致确定图像的位置和形状．【训练1】 (1)作出函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的图像．
(2)用“五点法”画出函数y＝sin 2x(0≤x≤π)的图像．
答案 A(2)求方程lg x＝sin x的实数解的个数．
解 作出y＝lg x，y＝sin x在同一坐标系内的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根．方向3 求参数的取值范围
【例2－3】 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求实数k的取值范围．规律方法 1.三角函数的图像是研究函数的重要工具，通过图像可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
2．一般地，函数y＝|f(x)|的图像可将函数y＝f(x)的图像作如下变换得到：在x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方，x轴上方的部分保持不变. 答案 D 答案 A 解析 画出y＝sin x的图像（图像略）可得． 答案 3π5．在[0,2π]内，用五点法作出函数y＝2sin x－1的图像．课件28张PPT。5.2 正弦函数的性质 学习目标 1.理解正弦函数y＝sin x，x∈R的性质(重点).2.掌握正弦函数性质的应用(难点)．知识点1 正弦函数的性质R 续表2kπ(k∈Z，k≠0) 原点 (kπ，0) √√××规律方法 1.求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．
2．求值域时，注意：(1)利用sin x的有界性；(2)利用y＝sin x的单调性．答案 (1)B (2)①②③ 规律方法 1.求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．
2．函数y＝sin x为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0,2π]是非奇非偶函数．【训练2】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin x；
(2)f(x)＝|sin x|＋1.
解 (1)∵x∈R，且关于原点对称，
又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，且关于原点对称，又f(－x)＝|sin(－x)|＋1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．方向1 利用正弦函数的单调性比较大小
【例3－1】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 196°与cos 156°；
(2)sin 1，sin 2，sin 3.方向2 求函数的单调区间
【例3－2】 求函数y＝－sin x＋3的单调区间．规律方法 1.用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
2．求正弦函数的单调区间有二种方法：一是利用y＝sin x的单调区间，进行代换，解不等式；二是画图像，从图像上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来.答案 D2．下列函数中是奇函数的是( )
A．y＝－|sin x| B．y＝sin(－|x|)
C．y＝sin |x| D．y＝xsin |x|
解析 利用定义，显然y＝xsin |x|是奇函数．
答案 D3．若函数f(x)＝sin 2x＋a－1是奇函数，则a＝________.
解析 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)得a＝1.
答案 1
4．函数y＝|sin x|的值域是________．
解析 作出函数y＝|sin x|的图像（图像略）可知．
答案 [0,1]课堂小结
1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性．
2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．课件36张PPT。§6 余弦函数的图像与性质学习目标 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦函数的图像性质及其运用(难点)．要画出y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，可以通过描出
五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像．【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的图像可以向左、向右无限伸展．( )
(2)y＝cos x 的图像与y＝sin x的形状完全一样，只是位置不同
( )
(3)y＝cos x的图像与x轴有无数个交点( )
(4)y＝cos x的图像关于y轴对称( )√ √ √ √ 知识点2 余弦函数的性质R [－1,1] 偶函数 2π x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z) x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) x＝2kπ(k∈Z) 1 x＝2kπ＋π(k∈Z) －1 √√√×解 用“五点法”作出y＝cos x的简图．规律方法 “五点法”画函数图像的三个步骤【训练1】 (1)函数y＝cos 2x，x∈[0,2π]的简图是( )答案 D 题型二 余弦函数的性质
【例2】 已知f(x)＝2＋cos x.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数的最小正周期．解 (1)∵f(x)＝2＋cos x的定义域为R且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)＝2＋cos x为偶函数．
(2)∵y＝cos x在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的，
∴y＝2＋cos x的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
(3)由cos x的周期性知y＝2＋cos x的最小正周期为2π.规律方法 对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．【例3】 函数y＝－cos2x＋cos x的值域为________．规律方法 与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法
(1)利用sin x，cos x的有界性．
(2)利用sin x，cos x的单调性．
(3)化为sin x＝f(x)或cos x＝f(x)，利用|f(y)|≤1来确定．
(4)通过换元转化为二次函数.课堂达标
1．下列函数中，不是周期函数的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝cos|x|
C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
解析 画出y＝sin|x|的图像（图略），易知D选项不是周期函数．
答案 D答案 B3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像和直线y＝1围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是________．
解析 如图，可把x轴下方图形补到x轴上方阴影部分，此时所围面积可变成一个矩形．
答案 2π 答案 {m|m≤0}课堂小结
1．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
2．求三角函数值域或最值的常用求法
(1)将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方，或利用函数的单调性等来确定y的范围．
(2)将sin x或cos x用所求变量y来表示，如sin x＝f(y)，再由|sin x|≤1，构建关于y的不等式|f(y)|≤1，从而求得y的取值范围.课件35张PPT。§7 正切函数
7．1 正切函数的定义
7．2 正切函数的图像与性质
学习目标 1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan x的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质(重点).3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)．tan α(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系：
根据定义知tan α＝ (α∈R，α≠kπ＋，k∈Z)．
(3)正切值在各象限的符号：
根据定义知，当角在第 和第 象限时，其正切函数值为正；当角在第 和第 象限时，其正切函数值为负．
(4)正切线：
在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段 为角α的正切线．一 三 二 四 AT 答案 B2．函数y＝tan 2x的定义域为________．渐近线 【预习评价】
正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？
提示 正切函数的对称中心除了原点外，诸如(π，0)等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心．知识点3 正切函数的性质R kπ(k∈Z，k≠0) π 奇函数 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数为定义域上的增函数( )
(2)正切函数存在闭区间[a，b]，使y＝tan x是增加的．( )
(3)若x是第一象限的角，则y＝tan x是增函数( )
(4)正切函数y＝tan x的对称中心为(kπ，0)k∈Z.( )× √ × × 题型一 正切函数的定义
【例1】 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α、tan α的值．(2)根据正切函数的图像，写出tan x≥－1的解集．方向1 比较大小
【例3－1】 比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．规律方法 1.比较同名三角函数值的大小，实质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小．
2．对于形如y＝tan(ωx＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解. 答案 C答案 C3．已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则α的终边在第________象限．
解析 由P点在第二象限．∴tan α＜0，cos α＞0，
∴α在第四象限．
答案 四课件32张PPT。7.3 正切函数的诱导公式
知识点1 正切函数的诱导公式 答案 B 答案 A规律方法 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键．
(2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．答案 (1)D (2)C 规律方法 1.三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
2．三角恒等式的证明策略
在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法． 答案 B 答案 D 答案 0特别提醒 应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.课件42张PPT。
知识点1 振幅变换
(1)在函数y＝Asin x(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的 和 ，通常称A为 ．
(2)要得到函数y＝Asin x(A＞0，A≠1)的图像，只要将函数y＝sin x的图像上所有点的纵坐标 (当A＞1时)或 (当0＜A＜1时)到原来的 倍(横坐标不变)即可得到．最大值 最小值 振幅 伸长 缩短 A 答案 2 －2答案 {x|x＝2kπ＋π，k∈Z} 函数值 初相 相位 向左 向右 频率 答案 B
2．若函数y＝3sin ωx的最小正周期为π，则ω＝________.
答案 ±2(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．答案 A答案 D描点画图(如图所示)：2．图像变换中，还常用以下三种变换：
(1)y＝－sin x的图像可由y＝sin x的图像沿x轴翻折180°而得到．
(2)y＝|sin x|的图像可由y＝sin x的图像得到．其变化过程为在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分沿x轴翻折180°而得到．
(3)y＝sin |x|的图像可通过让y＝sin x的图像在y轴右边的部分不变，y轴左边的图像由y轴右侧的图像关于y轴翻转180°而得到.课件35张PPT。[－A，A] 续表 答案 C答案 C答案 D答案 C答案 ①②③课件33张PPT。§9 三角函数的简单应用学习目标 1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点).2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题(难点)．
知识点1 利用三角函数模型解决实际问题
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：
(1)收集数据，画出“散点图”；
(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；
(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析．规律方法 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键．【训练2】 如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．答案 D【迁移1】 例3改为问：在一年内商品价格不低于8万元的时间持续多长？【迁移2】 例3中当价格低于7万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加班？何时加班结束？规律方法 三角函数的应用在生产生活中的求解框图答案 D答案 C答案 20.55．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.课堂小结
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤：
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课件38张PPT。章末复习课网络构建核心归纳
1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．
善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．3．三角函数的图像与性质续表续表4.三角函数的图像与性质的应用
(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．
(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．要点一 任意角的三角函数的定义
有关三角函数的概念主要有以下两个方面：
(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．
(2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．【例1】 已知cos θ＝m，|m|≤1，求sin θ，tan θ的值．答案 (1)A (2)1 答案 C 【例4】 f(x)是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sin α)>f(cos β)．
证明 ∵f(x＋2)＝f(x)，
∴y＝f(x)的周期为2.
∴f(x)在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同．
∴f(x)在[－1,0]上单调递减．
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反．
∴f(x)在[0,1]上单调递增．①要点五 三角函数的综合应用
(1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；
(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法；
(3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行；
(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．【训练5】 函数f(x)＝cos x＋2|cos x|在[0,2π]上与直线y＝m有 且仅有2个交点，求m的取值范围．
